初中数学
初中数学教师发展规划初中数学教师年度考核初中数学的教学计划初中数学有理数计算题初中几何辅助线秘籍
竞赛辅导资料（10） 初中数学竞赛辅导资料（10） 二元一次方程的整数解 甲内容提要 1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中， 若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即 如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解 显然a,b互质时一定有整数解。 例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。 2， 二元一次方程整数解的求法： 若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。 方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解 解：x= = (1) , 设 是整数），则y=1-5k (2) , 把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2 ∴原方程所有的整数解是 （k是整数） 方法二，公式法： 设ax+by=c有整数解 则通解是 （x0,y0可用观察法） 3， 求二元一次方程的正整数解： 1 出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值 2 用观察法直接写出。 乙例题 例1求方程5x－9y=18整数解的能通解 解x= 设 （k为整数），y=3－5k, 代入得x=9－9k ∴原方程整数解是 （k为整数） 又解：当x=o时，y=－2， ∴方程有一个整数解 它的通解是 （k为整数） 从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。 例2，求方程5x+6y=100的正整数解 解：x= (1)， 设 (k为整数)，则y=5k,(2) 把（2）代入（1）得x=20-6k， ∵ 解不等式组 得0＜k< ,k的整数解是1，2，3， ∴正整数解是 例3，甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？ 解：设甲种书买x本，乙种书买y本，根据题意得 3x+5y=38 （x,y都是正整数） ∵x＝1时，y=7，∴ 是一个整数解 ∴通解是 （k为整数） 解不等式组 得解集是 ∴整数k=0，1，2 把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整数解 答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。 丙练习10 1， 求下列方程的整数解 ①公式法：x+7y=4, 5x-11y=3 ②整除法：3x+10y=1, 11x+3y=4 2, 求方程的正整数解：①5x+7y=87, ②5x+3y=110 3，一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？ 4， 兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数。 5， 下列方程中没有整数解的是哪几个？答：＿＿＿＿＿＿＿＿（填编号） 1 4x＋2y=11, ②10x-5y=70, ③9x+3y=111, ④18x-9y=98, ⑤91x-13y=169, ⑥120x+121y=324. 6, 一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分？ 7． 用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解： y= 1 4 －2 x= 练习题参考答案 1. 公式法①由特解 得通解 （k为整数） ②由特解 得通解 （为k整数） 整除法①∵x= = -3y,……∴通解是 （k为整数） ②通解是 （k为整数） 2. ① ② － …… 3. 有6种截法 4. 16，13 5. A，D. 6. 12 7.（略）
浙公网安备 33021202002483