厦门大学06高数第二学期期末试卷(B)及解答

厦门大学《高等 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 A》课程试卷＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业主考教师：高数A组试卷类型：（A卷）2007.06.8一、选择题（每小题4分，共16分）1．设是由球面x2y2z2R2所围成的闭区域,则(x2y2z2)dxdydz()2ππR（A）R2dddxyz；（B）6dcos24sindrrd；000πRR22zR（C）；6drdrz2dz（D）6z2dzdxdy。0000x2y2R2z2f(x,y)xy2．设f(x,y)在0,0的某个邻域内连续,且lim1,则f0,0是fx,y的。x0222y0(xy)（A）极大值；（B）极小值；（C）非极值；（D）不能确定。3．设:x2y2z2R2取外侧,为所围立体,rx2y2z2,则下列演算正确的是。3331xyz333（A）dydzdzdxdxdyR3xdydzydzdxzdxdyr3r3r3(B)3(x2y2z2)dv=3R2dvx3y3z3x3y3z3(C)dydzdzdxdxdydvr3r3r3xr3yr3zr3(D)04．设2收敛,则级数（）.anann1n1(A)绝对收敛;(B)条件收敛;(C)发散;(D)可能收敛,可能发散.二、填空题（每小题4分，共16分）12221．设rxyz,则div(grad(r))____________。2．设L为沿抛物线yx2从点o(0,0)到A(1,1)的一段，则yds。Ln3．（x1)的收敛域是。nn12n4．1的幂级数展开式为，收敛半径为。1x2x2三、计算题（第1题——第5题每题8分，第6，7题10分）1．求I(x2y2z2)ds,其中为球面x2y2z29与平面xz1的交线.2（1）na2.判断级数(a0)的敛散性。nn1n1ax2y22y3．求Iy2dxxydyxzdz.其中:,从z轴正向看为顺时针方向.yz14．求幂级数xn的和函数。n1n1axyxyb5．确定a,b,使得dxdy为某一函数u(x,y)的全微分，并求u(x,y)。x2y2x2y2xdyydx6.计算,其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.Lx2y221xnarctanx,x0(1)7．设f(x)，将f(x)展开成x的幂级数，并求级数的和.x14n21,x0n12(x2y2)四、设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程zh(t),设长度单h(t)位为厘米,时间单位为小时,已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130cm的雪堆全部融化需要多少小时?（8分）2一．DAAD21二、1．，2.（551）3.(1,3)r122114.((1)n2n)xn,n03321(x1)21y21三．1．解：将:224,xz1x2cos12化为参数方程：y2sin023分z12cos2则ds(2sin)2(2cos)2(2sin)2d2d。6分92I2d18。8分2012．解：当a1时，级数通项u满足u()n1，级数绝对收敛；当0a1时，由莱布尼茨判别法知nna级数条件收敛。3．解：取为zy平面上由所围成的椭圆下侧，{cos,cos,cos}为平面的法向量，则11cos0,cos,cos。由斯托克斯公式，22y2dxxydyxzdzydxdyzdzdxL(ycoszcos)dS1(yz)dS2=0。a(n1)(1)n4．解：由于Limn1Lim1，所以收敛半径R1。当x1时，幂级数化为，是nnann2n0n11收敛的交错级数；发散；当x1时，幂级数化为，是发散的。故级数的收敛域为[1,1)。n0n1xnxn1设和函数s(x)，即s(x)，x[1,1)。于是xs(x)。逐项求导，并由n0n1n0n1311xx2xn，x(1,1)1x可得xn11[xs(x)]'()'xn(x1)。n0n1n01x对上式从0到x积分，得x11xs(x)dxLn(1x)(1x1)。于是当x0时，有s(x)Ln(1x)。而s(0)可由01xxs(0)a01得出，也可由连续函数的连续性得到1s(0)Lims(x)Lim[Ln(1x)]1。x0x0x1Ln(1x),x[1,0)(0,1)故s(x)x。1,x0x()nxnxxs(x)2Ln(1)Ln2Ln(2x)，(2x2)。6分nn1n2n1n21x1当x0时，s(x)Ln(1)；当x0时，s(0)。故原幂级数的和函数s(x)为x221xLn(1),2x0,0x2s(x)x2。8分1x02axyxybPx22axyy25．解：由P(x,y)，Q(x,y)，得，x2y2x2y2y(x2y2)2Qx2y22xy2bxPQ。为使P(x,y)dxQ(x,y)dy为某函数u(x,y)的全微分，一定有。x(x2y2)2xy从而2axy2xy,2bx0。所以a1,b0。4分因为当(x,y)(0,0)时，P(x,y),Q(x,y)具有一阶连续偏导数，所以(x,y)(xy)dx(xy)dyx1yxy1yu(x,y)CdxdycLn(x2y2)arctanC(1,0)x2y21x0x2y22x8分yxQy2x2P6．解：令P,Q。则当x2y20时，。设L所围的区域x2y2x2y2x(x2y2)2y4xdyydx为D，当(0,0)D时，由格林公式知0。4分22Lxy222当(0,0)D时，在D内作圆周l:xyr，取逆时针方向，记L和l所围的区域为D1。6分对D1应用格林公式可得，xdyydxxdyydxxdyydx=0dxdy0。222222D1LxylxyLlxy2222xdyydxxdyydx2rcosrsin所以d2。10分222202Lxylxyr17．解：因为(1)nx2n,x(1,1)，所以21xn0nx1(1)arctanxdxx2n1，x[1,1]。2分021xn02n1(1)n(1)n于是f(x)1x2nx2n2。4分n02n1n02n1(1)n(1)nf(x)1x2nx2n22n12n1n1n0(1)n(1)n11x2nx2nn12n1n12n111=1+(1)n()x2nn12n12n11=1+2(1)nx2n，x[1,1]。8分2n114n11所以(1)n[f(1)1]2。10分2n114n24四．解：设雪堆的体积为V，侧面积为S。h(t)h(t)则Vdzdxdy[h2(t)h(t)zdzh3(t)。2分0Dz02422S1(zx)(zy)dxdyD016(x2y2)1dxdy（用极坐标）D20h(t)52h(t)13=2h2(t)16r2rdr=h2(t)。6分h(t)012dh13dV13由题意知，0.9S，所以dt10，从而h(t)t130。8分dt10h(0)130令h(t)0，可得t100（小时）。因此高度为130cm的雪堆要全部融化需要100小时。10分6