复旦高数 线代模拟题一题目 解答

WeWeWeWe supplysupplysupplysupply success!!!success!!!success!!!success!!! Tel:Tel:Tel:Tel: 55971195559711955597119555971195 55971197559711975597119755971197 www.chabansheng.comwww.chabansheng.comwww.chabansheng.comwww.chabansheng.com Tel:Tel:Tel:Tel: 55971195559711955597119555971195 55971197559711975597119755971197 复旦高数复旦高数复旦高数复旦高数 ++++ 线代模拟试题线代模拟试题线代模拟试题线代模拟试题 1． 2. dx 3. dxdxxx )cottan( 2 0 +∫ π 1 2 0 arctan 1 x x x− ∫ ( )220 ln 1 x x x +∞ + ∫ 4．（ 1）设 f(x)在[a,b]二阶可导，f(a)=f(b),试证： )('2)('')),( ξξξξ ffbba =−∈∃ 使（ （2）设 f(x)在[a,b]连续，（ a,b）可导，f(a)=f(b)=0.试证： 2( , ) '( ) ( ) 0a b f fξ ξ ξ∃ ∈ + =使 （3）设 n 为正整数，f(x)在[0，n]连续,f(0)=f(n).试证： )1()(],,0[1, +=∈+∃ afafnaa 使 （4）设 f(x)在[0，1]连续，f(0)=f(1)。试证： ) 4 1 ()()1,0( +=∈∃ ξξξ ff使 5.k 为何值时，方程组 ①有唯一解 ②无穷多解 ③无解。 有解时，求出 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 4 4 x x kx x kx x k x x kx + + =⎧ ⎪ − + + =⎨ ⎪ − + = −⎩ 所有解. 6.设 A= ， B = P-1A* P.求 B+2E 的特征值和特征向量，其中 A*是 A 3 2 2 0 1 0 2 3 2 , 1 0 1 2 2 3 0 0 1 P ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 的伴随矩阵。 7．讨论级数的绝对收敛性 ( ) 1 2 1 1 tan( 1 ) n n n π ∞ − = − +∑ 8．求幂级数的收敛域和收敛域上的和函数 ( ) ( )1 12 1 1 1 1 1 3 2 1 2 1 4 n n n n n x n n − −−∞ ∞ = = − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠ ∑ ∑ n 并求 的和数 9．求 3xdy-y(1+ +3 sinx)dx=0 的通解xxsin 3y 10．把函数在 展开幂级数 f(x)=0x x= x x − + 1 1 arctan 0 0x = 11.求 f(x,y)=x+y 在 D： 2 2 1x y+ ≤ 下最值 WeWeWeWe supplysupplysupplysupply success!!!success!!!success!!!success!!! Tel:Tel:Tel:Tel: 55971195559711955597119555971195 55971197559711975597119755971197 www.chabansheng.comwww.chabansheng.comwww.chabansheng.comwww.chabansheng.com Tel:Tel:Tel:Tel: 55971195559711955597119555971195 55971197559711975597119755971197 12．求 I= ， 从 oz 轴正向看去 为逆时针（用2 2 2y dx z dy x dz Γ + +∫ 2 2 2 2 2 : ( 0) z R x y x y Rx R ⎧ = − −⎪ Γ ⎨ + = >⎪⎩ Γ Stokes 公式） 13．求 I= 由圆锥面 i∫∫∫ Ω zdv Ω 2 2z x y x= + =2和柱面z 所围 复旦高数+线代模拟题一解答 1.1.1.1. 对 ，奇点为 .2 0 tan xdx π ∫ 2 π 0 0 2 2 ( )sin 2lim tan lim 1 2 cos x x x x x x x π π π π → − → − − − ⋅ = = < +∞ tan 1 2 x π ∴ < 1在[0, )正值连续.q= 2 2 0 tan xdx π ∴∫ 收敛 对 ，奇点为 0.2 0 cot xdx π ∫ 0 0lim cot lim cos 1sinx x x x x x x + +→ → ⋅ = = < +∞ 且cot 0 ] 1 2 x π < 1在（ ， 上连续正值. q= 2 2 0 cot xdx π ∴∫ 收敛 22 2 0 0 cot tan x t xdx xdx π π π− = ∫ ∫ 2 tan2 2 2 40 0 0 0 ( tan cot ) 2 tan 2 4 1 1 x t t u t u x x dx xdx dt du t u π π +∞ +∞= = ∴ + + +∫ ∫ ∫ ∫ 收敛于 2 2 2 2 40 0 02 2 2 2 0 02 2 1 1 1 11 1 2 2 1 11 1 1 1 1 2 ( ) ( ) 1 1 ( ) 2 ( ) 2 u u u u du du du u u u u u d u d u u u u u u u +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ ⎡ ⎤+ −⎢ ⎥+ + − = = +⎢ ⎥ + ⎢ ⎥+ + ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + + + ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ WeWeWeWe supplysupplysupplysupply success!!!success!!!success!!!success!!! Tel:Tel:Tel:Tel: 55971195559711955597119555971195 55971197559711975597119755971197 www.chabansheng.comwww.chabansheng.comwww.chabansheng.comwww.chabansheng.com Tel:Tel:Tel:Tel: 55971195559711955597119555971195 55971197559711975597119755971197 0 0 1 1 21 1 2 1 2 2 arctan ln (0 0) 1 2 2 22 2 2 2 2 22 | | u u u u u u π π π +∞ +∞ ⎡ ⎤ − + −⎢ ⎥ ⎡ ⎤ = + = + + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥+ + ⎢ ⎥⎣ ⎦ 2222. 0 1x< ≤ 1 1 2 2 00 1 arctan arctan( ) 1 | y y dy x xy x y x x = = = = +∫ 0 1 : 0 1 x D y < ≤⎧ ⎨ ≤ ≤⎩ 1 1 1 1 1 2 22 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 arctan 11 1 (1 ) 1 (1 ) 1 D x dx dy dxdy dx dx dy x y x x x x y x x y x ∴ = = = +− − + − + − ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ I(y)= 1 sin 2 2 2 2 2 22 2 20 0 0 1 1 1 sin 1 cos(1 ) 1 x t dx dt dt y t y t x y x π π = = + ++ − ∫ ∫ ∫ = 2 2 2 2 2 2 2 2 02 20 0 tan 1 1 arctan tan (tan 1 )cos tan 1 21 1 |dt d t t t y t y y y π π π π = = = + + + + + + ∫ ∫ 1 12 02 1 ln( 1 ) ln(1 2) 2 2 21 |dy y y y π π π ∴ = + + = + + ∫0原式= 3333.f(x)= 2 2 2 2 0 0 ln ln 0 (0 ) lim lim ln 0 (1 ) (1 )x x x x x x f x x x x + + + → → ∞ = = = + + 在（ ，＋ ）连续， x=0不是 f(x)的奇点 0 ( )f x dx +∞ ∴∫ 为无穷限广义积分 x>1时，f(x)>0. 4 2 2 2 1 ln ln ( ) lim lim lim 0 (1 ) 1x x x x x x x x f x x x x →+∞ →+∞ →+∞ = ⋅ = = = + 2 1P∴ = > 0 0 ( ) I= ( ) .f x dx f x dx +∞ +∞ ∴∫ ∫收敛，从而 存在 1 0 2 2 2 2 20 02 2 1 1 lnln 1 ln 1(1 ) (1 )(1 ) x t x x t t t t I dx dt dt I x t t t =+∞ +∞ +∞ ⎛ ⎞ ∴ = − = − = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠+ ∫ ∫ ∫ 0I∴ = 4. 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ： (1) ( , ) ( ) ''( ) 2 '( ) 0a b b x f x f xξ ∈ − − =满足 WeWeWeWe supplysupplysupplysupply success!!!success!!!success!!!success!!! Tel:Tel:Tel:Tel: 55971195559711955597119555971195 55971197559711975597119755971197 www.chabansheng.comwww.chabansheng.comwww.chabansheng.comwww.chabansheng.com Tel:Tel:Tel:Tel: 55971195559711955597119555971195 55971197559711975597119755971197 积分因子： 2 ''( ) '( ) 0.f x f x b x − = − 2 2( ) dx b x e b x − −∫ = − 左式====2( ) ''( ) 2( ) '( ) 0b x f x b x f x− − − = '2( ) '( )b x f x⎡ ⎤−⎣ ⎦ 令 2( ) ( ) '( )F x b x f x= − ( ) 0F b = ( )F a 未知. 0( ) ( ) '( ) 0f a f b f ξ= ⇒ = 0'( ) 0F ξ = F(x)在 0[ , ]b Rolleξ 上用 定理即可得 (2) 积分因子：( , ) '( ) ( ) ( ) 0a b f x f x f xξ ∈ + =满足 ( ) x a f x dx e ∫ ( ) ( ) ( ) x a f t dt F x e f x ∫∴ = ⋅ ( ) ( ) 0 '( ) 0F a F b F ξ= = ⇒ = （3） [0, 1] ( ) ( 1) 0a n f x f x∈ − − + =满足 ( ) ( ) ( 1)F x f x f x= − + (0) (0) (1)F f f= − ( 1) ( 1) ( ) ( 1) (0)F n f n f n f n f− = − − = − − ( ) [0, ] ( ) [0, 1]f x n F x n −Q 在 连续， 在 连续，从而有最大值M,最小值m 0、1、2、、、 n-1k∀ = ( ) ( ) ( 1)m F k f k f k M≤ = − + ≤ 0 1 ( ) (0) ( ) 0 n k m F k f f n M n = ≤ = − = ≤∑ [0, 1]a n∴∃ ∈ − 1 [0, ] ( ) 0a n F a+ ∈ =使 (4) 1 (0,1) ( ) ( ) 0 4 1 3 ( ) ( ) ( [0, ] M 4 4 f x f x F x f x f x ξ ∈ − + = = − + 满足 )在 连续，具有最大值 ，最小值m 1 1 1 1 (0) ( ) ( ) ( ) (0) (1) 0 4 4 2 4 m F F F F f f M ⎡ ⎤ ≤ + + + = − = ≤⎢ ⎥⎣ ⎦ 5. WeWeWeWe supplysupplysupplysupply success!!!success!!!success!!!success!!! Tel:Tel:Tel:Tel: 55971195559711955597119555971195 55971197559711975597119755971197 www.chabansheng.comwww.chabansheng.comwww.chabansheng.comwww.chabansheng.com Tel:Tel:Tel:Tel: 55971195559711955597119555971195 55971197559711975597119755971197 2 32 1 3 1 2 2 2 1 ×( ) 22 2 1 21 1 4 1 1 4 10 0 ( | ) 1 1 0 1 1 4 01 1 4 2 1 12 4 0 2 2 8 00 4 3 2 2 2 r rr r r r r k k k k B A b k k k k k k k k k k ↔+ − − ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = − + + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − −⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟− +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ v ① k≠-1、4 R(A)=R(B)=3. 有唯一解。 3 2 1 2 ( 2) ( 2) , 4 , 1 1 1 k k k k k x x x k k k − − + = = + = + + + ② k=-1 R(A)=2 > > + + + + + + 1tan 2 n n x U U π +∴ ↑ ∴ >在（0，）上 ， ( ) 0nU∴ ↓ n n U ∞ = ∑ 收敛，从而条件收敛 8. 求收敛域： 1 2 1 1 2 1 1 ( 1) ( 1) 2 1 2 1 n n n n n n x x n n − − −∞ ∞ = = − − − − ∑ ∑和 收敛域相同 , , 1 2 1 2 1 1 ( 1) ( 1) 2 1 2 1 n n n n n n x t x t n n − −∞ ∞ = = − − = − − ∑ ∑ 1( 1) 2 1 n n a n −− = − 1 1 1 1 (2 ) n n n n a n n → − n→∞ 1 1 1 1 1 1, 1, , 0, ( ) 12 1 2 1 2(2 ) t n n n R t U U n n n n n n ∞ = − ∴ = = − = > = →∞ − − − ∑ 1 1 n n ∞ = ∑Q 发散 ∞ ∞ ∴ ∑ ∑ n＝1 n＝1 1 -1正项级数 发散从而 发散 2n-1 2n-1 ⅰ)1,t ∞ = ∑ n-1 n＝1 (-1) 由上可知绝对发散 2n-1 ∞ ∑ n-1 n＝1 (-1) 为交错级数 2n-1 ⅱ) ⅲ) 1 lim 0 2 1x n→∞ = − 1 1 1 2 1 2 1n n U U n n += > =− + { } 0 n U∴ ↓ 1 1 ( 1) 2 1 n eibniz n −∞ − ∴ − ∑ n＝ 由L 判别法， 收敛从而条件收敛 收敛域为 从而 收敛域为∴ 1 1 ( 1) 2 1 n n n t n −∞ = − − ∑ 1 1t− < ≤ 2 1 1 ( 1) 2 1 n n n x n −∞ = − − ∑ 21 1t x− < = ≤ 求收敛域上的和函数： 1 2 1 1 ( 1) 1 ( ) 2 1 n n n x S x x n −∞ − = − ≤ = − ∑设 时， WeWeWeWe supplysupplysupplysupply success!!!success!!!success!!!success!!! Tel:Tel:Tel:Tel: 55971195559711955597119555971195 55971197559711975597119755971197 www.chabansheng.comwww.chabansheng.comwww.chabansheng.comwww.chabansheng.com Tel:Tel:Tel:Tel: 55971195559711955597119555971195 55971197559711975597119755971197 ( ) ( ) '1 12 1 2 21 1 2 1 n n n n x x n − −− − ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ 1 2 2 2 1 1 ( 1) , 1 1 n n n x x x ∞ − − = − = < + ∑ 1 1 2 2 2 1 0 1 1 ( 1) 1 ( 1) . arctan 2 1 n x n n n n n x dt t dt x x n −∞ ∞ − − − = = − < = − ∴ = − ∑ ∑∫ ∫ x 20 1时， 1+t 1 2 1 1 ( 1) 1 . ( ) 1 1 2 1 n n n x x S x x x n −∞ − = − = ± ∴ = = − − ∑ 在 收敛 在 左连续， 右连续. ,( ) ( ) 1 0 1 1 0 lim arctan 4x S S x π → − = − = = 1 0 ( 1) ( 1 0) lim arctan 4x S S x π →− + − = − + = = − 1 2 1 1 ( 1) 1 arctan 2 1 n n n x x x n −∞ − = − ∴ ≤ = − ∑时， 1 1 ( 1) 3 ( ) 2 1 4 n n n n −∞ = − − ∑ 的和数 1x ≤ 1 2 1 ( 1) arctan 2 1 n n n x x x n −∞ = − = − ∑ 令 1 1 3 ( 1) 3 3 3 [ 1,1], arctan 2 2 1 4 2 2 n n n x n −∞ = − ⎛ ⎞= ∈ − =⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ∑ 9. , ( )31 sin 3 sin 3 y x x y x dy dx x + + = 4 1 sin sin 3 dy x x x y y dx x x + − = ,3 4 1 1 sin sin 3 dy x x x y y dx x x −+− = 3 31 1 sin sin 3 3 dy x x x y dx x x − −+− − = 3 31 sin 3sindy x x x y dx x x − −+ −+ = 1 sin 1 sin ln cos cos 3 cos cos cos 1 3sin 3sin 3 3 x x x x dx dx x x x x x x x x x x e e dx c e xe dx c y x x e c e c e x x x + + − − + − − ⎡ ⎤− −⎡ ⎤∫ ∫= + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎡ ⎤= − + = − +⎣ ⎦ ∫ ∫ 10. 2 2 0 1 '( ) ( 1) 1 n n n f x x x ∞ = = = − + ∑ 1x < (0) arctan1 4 f π = = WeWeWeWe supplysupplysupplysupply success!!!success!!!success!!!success!!! Tel:Tel:Tel:Tel: 55971195559711955597119555971195 55971197559711975597119755971197 www.chabansheng.comwww.chabansheng.comwww.chabansheng.comwww.chabansheng.com Tel:Tel:Tel:Tel: 55971195559711955597119555971195 55971197559711975597119755971197 2 1 0 1 f(0) '( ) ( 1) 4 2 1 n x n n x x f t dt n π +∞ = < = + − + ∑∫0时，f(x)= + ( 1) 1 1 1 1 1 lim 0, , 0 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 n x x n n n n n ∞ →∞ ± − ⎧ ⎫= ± = > ↓⎨ ⎬ + + + + +⎩ ⎭ ∑Q n=0 时， 为交错级数. 2 1 ( 1) 1 f(x) arctan 1 1 2 1 1 ( 1) 1 1 2 1 n n n x x x n x x x n π ∞ ∞ + ± − + ∴ = = − = + − − ∴ ≤ < + + ∑ ∑ n=0 n=0 收敛. 又 在 右连续， 不连续 － 时f(x)= 4 11. 第一步：求 2 2 1 0 ( , ) D 1, , 1 0 x y f f x y x y x y f = ≠⎧⎪ = + + < ⎨ = ≠⎪⎩ 在 内部， 驻点 无驻点 第二步：求 2 2( , ) D : 1f x y x y x y= + ∂ + =在 下驻点 L= 2 2( 1)x y x yλ+ + + − 2 2 1 2 0 1 2 0 , 1 x y L x L y x y x y λ λ ⎧ ⎫= + = ⎪ ⎪ = + =⎨ ⎬ ⎪ ⎪ + =⎩ ⎭ 找 关系 1 1 0. 0, 2x x y λ λ≠ ≠ − = = 2 2 2 2 2 . , , , 2 2 2 2 2 x y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ± − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 驻点 2 2 , 2 2 x y= = 2 2 2, , , 2 2 2 f x y f= = − = − = − 连续函数 在有界闭区域上必有最大值和最小值( , )f x y x y= + 2 2 2 2 2 2 x y x y∴ = = = = −时有最大值 ， 时有最小值- 12. 2 2 2 2 2 2: ( 0)z R x y y z R z= − − + + = ≥∑ 2即x 上侧 正向法向量2: xy y RxΓ + ≤2x ( , , )x y z∀ ∈∑ { }, ,x y z 单位法向量 { } { }1 , , cos ,cos ,cosn x y z R α β γ= = v WeWeWeWe supplysupplysupplysupply success!!!success!!!success!!!success!!! Tel:Tel:Tel:Tel: 55971195559711955597119555971195 55971197559711975597119755971197 www.chabansheng.comwww.chabansheng.comwww.chabansheng.comwww.chabansheng.com Tel:Tel:Tel:Tel: 55971195559711955597119555971195 55971197559711975597119755971197 1 2 2 2 2 ( )I zdydz xdzdx ydxdy xz xy yz ds R = − − − = − + + ∑ ∑ ∫∫ ∫∫ 2 xzds R − ∑ ∫∫对称性 2 2 2: z R x y= − −∑ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 xy x y R R ds z z dxdy x R x y dxdy R R x y R x yΓ = + + = = − − − − − − − ∫∫ cos 32 0 0 4 cos 4 R d r rdr R π θ π θ θ= − = −∫ ∫ 13. 在 上求交点0y = 2 z x x z =⎧ ⎨ =⎩ 1 1 0 0 x z =⎧ ⎨ =⎩ 2 2 1 1 x z =⎧ ⎨ =⎩ ， 2 2 2 : z x z x y ⎧ =⎪ Γ ⎨ = +⎪⎩ 2 2 x y x xoy+ = Γ是 关于 平面的投影柱面 2 2 0z xoy x y x =⎧ Γ⎨ + =⎩ 是 在 平面上的投影曲面 2 2 2 2 cos 2 42 2 0 0 2 1 ( ( )) 2 1 1 ( cos ) cos 2 12 64 xy xy x x y I dxdy zdz x x y dxdy d r r rdr d π π θ π π θ θ θ θ + Γ Γ − = = − + = − = = ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫