中科院量子力学真题

3@163.putiansong com- 1 - 中国科学院研究生院中国科学院研究生院中国科学院研究生院中国科学院研究生院 2011201120112011 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题 试题名称：量子力学试题名称：量子力学试题名称：量子力学试题名称：量子力学 第一题：选择和简答第一题：选择和简答第一题：选择和简答第一题：选择和简答( )5' 8 40 '× = 1. 氢原子的基态电离能是13.6ev，问处于第一激发态的氢原子电离能是（ 3.4ev） 2. 普朗克常数 h 等于（ 346.626 10 J s−× ⋅ ） 3. 已知 ˆ ˆA B、 均是厄密算符，问下面哪个 ˆ F 是厄密算符（ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( ) 2 i F BA AB= − ） 4. 对于中心势场，下列正确的是（ 2 2 0 ( ) 1R r r dr ∞ =∫ ） 5. 经典力学中有 L r p p r= × = − × � � � � �，那么在量子力学中是否也有 L r p p r= × = − × � � � � � 成立，并说明理由. 6. 写出在 2ˆ ˆ( , ) z s s 的共同的本征态中，写出 , x y s s 的矩阵 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，并说明是否可以 找到这样一个表象，使得 , , x y z s s s 在该表象中的矩阵表示均为实矩阵，并说明 理由. 7.写出氢原子、一维简谐振子、一维无限深势阱的能级，并用示意图表示. 8. 两个非全同粒子处于态 1 2( , )x xψ ，求出一个粒子处于 1 1', "p p 之间，另一个 粒子处于 2 2', "x x 之间的几率. 二、 (30 ')在三维体系中粒子的径向动量算符 1 ˆ ˆˆ 2r r r p p p r r ⎛ ⎞ = ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎝ ⎠ � �� � ，则： （1） ˆ r p 是否为厄密算符，为什么？ （2）写出在球坐标系中 ˆ r p 的表示； （3）求 [ ]ˆ, ? r r p = 三、 (30 ')质量为的m粒子在半径为 R 的圆周上作自由运动： 3@163.putiansong com- 2 - （1）求其能级和本征函数； （2）加 1 2 , 0 ˆ ' ( ) , 0 0, V H V V α ϕ ϕ ϕ α − < <⎧ ⎪ = = < <⎨ ⎪ ⎩ 其他 微扰， 求对最低的两能级的一级微扰修正。 注：在坐标系中 2 2 2 2 2 2 1 1 ( )r r r r r zϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ 。 四、 (30 ')粒子在一维势场 0, 0( ) , , 0 x a V x a x x < <⎧ = ⎨ ∞ < <⎩ 中运动， 0t = 时刻处于基态，此 时加入一高为 0Vδ ，宽为 ( )b b a≪ 中心在 2 a的方势垒型微扰。求 0 0t > 时刻撤去 微扰后体系处于前三个激发态的概率。 五、 (20 ')在 2ˆ ˆ( , ) z L L 共同本征态 20Y 中， xL 的可能值及相应的概率。 中国科学院研究生院中国科学院研究生院中国科学院研究生院中国科学院研究生院 2010201020102010 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题 试题名称：量子力学（试题名称：量子力学（试题名称：量子力学（试题名称：量子力学（811811811811）））） 一一一一、、、、（1）设 ˆ ˆA B、 与泡利算符对易，证明： ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( )( ) ( )A B A B i A Bσ σ σ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ （2）试将 ( ) 1 2ˆ ˆ ˆ x y I iσ σ+ + 表示成 ˆ ˆ ˆ ˆ x y z I σ σ σ、 、 、 的线性叠加， ˆI 为单位算符。 二、设一维线性谐振子的初态为 ( ) ( ) ( )0 1,0 cos sin2 2x x x θ θ ψ ϕ ϕ= + ，即基态与第一 激发态的叠加，其中 θ 为实数： （1）求 t 时刻的波函数 ( , )x tψ ; （2）求 t 时刻粒子处于基态及第一激发态的概率; （3）求 t 时刻粒子的势能算符 2 21ˆ ˆ 2 V m xω= 的平均值； （4）求演化成 ( , )x tψ− 所需要的最短时间 mint 。 三、设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量是： 3@163.putiansong com- 3 - ' 0, 0; ˆ , 0. t T t H ze tλ − ≤⎧⎪ = ⎨ ⎪ >⎩ 其中 Tλ、 为常数。 （1） 求很长时间后 t T≫ 电子跃迁到激发态的概率，已知基态中 a为玻尔半 径，基态和激发态波函数为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 100 10 00 3 2 2 210 21 10 3 2 1 2 , ; 4 3 1 , cos . 4 3 (2 ) r a r a r R r Y e a r r R r Y e a a ψ θ ϕ π ψ θ ϕ θ π − − = = = = � � （2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零？简述理由。 （a） 200ψ （b） 211ψ （c） 21 1ψ − （d） 210ψ 四、两种质量为m的粒子处于一个边长为 a b c> > 的不可穿透的长盒子中，求 下列条件下该体系能量最低态的波函数（只写出空间部分）及对应能量。 （1）非全同粒子； （2）零自旋全同粒子； （3）自旋为 1 2 的全同粒子。 五、粒子在一维无限深势阱中运动，该体系受到 ˆ ' ( )H x aλδ= − 的微扰作用： （1）利用微扰理论，求第 n能级精确至二级的近似表达式； （2）指出所得结果的适用条件。 中国科学院研究生院中国科学院研究生院中国科学院研究生院中国科学院研究生院 2009200920092009 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题 试题名称：量子力学（试题名称：量子力学（试题名称：量子力学（试题名称：量子力学（811811811811）））） 一、已知在的 2ˆ ˆ( ) z L L、 表象中， 0 1 0 ˆ 1 0 1 2 0 1 0 x L ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ℏ 求： （1）求 ˆ x L 的本征值和相应的本征函数； 3@163.putiansong com- 4 - （2） 求 ˆ y L 的矩阵表示。 二、已知一粒子处在一维谐振子势场中运动，势能为 ( )21( ) 0 2 V x kx k= > ，求： （1） 粒子的基态本征函数 0 ( )xψ ； （2）若势场突然变为 2( )V x kx= ，则粒子仍处于基态的概率。 （提示：用湮灭算符 4ˆ ˆ , 2 1.414, 2 1.189 2 i a x p µω µω ⎛ ⎞ = + = =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ℏ ）。 三、若已知 † † †ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , 0, , i j i j i j ij a a a a a a δ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ，其中 , 1, 2i j = 。 设 ( ) ( ) ( )† † † † † †1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , 2 2 2x y z i J a a a a J a a a a J a a a a= + = − = − 。求: (1) ˆ ˆ ˆ, , x y z J J J 的关系式； (2) 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ x y z J J J J= + + � ，试用 † †1 1 2 2ˆ ˆ ˆ ˆa a a a、 、 、 表示。 四、已知中微子的两种本征态为 1v 和 2v ，能量本征值为 2 4 i m c E pc pc = + （其中 1,2i = ），电子中微子的本征态 1 2cos sinev v vθ θ= + 为， µ子中微子的本征态 为 1 2sin cosv v vµ θ θ= − + ，其中θ是混合角。某体系中在 0t = 时，电子中微子 处于态 e v ，求： （1） t 时刻中微子所处的状态； （2） t 时刻电子中微子处于基态的概率。 五、设在氘核中，质子和中子的作用表示成 0( ) r a V r V e − = − ，试用 2 r a e λ ψ − = （ λ 为 变数）为试探波函数，用变分法求： （1） 基态能量的近似值； （2） 若 0 32.7V Mev= ， 2.16a fm= ，试确定λ的值。 中国科学院研究生院中国科学院研究生院中国科学院研究生院中国科学院研究生院 2008200820082008 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题 试题名称：量子力学试题名称：量子力学试题名称：量子力学试题名称：量子力学 AAAA 卷卷卷卷 3@163.putiansong com- 5 - 一、写出氢原子的束缚态能级，所有的量子数以及取值范围，求出其简并度。 二、一个粒子质量为 µ，在一势能环中运动，势能为 00, 0 , V other ϕ ϕ< <⎧ = ⎨ ∞⎩ ，求粒 子运动的本征值和本征函数。 三、在 1 0 ˆ 3 0 0 0 2 H λ λ λ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ 中的粒子的本征值，设 1λ ≪ ，利用微扰求其本征值（精 确到二级近似），并与精确求解相比较。 四、两个自旋为 2 ℏ的粒子，两个粒子分别为 1 2 1 cos , 0 sin i t i t e X X e ω ω θ θ − − ⎡ ⎤⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ，求系统处 于单态和三态的概率。 五、处在一维谐振子势基态的粒子受到 ' 0ˆ ( )H x tλ δ= 微扰的作用，求跃迁到其 它各激发态的总概率和仍处在基态的概率。 （已知 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ 2 2n n n n n xH H H α − + ⎡ ⎤+ = +⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ） 中国科学院研究生院中国科学院研究生院中国科学院研究生院中国科学院研究生院 2007200720072007 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题 试题名称：量子力学试题名称：量子力学试题名称：量子力学试题名称：量子力学 AAAA 卷卷卷卷 一、在一维无限深方势阱 ( )0 x a< < 中运动的粒子受到微扰 ( )' 1 2 0, 0 , 3 3ˆ 2 , 3 3 a a x x a H x a a V x ⎧ < < < <⎪⎪ = ⎨ ⎪− < < ⎪⎩ 作用。试求基态能量的一级修正。 二、粒子在势场 ( )V x 中运动并处于束缚定态 ( ) n xψ 中，试证明粒子所受势场作 用力平均值为零。 三、（a）考虑自旋为 1 2 的系统，试在 2ˆ ˆ( , ) z S S 表象中求算符 ˆ ˆ y z As Bs+ 的本征值及 归一化的本征态。其中 ˆ ˆ, y z s s 是角动量算符，而 ,A B为实常数。 3@163.putiansong com- 6 - （b）假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量 ˆ y s 得到结果为 2 ℏ的概 率。 四、两个无相互作用的粒子处于置于一维无限深方势阱 ( )0 x a< < 中，对于以 下两种情况写出两个粒子体系可具有的两个最低总能量，相应的简并度以及 上述能级对应的所有二粒子波函数： （a）两个自旋为 1 2 的可区分粒子； （b）两个自旋 1 2 为的全同粒子。 五、一个质量m为的粒子被限制在 r a= 和 r b= 的两个不可穿透的同心球面之 间运动，不存在其他势，求粒子的基态能量和归一化波函数。 中国科学院研究生院中国科学院研究生院中国科学院研究生院中国科学院研究生院 2007200720072007 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题 试题名称：量子力学试题名称：量子力学试题名称：量子力学试题名称：量子力学 BBBB 卷卷卷卷 一、考虑一维阶梯势 0 0, 0( 0)( ) 0, 0 V x V V x x > >⎧ = ⎨ <⎩ 设粒子从右边向左边入射，试求反射系数和入射系数。 二、电子处于沿 z+ 方向大小为 B的均匀磁场中。设 0t = 时刻电子自旋沿 y+ 方 向。 （1）试求 0t = 时电子自旋波函数； （2）试分别求出 0t > 时电子自旋沿 , ,x y z+ + + 方向的概率。 三、粒子在 0 ( ),( ) , V x x a V x x a δ⎧ <⎪ = ⎨ ∞ >⎪⎩ 势场中运动 ( )0 0V > 。试求系统能级或能级方 程。 四、设系统哈密顿算符为 2ˆˆ ( ) 2 p H V r m = + � ，粒子处于归一化的束缚定态 n ψ 中， 3@163.putiansong com- 7 - 试证明位力定理： 2ˆ 1 ( ) 2 2n n n n p r V r m ψ ψ ψ ψ= ⋅∇ � � 五、一维谐振子系统哈密顿量为 2 2 2 0 ˆ 1ˆ 2 2 p H m x m ω= + ，设受到微扰 4ˆ ˆ' x H pλ= − 的作 用，试求对第 n个谐振子能级的一级微扰修正。 （已知矩阵元 ', 1 ', 1ˆ' ( 1 )2 n n n nn x n n nm δ δω + −= + + ℏ ） 中国科学院研究生院中国科学院研究生院中国科学院研究生院中国科学院研究生院 2006200620062006招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题 试题名称：量子力学（甲）试题名称：量子力学（甲）试题名称：量子力学（甲）试题名称：量子力学（甲）AAAA卷卷卷卷 一、两个线性算符 ˆ A 和 ˆ B 满足下列关系： 2ˆ 0A = ， † †ˆ ˆ ˆ ˆ 1AA A A+ = ， †ˆ ˆˆB A A= 。 （1）求证： 2ˆ ˆ B B= ； （2）求在 ˆ B 表象中 ˆ A 和 ˆ B 的表达式。 二、粒子在势场 ( ) ( , 0)nV x A x x A= −∞ < < +∞ > 中运动，试用不确定关系估算基 态能量。 三、设体系的哈密顿量 ˆ H 依赖于某一参量 λ ，又设体系处于某束缚定态，其 能量和本征函数分别记为 n E 和 ( ) n rψ ： （1）证明费曼-海尔曼定理： * ˆ ( ) ( )n n n E H r r drψ ψ λ λ ∂ ∂ = ∂ ∂∫ � � �； （2）利用费曼-海尔曼定理，求氢原子各束缚态的平均动能（提示：氢原子 能级公式为 4 2 2 1 2n e E n µ = − ⋅ ℏ ） 四、粒子在二维无限深方势阱中运动， 0, 0 ,0 , x a y a V other < < < <⎧ = ⎨ ∞⎩ 。加上微扰 ˆ 'H xyλ= 后，求基态和第一激发态能级的一级微扰修正。 3@163.putiansong com- 8 - 五、设粒子所处的外场均匀但与时间有关，即 ( )V V t= ，与坐标 r�无关。试将 体系的含时薛定谔方程分离变量，求方程解 ( , )r tψ � 的一般形式，并取 0( ) cos( )V t V tω= ，以一维情况为例说明 ( )V t 的影响是什么。 中国科学院研究生院中国科学院研究生院中国科学院研究生院中国科学院研究生院 2006200620062006招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题 试题名称：量子力学（甲）试题名称：量子力学（甲）试题名称：量子力学（甲）试题名称：量子力学（甲）BBBB卷卷卷卷 一、已知谐振子处于第 n个定态中，试导出算符 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,x p x p 的平均值及不确定 度 ,x p∆ ∆ ，并求出 x p∆ ⋅∆ 的值。 二、设 ˆU 为幺正算符，若存在两个厄密算符 ˆ A 和 ˆ B 使 ˆˆ ˆU A iB= + ，试证： （1） 2 2ˆ ˆ 1A B+ = ，且 ˆ ˆ, 0A B⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ； （2）进一步再证明 ˆU 可表示成 ˆˆ iH U e= ， ˆH为厄密算符。 三、 一个质量为m的粒子被限制在 0 x a≤ ≤ 的一维无限深势阱中，初始时刻 其归一化波函数为 8( ,0) (1 cos )sin 5 x x x a a a π π ψ = + ，求： （1） 0t > 时粒子的状态波函数； （2）在 0t = 与 0t > 时在势阱的左半部发现粒子的概率是多少。 四、粒子在一维无限深方势阱中运动，受到微扰 0ˆ ' ( 2 )VH a x a a = − − 的作用，求 第 n个能级的一级近似，并分析所得结果的适用条件。 五、一个质量m为的粒子被限制在 r a= 和 r b= 的两个不可穿透的同心球面之 间运动，不存在其他势，求粒子的基态能量和归一化波函数。 中国科学院研究生院中国科学院研究生院中国科学院研究生院中国科学院研究生院 2006200620062006招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题 试题名称：量子力学（乙）试题名称：量子力学（乙）试题名称：量子力学（乙）试题名称：量子力学（乙）AAAA卷卷卷卷 3@163.putiansong com- 9 - 一、粒子以能量 E 入射一维方势垒 0 0, 0( ) 0, 0 , V x a V x x x a > ≤ ≤⎧ = ⎨ < >⎩ 。设能量 0E V> ，求 透射系数T 。 二、自旋为 1 2 的粒子置于势场 ( )V x 中， 0, 0( ) , 0, x a V x x x a ≤ ≤⎧ = ⎨ ∞ < >⎩ 。设粒子所处状态 为 3 5 1 15 2 ( , ) ( ) ( ) 18 9z x s x x i i ψ ϕ ϕ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ，其中 ( ) n xϕ 为系统空间部分的第 n个能量 本征函数（已归一化）。求能量的可测值及相应的取值概率。 三、用不确定度关系估算一维谐振子的基态能量。 四、各向同性的三维谐振子哈密顿算符为 2 (0) 2 2 21ˆ 2 2 H m r m ω= − ∇ + ℏ ，加上微扰 ( )1ˆ ( )H xy yz zxλ= + + 后，求第一激发态的一级能量修正。 五、自旋为 1 2 ，磁矩为 µ ，电荷为零的粒子置于磁场中。 0t = 时磁场为 0 0(0,0, )B B= � ，粒子处于 ˆ z σ 的本征值为 1− 的本征态 0 1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 。设在 0t > 时，再加上弱 磁场 1 1( ,0,0)B B= � ，求 0t > 时的波函数以及测到自旋反转的概率。 中国科学院研究生院中国科学院研究生院中国科学院研究生院中国科学院研究生院 2006200620062006招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题 试题名称：量子力学（乙）试题名称：量子力学（乙）试题名称：量子力学（乙）试题名称：量子力学（乙）BBBB 一、粒子以能量 E 入射一维方势垒 0 0, 0( ) 0, 0 , V x a V x x x a > ≤ ≤⎧ = ⎨ < >⎩ 。设能量 0E V< ，求 透射系数 T 。 二、粒子在一维对称无限深方势阱 ( ) 2 2 a a x− ≤ ≤ 中运动。设 0t = 时粒子所处状 态为 ( )1 2 1 ( , 0) ( ) ( ) 2 x t x xψ ϕ ϕ= = + ，其中 ( ) n xϕ 为系统第 n个能量本征态。求 0t > 时 的以下量： 3@163.putiansong com- 10 - （1）概率密度 2( , )x tψ ； （2）能量的可能取值及相应的概率。 三、设氢原子所处状态为 21 11 21 10 1 ( ) ( , ) 2 ( , , , ) 3 ( ) ( , ) 2 z R r Y r s R r Y θ φ ψ θ φ θ φ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， （1）求轨道角动量 z分量 ˆ z L 和自旋角动量 z分量 z s 的平均值； （2）求总磁矩 ˆˆ ˆ 2 e e M L S µ µ = − − �� � 的 z分量的平均值。 四、对于一维谐振子的基态，求坐标和动量的不确定度的乘积 x p∆ ⋅∆ 。 五、两个自旋为 1 2 非全同粒子，自旋间相互作用为 1 2 ˆ ˆˆ H JS S= ⋅ � � ，其中 1 ˆ S � 和 2 ˆ S � 分 别为粒子1和粒子 2的自旋算符。设 0t = 时粒子1的自旋沿 z轴正方向，粒子 2 自旋沿 z轴负方向。求 0t > 时，测到粒子 2的自旋仍处于 z轴负向的概率。 中国科学院中国科学院中国科学院中国科学院----中国科技大学中国科技大学中国科技大学中国科技大学 2005200520052005 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题 试题名称：量子力学试题名称：量子力学试题名称：量子力学试题名称：量子力学 一、1800个电子经1000伏电势差加速后从 x = −∞处射向势阶 0 , 0( ) 0, 0 V x V x x <⎧ = ⎨ >⎩ 其 中 0 750V eV= 。试问在 x = ∞处能观察到多少个电子？ 如果势阶翻转一下，即电子射向势阶 0 0, 0 ( ) , 0 x V x V x <⎧ = ⎨ >⎩ 则结果如何？ 二、质量为m、电荷为 q的粒子在三维各向同性谐振子势 2 21( ) 2 V r m rω= � 中运动， 同时受到一个沿 x方向的均匀常电场 0E E i= � � 作用。求粒子的能量本征值和第 一激发态的简并度。此时轨道角动量是否守恒？如回答是，则请写出此守恒 力学量的表达式。 3@163.putiansong com- 11 - 三、一个质量为m的粒子在下面的无限深方势阱中运动 , 0,( ) 0, 0 x x a V x x a ∞ < >⎧ = ⎨ < <⎩ ， 开始时 ( 0)t = ，系统处于状态 3( ) sin cos 2 2 x x x A a a π π ψ = ，其中 A为常数。请求出 t时 刻系统： （a）处于基态的几率； （b）能量平均值； （c）动量平均值； （d）动量均方差根（不确定度）。 四、两个具有相同质量m和频率ω的谐振子，哈密顿量为 2 2 2 2 2 0 1 2 1 2 1 1ˆ ( ) (( ) ( ) ) 2 2 H p p m x a x a m ω= + + − + + （ a± 为两个谐振子的平衡位置），受 到微扰作用 2 21 1 2ˆ ( )H m x xλ ω= + ， 1λ ≪ 试求该体系的能级。 五、已知氢原子基态波函数为 0100 1 3 2 0 1 ( ) r a e a ψ π − = ，试对坐标 x及动量 x p ， 求 2 22 2, x x x x x x p p p∆ = − ∆ = − 由此验证不确定关系。 六、考虑自旋 ˆ s 与角动量 ˆ L 的耦合，体系的哈密顿量为 2 2 ˆˆ ˆ( ) 2 H V r L Sλ µ = − ∇ + + ⋅ ℏ � ， λ是耦合常数，试证该体系的总角动量 ˆˆ ˆJ L S= + 守恒。（公式提示：在球坐标 系内 2 2 2 2 2 ˆ1 ( ) L r r r r ⎡ ⎤∂ ∂ ∇ = −⎢ ⎥ ∂ ∂⎣ ⎦ℏ ， ( ) ( )rf r f r r r ∂ ∇ = ∂ � ， 0 !n tt e dt n ∞ − =∫ ） 中国科学院中国科学院中国科学院中国科学院----中国科技大学中国科技大学中国科技大学中国科技大学 2004200420042004 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题 试题名称：量子力学试题名称：量子力学试题名称：量子力学试题名称：量子力学 一、粒子在一维无限深方势阱 ( )V x 中运动 ,( ) 0, x a V x x a ⎧∞ >⎪ = ⎨ <⎪⎩ ，处于状态 1 3 42ψ ϕ ϕ ϕ= + + 。这里 , 1, 2,3n nϕ = ……是系统归一化的能量本征态。请问： （1）粒子具有基态能量 1E 几率； （2）粒子的平均能量（用基态能量 1E 的倍数表示）； 3@163.putiansong com- 12 - （3）态 4ϕ 中的节点数（在节点处找到粒子的几率密度为零）； （4）态 3ϕ 的宇称。 二、考虑一维体系 2ˆˆ ( ) 2 p H V x µ = + ， 0( )V x V xλ= ， 0 0V > ， 2,4,6λ = ……设 ˆH的本征 波函数为 n ψ ： （1）证明动量在态 n ψ 中的平均值为零； （2）求在态 n ψ 中的动能平均值和势能平均值之间的关系。 三、设归一化的状态波函数 ψ 满足薛定谔方程 ˆ t i Hψ ψ∂ =ℏ ，定义密度算符 （矩阵）为 ρ ψ ψ= 。 （1）证明：任意力学量 ˆF在态 ψ 中的平均值可表示为 ( )tr Fρ ； （2）求出 ρ的本征值。 （3）导出 ρ随时间演化的方程。 四、质量为 µ 的粒子在三维各向同性谐振子势 2 2 2 21 1( ) ( ) 2 2 V r kr k x y z= = + + 中运 动，求： （1）第二激发态的能量； （2）第一激发态的简并度； （3）在基态中的不确定量为 r p∆ ⋅∆ ，这里 r∆ 是位置矢量的均方差根。 p∆ 则 是三维动量的均方差根，定义类似。 五、两个自旋都是 1 2 的粒子1和 2组成的系统，处于由波函数 1 2 1 2 0 1 1 0a bψ = + 描写的状态，其中 0 表示自旋朝下（沿 z− 方向）， 1 表 示自旋朝上，当数 a与b都不为0时，此态不能表示成两个单个粒子状态的直 接乘积形式 1 2 时称为纠缠态。试求在上面的纠缠态中： （1）两个粒子的自旋互相平行的几率； 3@163.putiansong com- 13 - （2）两个粒子的自旋互相反平行的几率； （3）此系统处于总自旋为 0的几率； （4）测量得到粒子1自旋朝上的几率多大？发现粒子1自旋朝上时，粒子 2处 于什么状态？ 六、考虑到自旋轨道耦合的氢原子，其哈密顿量为 2 2 ˆˆˆ ( ) ( ) 2 H V r r L Sξ µ = − ∇ + + ⋅ ��ℏ ， （1）证明轨道角动量 ˆL � 和自旋 ˆS � 不是此系统的守恒量，而总角动量 ˆˆ ˆJ L S= + �� � 是 守恒量； （2）若自旋-轨道相互作用 ˆˆ( )r L Sξ ⋅ �� 可当做微扰，计算此系统基态能量的一级 修正。 （ 2 2 0 ˆ ( ) 2 H V r µ = − ∇ + ℏ 的本征能量为 (0) n E ，本征函数： ( ) ( , ) nlms nl lm s R r Yψ θ ϕ χ= ， s χ 为 自旋波函数） 中国科学院中国科学院中国科学院中国科学院----中国科技大学中国科技大学中国科技大学中国科技大学 2003200320032003 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题 试题名称：量子力学试题名称：量子力学试题名称：量子力学试题名称：量子力学 一、（1）如果厄密算符 ˆ A 对任何矢量 u ，有 ˆ 0u A u ≥ ，则称 ˆ A 为正定算符， 求证：算符 ˆA a a= 是厄密正定算符。 （2）如果 ˆ A 是任一线性算符，求证 †ˆ ˆ A A 是正定的厄密算符，它的迹等于 ˆ A 在 任意表象中的矩阵元的模平方之和。试推导，当且仅当 ˆ 0A = 时， †ˆ ˆ( ) 0Tr A A = 才 成立。 （3）求证：如果 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, , , , 0A B A A B B⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ，则 1 ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ 2 A B A B A B e e e e ⎡ ⎤+⎣ ⎦+= 。 （4）求证：任一可观测量的平均值对时间的导数由下式给出： 3@163.putiansong com- 14 - ˆ ˆ ˆ ˆ, d A A i A H i dt t ∂⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ∂ ℏ ℏ 二、把传导电子限制在金属内部的是金属内势的一种平均势，对于下列一维 模型（如图）： 0 , 0( ) 0, 0 V x V x x − <⎧ = ⎨ >⎩ 试就（1） 0E > ，（2） 0 0V E− < < 两种 情况计算接近金属表面的传导电子的反射和透射几率。 三、对于一维谐振子，求消灭算符 ˆa的本征态，将其表示成各能量本征态 n 的线性叠加。 四、给定 ( ),θ ϕ 方向单位矢量 ( ) ( ), , sin cos ,sin sin ,cos x y z n n n n θ ϕ θ ϕ θ= = � ，求 ˆ n nσ σ= ⋅ � � 的本征值和本征函数。（取 z σ 表象）。 五、有一个定域电子（不计及其轨道运动）受到均匀磁场作用，磁场 B指向 正 x方向，磁作用势为： ˆ ˆ 2x x eB e B H s c c σ µ µ = ⋅ = ℏ 设 0t = 时电子的自旋“向上”，即 2x s = ℏ，求 0t > 时 S � 的平均值。 中国科学院中国科学院中国科学院中国科学院----中国科技大学中国科技大学中国科技大学中国科技大学 2002200220022002 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题 试题名称：量子力学（实验型）试题名称：量子力学（实验型）试题名称：量子力学（实验型）试题名称：量子力学（实验型） 一、对于氢原子结构，采用电子绕核做圆周运动的半经典模型： （1）从德布罗意（驻）波的观点导出玻尔关于定态轨道的量子化条件； （2）从牛顿定律和（1）的量子化条件导出氢原子量子化轨道半径和能量。 二、一个质量 µ 为的粒子，处于势阱 , 0 ( ) 0, 0 , x V x x a x a ∞ <⎧ ⎪ = ≤ ≤⎨ ⎪∞ >⎩ 中， 0t = 时，其归一 化波函数为 2( , 0) (1 4cos )sin 5 x x x t a a a π π ψ = = − ，求： 3@163.putiansong com- 15 - （1）在后来某一时刻 0t t= 时的波函数； （2）在 0t = 和 0t t= 时体系的平均能量。 三、设 ˆF 为厄密算符，证明在能量表象中下式成立： 2 1 ˆ ˆ ˆ( ) , , 2n k nk n E E F k F H F k ∞ ⎡ ⎤⎡ ⎤− = ⎣ ⎦⎣ ⎦∑ 四、钠原子（原子序数为11）处于沿 z方向的强磁场 B中： （1）计入自旋（但不计入自旋-轨道耦合)。写出其价电子的哈密顿量（只 计入 B的一次项），并写出相应定态能量和波函数的通式（主要标志出对量 子数和空间坐标的依赖性）。 （2）说明此情形下钠原子发射光谱中的黄线的（正常）塞曼分裂现象。 五、设质量为m，电荷为 q 的粒子被束缚在谐振子势 21( ) 2 V x kx= 内，现沿 x方 向加上一个恒定的常数电场 E 。试计算其基态 0 和第一激发态 1 的能级移 动，准确到 2E 级。 中国科学院中国科学院中国科学院中国科学院----中国科技大学中国科技大学中国科技大学中国科技大学 2002200220022002 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题 试题名称：量子力学（理论型）试题名称：量子力学（理论型）试题名称：量子力学（理论型）试题名称：量子力学（理论型） 一、一个质量为 µ的粒子在下面的势阱中作束缚态运动： ( ) ( )V x A xδ= ，其中 0A < 为常数，求值 a，使粒子处于 a x a− < < 范围内的几率为 25%。 二、纠缠态可在量子通讯中有重大应用，两个量子体系的复合系统的纠缠态 是指不能用子系统的态的直积表示的态。例如，两个自旋为 1 2 的粒子的各自 本征态为 ,m a ，其中 1 1, 2 2 m = − 为磁量子数， 1,2a = 标记不同的粒子，则复合 系统的非耦合基如 ,1 , 2m n ， 1 1( , , ) 2 2 m n = − ，就是些纠缠态；而一个耦合基如 1 1 1 1 1 00 ( ,1 , 2 ,1 , 2 ) 2 2 2 2 2 = − − − 就是个纠缠态，试作出此复合体系一套互相 3@163.putiansong com- 16 - 正交归一的纠缠态（它们也可作为此复合系统的完备基）。 三、设算符 ˆH具有连续本征值ω，其本征函数 ( , )u x ω 构成正交完备系。求方 程 *ˆ( ) ( ) ( )H V x F xω− = 的解，其中 ( )F x 为已知函数， *ω 为某个特定的本征值。 四、一个质量为 µ的粒子作一维无限运动，当其哈密顿算符为 2ˆˆ ( ) 2 p H V x µ = + 时， 能级为 n E 。如果哈密顿算符变为 * ˆˆ ˆ pH H λ µ = + ，求此时的能级 * n E 。 五、设力学量 ˆF 和角动量 ˆ ( 1, 2,3) i J i = 对易，即 ˆF 为标量算符。试证在 2ˆ ˆ( , ) z J J 的 共同本征态中 ˆF 的平均值和量子数m无关。 六、一个两能级系统，哈密顿量为 ˆH，能级大小间隔为 A，现在此系统受到 一个微扰 ˆ 'H 。在 ˆH表象中， ˆ 'H 的表示为 1 2ˆ ' ( )H λ σ σ= + ，其中 1 2,σ σ 是泡利矩 阵，λ为实数。请算出系统受微扰后的能级间隔（精确到二级微扰修正）。 中国科学院中国科学院中国科学院中国科学院----中国科技大学中国科技大学中国科技大学中国科技大学 2001200120012001 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题 试题名称：量子力学（实验型）试题名称：量子力学（实验型）试题名称：量子力学（实验型）试题名称：量子力学（实验型） 一、设质量为m的粒子在一维无限深势阱 , 0, 2( ) 0, 0 2 x x a V x x a ∞ < >⎧ = ⎨ < <⎩ 中运动，适用 德布罗意的驻波条件，求粒子能量的可能取值。 二、一个质量为 m 的粒子束沿正 x 方向以能量 E 向 0x = 处的势垒 0, 0 ( ) 3 , 0 4 x V x E x ≤⎧ ⎪ = ⎨ >⎪⎩ 运动。试用量子力学观点回答：在 0x = 处被反射的反射系数 是 R 多少？ 三、（1）在坐标表象中写出一维量子体系的坐标算符 ˆq和动量算符 ˆp，并导 出其间的对易关系； 3@163.putiansong com- 17 - （2）在动量表象中做（1）所要求做的问题。 四、一个微观粒子在球对称的中心势场 ( )V r� 中运动，且处于一个能量和轨道 角动量的共同本征态。 （1）在球坐标系中写出能量本征函数的基本形式，写出势能 ( )V r� 在此态中 的平均值 V 的表达式，并最后表示成径向积分的形式； （2）设 ( )V r� 为 r�的单调上升函数（即对任意 ( ), 0dV rr dr > �� � ），试证明：对任意给 定的 0r ，均有 0 2 2 0 ( ) ( ) 0 r V r V R r r dr⎡ − ⎤ <⎣ ⎦∫ ，其中 ( )R r 为的径向波函数。 五、设一个质量为m的微观粒子的哈密顿量不显含时间，试证明：在能量表 象中有 2 2 ( ) 2n m nm n E E x m ∞ − =∑ ℏ 。其中 E 为能量， x为坐标。 六、设一个微观体系的哈密顿 0ˆ ˆ ˆ 'H H H= + ，其中 ˆ 'H 为微扰，在由一组正交归 一函数作为基的表象中： 0 1 0 0 0 0 ˆ ˆ0 3 0 , ' 0 0 0 2 2 0 0 c H H c c ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 其中 c为常数。 （1）求 ˆH的精确本征值； （2）求 ˆH的准确到微扰的二级修正的本征值； （3）比较（1）和（2）的结果，指出其间的关系。 中国科学院中国科学院中国科学院中国科学院----中国科技大学中国科技大学中国科技大学中国科技大学 2001200120012001 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题 试题名称：量子力学（理论型）试题名称：量子力学（理论型）试题名称：量子力学（理论型）试题名称：量子力学（理论型） 一、一个质量为 µ的粒子在势阱 , 0,( ) ( ), 0 x x a V x A x a x aδ ∞ < >⎧ = ⎨ − < <⎩ 中运动，其中 0A > 为常数，求系统第三激发态的能量本征值。 二、粒子被一维势垒 0 0, 0, ( ) , 0 x x a V x V x a < >⎧ = ⎨ < <⎩ 散射，当粒子能量 0E V= 时，有一半 3@163.putiansong com- 18 - 粒子被反射回去，求粒子的质量所满足的方程。 三、在粒子表象中，谐振子的基态 0 满足性质： ˆ 0 0a = ，其中 ˆa为吸收算符， ˆ ˆ ( ) 2 p a x i µω µω = + ℏ ，试用此性质求出基态在动量表象中的波函数表示式 0p 。 四、基态 ψ 是角动量 2ˆL 和 ˆ z L 的本征态： 2 2ˆ ˆ( 1) , z L l l L mψ ψ ψ ψ= + =ℏ ℏ ，在 此态下计算平均值 ˆ x L 和 2ˆ x L 。 五、一电子在势阱 21( ) 2 V x kx= 中作一维运动，同时受到沿 x方向一均匀电场的 微扰作用，电场强度为E，确定该系统由于电场存在所引起的能级移动。 六、考虑一个二维谐振子， 2 2 2 21 1ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 2 2x y H p p x y= + + + ，已知其最低三个能量本 征态为 2 2 2 2 2 21 1 1( ) ( ) ( ) 2 2 2 00 01 10 1 2 2 , , x y x y x y e xe yeψ ψ ψ π π π − + − + − + = = = 。设有一微扰 2 21( ) ( ), ( 1) 2 V x xy x yε ε= + ≪ ，试对上述态计算由V 引起的一级微扰修正。 中国科学院中国科学院中国科学院中国科学院----中国科技大学中国科技大学中国科技大学中国科技大学 2000200020002000 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题 试题名称：量子力学（实验型）试题名称：量子力学（实验型）试题名称：量子力学（实验型）试题名称：量子力学（实验型） 一、在电子的双逢干涉理想实验中，什么结果完全不能用粒子性而必须用波 动性来解释？为什么？ 二、一个质量为µ的粒子，在下述一维无穷深势阱中运动 0, 0 ( ) , 0, x a V x x x a < <⎧ = ⎨ ∞ < >⎩ ， 设 0t = 时其归一化波函数为 8( ,0) (1 cos )sin 5 x x x a a a π π ψ = + ，求： （1） 0t = 时测得其能量所得的几率性的结果； （2） 0 0t > 时的含时波函数及 0t 时测得其能量的结果。 三、设一维运动粒子的坐标和动量分别为 q和 ˆp， c为常数，求： 3@163.putiansong com- 19 - （1）力学量算符 ˆp和 icqe 的对易关系； （2）若 0p 是算符 ˆp的本征值，试证明 0p c+ ℏ 也是 ˆp本征值。 四、对于单个电子的运动： （1）证明：轨道角动量算符 ˆ L � 和动量平方算符 2ˆp� 对易； （2）论答：运动对于球对称场 ( )V r 中束缚定态的力学量完全集应该是什么 （不计自旋）？ （3）设 ( ) 2 e V r r = − ，用测不准关系估算其基态能量。 五、设硼原子（原子序数为5）受到 ˆ ' ( )H f r xy= 的微扰作用，在简并微扰一级 近似下： （1）论答：其价电子 2p能级分裂为几个能级？ （2）若已知其中一个能级移动值为 0A > ，则其余诸能级移动值各为多少？ （3）求出各分裂能级对应的波函数（用原来的诸 2p波函数表示）。 （提示：球谐函数 ( , ) lm Y θ ϕ 对ϕ的依赖体现在它所含的因子 ime ϕ上）。 中国科学院中国科学院中国科学院中国科学院----中国科技大学中国科技大学中国科技大学中国科技大学 2000200020002000 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题年招收攻读硕士研究生学位研究生入学考试试题 试题名称：量子力学（理论型）试题名称：量子力学（理论型）试题名称：量子力学（理论型）试题名称：量子力学（理论型） 一、一个质量为m的粒子被限制在一维区域 0 x a≤ ≤ 运动， 0t = 时的波函数为 ( , 0) (1 2cos )sin x x x t A a a π π ψ = = + ，其中 A为常数。 （1）后来某一时刻 0t 的波函数为什么？ （2）体系在 0t = 和 0t t= 时的平均能量是多少？ （3）在 0t 时位于势阱右半部（即 2 a x a≤ ≤ ）发现粒子的几率是多少？ 二、氢原子的基态能量为 2 0 2 e E a = − ，其中 2 2 a me = ℏ 为玻尔半径，m为折合质量。 3@163.putiansong com- 20 - （1）写出电子偶素（氢原子中质子由正电子代替）的基态能量和玻尔半径； （2）由于电子有自旋，电子偶素的基态简并度是多少？写出具有确定总自 旋值的可能波函数及相应的本征态； （3）电子偶素的基态会发生衰变，湮灭为光子，这个过程中释放的能量和 角动量是多少？试证明终态至少有两个光子。 三、设粒子处于 ( , ) lm Y θ ϕ 状态，计算角动量的 x分量和 y分量的平均平方差 2 2, x y L L∆ ∆ 。 四、记 1 2 3, ,σ σ σ 为泡利矩阵，定义 1 2iσ σ σ± = ± 。 （1）计算 [ ] [ ] [ ] 2 23 3, , , , , , ( ) , ( )σ σ σ σ σ σ σ σ+ − + − + − ； （2）证明（ξ为常数） 3 3 2e e eξσ ξσ ξσ σ ±± ±= ； （3）化简下面二式： 3 3 3 31 2,e e e eξσ ξσ ξσ ξσσ σ− − 。 五、设 0ˆH 为一量子体系的能量算符，其本征态为 0 , 1 , 2 ……，若体系受到 微扰作用，微扰算符为 0ˆˆ ˆ' ,H i A Hλ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦（λ为实数）， ˆA为某一厄密算符， ˆˆ,B C为 另外的厄密算符，且 ˆ ˆ ˆ,C i A B⎡ ⎤= ⎣ ⎦。如在微扰作用前的基态 0 中， ˆ ˆˆ, ,