实验 5 利用 MATLAB 设计状态观测器

实验 5 利用 MATLAB 设计状态观测器 5.1 实验设备 同实验 1。 5.2 实验目的 1、学习观测器设计算法； 2、通过编程、上机调试，掌握基于观测器的输出反馈控制系统设计方法。 5.3 实验原理说明 5.3.1 全阶观测器设计 考虑如下的线性时不变系统 ⎩⎨ ⎧ = += Cxy BuAxx& (5.1) 其中： 和 分别是系统的 维状态向量、m维控制输入向量和 维测量输出向量， 和 是已知的适当维数常数矩阵。根据系统模型（5.1）和输入输出信息来人为地构 造一个系统，使得其输出 随着时间的推移逼近系统的真实状态 ，即 ux, y pn CBA, )(~ tx )(tx 0)]()(~[lim =−∞→ ttt xx 通常称 为 的重构状态或状态估计值，而这个用以实现系统状态重构的系统为状态 观测器。 )(~ tx )(tx 龙伯格观测器具有以下结构： u C y L x~ y~ － Cxy BuAxx = +=& BuxAx += ~~& 图 5.1 状态估计的闭环处理方法 其中的矩阵 是误差信号的加权矩阵。观测器模型是 L LyBuxLCA xCyLBuxAx ++−= −++= ~)( )~(~~& (5.2) 其中： 是观测器的 维状态，L 是一个x~ pn× 维的待定矩阵。 n xxe ~−= 的动态方程： 状态估计误差 eLCA LCxxLCAAx LyBuxLCABuAx xxe )( ~)( ~)( ~ −= −−−= −−−−+= −= &&& (5.3) 16 LCA −根据线性时不变系统的稳定性结论，若矩阵 的所有特征值均在左半开复平面中，即 矩阵 的所有特征值都具有负实部，则误差动态系统（5.3）是渐近稳定的，从而对 任意的初始误差 ，随着时间 LCA − )0(e ∞→t ，误差向量 都将趋向于零。即无论系统的初始状 态 是什么，状态估计模型（5.2）的初始状态 可以任意选取，随着时间的推移，状 态估计模型（5.2）的状态 )(te )0(~x)0(x x~ 将趋于系统的实际状态，从而实现系统状态的重构。由此可见， 只要通过适当选取矩阵 ，使得矩阵 LCA −L 的所有特征值都具有负实部，则状态估计模 型（5.2）就是系统（5.1）的一个状态观测器。 由极点配置和观测器设计问题的对偶关系，也可以应用 MATLAB 中极点配置的函数来 确定所需要的观测器增益矩阵。例如，对于单输入单输出系统，观测器的增益矩阵可以由函 数 L=(acker(A’,C’,V))’ 得到。其中的 V 是由期望的观测器极点所构成的向量。类似的，也可以用 L=(place(A’,C’,V))’ 来确定一般系统的观测器矩阵，但这里要求 V 不包含相同的极点。 5.3.2 降阶观测器设计 假定系统（5.1）的矩阵C具有形式 ]（对一般结构的矩阵 ，需要作适当的变换）。 根据矩阵C的结构，将系统状态 分划成两部分： C1[ 0 x ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= b ax x x 其中的 是一个标量。由 ax a b a x x y =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡== x Cx ]01[ 可知： 恰好是系统的输出，它能被直接测量得到。 是bxax 1−n 维向量，是状态向量中不能 直接测量的部分。将状态空间模型（5.1）中的矩阵 和 作相应的分块，则该状态空间模 型可以写成 A B u B B xAA A x ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ b a b a bbba abaa b a xAx & & （5.4） 其中的 是要估计的状态，将已知信号和未知信号分离，可以得到 bx babaaaaa bababbbb xAx x xAuB uBΑxAx =−− ++= & & )( 进而，将其和全阶观测器设计时的标准模型（5.2）相比较，可得以下对应项之间的关系： 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 5.1 状态空间模型的对应关系 全阶观测器 降阶观测器 bx ~x~ bbA A uBA baba x + Bu y uBaaaaa xAx −−& 17 abA C L 1)1( ×−n 维矩阵） （L（ 维矩阵） 1×n 根据上表给出的对应关系及全阶观测器的模型 yLBuxLCAx ++−= ~)(~& 可以得到估计不可直接测量状态 的观测器 bx )(~)(~ uBLuBAxLAAx aaaaababababbbb xAxx −−+++−= && （5.5） 然而，方程（5.5）还不是所要的降阶观测器。因为在方程（5.5）中，用到了 的微分。 由于 就是测量输出信号，而测量信号往往含有噪声和误差，对这样的信号进行微分会放 大噪声和误差，这在实际应用中是应该避免的。因此有必要消除式（5.5）中的 。 ax ax ax& 通过将式（5.5）中的微分项放在一起可以克服上面讲到的困难，即得到： x L (A LA )(x L ) [(A LA )L A L ] (B LB )u b bb ab b bb ab ba aa b a y y− = − − + − + − + − &% & % A y （5.6） 定义 FLBB BLALA ALAA wLx wLx ˆ ˆˆ ˆ ~~ =− =−+ =− =− =− ab aaba abbb b b A y y 则式（5.6）可以写成 uFBwAw ˆˆ~ˆ~ ++= y& （5.7） 式（5.7）就是要设计的降阶观测器，不可直接测量的状态分量 的估计量由下式给出： bx yb Lwx += ~~ 由于 y y yx b a ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= L w ILwx x 1~0 ~~ ~ 记 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= I C 0ˆ ， ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= L D 1ˆ 则 yDwCx ˆ~ˆ~ += w~ x~y 。 上式用降阶观测器的状态 和测量值 给出了系统状态 的估计值x 基于状态估计值的反馈控制器是 u Kx K w (K K L)b a b y = − = − − + % % 因此，基于降阶观测器的输出反馈控制器是 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ +−−= +−+−= y y bab bab )(~ )](ˆˆ[~)ˆˆ(~ LKKwKu LKKFBwKFAw& （5.8） 18 基于降阶观测器的输出反馈控制系统结构图如下： ٛ∫ A ٛ∫ B -K C u x y Fˆ Aˆ BˆCˆ Dˆ x~ w~ 降阶观测器 图 5.2 基于降阶观测器的反馈控制系统 wwxxe ~~ −=−= bb 满足方程 容易证明，误差向量 eLAAe )( abbb −=& （5.9） 因此，若 完全能观，则一定可以通过选取一个适当的矩阵L ，使得误差动态系 统（5.9）具有任意给定的极点，这样的矩阵L 可以应用全阶观测器的设计方法来设计。矩 阵 也称为是系统的降阶观测器增益矩阵。 ),( bbab AA L 对于降阶观测器的设计，使用 MATLAB 软件中的函数 L=(acker(Abb’,Aab’,V))’ 或 L=(place(Abb’,Aab’,V))’ 可以得到观测器的增益矩阵 。其中的 V 是由降阶观测器的期望极点所组成的向量。 L 5.4 实验步骤 1、基于观测器的输出反馈控制系统的设计，采用 MATLAB 的 m-文件编程； 2、在 MATLAB 界面下调试程序，并检查是否运行正确。 例 5.1 给定线性定常系统 [ ]xy uxx 001 244.1 0 0 145.33965.0244.1 100 010 = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − =& 3551 j+−=μ试应用 MATLAB 软件，设计一个全维观测器，使得观测器极点是 ， 3551 j−−=μ 103 −=μ 。 ， 配置全阶观测器极点的M-文件为： a=[0 1 0;0 0 1;1.244 0.3965 -3.145]; 19 b=[0;0;1.244]; c=[1 0 0]; v=[-5+j*5*sqrt(3) -5-j*5*sqrt(3) -10]; l=(acker(a',c',v))' 执行以上程序可得： 16.855 147.3875 544.3932 L ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 相应的全维观测器是： ( )x A LC x Bu Ly= − + +&% % [ ] 0 1 0 16.855 0 16.855 0 0 1 147.3875 1 0 0 0 147.3875 1.244 0.3965 3.145 544.3932 1.244 544.3932 x u y ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢= − + +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎝ ⎠ % ⎤⎥⎥⎥⎦ 16.855 1 0 0 16.855 147.3875 0 1 0 147.3875 543.1492 0.3965 3.145 1.244 544.3932 x u y −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ % ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 例 5.2 考虑例 5.1 给出的系统。假设输出 y 可准确量测。试应用 MATLAB 软件，设计一个 降阶观测器，使得其极点是 3551 j−−=μ3551 j+−=μ , 。 1y x=由于输出 可准确量测，同时y ，因此可得： 0 1.244ba A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ 0 1 0.3965 3.145bb A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦[ ]0aaA = [ ]1 0abA = ， ， ， 0 1.244b B ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦0aB = ， 执行以下的M-文件： Aaa=[0]; Aab=[1 0]; Aba=[0;1.244]; Abb=[0 1;0.3965 -3.145]; Ba=[0]; Bb=[0;1.244]; v=[-5+j*5*sqrt(3) -5-j*5*sqrt(3)]; l=(acker(Abb',Aab',v))' Ahat=Abb-l*Aab Bhat=Ahat*l+Aba-l*Aaa Fhat=Bb-l*Ba 可得： 20 6.855 78.8375 L ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦， ， 6.855 1ˆ 78.441 3.145 A −⎡ ⎤= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ 31.8465ˆ 784.4132 B ⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦， 0ˆ 1.244 F ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ 即所设计的降阶观测器为： 6.855 1 31.8465 0ˆ ˆ ˆ 78.441 3.145 784.4132 1.244 w Aw By Fu w y u −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= + + = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ &% % % ⎤⎥⎦ 5.5 实验要求 在运行以上例程序的基础上，考虑图 5.3 所示的调节器系统，试针对被控对象设计基于 全阶观测器和降阶观测器的输出反馈控制器。设极点配置部分希望的闭环极点是 3222,1 j±−=λ ，希望的观测器极点是 81 −=μ 82 −=μ（a） 对于全阶观测器， ； 和 8−=μ 。 （b） 对于降阶观测器， 比较系统对下列指定初始条件的响应： （a） 对于全阶观测器： 0)0(,1)0(,0)0(,1)0( 2121 ==== eexx （b） 对于降阶观测器： ,1)0(,0)0(,1)0( 121 === exx 进一步比较两个系统的带宽。 4 ( 2)s s + yy−0r = − 控制器 u 图 5.3 调节器系统 21