习题课教案(曲线积分曲面积分)1

习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 课（十四） 内容： 曲线积分及其应用 基本要求：1．理解两类曲线积分的定义，了解两类曲线积分的性质，知道两类曲线积分之间的关系． 2．掌握两类曲线积分的计算． 3．会用两类曲线积分计算一些简单的几何量与物理量． 4．掌握格林公式，掌握平面曲面积分与路径无关的条件，了解二元函数全微分求积的方法． 内容与方法精讲： 一、两类曲线积分的概念 1．两类曲线积分的定义 （1）对弧长的（第一类）曲线积分的定义 平面上： ； 空间中： ． 积分的实质：对 （或 ）在曲线 （或 ）上求“无穷和”． 积分的物理意义：曲线型构件的质量（将函数 看作构件的线密度）． （2）对坐标的（第二类）曲线积分的定义 平面上： ； 空间中： ． 积分的物理意义：变力 （或 ）沿曲线 （或 ）做功． 2．两类曲线积分的性质（以平面上曲线积分为例） （1）对弧长的（第一类）曲线积分的性质： ① 线性性 ； ② 曲线可加性 ； ③ 规范性 （其中 是分段光滑曲线 的弧长）； ④ 约束性 （其中在曲线 上函数 ）； ⑤ 当曲线 是平行于坐标轴的直线段时， ： （ ），则 ， ： （ ），则 ． （2）对坐标的（第二类）曲线积分的性质（一般以对坐标 的积分为例）： ① 线性性 ； ② 曲线可加性 ； ③ 规范性 ， ． （其中有向光滑曲线 的起点坐标是 ，终点坐标是 ）； ④ 约束性 （其中在 上函数 ）； ⑤ 反向性 （其中 是与 方向相反的曲线）； ⑥ 当曲线 是平行于坐标轴的直线段时， （ ），则 ， ， （ ），则 ， ． 二、两类曲线积分的计算 （一）对弧长的（第一类）曲线积分的计算 1．基本方法（“三代替”化为定积分），如 （1） ， ，（以 为参数），则 ； （2） ， ，（以 为参数），则 ； （3） ， ，（以 为参数），则 ； （4） ， ，（以 为参数），则 ； （5） ， ，（以 为参数），则 ． 注：将对弧长的曲线积分化为定积分时要注意以下几点： ① 取好参数，写对曲线方程，确定准积分限； ② “三代替”指的是：曲线积分号用定积分号代替，被积函数中的变量用曲线方程代替，弧长元素 用弧微分代替； ③ 化为定积分时，永远遵循“下限小，上限大”的原则． 2．特殊（简便）方法 （1）使用约束性； （2）利用被积函数的奇、偶性及积分曲线的对称性 若 是关于 （或 ）的奇函数， 关于 轴（或 轴）对称，则 ； 若 是关于 （或 ）的偶函数， 关于 轴（或 轴）对称，则 （其中 是 上对称部分的一半）； 若 是关于 的奇函数， 关于 面对称，则 等． （3）利用积分曲线的对称性或变量的轮换性 若 关于直线 对称，则 ； 将变量 换为 ， 换为 ， 换为 （即 轮换）曲线 不变，则 ． （二）对坐标的（第二类）曲线积分的计算 1．基本方法（“三代替”化为定积分），如 （1） ，起点 、终点 ，（以 为参数），则 ； （2） ，起点 、终点 ，（以 为参数），则 ； （3） ，起点 、终点 ，，（以 为参数），则 ； （4） ，起点 、终点 ，（以 为参数），则 ； （5） ，起点 、终点 ，（以 为参数），则 ． 注：将对坐标线积分化为定积分时要注意以下几点： ① 取好参数，写对曲线方程，确定准积分限； ② “三代替”指的是：曲线积分号用定积分号代替，被积函数中的变量用曲线方程代替， 分别用其微分代替； ③ 化为定积分时，要遵循“起点（对于参数）是下限，终点（对于参数）是上限”的原则． 2．利用格林公式 ． 注：使用格林公式要注意以下几点： ① 一定是分段光滑的封闭曲线，若 不封闭，先要用积分的可加性，通过添加辅助线将起封闭； ② 一定要取正向； ③ 一定要在区域 上连续． 3．利用积分与路径无关，通过改变为“简单路径”来计算． “简单路径”通常是折线，偶尔也用直线，个别题也可以用圆弧等． 积分与路径无关的条件：① 单连通，② ，③ 在 连续． 4．利用二元函数全微分求积 若在 单连通区域 内 连续，且 ，如果 则 ． 其中 ，具体求法有三种： （1）利用基本方法： 或 ． 其中 是 内取定一点， 是 内取任意一点． （2）用不定积分方法：由 ，取 ；再由 ，求 ，从而得到 ； （3）利用凑微分方法：将 凑成 形式，从而得到 ． 5．利用两类曲线积分关系，化为对弧长的曲线积分 （1） ，（其中 是平面有向曲线 上任意一点 处的有向切线的方向余弦）； （2） ，（其中 是空间有向曲线 上任意一点 处的有向切线的方向余弦）． 6．利用约束性． 7．利用被积函数的奇、偶性及积分曲线的对称性，如：若 关于 轴对称， ① 当 关于变量 是奇函数时，则 ； ② 当 关于变量 是偶函数时，则 ； ③ 当 关于变量 是奇函数时，则 ； ④当 关于变量 是偶函数时，则 ． 8．利用变量的轮换性，如 将变量 换为 ， 换为 ， 换为 （即 轮换）曲线 不变，则 ． 三、两类曲线积分的应用 （一）对弧长的（第一类）曲线积分的应用 1．光滑曲线的弧长 （1）平面曲线弧长： ； （2）空间曲线弧长： ． 2．曲线型构件的质量 （1）平面曲线： （曲线在点 处的线密度是 ）； （2）空间曲线： （曲线在点 处的线密度是 ）． 3．曲线型构件的形心 （1）平面曲线： ， ； （2）空间曲线： ，（ ）． 4．曲线型构件的转动惯量 （1）平面曲线： ， ； （2）空间曲线： ，（ ）， （其中 是曲线 上的点 到 轴的距离）． 5．曲线构件对质点的引力 ，（ ）． 其中质点的质量为 ，位置为 ；曲线构件上任一点 处的线密度为 ， 是曲线构件上任一点 到质点的距离， 是引力系数． （二）对坐标的（第二类）曲线积分的应用 1．平面区域 的面积 ，其中 是区域 的正向边界（ 要分段光滑）． 2．变力沿分段光滑曲线做功： （1）平面上， ， 其中变力 ， ； （2）空间中， ， 其中变力 ， ． 例题精讲： 1．计算曲线积分 ，其中 是圆周 （ ）沿逆时针方向． 2．设 是由直线 及 围成的三角形周界的正向，求下列积分： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 3．计算曲线积分 ，其中 是圆周 按顺时针方向一周． 4．设 是以点 为起点， 为终点的不与直线 相交，且在直线 下方，又与直线 围成图形面积为2的简单光滑曲线，求曲线积分 ， 其中函数 有连续导数． 5．确定 的值，使表达式 在 的上半平面内是某个二元函数 的全微分，求出这个二元函数 ，并对确定的 计算曲线积分 ， （其中 是以 为起点， 为终点且不与 轴相交的任意简单分段光滑曲线． 6．计算曲线积分 ，其中 是椭圆 从 轴的正向看去取逆时针方向． 7．在力 的作用下，质点从原点沿直线移动到椭球面 上位于第一卦限的点 处，求出使该力所做的功 最大时的点 的坐标，并求功的最大值 ． 8．设 是逆时针方向的圆周 ，函数 在需要范围内连续，证明不等式 ． 同步练习: 1．​ 设 是正向圆周 ，计算曲线积分： （1） ； （2） ． （ ； 0 ） 2．设 是星形线 正向一周，求曲线积分 ． （ 3 ） 3．求 值，使曲线积分 最小，其中 是正弦曲线 上从 到 一段有向弧． （ ） 4． 是 上从 到 的一段弧，求 ．（ ） 5．设 是由直线 及抛物线 区域的正向周界，求 ． （ 3/4 ） 6．求曲线积分 ，其中 是摆线 上从 到 一段有向弧． （ ） 7．若函数 有连续导数，且 ，求 使曲线积分 在 面内与路径无关，并求 ． （ = ； 1/2 ） 8．证明 在 面内是某个二元函数 的全微分，求出这个二元函数 ，并计算 ． （ ； ） 9．确定 值，使 ，其中 是不过原点的任何简单光滑闭曲线．（ = ） 10．设 是空间曲线 从 轴正向看去取逆时针方向，计算下列曲线积分： （1） ； （2） ； （3） ． （ ； ； 0 ） 11．计算曲线积分 ，其中 是空间曲线 （ ， ）从 轴正向看去取逆时针方向． （ ） 12．计算曲线积分 ，其中 是圆 （ ） 13．求心脏线 的形心． （ （ ） ） 14．求力 沿第一卦限内平面 的边界一周所作的功，从 轴正向看去取逆时针方向． （ ）