不定积分的计算

华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 2 / 85 §6.2 不定积分的计算 一、凑微分法 三、分部积分法 二、换元积分法 四、有理 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 积分法 五、其它类型的积分举例 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 3 / 85 一、 凑微分法 2 dxe x 2 2d2 xe x  2 d(2 )2 xe x  ( 2 )u x令 d 2 ue u  2 ue C  2 2 xe C  1 d 1 x x 1 d( 1)1 xx  ( 1)u x 令 1 du u   ln | |u C  ln | 1|x C   华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 4 / 85 将上述步骤写为一般形式：  ( ) ( ) df x x x   d ( )x ( )f x  ( ( ) )u x令 ( ) df u u  (若已知) ( )F u C   ( )F x C  定理 (凑微分法：不定积分的第一换元积分法) ( )d ( ) ,f x x F x C 若已知 ( )u x而 是任一可微函数,    ( ) ( ) d ( )f x x x F x C    则 ．      ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F x F x x f x x          证 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 5 / 85 例1 sin 2 d .x x求 sin 2 dx x 1 sin 2 d(2 )2 x x  1 cos 2 ; 2 x C   sin 2 dx x 2 sin cos dx x x  2 sin d(sin )x x  2sin ;x C  sin 2 dx x 2 sin cos dx x x  2 cos d(cos )x x   2cos .x C   解法1 解法2 解法3 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 6 / 85 例2. ( ) d ( 0, 1).max b x a m   求 解: ,u ax b 令 则 ,dd xau  故 原式 =  mu ua d1 a1 Cum m  111 1)( )1( 1  mbxa ma C 注: 当 1m 时  bxa xd 1 d( ) 1 lnax b ax b Ca ax b a    华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 7 / 85   22 )(1 d1 ax x a 例3. 求   .d 22 xa x 解:   22d xa x , a xu 令 则 xau d 1d    21 uuda1 Cua  arctan1 C a x a  )arctan(1 想到公式   21 d uu Cu  arctan)(ax  华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 8 / 85 例4. 求   ).0( d 22 a xa x  21 d u u想到 Cu arcsin 解:   2)(1 d a xa x  )(d))(( xxf  (直接配元) xxxf d)()]([    2)(1 )(d a x a x C a x  arcsin   22 d xa x 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 9 / 85 例5. 求 tan d .x x 解: sin d cos x x x  xxcoscosd Cx  cosln cot d ?x x   x xxsin dcos Cx  sinln  xxsinsind tan dx x  类似 P264 1(8) 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 10 / 85 C ax ax a   ln 2 1 例6. 求 .d 22  ax x 解: 22 1 ax  ))(( axax  )()( axax  a2 1 )11( 2 1 axaxa  ∴原式 =   a2 1    ax xax x dd    a2 1  ax ax )(d   a2 1 ax ln ax  ln  C   ax ax )(d 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 11 / 85 常用的几种配元形式:  xbxaf d)()1(   )( bxaf )(d bxa a1   xxxf nn d)()2( 1  )( nxf nxdn1  xxxf n d1)()3(  )( nxf nxdn1 nx1  xxxf dcos)(sin)4(  )(sin xf xsind  xxxf dsin)(cos)5(  )(cos xf xcosd 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 12 / 85  xxxf dsec)(tan)6( 2  )(tan xf xtand  xeef xx d)()7(  )( xef xed  xxxf d1)(ln)8(  )(ln xf xlnd 例7. 求 .)ln21( d  xx x   xln21 xlnd解:原式 =   xln2121 )ln21(d x Cx  ln21ln 2 1 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 13 / 85 例8. 求 .d 3 x x e x 解:原式 = xe xd2 3 )3d(32 3 xe x Ce x  3 3 2 例9. 求 .dsec6 xx 解:原式 = xdxx 222 sec)1(tan  xtand xxx tand)1tan2(tan 24  x5tan 5 1 x3tan 3 2 xtan C 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 14 / 85 例10. 求 . 1 d  xex 解法1   xex1 d xe ee x xx d 1 )1(   xd   x x e e 1 )1(d x Cex  )1ln( 解法2   xex1 d xee x x d 1         x x e e 1 )1(d Ce x   )1ln( )]1(ln[)1ln(   xxx eee 两法结果一 样 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 15 / 85     xx sin1 1 sin1 1 2 1  例11. 求 .dsec xx 解法1  xxdsec  xxx dcoscos2   xx2sin1 sind xsind   xsin1ln 2 1   Cx  sin1ln C x x   sin1 sin1ln 2 1 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 16 / 85   xx tansec 解法 2  xxdsec  xx dsec xx tansec  )tan(sec xx  x xx xxx d tansec tansecsec2  )tan(secd xx  Cxx  tansecln 同理可得  xxdcsc Cxx  cotcscln 或  xxdcsc Cx  2tanln 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 17 / 85 2 3 2 2 2 1 d( ) 2 ( ) x x a    例12. 求 3 3 2 2 2 d . ( ) x x x a  解: 原式 = 3 2 2 2( )x a  2 2d( )x x 2 1 222 )( aax  1 2 2 21 ( ) 2 x a   )(d 22 ax  32 2 2 2( ) 2 a x a   )(d 22 ax  22 ax  22 2 ax a  C 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 18 / 85 )2cos2cos21( 24 1 xx  例13 . 求 .dcos4 xx 解: 224 )(coscos xx  2) 2 2cos1( x )2cos21( 2 4cos1 4 1 xx  )4cos2cos2( 2 1 2 3 4 1 xx    xxdcos4 xxx d)4cos2cos2( 212341  41  xd23 )2d(2cos xx )4(d4cos81 xx x8 3 x2sin41 x4sin321 C 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 19 / 85 例14. 求 .d3cossin 22 xxx 解: xx 3cossin 22 221 )]2sin4(sin[ xx  xxxx 2sin2sin4sin24sin 24 1 4 12 4 1  )8cos1(8 1 x xx 2cos2sin2 )4cos1(81 x ∴原式 =  xd41 )8d(8cos641 xx )2(sind2sin22 1 xx )4d(4cos321 xx 1 4 x  1 sin 8 64 x 31 sin 2 6 x 1 sin 4 32 x C 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 20 / 85 xx exex  1 11 xexex xx dd  xex x d)1( 例15. 求 .d )1( 1  xexx x x 解: 原式=   xexx x x d)1( )1( xe xe )1( 1 xx xexe  )(d) 1 11( xxx exexex   )1( 1 xx xx xexe xexe   )(d xxe xexln xex 1ln C Cexxx x  1lnln 分析: 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 21 / 85 例16. 求 .d )( )()( )( )( 3 2 x xf xfxf xf xf      解: 原式   )( )( xf xf x xf xfxf xf xf d )( )()(1 )( )( 2        x xf xfxfxf d )( )()()( 2 2   C xf xf     2 )( )( 2 1 ) )( )(d( xf xf   )( )( xf xf 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 22 / 85 作业 请理解课本内容后及时独立地完成如下作业！ P264 1 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 23 / 85 二、换元积分法 凑微分法(第一类换元法)解决的问题 难求 易求 xxxf d)()]([    uuf d)( )(xu  若所求积分 xxxf d)()]([   易求, 则得第二类换元积分法(拆元法) . 难求，而 uuf d)( 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 24 / 85 二、换元积分法 例如 5 21 d ?x x x  解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 令 sinx t d cos d ,x t t  5 21 dx x x  5 2(sin ) 1 sin cos dt t t t 5 2sin cos dt t t   （应用“凑微分”即可求出结果） 2 2 2(1 cos ) cos d cost t t   华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 25 / 85 CxF  )( )()]([)( ttft   定理2 . 设 )(tx  是单调可导函数 , 且 ,0)(  t )()]([ ttf   具有原函数 , )(1d)()]([d)( xttttfxxf    .)()(1 的反函数是其中 txxt    证: 的原函数为设 )()]([ ttf   ,)(t 令 ])([)( 1 xxF   则  )(xF td d x t d d )()]([ ttf   )( 1 t )(xf xxf d)( Cx   )]([ 1 Ct  ][ )(1 xt  )(1d)()]([ xttttf    则有换元公式 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 26 / 85 例1. 求 .)0(d22  axxa 解: 令 2 2sin , [ , ],x a t t     则 taaxa 22222 sin tacos ttax dcosd  ∴原式 tacos tta dcos tta dcos22    Ca  2 4 2sin 2 tt  a x 22 xa  t a xarcsin Cxax  22 2 1 2 2a ttt cossin22sin  2 a x a xa 22  华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 27 / 85 例2. 求 .)0(d 22  aax x 解: 令 ,),(,tan 22  ttax 则 22222 tan ataax  tasec ttax dsecd 2 ∴原式  ta 2sectasec td tt dsec 1tansecln Ctt  a x 22 ax  t ln 22 ax a )ln( 1 aCC   Caxx  22ln  xa  1C 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 28 / 85 例3. 求 .)0(d 22  aax x 解: ,时当 ax  令 ,),0(,sec 2 ttax 则 22222 sec ataax  ta tan xd ttta dtansec ∴原式 t d tta tansec ta tan tt dsec 1tansecln Ctt  a x 22 ax  t 1 ln C Caxx  22ln )ln( 1 aCC  22 ax  a x a 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 29 / 85 ,时当 ax  令 ,ux  ,au 则 于是   22 d ax x   22 d au u Caxx  22ln  22 d ax x，时ax  1 22ln Cauu  1 22ln Caxx  122 2 ln C axx a  )ln2( 1 aCC Caxx  22ln 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 30 / 85 说明: 被积函数含有 22 ax  时, 除采用 1shch 22  tt 采用双曲代换 tax sh 消去根式 , 所得结果一致 . tax ch或 22 ax 或 三角代换外, 还可利用公式 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 31 / 85 小结: 1. 第二类换元法常见类型: ,d),()1(   xbaxxf n 令 n bxat  ,d),()2(   xxf n dxc bxa 令 n dxc bxat  ,d),()3( 22  xxaxf 令 tax sin 或 tax cos ,d),()4( 22  xxaxf 令 tax tan 或 tax sh ,d),()5( 22  xaxxf 令 tax sec 或 tax ch 后面讲 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 32 / 85 (7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒数代换 ,d)()6(  xaf x 令 xat  例4. 求 .d 222  axx x 解: 令 1 ,x t  得 原式 t ta t d 122     1 )1(d 2 1 22 22 2 ta ta a Cta a  11 222 C xa ax  2 22 倒数代换 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 33 / 85 例4. 求 .d 222  axx x 解: 令 1 ,x t  得 原式 t ta t d 122     1 )1(d 2 1 22 22 2 ta ta a Cta a  11 222 C xa ax  2 22 倒数代换 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 34 / 85 t t t t d)1( 1 21 3 2   例5. 求 . 2)1( d 23  xxx x 解: 原式   1)1()1( d 23 xx x 令 tx 11 t t t d 1 2 2  t t t d 1 1)1( 2 2   tt d1 2  tt d1 1 2  ttt arcsin1 2 12 2 1  Ct  arcsin Cxx xx   1121)1( 221 arcsin2 2 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 35 / 85 作业 请理解课本内容后及时独立地完成如下作业！ P265 2 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 36 / 85 三、 分部积分法 由导数公式 vuvuuv )( 积分得: xvuxvuuv dd   分部积分公式 xvuuvxvu dd   或 uvvuvu dd   1) v 容易求得 ; xvuxvu dd)2   比 容易计算. :)d( 的原则或及选取 vvu  华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 37 / 85 例1. 求 .dcos xxx 解: 令 ,xu  ,cos xv  则 ,1u xv sin ∴ 原式 xxsin  xx dsin Cxxx  cossin 思考:如何求 ?dsin2 xxx 提示:令 ,2xu  ,sin xv  则 原式 xx cos2 xxx dcos2  华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 38 / 85 例2. 求 .dln xxx 解: 令 ,ln xu  xv  则 ,1xu  2 2 1 xv   原式 = xx ln 2 1 2  xx d21 Cxxx  22 4 1ln 2 1 熟练之后可省略之 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 39 / 85 例3. 求 .darctan xxx 解: 原式 xx arctan 2 1 2   xxx d121 2 2 xx arctan 2 1 2   xx d)1 11(21 2 xx arctan 2 1 2 Cxx  )arctan( 2 1 21 arctan d( ) 2 x x  2 21 1arctan (arctan ) d 2 2 x x x x x   华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 40 / 85 例4. 求 .dsin xxex 解: 令 ,sin xu  xev  , 则 ,cos xu  xev  ∴ 原式 xex sin  xxex dcos 再令 ,cos xu  xev  , 则 ,sin xu  xev  xex sin  xxexe xx dsincos 故 原式 = Cxxex  )cos(sin21 说明:也可设 veu x  , 为三角函数 , 但两次所设类型 必须一致 . 注意循环形式 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 41 / 85 解题技巧: :的一般方法及选取 vu  把被积函数视为两个函数之积 , 按 “反对幂三指”的 顺序,前三者为 , 后两者为u .v 例5. 求 .darccos xx 解:原式 arccosx x   xxx d21 xxarccos )1d()1( 2221 2 1   xx xxarccos Cx  21 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 三: 三角函数 指: 指数函数arccos (arccos ) dx x x x x   华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 42 / 85 例6. 求 .d cos cosln 2 xx x 解: 原式 = tan ln cosx x   xx dtan2 xx coslntan    xx d)1(sec2 xx coslntan  Cxx  tan ln cos d(tan )x x tan ln cosx x  tan (ln cos ) dx x x 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 43 / 85 例7. 求 .dxe x 解: 令 ,tx  则 ,2tx  ttx d2d  原式 tet t d2 tet(2 Cxe x  )1(2 )te C 2 d( )tt e  2 2 dt tte e t   华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 44 / 85 例8. 求 .)0(d22  axax 解: 2 2x x a    xaxx d22 2 22 axx     xax aax d22 222 )( 22 axx    xax d22   22d2 ax xa ∴原式 = 222 1 axx  Caxxa  )(ln 2 22 2  2 2 dx x a x 2 2x x a 原式 22 axx    xax d22 2 2 2ln( )a x x a   华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 45 / 85 例9. 求 . )( d 22  nn ax xI 解:令 , )( 1 22 nax u  ,1v 则 ,)( 2 122   nax xnu xv  nI xax xn n d)( 2 122 2  nax x )( 22  xaxn n d)(2 122  nax x )( 22  nIn2 1 22  nIan 得递推公式 nnn Ian n ax x an I 22221 2 12 )(2 1  222 )( aax  nax x )( 22  华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 46 / 85 说明: 递推公式   nn ax xI )( d 22 已知 C a x a I  arctan11 利用递推公式可求得 .nI 例如, 3I 2222 )(4 1 ax x a  224 3 I a  2222 )(4 1 ax x a  24 3 a  2222 1 ax x a  122 1 I a   2222 )(4 1 ax x a  2248 3 ax x a  Ca x a  arctan 8 3 5 nnn Ian n ax x an I 22221 2 12 )(2 1  华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 47 / 85 分部积分的类型: 1) 直接或变形后采用分部积分 ; 2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ; (注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 特别注意常数项 C ) 3) 对含自然数 n的积分, 通过分部积分建立递 推公式 . 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 48 / 85 例10. 求 .d xI  3 2 2(1 )x 解法1 先换元,后分部 令 ,arctan xt  即 ,tan tx  则  t eI t 3sec tt dsec2 tte t dcos  te t sin tte t dsin te t sin tte t dcoste t cos 故 CettI t  )cos(sin 2 1   2 1 xearctan t x 1 21 x 21 x x  21 1 x Ce x   arctan 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 49 / 85 xeI x d arctan 23)1( 2xxe x I arctan 2 d 1 1  xx e x xe x arctan 2 arctan 2 d 11 1   )1( 1 1 arctan 2 xe x x  I Ce x xI x   arctan 212 1 解法2 用分部积分法 xe x arctan 21 1  xd  23)1( 2x xex arctan 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 50 / 85 分部积分公式 xvuvuxvu dd   1. 使用原则 : xvuv d 易求出, 易积分 2. 使用经验 : u :反, 对, 幂 : 三, 指v  3. 题目类型 : 分部化简 ; 循环解出; 递推公式 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 51 / 85 思考 下述运算错在哪里? 应如何改正?  xxx dsincos   xxxxx dsin)sin1(sinsin   xxxx dsinsincos1 2  xxx dsincos1 ,1d sin cosd sin cos   xxxxxx 得 0 = 1 答:不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .  xxsinsind Cx  sinln 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 52 / 85 常用基本积分公式的补充 2 2 1(4) d x x a  2 2ln( )x x a C   2 2 1(5) d x x a  2 2ln x x a C   2 2(1) da x x  22 21 arcsin2 2a xx a x Ca   2 2(2) dx a x   22 2 2 21 ln2 2ax x a x x a C     2 2(3) dx a x  22 2 2 21 ln2 2ax x a x x a C     华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 53 / 85 作业 请理解课本内容后及时独立地完成如下作业！ P265 3 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 54 / 85 四、 有理函数积分法 )( )()( xQ xPxR   n nn axaxa   110 m mm bxbxb   110 有理函数: nm  时, )(xR 为假分式; nm  时, )(xR 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分式分解 其中部分分式的形式为 kk qxpx NxM ax A )( ; )( 2    2( , 4 0)k p q   若干部分分式之和 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 55 / 85 例1. 将下列真分式分解为部分分式 : ; )1( 1)1( 2xx ;65 3)2( 2   xx x . )1)(21( 1)3( 2xx  解: (1) 用拼凑法 22 )1()1( 1  xxxx 2)1( 1  x )1( 1  xx 2)1( 1  x )1(  xx 2)1( 1  x 1 1  x x 1 )1(  xx )1(  xx 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 56 / 85 (2) 用赋值法 65 3 2   xx x )3)(2( 3   xx x 2 x A 3 x B 原式 )2(xA 2x 23 3   xx x 5 原式 )3(xB 3x 32 3   xx x 6 故 2 5   x 原式 3 6  x 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 57 / 85 (3) 混合法  )1)(21( 1 2xx  x A 21 21 x CBx   原式 )21( xA 2 1x 5 4 代入等式两端分别令 1,0x C 5 41 215 4 6 1 CB  5 2B 5 1C 原式 = x21 4 5 1       21 12 x x 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 58 / 85 四种典型部分分式的积分: CaxA  ln )1( nCax n A n  1)( 1   xax A d.1   xax A n d)(.2    xqxpx NxM d.3 2    xqxpx NxM n d)(.4 2 )1,04( 2  nqp 变分子为 )2(2 px M  2pMN  再分项积分 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 59 / 85 例2. 求 . )1)(21( d 2  xx x 解: 已知 )1)(21( 1 2xx    5 1 x21 4  21 2 x x     21 1 x   xx21 )21(d52原式   2 2 1 )1(d 5 1 x x   21 d51 xx x21ln 5 2  )1(ln 5 1 2x Cx  arctan 5 1 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 60 / 85 例3. 求 .d 32 2 2 xxx x  解: 原式 x xx d 322  3)22(2 1 x    32 )32d(21 2 2 xx xx 32ln 2 1 2  xx    22 )2()1( )1d(3 x x Cx  2 1arctan 2 3 思考: 如何求 ?d )32( 2 22 xxx x   提示: 变形方法同例3. 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 61 / 85   xxx d)4)(1( 22 )4()1( 22  xx 例4. 求 .d 45 5522 24 23   x xx xxxI    xxx xxI d45 52 24 3    xxx x d45 52 24 2    45 )55d(21 24 24 xx xx 45ln 2 1 24  xx 2 arctan 2 1 x Cx  arctan 解: 说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法. 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 62 / 85 例5. 求 .d )22( 22 2  xxx x 解: 原式   xxx d)22( 22 )22( 2  xx )22(  x   1)1( d 2x x    22 2 )22( )22d( xx xx )1arctan(  x 22 1 2  xx C 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 63 / 85 例6. 求 解: 原式   xx d14)1( 2 x )1( 2  x 2 1  1d4x x 2 arctan 22 1 1xx  2 1 22 1 ln 21  xx 21  xx C x x x x d 1 2 1 2 2 12 1    x x x x d 1 2 1 2 2 12 1      2)(2 1 21 xx )d( 1xx    2)(2 1 21 xx )d( 1xx  注意本题技巧 x x 2 1arctan 22 1 2  C xx xx   12 12ln 24 1 2 2 )0( x 按常规方法较繁 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 64 / 85 按常规方法解:  1d4x x第一步 令 ))((1 224 dxcxbxaxx  比较系数定 a , b , c , d . 得 )12)(12(1 224  xxxxx 第二步化为部分分式 . 即令 )12)(12( 1 1 1 224  xxxxx 1212 22    xx DxC xx BxA 比较系数定 A , B , C , D . 第三步 分项积分 . 此解法较繁 ! 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 65 / 85 作业 请理解课本内容后及时独立地完成如下作业！ P265 4 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 66 / 85 1. 简单无理函数的积分 ,d),(  xbaxxR n 令 n bxat  ,d),(  xxR n dxc bxa 令 n dxc bxat  被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如: ,d),,(  xbaxbaxxR mn ,p bxat 令 ., 的最小公倍数为 nmp 五、其它类型的积分举例 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 67 / 85 例1. 求 .21 d 3  xx 解: 令 ,23  xu 则 ,23  ux uux d3d 2 原式   u1 23u ud u u u d 1 1)1(3 2   u u u d) 1 11(3   3 221u u u 1ln  C 3 2 2 3 )2(  x 3 23  x 3 21ln3  x C 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 68 / 85 例2. 求 .d 3  xx x 解:为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的 最小公倍数 6 , ,6tx  则有 原式   23 tt tt d6 5 t t tt d) 1 11(6 2  6 331 t 221 t t t 1ln  C Cxxxx  )1(ln6632 663 令 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 69 / 85 例3. 求 .d11  xx xx 解:令 ,1 x xt  则 , 1 1 2  tx 22 )1( d2d   t ttx 原式   tt )1( 2 tt t d )1( 2 22   t t t d 1 2 2 2  t2 11ln  tt C x x 12 Cxxx  1122ln 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 70 / 85 2 d ( 0)Mx N x a ax bx c   形如 的积分 2 2 2 d( ) d( ) 2 2 M ax bx c bM xN a aax bx c ax bx c        原式 2 2 2 d( ) 2 2 4 M ax bx c bM xN a a b ba x c a a                 方法: 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 71 / 85 2( ) d ( 0)Mx N ax bx c x a   形如 的积分 2 2 2 d( ) 2 ( ) d 2 M ax bx c ax bx c a bMN ax bx c x a            原式 2 3 2 2 ( ) 3 ( ) d 2 2 4 M ax bx c a bM b bN a x c x a a a               方法: 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 72 / 85 设 )cos,(sin xxR 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示三角函数有理式 , xxxR d)cos,(sin 令 2tan xt  万能代换 t的有理函数的积分 2. 三角函数有理式的积分 则 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 73 / 85 例4. 求 .d )cos1(sin sin1  xxx x 解: 令 , 2 tan xt  则 2 2 2 2 22 cossin cossin2 sin xx xx x  22 2 tan1 tan2 x x  21 2 t t  2 2 2 2 2 2 2 2 cossin sincos cos xx xx x   2 2 2 2 tan1 tan1 x x   2 2 1 1 t t   xd t t d 1 2 2 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 74 / 85   xxx x d)cos1(sin sin1  21 21 t t  21 2 t t  )1( 2 2 1 1 t t   t t d21 2  ttt d 12 2 1       2 1 2 2 1 t t2 tln C  2 tan 4 1 2 x 2 tan x Cx  2 tanln 2 1 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 75 / 85 例5. 求 .)0( cossin d 2222  baxbxa x 解:  原式 x x d2cos 1 222 tan bxa    222 )(tan tand1 a bx x a )tanarctan(1 x b a ba  C 说明: 通常求含 xxxx cossincos,sin 22 及 的积分时, xt tan 往往更方便 . 的有理式 用代换 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 76 / 85 例6. 求 .)0(d )cossin( 1 2  baxxbxa 解法 1 xt tan令 原式  dx 2)tan( bxa  x2cos   2)( d bta t Cbtaa  )( 1 C xbxaa x  )cossin( cos 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 77 / 85 xbxa cossin  解法 2  cos,sin 2222  ba b ba a令   22 ba    xba bx ba a cossin 2222 sin cos 原式   )(cos d1 222 xxba Cx ba  )tan( 1 22  C b ax ba  )arctantan( 1 22 b aarctan 例6. 求 .)0(d )cossin( 1 2  baxxbxa 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 78 / 85 例7. 求 .d sinsin1 cos2cos 42 3   xxx xx 解:令 ,sin xt  原式   xx 42 sinsin1 xxx dcos)2(cos2     xx x 42 2 sinsin1 )1(sin    42 2 1 d)1( tt tt t t t d 1t 1 2 2 12 1       3)( )d( 21 1 t t t t C t t  3 arctan 3 1 1 C x x  sin3 cosarctan 3 1 2 xsind 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 79 / 85 1. 可积函数的特殊类型 有理函数 分解 多项式及部分分式之和 三角函数有理式万能代换 简单无理函数 三角代换根式代换 2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .简便 , 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 80 / 85 如何求下列积分更简便 ? )0(d.1 66 2  axxa x  xxxcossin d.2 3 解: 1.   2323 3 )()( d 3 1 xa x原式 C ax ax a   33 33 3 ln6 1 C ax ax a   33 33 3 ln6 1 2. 原式   xxx xx dcossin cossin 3 22  xx xcossin d  xxx dsincos3  xxtantand  xx3sinsind xtanln Cx  2sin121 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 81 / 85 作业 请理解课本内容后及时独立地完成如下作业！ P266 5((1)~(11),(13)~(24),(26)~(33), (35)(36)(38)) 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 82 / 85 v u 分部积分的表格法 分部积分公式 xvuvuxvu dd   计算格式 : v u    华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 83 / 85 例1. 求  xxI d)ln(sin 解: 令 ,ln xt  则 texex tt dd,  tteI t dsin te tsin te tcos  ttete tt dcossin tsin te    Ittet  )cos(sin CtteI t  )cos(sin 2 1 Cxxx  )]cos(ln)[sin(ln 2 1 可用表格法求 多次分部积分 华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 84 / 85 uexex uu dd,  例2. 求 .d)(ln 43 xxx 解:令 则 原式 ,ln xu   ue3 4u ueu d ueu u d44 4u ue4 34u 212u u24 24 0 ue44 1 ue4 4 1 2 ue4 4 1 3 ue4 4 1 4 ue4 4 1 5      原式 = ue4 4 1 4u 3u 2 4 3u u 8 3 32 3  C   Cxxxxx  32 3ln 8 3ln 4 3lnln 4 1 2344  华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.2) 85 / 85 例3. 求   xbxaeI xk d)cos( 提示:  )cos( bxa  )sin( bxaa  )cos(2 bxaa  xke k 2 1   xke xke k 1