第二章 第二章 2.1 判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。 （1）x(n)=Acos( ) （2）x(n)= （3）x(n)=Asin( ) 解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos( )，得出 。因此 是有理数，所以是周期序列。最小周期等于N= 。 （2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ ]n,得出 。因此 是无理数，所以不是周期序列。 （3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos( )，又x(n)=Asin( )＝Acos( )＝Acos( )，得出 。因此 是有理数，所以是周期序列。最小周期等于N= 2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。 解 利用线性卷积公式 y(n)= 按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。 (a) y(0)=x(O)h(0)=1 y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3 y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n≥2 (b) x(n)=2 (n)- (n-1) h(n)=- (n)+2 (n-1)+ (n-2) y(n)=-2 (n)+5 (n-1)= (n-3) (c) y(n)= = = u(n) 2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)= u(n)*u(n) 解：(1) y(n)= = =(n+1),n≥0 即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)= = = ,n≥0 即y(n)= u(n) 2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h (n)和h (n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h (n)= (n)- (n-4), h (n)=a u(n),|a|<1,求系统的输出y(n). 解 (n)=x(n)*h (n) = [ (n-k)- (n-k-4)] =u(n)-u(n-4) y(n)= (n)*h (n) = [u(n-k)-u(n-k-4)] = ,n≥3 2.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a u(-n),0
1时才是稳定系统。 (3) 因为在n
表
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示成 (1-D)h(n)=(1+D)δ(n) 由此得到 h(n)=[(1+ D)/(1- D)]δ(n) =[1+D+ D2+ ( )2 D3+…+( )k-1 D3+…] δ(n) =δ(n)+ δ(n-1)+ δ(n-2)+ δ(n-3)+... +( )k-1δ(n-1)+… =δ(n)+ ( )nu(n-1) 2）将 代入 得到 （3）由（2）得出 （4）由（3）可知 故： 2.15 某一因果线性非移变系统由下列差分方程描述 y(n)-ay(n-1)=x(n)-bx(n-1) 试确定能使系统成为全通系统的b值（b≠a），所谓全通系统是指其频率响应的模为与频率 无关的常数的系统。 解：令x(n)= (n),则 h(n)=ah(n-1)= (n)-b8(n-1) 或 h(n)=ah(n-1)+ (n)- (n-1),n≥0 由于是线性的非移变系统，故对上式递推计算得出： h(-1)=0 h(0)=1 h(1)=ah(0)-b (0)=a-b h(2)=ah(1)= -ab h(3)=ah(2)= - b h(n)=ah(n-1)= - b,n≥0 h(n)= u(n)- bu(n-1) 或系统的频率特性为 H( )= = = = 振幅的特性平方 = = = = 若选取a＝ 或b＝ ，则有|H(e )| =|b| ,即幅度响应等于与频率响应无关的常数，故该系统为全通系统。 2.16 (1)一个线性非移变系统的单位冲激响应为h(n)=a u(n),其中a为实数，且00时，x(n)是因果序列，收敛域为0<｜z｜≤∞，无零点，极点为0(m阶); 当m<0时，x(n)是逆因果序列，收敛域为0≤｜z｜≤∞，零点为0(m阶)，无极点; 当m=0, X(z)＝1，收敛域为0≤｜z｜≤∞，既无零点，也无极点 （2）X(z)＝ u(n)z-n= = X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为R 的圆的外部区域，这里 R ＝ ＝ τ（n）还是因果序列，可以有｜z｜＝∞，故收敛域为 <｜z｜≤∞。零点为0，极点为 。 X(n)还是因果序列，可以有｜z｜＝∞，故收敛域为 <｜z｜≤∞。零点为0，极点为 。（3）x(z)= = = = = = X(n)是左边序列，它的Z变换的收敛域是半径围 +的圆的内部区域，这里 += = = 还是逆因果序列，可以有 ，故收敛域为 零点为0，极点为 。 (4)X(z)＝ z-n = z-n= X(n)是有限长序列，且它的Z变换只有负幂项，故收敛域为0<｜z｜≤∞.零点为0和 （10阶），极点为 。 （5） ＝ ＋ ＝ ＝ 是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为 的圆的外部区域，这里 ＝ ＝ ＝1 还是因果序列，可以有 ，故收敛域为 ，零点为0和 ，极点为 和 。 2.20求下列序列的Z变换和收敛域和零极点分布图 (1) x(n)=a ,0 （3）X(Z)= ,|Z|>|a | 解（1）采用幂级数法。由收敛域课确定x （n）是左边序列。又因为 ＝1为有限值，所以x （n）是逆因果序列。用长除法将X （z）展开成正幂级数，即 最后得到 x （n）＝-2（-2） ，n＝-1，-2，-3…… 或 x （n）＝ （2）采用部分分式展开法。将X (z)展开陈部分分式 其中 由收敛域可确定X (n)式右边序列。又因 ＝1，所以X (n)还是因果序列。用长除法分别将 展开成负幂级数，即 ＝4[ ] = =-3[ ] = 由上两式得到 （3）采用留数定理法。围线积分的被积函数为 当n>0时，由给定的收敛域可知，被积函数在围线之内仅有一个极点 ，因此 当n=0时，被积函数在围线之内有两个极点 和z＝0，因此 当n<0时，因为 在围线之外无极点，且 在z＝ 处有1－n≥2阶极点，所以有 ＝0，n<0 最后解得 2.22 求下列Z变换的逆变换 (1)X（z）= ，1<|z|<2 (2)X(z)= ,0.5<|z|<2 (3)X(z)= ,|z|> (4)X(z)= ,|a|<|z|<|b| 解 （4） 采用部分分式法 根据收敛域 和 分别对应一个因果序列和逆因果序列。将它们分别展开成 的负幂级数和正幂级数，即 最后得到 用留数定理法,被积函数 根据收敛域 可知,对应的是一个双边序列.其中 对应于一个因果序列 , 即n<0时, 时,被积函数有1个极点0.5在围线内,故得 |z|<2对应于一个逆因果序列，即n 0时，x(n)=0;n<0时，被积函数在围线外有1个极点2，且分母多项式的阶比分子多项式的阶高2－（n＋1）＝1-n 2，故得 最后得到 或 采用留数定理法，被积函数 根据收敛域 可以知道，对应的序列是一个因果序列。即n<0时， 在 时，在 时，被积函数在积分围线内有1个2阶极点 ，因此 最后得到 或 （7） 由收敛域可知，对应的是一个双边序列。将 进行部分分式分解，即 = 其中 对于 ，收敛条件|Z| 表明它对应于一个右边序列；又因 =1有限值，所以 应于一个逆因果序列 。用长除法将 展开成 的正幂级数，即 由此得到 对于 ，收敛条件|Z|1。这样， 的收敛域应为|z|>1，而 的收敛域为|z|>a。这意味着 和 都对应于因果序列，因此可用长除法分别将 和 展开成z的负幂级数，即 由上二式得到 ， 最后得到 2.29(1)因为系统是因果的，所以收敛域为 ；为使系统稳定，必须要求收敛域包含单位圆，即要求 。极点为 ，零点为 ，收敛域 。极－零点图和收敛域示于图1.7。 (2) 因此得到 ，即系统的幅度特性为一常数，所以该系统是一个全通系统。 2.30(1)根据极－零点图得到x(n)的Z变换 因傅里叶变换收敛，所以单位圆在收敛域内，因而收敛域为 。故x(n)是双边序列。 (2)因为x(n)是双边序列，所以它的Z变换的收敛域是一个圆环。根据极点分布情况，收敛域有两种可能： 或 。 采用留数定理法求对应的序列。被积函数为 对于收敛域 ，被积函数有1个极点 在积分围线内，故得 被积函数有2个极点 和 在积分围线外，又因分母多项式的阶比分子多项式的阶高 (因n<0)，故 最后得到 或 对于收敛域 ，被积函数有2个极点 和 在积分围线内，故 被积函数有1个极点 在积分围线外，又因分母多项式的阶比分子多项式的阶高 (因n<0)，故 最后得 2.31因系统稳定，所以单位圆必须在收敛域内。由于系统的极点为 ，所以收敛域为 。因 ，故该系统不是因果系统。 2.32(1) ， 所以系统函数为 频率响应为 (2)由 可写出系统的差分方程 (3)当x(n)为单位阶跃序列时，将 代入 ，得到 采用部分分式法： 其中 由 ， 得到 由 ， 得到 因此系统的单位阶跃响应为 2.33(1)求差分方程两边的z变换 由上式得到系统函数 求系统函数的零点和极点 其中，零点为0；极点为 和 。由此可画出极－零点图，如图1.9所示。已知系统为因果系统，因此收敛域为 。 (2)采用留数定理法。由 (收敛域为 )计算单位取样响应 (3)要使系统稳定，单位圆必须在收敛域内，即收敛域应为 ，这是一个双边序列。 采用部分分式法将系统函数分解为 其中 由 计算单位取样响应 。因收敛域为 ，故 为左边序列，又因 为有限值，故 还是逆因果序列。采用留数定理法，被积函数 ，当n<0时，极点 在积分围线外，且被积函数的分母与分子多项式阶数之差为 (因n<0)，因此有 由 计算单位取样响应 。因此收敛域为 ，故 为右边序列，又因 为有限值，故 还是因果序列。采用留数定理法，被积函数 ，当 时积分围线内有唯一的极点， ，因此有 最后得到满足题给差分方程的一个稳定但非因果的系统，它的单位取样响应为 2.34(1)求差分方程两边的Z变换 由上式得到系统函数 系统函数的零点： ；极点： ， 。系统单位取样响应的3种可能选择方案如下(参考图1.10所示的极－零点图)。 收敛域取为 ，系统是因果的，但不是稳定的。得到系统的单位取样响应为 收敛域为 ，系统是稳定的，但不是因果的。得到系统的单位取样响应为 收敛域取为 ，系统既不是稳定的，又不是因果的。因收敛域为 ，故 为左边序列，又因 为有限值，故 还是逆因果序列。采用留数定理法，被积函数 ，当n<0时极点 和 都在积分围线外，且被积函数的分母与分子多项式阶数之差为2-n>2(因n<0)，因此有 (4)验证每一种方案都满足差分方程：前面已经由差分方程求得系统函数 ，故只要验证每一种方案的系统函数即可。 （1） （2） （3） 2.35 极点为3， 。系统稳定，单位圆在收敛域内，即 ，对应于双边序列。 其中 ， 由收敛域 知 为左边序列，由 为有限值知 是逆因果序列。采用留数定理法，被积函数 ，当n<0时极点3在积分围线外，且被积函数的分母与分子多项式阶数之差为 (因n<0)，因此有 由收敛域 知 为右边序列，因 为有限值，故 是因果序列。采用留数定理法，被积函数 ，当 时积分围线内有唯一的极点 ，因此 最后得到 2.36(1)根据差分方程可画出系统的框图，如图1.11所示。 (2)求差分方程两边的Z变换 由上式得到系统函数 其中，极点： ， 的Z变换为 ，因此可以得到 因为是因果系统，故收敛域为 ，且有 ， 。对于 ，采用留数定理法求 逆Z变换，被积函数 在积分转线内有3个极点： ， ， 。因此有
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