7年级第06讲 整式的概念和整式的加减

第一讲 第6讲 整式的概念和整式的加减 知识方法扫描 整式的概念 1. 单项式与多项式统称整式． 2．单项式由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独一个字或数也是单项式． 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数 3． 多项式几个单项式的和叫做多项式．在多项式中的每个单项式叫做多项式项，其中，不含字母的项叫做常数项． 一个多项式有几项就叫做几项式，次数最高的项的次数就叫做多项的次数. 把一个多项式的各项按照某一个字母的指数从大到小（或从小到大） 的顺序排列叫做降（或升）幂排列法． 整式的加减 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数也是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项．整式的加减实际就是合并同类项。 3. 灵活地去（添）括号 括号前面去掉（或添上）“+”号，括号里各项都不变；括号前面去掉 （或添上）“-”号，括号里各项都变号， 若有多层括号，去括号有三种方法：一是可以从里向外去；二是可以 从外向里去；三是可以里外同时去，同时在去括号后，在不影响计算结果 的前提下，也可以边去括号边合并同类项，从而简化计算， 经典例题解析 例1 (1997年北京市初二数学竞赛 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 ) 同时都含有字母a，b，c，且系数为1的7次单项式共有( )． (A)4个 (B) 12个 (C) 15个 (D) 25个 解：设满足条件的单项式为 的形式，其中m、n、p为自然数，且m+n+p=7．指数m，n，p只能有如下四组可能: 1,1,5； l,2,4； 1,3,3； 2,2,3． 所以满足条件的单项式有 总计有15个．故选（D） 例2．（1993年第4届“希望杯”邀请赛试题） 在多项式 （其中m，n为正整数）中，恰有两项是同类项，则m·n= 解 若 与 是同类项，则m=0，n=0，与已知条件矛盾。故只有 与 为同类项，于是m=n-1且n=4m-4,解得：m=5,n=6,于是mn=30 例3 (2007年肇庆市八年级数学竞赛试题) 已知有如下一组 我们用下面的方法确定它们的先后次序：对任两个单项式，先看x的次幂，规定x幂次高的单项式排在x幂次低的单项式的前面；再先看y的次幂，规定y幂次高的单项式排在y幂次低的单项式的前面；再先看z的次幂，规定z幂次高的单项式排在z幂次低的单项式的前面。 将这组单项式按上述法则排序，那么， 应排在第 位。 解：将这组单项式按上述法则排序， , , , , , , , , ， . 所以 应排在第8位 例4．（2004年重庆市初中数学竞赛决赛试题） 小敏购买4种数学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数列下表： 品名 件数 计算器 圆规 三角板 量角器 总钱数 第一次购件数 1 3 4 5 78 第二次购件数 1 5 7 9 98 则4种数学用品各买一件共需__________元. 解 设计算器、圆规、三角板、量角器每件价分别为x,y,z,u元，则有 x+3y+4z+5u=78 (1) x+5y+7z+9u=98 (2) (1)×2-(2)得 x+y+z+u=58, 即4种数学用品各买一件共需58元。 例5 （2003年 第1届 创新杯数学邀请赛试题） 已知关于x的整系数二次三项式 ax2+bx+c，当x取1，3，6，8时，某同学算得这个二次三项式的值分别是1，5，25，50。经验算，只有一个是错误的，这个错误的结果是（ ） （A）x=1时y=1 （B）x=3时y=5 （C）x=6时y=25 （D）x=8时y=50 解 若四式成立,则有: (3)-(2), 得: 27a+6b=20, 此式左边是3的倍数,而右边不是3的倍数,所以在(2),(3)两式中必有一式错误;, (4)-(3), 得 8a+2b=25, 此式左边是偶数,而右边不是偶数,所以在(3),(4)两式中也必有一式错误. 所以(3) 式错误. 故应选C。 例6 (1987年北京市中学生数学竞赛初二年级试题) (I) x,y 均为整数, 若 5│(x+9y),求证: 5│(8x+7y). (II) x,y,z 均为整数,若11│(7x+2y-5z), 求证: 11│(3x-7y+12z). (注：a|b 表示整数b能被整数a整除) 证明 （I）因为5│(x+9y), 故5│(2x+18y)，又显然5│(10x+25y)，而8x+7y=(10x+25y)- (2x+18y)，所以 5│(8x+7y). （II）∵ 4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z) 而        11｜11(3x-2y+3z)， 且     11｜(7x+2y-5z) ∴       11｜4(3x-7y+12z) 又       11和4互质， ∴      11｜(3x-7y+12z) 例7 （1994-1995学年度武汉等五市初一数学联赛试题） 一个五位数，若前三个数字表示的三位数与后二个数字表示的两位数的和能被11整除，判断这个五位数能否被11整除，并说明理由。 解 设这个五位数为N，它的前三个数字为a, 后二个数字为b, 由已知，有 a+b=11k(k是整数) 从而，N=100a+b=99a+a+b=99a+11k=11(9a+k)， 所以这个五位数能被11整除 例8（1978年陕西数学竞赛试题） 设 是一个三位数，a3>a1，由 减去 得一个三位数 ，证明： + =1089 [解] 设： - = 由于a3>a1，所以可得： b1 = (10+a1) - a3 ① b2 = (10+a2 - 1) - a2 = 9 ② b3 = (a3 -1) - a1 ③ ①+③ 得：b1 +b3 = 9 ∴ + =100(b1 +b3)+10 (b2 +b2)+( b1 +b3)=1009+209+9=1089 原版赛题传真 同步训练 一选择题 1．（2008年第6届“创新杯”全国数学邀请赛试题） 若4a-3b=7,3a+2b=19,则14a-2b是( ) （A） 48 （B） 52 （C） 58 （D） 60 1．B 14a-2b=2(7a-b)=2[(4a-3b)+(3a+2b)]=2(7+19)=52 2．（2004年第2届“创新杯”全国数学邀请赛试题） 多项式5x6-4xn+3x4+2x3-7x2-2是六次多项式, 则n的取值是( ). (A)n=5 (B)n=1 (C)n=5或n=1 (D)以上都不对 2. D n可取6，5，4，3，2，1等。 3．（1992年“希望杯”全国数学邀请赛试题） 两个10次多项式的和是( )． (A) 20次多项式 (B) 10次多项式 (C) 100次多项式 (D)不高于10次的多项式 3．D 如果两个10次多项式的10次项系数互为相反数，那么它们相加后，10次项消去了，故(B)不对，(A)、(C)显然不对。故选(D)． 4．（1999年第九届“五羊杯”初一数学试题） 若一个整数为两位数，它等于其数字和的8倍，如果互换原两位整数个位数字与十位数字的位置，那么所得的新两位数是其数字和的( ) (A)17倍 (B)l倍 (C)2倍 (D)3倍 4．D 设原两位整数为l0x+y把其中个位数字与十位数字互换后得到的两位数为l0y+x， 依题意有 l0x+y=8(x+y).又（l0x+y）+（l0y+x）=11（x+y） 故l0y+x=11（x+y）-8（x+y）=3（x+y）． 新两位整数是其数字和的3倍． 5．（1997年新加坡中学数学奥林匹克竞赛试题） 已知 1995x3+1996x2+1997x+1998=1005x3+1006x2+1007x-1962，那么x3+x2+x+1的值为 (A) -4 (B) 3 (C) -3 (D) 1 (E) -1 5. C 由已知得990x3+990x2+990x=-3960，x3+x2+x=-4，x3+x2+x+1=-3 二 填空题 6．(1995年第十届北京市“迎春杯”竞赛题) 如果 与 是同类项，那么代数式 的值等于 ． 6．1 因为 与 是同类项，所以x=4，y=3． 又 当x=4，y=3时，该式的值为1． 7．（1992年第4届“希望杯”数学邀请赛试题） 若 则代入到代数式 中，化简后，是 . 7. 12ab . 以 代入 原式 8．（2004年第2届“创新杯”全国数学邀请赛试题） a、b为正数且满足多项式ax3a-x3-x2b-x2+2x-2004是三次多项式, 则|1-a|+|1+a|+|b-2|的值是________. 8 ．2.5, 3, 3.5. 为使ax3a-x3-x2b-x2+2x-2004是三次多项式,，有下列几种情况： (1) a=1, 或 ， b= ,此时|1-a|+|1+a|+|b-2| = (1-a)+(1+a)+0.5 = 2.5； (2) a= 或 ， b=1, 此时|1-a|+|1+a|+|b-2| = (1-a)+(1+a)+1 = 3; (3) a= 或 ， b= , 此时|1-a|+|1+a|+|b-2| = (1-a)+(1+a)+ =3.5. 9．(1993年上海市初中数学竞赛试题) 已知多项式 其中，n为非负整数，an为正整数，an-1, an-2,…, a0为非负整数，且满足 则这样的多项式共有 个 9. 16 由已知可判断0≤n≤4，分别讨论如下： 当n=4时,满足条件的f(x)有：x4 当n=3时,满足条件的f(x)有： 当n=2时,满足条件的f(x)有： 当n=1时,满足条件的f(x)有： 当n=O时，满足条件的f(x) 有：5． 所以，满足条件的多项式有：1+4+6+4+1=16个． 10．（1998年“数学新蕾”竞赛试题） 已知 则 。 解 （3）-（2） （4） （4）×3： （5） （1）+（5）： 三 解答题 11．(1998年成都初一年级数学运算能力比赛试题) 已知A=2x2-3，B=-3x+1，C=5x2-x，且2B+C=A-D，求D。 11．∵2B+C=A-D，∴D=A-2B-C=2x2-3-2（-3x+1）-（5x2-x）= -3x2+7x-5 12．（1999年第11届“希望杯”数学竞赛培训题） 已知 为整数， 如果 ，请你证明： 。 [证明] 已知 又已知 即存在整数 ，使得 所以 由整除性质得 13．（2004年重庆市初中数学竞赛初赛试题) 小明一次在黑板上写有若干个有理数． （1）如果他第一次擦去a个，从第二次起，每次都比前一次多擦去1个，则6次刚好擦完．请你用代数式表示小明在黑板上所写有理数的个数（结果要求化简）． （2）如果他每次都擦去a个，则9次刚好擦完．请你求出小明在黑板上共写了多少个有理数． 13. (1) a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+(a+4)+(a+5)=6a+15(个) （2）9a=6a+15, a=5, 小明在黑板上共写了9a=45个有理数. 14．（2005年杭州市江干区数学小能手展示活动7年级试题） 王老伯在集市上先买回5只羊，平均每只a元，稍后又买回3只羊，平均每只b元，后来他以每只 的价格把羊全部卖掉了。若a