三线扭摆法测转动惯量实验误差研究

第11卷第5期 2009年lO月 黄山学院学报 JournalofHuangshanUniversity V01．11．N0．5 0ct．2009 三线扭摆法测转动惯量实验误差研究 郑 立 (黄山学院信息工程学院，安徽黄山245041) 摘要：利用三线扭摆装置测物体的转动惯量，针对三线扭摆装置调平欠佳状态和质量偏心分布状态 这两个关键操作是引起实验测量误差的主要因素进行了较全面的分析。并对转动惯量的误差进行了定量分 析。得出了减小实验误差的实验操作要求。 关键词：三线扭摆；转动惯量；实验误差 中图分类号：0313．3 文献标识码：A 文章编号：1672-447X(2009)05-0027-04 一般说来，研究刚体绕固定轴转动的问题，可 归纳为下面的力学问题： 等+面×歹=雨井m (1) 其中J=J，皱，J，q，J：吐 警州x警,Jy鲁以等， 坐标原点选在刚体沿固定轴转动的某点，三根坐标 轴沿主轴方向。面沿固定转轴，Ⅳ卅是对于原点计 算的外力矩。上、工、Z刚体的转动惯量，计算或测量这 些惯量是求解方程(1)的必要条件。在一些技术研 究、设计工作中，需测定形状复杂的刚体绕特定轴 的转动惯量。作为基础训练。在实验中我们采用了 三线扭摆法。发现存在若干因素能够引起实验误 j山 ／}n 1 基本关系 首先，考虑处于理想状态的三线摆，上、下圆盘 均已调平，下圆盘(或包括附加物在内)的质心与悬 点几何中心一致(下面简称同心)。对扭摆的几何关 系作简单分析。得知扭动角与势能的关系为： ％=_『，lg．Il=—zg(√f2一(尺一r)2一√，2一【砰+r2—2Rrcos妒)](2) 其中m是下圆盘上的总质量，g是重力加速度，堤对 应的上、下悬点间金属悬丝长，JR和r分别是下圆盘 和上圆盘悬孔到几何中心的距离，妒扭动偏转角 度。设三线摆中心对称轴也是被测刚体的一根主轴 (称为z车由)。则方程(1)的z分量为： ．，：争一(J，-Jy)(-"x(-uy=Jz丝dt-Ⅳz圈 可改写成，；窘一等 (3) 收稿日期：2008-08—28 作者简介：郑．9．-(1957-)，安徽歙县人，黄山学院信息工程学院高级实验师。 将(2)式代入得到 d。妒 mRrgsin妒才dt一万J矿i雨亨岩2R丽rCOS (4)。 ：√z2一(R2+r2一 ≯) L斗7 这里扭转角不受限制，是普遍情形。 为保证摆动的等时性，取摆幅矽足够小，使得 sin妒oz≯o网 cos#。=1-寺掰 (5) 这样，方程(4)可简化为简谐振动方程： 粤+—善丝二-妒：0 (6)d—_．r———早2；；====j‘妒‘ 、”，t2 ．，：√f2一(尺一，)27 万方数据 ·28· 黄山学院学报 考虑至0产～(R—r)2>gr (7) 这是通常满足的条件，方程(6)中略去Rr#2在 准确到二级小量的范围内都是正确的。设初条件为 妒(0)=0，则其解为： 妒=妒osin∞of (8)圆频率t1)o为州赢≮(警JL；(9)．，：、／f2一(尺一r)2 ： 其中，垂长L=√，2一(尺一，)2。 与‘_)。相应的振动周期的关系为： 瓦：：塑≥ (10) 2调平欠佳状态 我们考虑典型情况：上悬点B：与B，等高，下悬 点A2与A3等高(它们均在中心对称轴oo’的左 侧)，如图1所示，上圆盘在OO’B：平面的法线方向 是水平的。下圆盘在A，OO’平面的法线方向是水平 的。欠调平由o7B，与水平面(虚线)的夹角仅以及 oA，与水平面(虚线)的夹角卢，下面分两种情况研 究。 2．1 et#O。／3=o情形 u 继续考虑同心状态。 则oo’仍为q扭摆的转 动轴，这时垂长关系如下： ' 3 L=L(oo’)=专∑LI(E) 厶=L(BI)=L+rsinttu =L+rtt0口l<<1) i一1囊量的_平欠隹状毫示-- 厶=媳)=己主r《破=己12瓜 (11) 由(2)可以看出，当妒足够小，满足(5)式(陟Iso)， 下悬点升高关系简化为啊=气芋 (12)其中，_=，a硌。‘=气=J乏：再=，c，一；口2)(，3) 这样，if-随着扭动将有下圆盘的章动(出现章角0) 口。乌}。万r(ir口+譬)≯2其最大值远小于10_ 弧度。因此，我们只需单独考虑垂直轴的转动。 类似(3)式’我们有．，z窘=一券 (3，) 其中势能(，。=mgi=塑盟掣=寻，，lg(^+2JIl：) 用(12)式代入，得到c，。=警妒Ⅵ一{口2)(14) 于是，由(37)求得满足初条件妒(o)=o的解砂=办sint万tt 圆频率C—O1----"【警字】-1(1一昙∥)喜墨V (15) 相应的周期关系为 冉警(1+i1∥)珂(1+i1∥)(16) 那么．由于上圆盘调平欠佳引起的周期增率为 等=％掣=18口2 (17)L L ¨¨ 2．2 a=O，口≠0情形 我们假定欠调平JB值很小。与上一段类似，可 以忽略绕水平轴转动，这样带来的误差傩量级， 用o(∞ 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示。这时可类比前段，得到如下结果”器妒2 ”等矿 ∞。 r=L(口。，)-号套“Af) uI，=；mg(_Ill+|Il：+Jl，) ；三m蚋+2h：)=警妒2(1一i1声2)(14’) 振动方程以及由此方程解得的一蟛结果歹II出如下． 护窘一等一警鲫一扣 ， 妒=九sin∞lt 国，’=t等缸却 (五’)2．警(-+扣锄t+扣 盟：三8z L 8’ 3质量偏心分布状态 这里假设上、下圆盘均处于调平状态，为方便 设下圆盘(包括附加被测物)重心G位于半径A，o (或在A，o的延长线)上。可以证明，这时被动轴为 万方数据 第5期 郑 立：三线扭摆法测转动惯量实验误差研究 ．29． u=螂曙(-+笏)啊+；(·一烈％+岛)]=；粥【(·+狮^+2(，一万溉】 其中啊=普=鼍孚爹2坞种警=警痧2 而垂线长L=‘(f-1,2，3) 整理得：u：竺鲣二!至鱼2西： (18) 则写出振动方程_，：粤dt=一等=一璺堕蜱L≯(19)‘ ‘ d西 该方程满足《6(o)=0的解为 妒=妒osin翻f 舯一院mgRr(、I82，!1]2 (20)相应的周期关系为r2=‰ 另外再考虑间接测量中的一种情况：原已调平 的下圆盘在偏心放置被测物体后未再调平。这时下 圆盘相对水平面出现倾角 夕’=一等丑 (22) 根据简单的几何关系，适当的简化处理，可将扭动 过程中的势能写成： 泸}mg[(1+四Jll，+2(1-8)hz] ； [(1-82)+掣乒分(1-8)(1+厕1(18，) 一 - 上『 j 类似于(19)式写出方程，并求得满足妒(o)=o的解为 妒=丸sinto't ． 圆频“=[等≯H+号高产)(20，，以及周期关系m丽4ra两：。·(1-警)(21，) 将(20’)和(21’)与(20)和(21)比较，作间接测量时， 由于未再调平而引起周期误差仅掣万：数量级。 L 对于R=r的测量，声’=0，当然不存在这种误差，一 般R>r情形，这种误差非常小，可以忽略。 4转动惯量的测量公式及误差估计 在前面研究的基础上，现在推导转动惯量测量 及其误差的公式。根据(21)式，可得相对于穿过质 心的垂轴的转动惯量 J，一mgRr(1，-82)T2。 4刀‘L 那么对于装置中心对称轴的转动惯量 _，，c：竺坐!!二盟丁：+mR：Jz (23) 将它应用于下圆盘(以下标口表不)，-，。c=!生』铲瓦2+，托。R2艿。2 =铸n(maR2一絮}p 应用替代法，将右方第三项用．，二的零级近似 的理论值表示(设Ro是下圆盘外缘半径)，得到 o=簧L2+扣(2n确彰=甓瓦2， 这里通常取k的估计值为零。 以下标S表示包括被测物在内的下圆盘，而下 标1表示被测物。应用(23)和(24)式，推导得 巧=圪一圪 =笔差[鸭(1一簿)誓一％巧]+咄2露2一圭％(2R2一碍)霹 =笔％I，l，巧一埘。巧卜小，凡(R一而rgT．r2，-p-，2(25) 这里鸭=％+帆，式中R,t，厶啊为经几次测量 的平均值，冗，瓦也为多次测量的平均值，磊为测量 估算值，并设ml，R。由实验室给出，可作为准确值。 以AR，Ar，AL，△瓦，△瓦，△(彩)，△(醒)表示相 应测量的平均绝对误差或均方根误差，忽略重力加 ’ 速度值和质量的误差，依据误差传递公式，将巧的 误差写为： 咒≤塑煎鼍考耋乏盟·(等+等+譬卜堡2rgL(胜z够+—乞乏蝇)“4∥L I R r L J 、。1。⋯。 +2咄霹衄十叫尺一笔墨卜(劈)+2m。(2酽一碍)△(霹) 万方数据 ·30· 黄山学院学报 这里还要考虑m，尺2>等，那么￡的相 对误差为 巨=等凸R竺r兽L(2+警p+警聊‘ E I EJ⋯ ．，d 一’ +警霹常+[鼍≯一-卜跏笔产霹=[1+半巾删湖聃肾_1] 孵哟+(2+警卜，+警配，+型譬≯髭Q6， (25)和(26)是应用三线摆作转动惯量间接测量 及其误差估算的公式。 类似地，由(24)推导出￡的相对误差为 E。=E(R)+E(r)+E(云)+2E(L)+(兰善}一1)6：(27) (24)和(27)是下圆盘本身转动惯量测量及其误 差分析的公式，其误差数值估计一般是将(24)的结 果与理论值(÷m。R；)作比较而得。 5结束语 众所周知，阻尼作用使振动发生频移为 幽铷叫。=厨刁--0)o=--芸，妒鲁闱 是无阻尼的谐振动的圆频率，A系阻尼指数。阻尼 引起周期的误差为 阳k=等一警=番=譬=击(28) 式中n=(织)一是振幅衰减e倍所需经历的振动次 数。实验证实，在正常的空气环境中，n>50是相当 保守的估计。因此 E(丁)阻尼<10。 (29) 本文可忽略阻尼的影响。 于是，基于(24)-(27)解析结果，可得结论如下。 1．间接测量的物体如果质心偏离作为特定轴的 装置中心轴，须算出总质心的偏心度8s，代入(25)式 计算偏心度造成的校正项，如果6。不精确，或者未 考虑这种校正，会引起可观的误差，见(26)式，后者 即(8目)=1，属于过失误差。 2．应该对各个悬孔点(Ai，最，i=1，2，3)测出冠、^ 半径和垂长Li)然后以平均值詹=詈芝R；，‘=÷∑‘ 和云={∑L，代入(24)和(25)，以减小相应的偶然 误差所引起的测量误差，见(26)和(27)式。 3．昱(t)=i1(口2+卢2)+E舅(L)， o 层(瓦)z÷(口2+声2)+E√Ta) o 其中i1(口2+卢2)为系统误差，只需适当调平 上、下圆盘，就可使此误差小于10一。重点应放在正 确地测量周期并适当增加测量次数，以使多次周期 测量的相对误差E测(T。)和E谢(TI)尽量减小，这对于 间接测量更为重要。 4．间接测量时，被测物￡越大，误差越小，另一 方面，尽可能选用重量轻的下圆盘，也能减小实验 误差。 参考文献： 【1】祝之光．物理学(M】．北京：高等教育出版社，2004：96． 【2】杨述武．普通物理实验叫】．北京：高等教育出版社，2000： 1孓卜135． 【31@学慧．大学物理实验【M]．北京：高等教育出版社，2005：60． 【4】刘克哲．物理学【M】．北京：高等教育出版社，2005：187． 责任编辑：胡德明 AResearchonExperimentalErrorinMeasuringMeamomentofInertiaUsingTri- linearPendulum Zhengli (SchoolofElectricalInformationEngineering，HuangshanUniversity，HuangShan245021，China) Abstract：Inthispaper,tri-linearpendulumdeviceis usedtomeasuremomentofinertiaofthe objects．Thetwomajorfactors：poorstateofregulationandeccentricdistributionofmassofthetri-linear pendulumthathavecausedexperimentalelTor8alegivena eomprehensiveanalysis．Inaddition，a quantitativeanalysisisdevotedtotheelTOrsofmomentofinertia．Consequently，theexperimentaloperating requirementstoreducetheexperimentalelTol-8areputforward． Keyword：瓢一linearpendulum；Momentofinertia；ExperimentalelTor 万方数据 三线扭摆法测转动惯量实验误差研究 作者： 郑立， Zheng li 作者单位： 黄山学院信息工程学院,安徽黄山,245041 刊名： 黄山学院学报 英文刊名： JOURNAL OF HUANGSHAN UNIVERSITY 年，卷(期)： 2009,11(5) 参考文献(4条) 1.祝之光 物理学 2004 2.杨述武 普通物理实验 2000 3.李学慧 大学物理实验 2005 4.刘克哲 物理学 2005 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_hsxyxb200905008.aspx