微积分练习100题及其解答

1 《微积分》练习 100100100 100 题及其解答 1．求极限： ．        xe xx 1 1 1 lim 0 解：∵ ，)0(~1  xxe x ∴ ．  2 1 2 1 lim 1 lim 1 1 lim 1 1 1 lim 02000                 x e x ex ex ex xe x x x x x x x x x 2．求极限： ． xx ee xx x sin lim sin 0    解：∵ ，∴ ．)0(~1  xxe x 1 sin 1 lim sin lim sin sin 0 sin 0         xx e e xx ee xx x x xx x 或者：记 ，则当 时， 在 之间满足 Lagrange 定理的条件，存xexf )( 0x )(xf xx sin, 在 （ 介 于 与 之 间 ） ， 使 得 ， 从 而  x xsin )( sin sin f xx ee xx    ，所以， ．1)0()(lim sin lim 0 sin 0     ff xx ee x xx x  1 sin lim sin 0     xx ee xx x 3．求极限： ．  xx x xe 1 0 lim   解： ；  1 1 2 0 0 lim lim 1 x x e e x x x x x x x e x e e e                  或者 ．     1 2 0 0 0 ln 1 lim lim 2 lim x x x x x x x x e x e e x e x e x            4．求极限： ． 0 1 lim 1 x x x       解： ，而 ，所以， ．0 1 lim ln 1 0 1 lim 1 x x x x x e x                0 ln(1 )1 lim ln 1 lim 0 t x t x t x            0 1 lim 1 1 x x x        5．求极限： ．   )0,0,0( 3lnln lim 0    cba x cba xxx x 2 解： ．   0 0 ln ln 3 ln ln ln ln lim lim 3 x x x x x x x x x x x a b c a a b b c c abc x a b c            6．求极限： ．  0 lim 0 1 1x x x        解： ．     1 1 2 1 10 0 01 1 0 1 lim lim lim 1 0 11 1 1 1 x x x x x x x x x                              7．求极限： ． 20 lim ( 0) 1 1x x x        解： ．     2 2 2 1 120 0 01 12 2 0 2 lim lim lim 0 2221 1 1 1 x x x x x x x x x                               8．求极限： ． 0 lim ( 0) 1 1x x x        解： ． 0 1 lim 21 1x x x       9．设 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数 在 内 ，讨论 的单调性．)(xf   , 0)0(,0)(  fxf x xf y )(  解： ， ，                x xf xf x x xfxfx x xf y )( )( 1)()()( 2 0 )0()()(    x fxf x xf 当 时， ，而 ，则 ，即 ，从而此时0x )0( )( f x xf  0)(  xf )0()( fxf  0y 递增；同理，当 时， 递增． x xf y )(  0x x xf y )(  所以， 在 内单调增加． x xf y )(    , 10．设函数 ，求：（1） 的极大值 ；（ 2） 2 2 0 ( ) 2 ( 0) x f x a t a dt a     )(xf M 求 极小时的 值．M a 解 ： （ 1 ） ， 而 ， 所 以xxfaxxf 2)(0)(  0a ； aaafM 2 3 2 )( 3  （2） 时， ，此时 ，0a 10222 3 2 23          aaaaM a 04  a M 3 的极小值为 ．M 3 4 )1( M 11．求极限： ． 2 20 1 1 lim sinx x x       解：    2 2 2 2 2 2 40 0 0 sin sin1 1 sin lim lim lim sin sinx x x x x x x x x x x x x x             ． 3 20 0 0 0 sin sin 1 cos sin 1 lim lim 2 lim 2 lim 3 6 3x x x x x x x x x x x x x x            12．求极限： ．        xx x 220 sin 11 lim 解： 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 1 1 sin sin2 2 lim lim lim sin sin 2 sin sin2x x x x x x x x x x x x x x x             ； 2 2 20 0 0 cos 2 1 2sin 2 lim lim sin 2 sin 2 cos 2 2sin 2 6 cos 2 2 sin 2 2sin 2 12lim 2sin 2 34cos 2 sin 22 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                  13．求极限： ．        xxx ln 1 1 1 lim 1 解： ； 2 1 1ln1 1 lim ln1 1 lim ln 1 1 1 lim ln)1( 1ln lim ln 1 1 1 lim 11 111                       xxxx x x x x x xx xx xx xx xxx 14．求极限： ． 1 0 lim arcsinx x e x  解：∵ ，∴ ．arcsin ~ ( 0)x x x 1 1 1 0 0 lim arcsin lim lim t t x x x t x x e e x xe t          15．求极限： ．        xx x arctan 2 lim  4 解： ． 22 2 2 1arctan 2 1lim arctan lim lim lim 1 1 12 1x x x x x x x x x x x x                        16．求极限： ．2 1 2 0 lim x x x e  解： ． 2 2 1 1 2 0 lim lim t t x x x t e x e t       17．求极限： ． 0 lim sin ln x x x  解： ． 0 0 0 0 1 ln tan sin lim sin ln lim lim lim 0 csc csc cotx x x x x x x x x x x x x x              18．求极限： ．2 1 1 lim 1 cot 2 1x x x x          解： 2 2 1 1 1 1 lim 1 cot lim 2 1 1 tan 2 1 x x x x x x x x                    ；   2 2 1 1 2 2 2 1 1lim lim 1 1 21 1 sec 2sec 2 2 1 1 12 2 1 1 4 x x x x x x x x x x x x x x x                                      19．求极限： ． xx xx x sin tan lim 20   解： ． 2 2 2 3 2 20 0 0 0 0 tan tan sec 1 1 cos sin2 1 lim lim lim lim lim sin 3 3 6 3x x x x x x x x x x x x x x x x x x               20．求极限： ． ln 1 lnlim cotx x x arc x    解：   22 2 2 2 2 1 1 1ln 1 1 1 lim lim lim 1 lim 1. 1 1 1cot 11 1 1 x x x x x x x x x x arc x x x x x x                               5 21．求极限： ．  2 lim sec tan x x x    解： ．  2 2 2 1 sin cos lim sec tan lim lim 0 cos sin x x x x x x x x x             22．求积分： ．cos sin 1 sin 2 x x dx x   解：  2 cos sin cos sin 1 1 sin 2 cos sincos sin x x x x dx dx dx x x x x x          ． 2 1 2 ln csc cot 2 2 4 4 sin 4 dx x x C x                            23．求积分： ．cos sin 1 sin 2 x x dx x   解： ．      2 2 cos sin 1 1 cos sin cos sinsin cos sin cos x x dx d x x C x x x x x x           24．求积分： ．cos sin 1 cos 2 x x dx x   解：  2cos sin cos sin 1 sec tansec1 cos2 2cos 2 x x x x dx dx xdx xdx x x          ． 1 sec ln sec tan 2 x x x C     25．求积分： ． dx x xx    2cos1 sincos 解：  2cos sin cos sin 1 csc cot csc1 cos 2 2sin 2 x x x x dx dx x xdx xdx x x          ． 1 csc ln csc cot 2 x x x C     26．求积分： ．cos sin 1 cos 2 x x dx x   解：  2cos sin cos sin 1 csc cot csc1 cos 2 2sin 2 x x x x dx dx x xdx xdx x x          ． 1 csc ln csc cot 2 x x x C     27．求积分： ．1 sin 1 cos2 x dx x   解：  221 sin 1 sin 1 csc csc1 cos 2 2sin 2 x x dx dx xdx xdx x x          ． 1 cot ln csc cot 2 x x x C     6 28．求积分： ．1 sin 1 cos2 x dx x   解：  221 sin 1 sin 1 sec sec tan1 cos 2 2cos 2 x x dx dx xdx x xdx x x          ． 1 tan sec 2 x x C   29．求积分： ．1 cos 1 cos2 x dx x   解：  221 cos 1 cos 1 sec sec1 cos2 2cos 2 x x dx dx xdx xdx x x          ． 1 tan ln sec tan 2 x x x C    30．求积分： ．1 cos 1 cos2 x dx x   解： ．     2 2 1 sin 1 sin 1 csc csc 1 cos2 2sin 2 1 1 cot ln tan cot ln csc cot 2 2 2 x x dx dx xdx xdx x x x x C or x x x C                        31．求积分： ． 1 arctan 21 x e dx x 解： ． 1 arctan 1 1 arctan arctan 2 1 arctan 1 x x x e dx e d e C x x        32．求积分： ． 2 44 x x e dx e  解： 2 2 2 2 4 2 22 1 1 1 1 2 2 24 1 1 2 x e t x x x x e e dx d dt e t e                   ．  22 2 2 41 1ln 1 ln 4 2 2 2 2 x x x x e e c e e C                 33．求积分： ． 2 1 1 x dx e 解：   dxe x21 1          )1( 1 1 2 1 1 2 22 2 x xx x ed e dx e e Ce x   )1ln( 2 1 2 或者：   x xxxx x de ee dx ee e 2 2222 2 )1( 1 2 1 )1( 7 ．  Cexde e de e xx x x x         )1ln(22 1 1 11 2 1 22 2 2 2 34．求积分： ．  21 x xe dx x  解：      2 2 1 1 (1 ) 1 1 11 1 x x x x x xe xe xe dx d x xe d d xe x x x x x                    ． 1 1 x x x xe e e dx C x x        35．求积分： ． 2 1 1 dx x x  解： 2 22 1 1 4 1 1 33 1 2 1 1 4 2 23 dx dx dx x x x x                        ． 2 2 1 2 1 2 2 1 arctan 2 23 3 3 32 1 1 23 d x x C x                                    36．求积分： ． 2 1 4 1 dx x x  解：  2 22 1 1 1 1 4 1 32 3 2 1 3 dx dx dx x x x x                ． 2 2 1 3 1 2 3 3 2 33ln ln 23 6 63 2 32 11 33 x x x d C C x x x                       37．求积分： ．1 1 x dx e  解： 1 2 1 2 1 1 1 ln 1 1 1 11 x u e x u dx du du C u u u u e                         ．   1 1ln 2 ln 1 1 2 ln 1 1 1 1 x x x x e C or x e C or e x C e                   38．求积分： ．1 xe dx 8 解：设 ，则 ， ，xeu  1 )1ln( 2  ux du u u dx 1 2 2   2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 x u e dx du du u u u               1 1 1 2 ln 2 1 ln 1 1 1 x x x u e u C e C u e                     ． 2 1 2 ln 1 1x xor e x e C      39．求积分： ． 2 1 4 4 3 dx x x  解： ． 2 1 1 2 1 ln 4 4 3 8 2 3 x dx C x x x       40．求积分： ． 2 3 2 2 2 x dx x x    解： 2 2 2 3 2 3 2 2 1 2 2 2 2 2 1 (1 ) x x dx dx x x x x x               ． 23 ln 2 2 arctan(1 ) 2 x x x C      41．求积分： ． 2 2 4 x dx x   解：设 ，则 ， ，tx sin2 tx cos24 2  tdtdx cos2 ．  2 2 2 2 2 4 4 cot csc 1 cot arcsin 2 x x x dx tdt t dt t t C C x x                42．求积分： ． 2 2 4 x dx x   解：设 ，则 ， ，tan2x 24 2secx   ddx 2sec2 ．   C x x xxC xx xx x x Cd dddx x x                         2 2 2 22 22 2222 2 4 4ln 4 4 ln 2 14 1sin 1sin ln 2 1 cscsin sin1 1 sin 1 sin sin)sin1( 1 sincos 14         9 43．求积分： ．  dx xx 1)2( 1 解：消去根号，记 ，则 ，1t x  1221 22  txtdtdxtx ．  2 1 2 2arctan 2arctan 1 1( 2) 1 tdt dx t C x C t tx x          44．求积分： ．   dx xx x 2 1 解：记 ，31222 22  txtdtdxtxxt                  dt t tdt ttt dttt dx xx x 2 1 22 2 1 12 2 32 2 1 222 2 ．C x xC t t    2 2 arctan222 2 arctan22 45．求积分： ．   dx xx x 2 1 解：记 ，11222 22  txtdtdxtxxt                  dt t tdt ttt dttt dx xx x 2 1 22 2 1 12 2 12 2 1 222 2 ．C x x xC t t t        22 22 ln 2 2 22 2 2 ln 2 2 2 46．求积分： ．2 1 2 x dx x   解：记 ， 2 21 3 2 1 2 2 2 t t t x x dx tdt x         ， ， ． 2 2 2 2 2 1 3 1 2 2 1 2 6 2 3 3 3 3 2 1 3 2 3 ln 2 2 1 3 ln 3 2 1 3 x t dx dt dt t dt x t t t t x t C x C t x                               47．求积分： ．1 2 2 x dx x   10 解：记 ， 2 3 2 2 1 21 22     t xtdtdx t xxt ． C x xC t t dt t tdt t dt t t dx x x                  3 21 arctan32212 3 arctan322 3 1 62 3 3 12 3 2 2 21 222 2 48．求积分： ．  dx x 3 11 1 解：记 ， dttdx t xxt 2 3 3 2 3 , 2 1 1    ． 2 2 3 2 3 33 1 3 3 1 3 3 3 1 ln 1 2 1 2 1 4 2 21 1 3 3 3 ( 1) 1 ln 1 1 4 2 2 t dx dt t dt t t t C t t x x x x C                            49．求积分： ．    dx x xx 2 3 21 arcsin 解：设： ，则xu arcsin ；   3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 arcsin sin sin sin sec cos cos1 sec sec sec ln sec tan arcsin 1 arcsin 1 ln ln 1 ln 1 21 1 1 1 x x u u u u dx d u du ud u u u x u u udu u u u u C x x x C x x C x x x x                              50．求积分： ．    2 21 3 x dx x x  解： ．       2 2 2 2 22 2 1 1 1 1 1 ln 4 1 3 4 31 3 x x dx d x C x x x x x                    51．假设某种商品的需求量 ，商品的总成本是 ，每12000 80Q P  25000 50C Q  单位商品需要纳税 2元，试求使销售利润最大时商品单价 （单位：元）和最大利润额．P 解：收入 ，28012000)8012000( PPPPPQR  总成本 ，PQC 40006250005025000  11 总利润 ，64900016160802 2  PPQCRL 边际利润 ，16160160  PCRL 令 ，得 ，此时 ，有最大利润 （元）．0L 101P 0160 L 167080 Max L 52．一商家销售某种商品的价格 （万元/吨）， 为销售量，商品的成本函数 xP 2.07  x 是 （万元）．（1）若每销售 1吨商品，政府征税 t（万元），求商家获取最大利润时13  xC 的销售量；（2）t为何值时，政府税收最大？ 解：（1）收入 ，总成本 ，22.07)2.07( xxxxPxR  13  xC 税收 ，总利润 ，txT  1)4(2.0 2  xtxTCRL 边际利润 ；令 ，得 ，此时 ，有最txL  44.0 0L tx 5.210  04.0 L 大利润； （2） ， ，令 ，得 ，所以当 时政府税25.210 tttxT  tT 510  0T 2t 2t 收最大． 53．求积分： ．   3 2 2 arcsin 1 x x dx x  解：设 ，则xu arcsin ；   3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 arcsin sin sin sin sec cos cos1 sec sec sec ln sec tan arcsin 1 ln 1 1 1 arcsin 1 ln 1 ln 1 . 21 x x u u u u dx d u du ud u u u x u u udu u u u u C x x C x x x x x x C x                              54．已知 的一个原函数为 ，求积分： ．( )f x  1 sin lnx x ( )xf x dx 解：∵ ，  1 sin( ) 1 sin ln cos lnxf x x x x x x         ∴ ( ) ( ) ( ) ( )xf x dx xdf x xf x f x dx      ． 1 sin cos ln 1 sin lnx x x x x x C      55．设 是三阶可导函数， ，而 ．求 ． f t   0f t  ( ) ( ) ( ) x f t y tf t f t     3 3 d y dx 12 解：由已知， ， ， ，从而 ； dx f t dt  dy tf t dt dy dy dt t dx dx dt   1 d dy dt dx       ， ．   2 2 1d y d dy dx dt dx dtdx f t              3 2 33 2 1 ( ) d f t d y d d y f t dx dx dx d f t f t                      56．设 ，求 ． 2 0 2 tan( ) sec x y x x y tdt x y      2 2 d y dx 解：对等式两边求导．得 ，      2 22 sec 1 sec 1x y y x y y       整理，得 ，2sin ( )y x y         2 2 2sin cos 1 d y x y x y y dx      ．     21 sin 2( ) cos sin 2 2y x y x y x y      57．已知 ，其中 二阶可微，求 ． y f x y   f u 2 2 d y dx 解： ， ．   1y f x y y     ( )' 1 ( ) f x y y f x y       对 两边再求导，   1y f x y y     ，     21y f x y y y f x y         ．      2 1 1 y f x y y f x y        3 "( ) [1 '( )] f x y f x y     58．已知 ，求 ． 0 sin ( ) x t f x dt tp = -ò 0 ( )f t dt p ò 解： 由已知， ，或 sin ( ) x f x xp ¢ = - sin ( ) ( )x f x xf xp ¢ ¢= - 0 0 0 1 cos sin ( ) ( ) t t t t xdx f x dx xf x dxp ¢ ¢- = = -ò ò ò ， 0 0 0 ( ) (0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t f t f xf x f x dx f t tf t f x dxp p p= - - + = - +ò ò 13 取 ， 有 ， t p= 0 2 1 cos ( ) ( ) ( )f f f x dx p p p p p p= - = - +ò ． 0 ( ) 2f t dt p \ =ò 59．求积分： ． 1 2 1 2 1 1 x x x e dx x +æ ö÷ç + - ÷ç ÷çè øò 解 ： 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x x x x x x x x x x I x e dx e dx x e dx e dx xd e x x + + + + +æ öæ ö æ ö ÷ç÷ ÷ç ç ÷= + - = + - = + ç÷ ÷ç ç ÷÷ ÷ çç ç ÷çè ø è ø è øò ò ò ò ò ． 21 5 2 1 2 3 2 x x xe e + = = 60．求极限： ． 2 2 40 sin lim x x x x ® - 解： 2 2 4 30 0 sin sin sin lim lim x x x x x x x x x x x ® ® - + -= × 30 2sin cos 2 22 lim x x x x x ® - = ． 30 2 2sin cos 2 lim 8t t t t t ® -= 20 1 1 cos lim 2 t t t ® -= 2 20 2sin1 2lim 2 t t t ® = 2 0 sin1 2lim 4 2 t t t ® æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø 1 4 = 而 ， 2 2 2 2 3 20 0 0 0 0 sin sin sin 1 cos 1 sin 1 lim lim lim 2 lim 2 lim sin 3 3 2 3x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ® ® ® ® ® - + - -= × = = ´ = 请问以上方法错在哪里？ 61．计算 ． 1 x x xe dx e -ò 解：记 ，代入，得( )2 21 1 ln 1x xu e e u x u= - = + = + 原式 ( )( )2 2 2 ln 1 1 2 1 u u u du u u + + = +ò ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ln 1 2 ln 1 2 1 u u du u u du u = + = + - +ò ò 14 ．( )22 ln 1 2 2 2 1 2 1 2 1x x xu u u arctgu c x e e arctg e c= + - + + = - - - + - + 62．求积分： ． ( )1 2 0 ln 1 1 x dx x + +ò 解：令 ， ， ， ， 1 1 t x t -= + 2 1 1 x t + = + ( )2 2 1 dt dx t = - + ( ) ( ) 22 2 2 2 11 1 1 1 1 t t x t t +æ ö- ÷ç+ = + =÷ç ÷÷çè ø+ + 代入 ，则 ( )1 2 0 ln 1 1 x I dx x += +ò ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 22 20 0 ln 1 1 2 2 ln 1 12 1 1 x t I dx dt x tt t + += = × + ++ +ò ò ( ) ( )1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 20 ln 2 ln 1 ln 1ln 2 1 1 1 1 2 ln 2 ln 2 1 4 t x dt dt dx t t x I dt t p - + += = - + + + \ = = + ò ò ò ò ． 1 1 2 0 1 1 ln 2 2 1 I dx x \ = × +ò ln 28 p= 63．求积分： ． ( ) 1 0 2 1 dx x x- -ò 解：记 21 1 2t x x t dx tdt= - = - = - 当 时， ；当 时， ，则0x= t 1= 1x = 0t = 原式 ． 1 1 02 0 2 2 1 2 dt arctgt t p= = =-ò 64．设 在 内有意义，且（ 1）可导；（2）有反函数 ；（3）( )F x ( )0,+¥ ( )xj ．求 ．( )( ) 5 3 2 2 1 1 5 F x t dt x xj æ ö÷ç ÷= -ç ÷ç ÷çè øò ( )F x 解：由（3）可知， 时， ，0x= ( )( ) 0 1 0 F t dtj =ò ( )0 1F = 记 ，则 为其反函数( )x F y= ( )y xj= 且 或( )( )F y yj = ( )( )F x xj = 对（3）的式子两边求导，有 15 ，即 ．( )( ) ( ) 23 32 1 1 2 3 F x F x x xj ¢ = - ( ) 23 32 1 1 2 3 x F x x x ¢× = - 化简有 ( ) 3 1 2 3 x F x x x ¢ = - ( ) 23 32 3 1 1 1 3 22 3 x F x dx x x c x x æ ö÷ç\ = - = - +÷ç ÷÷çè øò 而 ，故 ．( )0 1F = ( ) 23 32 1 1 1 3 2 F x x x= - + 65．求积分： ． ( ) 1 0 1 dx x x-ò 解： ( ) ( ) ( ) 1 1 2 20 0 2 12 1 2 1 1 2 1 d x dx I x x -= = - - - -ò ò ． 1 1 2 21 0 2 1 1 dt dt t t - = = - -ò ò 1 0 2arcsin t p= = 66．求积分： ． ( ) 1 0 2 22 1 xdx x x- - ò 解：令 sin 0 2 x t t p= < < ．( )2 2 202 2 0 0 sin cos cos 1 cos 1 cos 4 t d t I dt arctg t t t p p p p= = - = - =+ +ò ò 67．证明： ．( ) 4 0 1 1 2 1 2 n tg xdx n n p < <+ ò 证明：记 ，则 ． 1 4 2 0 0 1 n n n t I tg xdx dt t p = = +ò ò ( ) 1 1 2 1 2n I n n < <+ 68．求积分： ． 2 4 4 sin 1 x x dx e p p -- +ò 解： ． 2 24 4 0 4 sin 1 1 sin 1 1 1x x x x dx xdx e e e p p p - -- æ ö÷ç= + ÷ç ÷çè ø+ + +ò ò 24 0 2 sin 8 xdx p p-= =ò 69．设 ，且 ，则方程 0在( ) [ ],f x C a bÎ ( ) 0f x > ( ) ( ) 1x x a b f x dx dx f x + =ò ò ( ),a b 16 内有几个根． 解： 记 ， ，( ) ( ) ( ) 1x x a b F x f t dt dt f t = +ò ò ( ) ( ) ( ) 1 1 0 a b b a F a dt dt f t f t = = - <ò ò ，而 ． ；( ) ( ) 0b a F b f x dx= >ò ( ) 0f x > [ ],x a bÎ ( ) ( ) ( ) 1 0F x f x f x ¢ = + > 在 内严格单调增加．因此， 在 内只有一个根．( )F x\ ( ),a b ( )F x ( ),a b 70． 在 上连续可微，且满足 ．试证存在一点 ．使( )f x [ )0,1 ( ) ( ) 1 2 0 1 2f xf x dx= ò ( )0,1x Î ．( ) ( ) 0f fx x x¢+ = 证：设 ． 则 ，( ) ( )F x xf x= ( ) ( )0 0 0 0F f= ´ = ．( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 0 0 1 1 1 2 2F f xf x dx F x dx= ´ = = ´ò ò 由于 在 上可 微，由 积分中 值定理 ，必存 在一点 ，使 得( )F x [ ]0,1 10, 2 h æ ö÷çÎ ÷ç ÷çè ø ，在 上， 满足 Rolle 定理的三个条件，固而存在( ) ( ) ( )11 2 2 F F Fh h= ´ ´ = [ ],1h ( )F x ，使得 ． 即 ．x ( ),1hÎ ( )0,1Ì ( ) 0F x¢ = ( ) ( ) 0f fx x x¢+ = 71．设 求 ， ．( ) 1 1 0 1 0 0 x x xe x f x e x ìïïïï ¹ï= íï +ïïï =ïî ( )0f-¢ ( )0f+¢ 解： 由 知( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 lim x x f x f x f x x x ® -¢ = - ( )0f-¢ ( ) ( ) 1 1 0 0 0 lim lim lim 0 0 1 1 t x t t x x x f x f e e x e e - - ®-¥® ® -= = = =- ++ ( )0f+¢ ( ) ( ) 1 1 0 0 0 lim lim lim 1 0 1 1 t x t t x x x f x f e e x e e + + ®+¥® ® -= = = = - ++ 17 另， 时0x ¹ ( ) 1 1 21 1 1 1 x x x e e x f x e æ ö÷ç ÷- +ç ÷ç ÷çè ø¢ = æ ö÷ç ÷+ç ÷ç ÷çè ø ；( )0f-¢ ( ) 1 1 210 0 1 1 lim lim 1 x x x x x e e x f x e - -® ® æ ö÷ç ÷- +ç ÷ç ÷çè ø¢= = æ ö÷ç ÷+ç ÷ç ÷çè ø ( ) ( ) 1 2 1 lim 0 1 u u u x u u e u e e = ®-¥ - + ¾¾¾® = + ( )0f+¢ ( ) 1 1 210 0 1 1 lim lim 1 x x x x x e e x f x e + +® ® æ ö÷ç ÷- +ç ÷ç ÷çè ø¢= = æ ö÷ç ÷+ç ÷ç ÷çè ø ( ) ( )2 1 lim 1 u u u u e u e e ®+¥ - + = + ( ) ( ) ( ) 1 1 lim 2 1 u u u u u u u e u e e e e e ®+¥ - + + - = + ( ) 22 lim 2 1 u u u u u e ue e e ®+¥ -= + ．( ) 2 2 1 lim lim 1 22 1 u u u u u u e u e ee ®+¥ ®+¥ - -= = = + 72．设 在 上连续，且 ，证明：必存在 ，使( )f x [ ]0,n ( ) ( ) ( )0f f n n N= Î ( )0,nx Î ．( ) ( )1f fx x+ = 证明：记 ，则 在 上连续，因而有最大（小）值( ) ( ) ( )1x f x f xj = + - ( )xj [ ]0, 1n- ， ， ；( )M m ( )m x Mj£ £ [ ]0, 1x nÎ - 而 ， ，…， ；( ) ( ) ( )0 1 0f fj = - ( ) ( ) ( )1 2 1f fj = - ( ) ( ) ( )1 1n f n f nj - = - - 从而 ， ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 1 0 n n k k k f k f k m M n n j - - = = é ù+ -ë û £ = = £ å å 故而，必存在 ，使 ，即( )0,nx Î ( ) 0j x = ．( ) ( )1f fx x+ = 18 73．证明：函数 在 上一致连续．3)( xxf   1,0 证明：任取两点 ， ，