第五章线性参数的最小二乘法处理

第五章线性参数的最小二乘法处理null第5章线性参数的最小二乘法第5章线性参数的最小二乘法null最小二乘法（least square method） 1805年，勒让德（Legendre）应用“最小二乘法”，确定了慧星的轨道和地球子午线段。 1809年，高斯（Gauss）论证其解的最佳性。经典最小二乘法（即代数最小二乘法）现代最小二乘法（即矩阵最小二乘法）线性参数的最小二乘法线性参数的最小二乘法第一节最小二乘法原理第二节正规方程第三节精度估计第四节组合测量的最小二...

null第5章线性参数的最小二乘法第5章线性参数的最小二乘法null最小二乘法（least square method） 1805年，勒让德（Legendre）应用“最小二乘法”，确定了慧星的轨道和地球子午线段。 1809年，高斯（Gauss）论证其解的最佳性。经典最小二乘法（即代数最小二乘法）现代最小二乘法（即矩阵最小二乘法）线性参数的最小二乘法线性参数的最小二乘法第一节最小二乘法原理第二节正规方程第三节精度估计第四节组合测量的最小二乘法处理大纲要求大纲要求掌握最小二乘原理。掌握正规方程掌握最小二乘精度估计方法。第一节　最小二乘法原理第一节　最小二乘法原理　最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻找最可信赖值的问题。求标准米尺线膨胀系数设有一金属尺，在温度t时长度可表示为yt=y0（1+t），其中，y0为温度零度时的精确长度。为金属材料的线膨胀系数，求y0与的数值一、最小二乘法原理 null求标准米尺线膨胀系数设在t1，t2，t3……….tn温度条件下分别测得金属尺的长度l1，l2，l3 ………. ln共n个结果，可列出方程组（1）当n<2，方程有无穷多个解。（2）当n=2，方程只有唯一解。（3）当n>2，方程组无解。最小二乘法y0与最可信赖值？一、最小二乘法原理第一节　最小二乘法原理第一节　最小二乘法原理一、最小二乘法原理 null测量数据的残差为： v1= l1-y1 v2= l2-y2 …. ….. （5-3） vn= ln-yn即残差方程式（误差方程式）一、最小二乘法原理 null各误差相互独立，由概率乘法定理，各测量数据同时分别出现在相应区域的概率应为：最可信赖值满足一、最小二乘法原理等精度测量：最小二乘原理的代数形式null必须指出:上述最小二乘原理是在测量误差无偏、正态分布和相互独立的条件下推导出的，但在不严格服从正态分布的情形下也常被使用。实际上，按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准则。一、最小二乘法原理 null二、线性参数的最小二乘法处理线性参数的测量方程的一般形式：相应的估计值其误差方程： Y为直接测量量的真值矩阵；X为待求量的真值矩阵。直接测量量的估计值矩阵。null二、线性参数的最小二乘法处理线性参数的最小二乘原理的矩阵形式误差方程的矩阵形式 null二、线性参数的最小二乘法处理线性参数的最小二乘原理的矩阵形式误差方程的矩阵形式其中：null二、线性参数的最小二乘法处理线性参数的不等精度测量转化为等精度的形式： null误差方程正规方程（法方程）最小二乘法 (方程数n>末知数个数t) (n=t) 求解线性方程组求极值的方法线性参数的最小二乘法处理程序第二节、正规方程第二节、正规方程一、等精度测量线性参数最小二乘法的正规方程二、不等精度测量线性参数最小二乘法的正规方程三、非线性参数最小二乘法处理的正规方程（略）四、最小二乘法与算术平均值的关系 null最小二乘法原理式求导正规方程组矩阵形式正规方程组解一、等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程且正规方程组代数形式：5-19，20引入矩阵null的数学期望为： null由最小二乘法求最佳解系数矩阵A--------误差方程，（测量方程）测量值矩阵L------直接测得例题 5-1null最小二乘法原理式求导正规方程组矩阵形式正规方程组解二、不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程正规方程组代数形式：5-25、25’引入矩阵null的数学期望为： null由最小二乘法求最佳解系数矩阵A--------误差方程，（测量方程）测量值矩阵L------直接测得权矩阵P例题 5-2null四、最小二乘法与算术平均值的关系为确定一个量X的估计值x，对它进行n次直接测量，得到n个数据 ,相应的权分别为。最佳估计值运用最小二乘法求 null 误差方程：系数矩阵权矩阵：实测值矩阵 null对等精度测量：与前面结果一致。此式与等精度测量时算术平均值原理给出的结果相同，由此可见，最小二乘法原理与算术平均值原理是一致的，算术平均值原理可以看作是最小二乘法的特例。第三节精度估计第三节精度估计一、直接测量数据的精度估计二、最小二乘估计量的精度估计 null1、等精度测量数据的精度估计一、直接测量数据的精度估计当t=1时？ null2、不等精度测量数据的精度估计一、直接测量数据的精度估计测量数据的单位权标准差当t=1时？ null直接测量量的标准差对角元素不定系数二、最小二乘估计量的精度估计 1、等精度测量时估计量的精度估计 null单位权的标准差对角元素不定系数二、最小二乘估计量的精度估计 2、不等精度测量估计量的精度估计第四节组合测量（combined measurement）的最小二乘法处理第四节组合测量（combined measurement）的最小二乘法处理组合测量基本概念组合测量基本概念组合测量是通过直接测量待测参数的各种组合量（一般是等精度测量），然后对这些测量数据进行处理，从而求得待测参数的估计值，并给出其精度估计。通常组合测量数据是用最小二乘法进行处理，他是最小二乘法在精密测试中的一种重要应用。t个被测量 n个误差方程式求解 n种组合最小二乘法组合测量基本概念组合测量基本概念如为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量测得值误差方程待求量为了获得更可靠的结果，测量次数总要多于未知参数的数目组合测量基本概念组合测量基本概念优点：精度较高。组合形式越多（n越大），测量结果的精度就越高。缺点：工作量大应用：在精密测量工作中有十分重要的地位，如标准器的检定。 null【例题】　要求检定丝纹尺0，1，2，3刻线间的距离　　　　。已知用组合测量法测得图所示刻线间隙的各种组合量。试用最小二乘法求　　　　及其标准偏差。计算步骤计算步骤【解】列出测量残差方程组 null解出即计算结果null代入残差方程组可得测量数据的标准差估计的标准差估计量的标准差 P118

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