发现与证明---数学探究漫谈之一

《数学教学通讯》� � � � 年第 � 期 �总第 � �� 期 � 重庆 编者按 � 正在研制 的《高中数学课程 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 》增加 了数学探究专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 , 对此应如何认识和把握 �我们特约 请参与“标准” 拟定的西 南师范大学数学系张广祥教授开设《数学探究漫谈》专栏 , 供广大读者参 考 � 数学探究漫谈之一 成跪 与证 明 �西 南师范 大学 � � � � � � 张广祥 数学是一门充满 了发现与 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 的学科 , 发 现与证明给数学 的发展注人了无穷的生命力 � 由于历史的积淀 , 当代数学中存在数以千计的 著名数学难题 � 有些数学难题表面上看起来甚 至 并不比小学生教科 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 中的题 目更难理解 , 但 要解决它却极端困难 � 例如 � � � � � � � � , 这 个等式说明 � 恰好是它的各因子 �� 本身除外 � 之和 � �� 一 � 十 � � � � � � �� 也具有同样的 性质 � 但是就在这种普通得不能再普通的现象 中 , 数学家却提出下面的间题 � 是否存在一个奇 数具有上面 的性质 � 自从毕达哥拉斯时代至今 � �。。年来人类还无法解答这个难题 , 既没有发 现反例 , 也无法证明反例不存在 � 长期以来数学 以其特有的极具吸引力的问题吸引着一代又一 代的数学家探究解 开迷团的途径 � 发现与证明是数学探究的两个重要方面 � 科学研究的根本 目的在于发现客观世界的内在 规律 � 与其它学科一样 , 数学中的重大发现常常 要经历漫长的探索过程 � � � � � 年意大利数学家 � � �� �� � �� 发现了 � 次方程的求根公式 , �� 年之后 �� � � � � 。 的学生 � � � �� �� 发现 了 � 次方程的求根公式 � 但是 � 次方程的求解问题经历了大致 ��� 年时间 , 直 到 � � � � 年 �� 岁的挪威青年数学家 � � � �� � 才 第一次证明了一般 � 次方程不存在根式解法 � �� � 年间经历 了包括大数学家欧拉 、高斯 、拉格 朗 日等在内的众多数学家的艰辛探索过程 , 最 终解决方程根式解问题的人是一位天才的法国 中学生伽罗华 �� � �� �� �� � � � � 一 � � ! �� 伽罗华 为了彻底解决这一问题而创建的群论方法为现 代数学开启 了一扇希望的大门 � 与实验科学一样 , 数学发现的过程也是归 纳性的 , 要求人们从反复出现的 、个别的现象中 寻找 出本质的规律 � 但是数学发现不停留在归 纳步骤 , 它最终要求以严密 、精确的逻辑证明作 为确认真理的标志 � 这一点是数学与其它学科 的一个根本 区别 � 每一个稍具数学常识的人都 懂得即使你能证明一万个具体的三角形 内角和 等于 二 , 也不能由此确认 “三角形内角和为砂这 个 定理成立 � 定理 的证明必须遵循严密 的逻辑 演 绎形式 � 从发现一个数学事实到确证这个数 学定理也同样可能经历漫长 的曲折过 程 � �� � 年前法国数学家费马 �尸 � � ��� �� � � �� 一 � � � �� 发现 � � � 时任一个正整数 � 次幕不能表为另 外两个正整数 的 � 次幂之和 , 后来人们把这一 断言简称为费马大定理 , 但是直到 � � � � 年这一 定理才最后被美籍数学家 � � � �� ! 证明 , 发现 与证明之间相隔三个半世纪 � 数学发现与证明是数学产生的两个不可或 缺的环节 , 没有发现就没有证明 �反过来没有证 明 则任何发现就无法获得最终确认 � 但是传统 的 数学教学过程重证明而轻发现 , 这给教学带 来弊端 � 学习的根本 目的是发展学习者自身的 探 究与解决问题的能力 , 使学 习者成为知识的 发 现者而不是被动的接受者 � 数学探究应该贯 穿于教学活动的每一个环节 � 下面以“三角形 内角和为砂 这个看似简单 的数学定理的学习为例来说明数学探究的各种 可能性 , 说明探究怎样导致发现 � 要证明三角形内角和定理并不 困难 , 但是 · � · 重庆 《数学教学通讯 》� 。。� 年第 � 期 �总第 ��� 期� 探究式教学或探究性学习要求从这一基础定理 出发进一步发现更多的数学事实或者发现这一 定理与其它数学结构的关系 � 数学家陈省身发现 “三角形外角和为 �砂 这个事实比“三角形 内角和为 砂 更为本质 � 三 角形外角和定理是一类更为广泛的数学现象的 一 个特例 � 首先我们不难把三角形外角和定理 推广为 � 定理 � 任意多边形外角和为 �几 定理中的多边形既包括凸多边形也包括凹 多边形 , 见图 � 图 � 图 � 定理 � 任意简单闭曲线切线方向的改变 量之和为 �汀�见图 �� � 乙 � 十 艺 � � 艺� 十 匕� 十 匕� 十 乙� ‘ �二 外角和定理还可以推广到空间的情形 � 定理 � 多面角截面上闭折线的方向改变 量之和为多面角的各平面角之和 � 如图 � 所示截面 � 召� � 在 � 点处的方向改 变量为 二 一 �� � � �� � , � 处改变量 二 一 �� � 十 气 � , � 处改变量 二 一 �气 十气 � , � 处改变量 , 一 �� � 十 口 , � , 因此改变量之和为 � 二 � 二一 �� � 十 ⋯ � � 。� , 夕也是多面角展成平面之后的扇形角 � ��、 几比及、汽月,以 �一�肠���护关已� � �八 人遨宝派夕遥五� � ‘、 图 � 定理 � 球面上的截面曲线方向改变量为 对应切。面的扇形角 , 一誓� �图 � � 沿着这一方向发展 , 陈省身于 � � 年获得 图 � 了一般 曲面上闭曲线方 向改变量 的 �陈氏类 � 定 理 , 这一定理被称为高斯 一 别耐 一 陈省身 公式 ,这是陈省身后来研究工作的出发点 � 三角形内角和定理还有另外一个有价值的 发展方向, 计算简单多面体平面角的和习 , 公 式 习 二 �二� � 一 � � � �二 � � 一 � � 其 中 � 、 � 、 � 分别是多面体顶点数 、边数与面 数 、 特别地有 � � 尸 二 � � � , 这就是著名的欧 拉公式 � 进一步如果把多面体的顶点 ,边与面公 式看成维数为 。、 � 、 � 的几何构形 , 则 � � 犷一 � � 户是多面体构形 �� 维 � 的重要几何特征量 , 称 之为欧拉特征 � 欧拉特征是空间曲面分类的 重 要依据 � 在这个意义上三角形内角和定理仅 仅是各种几何构形特征 的一个特殊情形 � 教学 过程中的适当探究可以把数学发现与数学证明 结 合起来 , 并将可能把学习者引导到一个富有 想象力的学习环境中� �� 世纪数学教育的最重要特点是要求突 出数学思维的创造性 � 正在研制的《国家高中数 学课程标准 》新增的“数学探究 ” 内容将在发展 学生创新意识与创新能力方面发挥重要作用 � “标准 ” 指出 � 学生的探究性学习是围绕某 些中心议题 ,从观察分析数学事实出发 , 自主提 出问题 , 探求数学规律 , 猜测和寻找适当的数学 结论 ,探索解决问题的方法和途径 � 无疑地 “数学发现” 将作为一个重要的能 力因素成为 “标准 ” 中的一项教学 目标 � 我们将 在 《数学探究漫谈 》系列短文 中以众多的实例 表 明作者本人对数学探究的理解 , 探讨数学探 究的实际过程以及数学探究对数学教学的作用 和意义 �