null第三节第三节齐次方程 一、齐次方程*二、可化为齐次方程 第七章 一、齐次方程一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程 .令代入原方程得两边积分, 得积分后再用代替 u,便得原方程的通解.解法:分离变量: 例1. 解微分方程例1. 解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)( C 为任意常数 )例2. 解微分方程例2. 解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了. 例3. 探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面, 它的形状由例3. 探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面, 它的形状由由光的反射定律:可得 OMA = OAM = 解: 将光源所在点取作坐标原点, 并设入射角 = 反射角能的要求, 在其旋转轴 (x 轴)上一点O处发出的一切光线，从而 AO = OMxOy 坐标面上的一条曲线 L 绕 x 轴旋转而成 , 按聚光性而 AO 于是得微分方程 : 经它反射后都与旋转轴平行. 求曲线 L 的方程.null积分得故有得 (抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程) 说明:说明:顶到底的距离为 h ,则将这时旋转曲面方程为若已知反射镜面的底面直径为 d ,代入通解
表
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达式得作业 *二、可化为齐次方程的方程*二、可化为齐次方程的方程( h, k 为待 作变换原方程化为 令 , 解出 h , k (齐次方程)定常数), null求出其解后, 即得原方 程的解.原方程可化为 令(可分离变量方程)注: 上述
方法
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可适用于下述更一般的方程 例4. 求解例4. 求解解:令得再令 Y＝X u , 得令积分得代回原变量, 得原方程的通解:null得 C = 1 ,故所求特解为思考: 若方程改为 如何求解? 提示:作业作业
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3 ; *4 (4)第四节
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