2008年全国初中数学联合竞赛 2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第一试 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1. 设 ，则 （ A ） A.24. B. 25. C. . D. . 2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝ （ C ） A. . B. . C. . D. . 3．用
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示不大于 的最大整数，则方程 的解的个数为 （ C ） A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ） A. . B. . C. . D. . 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则 CBE＝ （ D ） A. . B. . C. . D. . 6．设 是大于1909的正整数，使得 为完全平方数的 的个数是 （ B ） A.3. B. 4. C. 5. D. 6. 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1．已知 是实数，若 是关于 的一元二次方程 的两个非负实根，则 的最小值是_____ _______. 2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为 和 ，则四边形DECF的面积为___ ___. 3．如果实数 满足条件 ， ，则 __ ____. 4．已知 是正整数，且满足 是整数，则这样的有序数对 共有___7__对. 第二试 （A） 一．（本题满分20分）已知二次函数 的图象与 轴的交点分别为A、B，与 轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P. （1）
证明
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：⊙P与 轴的另一个交点为定点. （2）如果AB恰好为⊙P的直径且 ，求 和 的值. 解 （1）易求得点 的坐标为 ，设 ， ，则 ， . 设⊙P与 轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则 . 因为 ，所以点 在 轴的负半轴上，从而点D在 轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1). （2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点 的坐标为 ， 即 . 又 ，所以 ，解得 . 二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高， 、 分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求 . 解 作 E⊥AB于E， F⊥AB于F. 在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4， . 又CD⊥AB，由射影定理可得 ，故 ， . 因为 E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以 ＝ . 连接D 、D ，则D 、D 分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠ DC＝∠ DA＝∠ DC＝∠ DB＝45°，故∠ D ＝90°，所以 D⊥ D， . 同理，可求得 ， . 所以 ＝ . 三．（本题满分25分）已知 为正数，满足如下两个条件： ① ② 证明：以 为三边长可构成一个直角三角形. 证法1 将①②两式相乘，得 ， 即 ， 即 ， 即 ， 即 ， 即 ， 即 ，即 ， 即 ， 所以 或 或 ，即 或 或 . 因此，以 为三边长可构成一个直角三角形. 证法2 结合①式，由②式可得 ， 变形，得 ③ 又由①式得 ，即 ， 代入③式，得 ，即 . ， 所以 或 或 . 结合①式可得 或 或 . 因此，以 为三边长可构成一个直角三角形. 第二试 （B） 一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 二． （本题满分25分） 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB. 解 因为BN是∠ABC的平分线，所以 . 又因为CH⊥AB，所以 ， 因此 . 又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以 ，因此C、F、H、B四点共圆. 又 ，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上. 同理可证，点E在CH的中垂线上. 因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同. 第二试 （C） 一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）已知 为正数，满足如下两个条件： ① ② 是否存在以 为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角. 解法1 将①②两式相乘，得 ， 即 ， 即 ， 即 ， 即 ， 即 ， 即 ，即 ， 即 ， 所以 或 或 ，即 或 或 . 因此，以 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°. 解法2 结合①式，由②式可得 ， 变形，得 ③ 又由①式得 ，即 ， 代入③式，得 ，即 . ， 所以 或 或 . 结合①式可得 或 或 . 因此，以 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.
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