[专业课]新祥旭北京大学光华管理学院考研辅导班-资料讲义

[专业课]新祥旭北京大学光华管理学院考研辅导班-资料讲义 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 北京大学光华管理学院考研辅导班 新祥旭 第一章 选择理论 研究选择理论，必须首先分析偏好，因为偏好是选择的基础，是进行科学选择的依据。 第一节 偏好与偏好假定 一、个人偏好关系 1、选择束 偏好(preferences)说明了个人面临各种可供选择的对象时，哪一个是值得或更值得去争取的这样一个问题。主体的选择对象可以是商品及其组合，也可以是行动及其组合。无论商品，行动以及它们的组合，都可以用一般化的概念,选择束(choice bundle)来表示。换言之，选择束包含了相应的商品、行动或它们的组合。 例如，当个人面临两种商品的选择时，图3,1给出了几个可供选择的选择束，它们分别表示: A:三瓶啤酒和四个鸭蛋; B:二瓶啤酒和六个鸭蛋; C:四瓶啤酒和八个鸭蛋; A、B、C分别代表了消费者的选择束。对于消费者，选择束也叫消费束。 啤 酒 ) 4 C 瓶 ) 3 A 2 B 鸭蛋(只) 4 6 8 图3-1:消费者的选择束 选择束是个人的选择对象。面对各种可供选择的选择束，个人必须做出判断:哪个更好,哪个更值得去争取,这就涉及到偏好问题。 2、偏好的表述 定义3-1:设X、Y代表两个不同的选择束， X=(X，X，„„，X)， 12n Y=(Y，Y，„„，Y)。 12n 微观经济学中通常用下列符号对它们的偏好关系进行描述: , (1)X Y:X至少和Y一样好或X不比Y差; , (2)X Y:X严格好于Y; 1 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net (3) X,Y:X和Y一样好，或X和Y无差异。 三、理性消费者的偏好假定 对理性消费者而言，偏好关系必然衍生出几个共同认可的假定。 假定1:完备性假定(Completeness Assumption) 给定两个消费束X和Y，理性消费者能够确定哪一个是更好的或者两者无差异。即对于X和Y，总有: X , Y 或 X , Y 这就是完备性假定。如果消费者无法区分哪一个更好或两者无差异，我们就不能期待消费者做出理性的选择， 假定2:反身性假定(Reflexivity Assumption) 给定两个相同的消费束X，消费者能够得出结论，X既不比它自身好，也不比它自身坏，X只能和它自身一样好。即对于消费束X，必有: X , X 且 X , X ，即X,X。 这就是反身性假定。如果消费者不能做出这样的结论，同样不能期待消费者做出理性的选择，消费理论也无从建立。 假定3:传递性假定(Transivity Assumption) 给定消费束X，Y，Z，如果X好于Y， Y好于Z，则X一定好于Z。即对于消费束X，Y，Z，如果X , Y， Y , Z ， 必有X , Z。 假定4:非满足性假定(Nonsatiation Assumption) 非满足性假定也叫单调性假定(Monotonity Assumption)。可以简单地表述成:对于非有害品，有好于无，多好于少。即给定X,(X，X，„X)和Y,(Y，Y，„，Y)12n12n ,如果X=Y但X>Y，i=1.2„n, i,j，则必有X Y。 X， Y分别表示消费束X、Y中的，iijjii 一个元素。 第二节 无差异曲线分析法 一、无差异曲线的导出 假定消费者某甲对啤酒和可乐有不同的偏好，为达到一定的满足水平，他需要3瓶啤酒和4瓶可乐。现在和某甲商量，如果减掉1瓶啤酒，再给他多少瓶可乐，某甲才会同意(某甲的满足水平并没有变化),某甲认为需要增加2瓶可乐。这样，某甲的消费束就从原来(3瓶啤酒，4瓶可乐)变为(2瓶啤酒，6瓶可乐)而满足水平没有变化，换句话说，某甲的两个消费束对他而言是无差异的，即在图3,5中，A,B。 啤 酒 C ) 4 A 瓶 ) 3 2 B U 0 2 可乐(瓶) 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 0 3 4 6 图3-5:某甲的无差异曲线 同样也可以这样和某甲商量:如果增加1瓶啤酒，某甲愿意放弃多少可乐(某甲的满足水平没有变化),某甲认为可以放弃1瓶可乐，这样，某甲的消费束就从原来的(3，4)变为(4，3)而满足水平没有变化，换句话说，某甲的三个消费束对他而言是无差异的，即在图3,5中，A,B且A,C，根据传递性假设，有A,B,C。 反复这样做，而且假定啤酒和可乐的变化单位可以无限小，我们可以找到许许多多和A无差异、因而也彼此无差异的消费束，把这些消费束代表的点连结起来，就形成了某甲消费啤酒和可乐的无差异曲线，如图3,5所示。 可见，无差异曲线说明，消费者可以在无差异曲线上选择任何消费束而得到同样的满足水平。 定义3-4:所谓无差异曲线(Indifference curve)是指在满足消费者效用水平不变的情况下，两种商品消费数量的依从关系，或者说，无差异曲线是指在满足消费者效用水平不变的情况下，消费者消费两种商品的消费束代表的点的轨迹。 需要指出，消费者一定的满足水平对应唯一的无差异曲线，把消费者不同满足水平的无差异曲线描绘出来，就形成了消费者的无差异曲线族，如图3,6所示，右上方的无差异曲线代表更高的满足水平。 啤 酒 U 3 可乐 图3-6: 无差异曲线族 二、无差异曲线的性质 为进一步认识无差异曲线全貌，下面我们对无差异曲线的性质进行分析。 性质1:如果两种商品是非有害、非自由的经济物品，则无差异曲线的斜率为负。 性质1说明， 消费者的无差异曲线通常向右下方倾斜，即为了保持一定的满足水平，消费者可以用一定数量的某种商品Q代替一定数量的另一种商品Q，换言之，Q和Q在1212数量上具有一定的替代性。 我们用反证法给出如下证明: 如果无差异曲线斜率可以为正，如图3,7中AB段所示， Q1 3 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net B Q B 1 A AA B Q QQ12 2 Q2 图3-7: 无差异曲线斜率为负 AABB在无差异曲线上任取两点A(Q)和B(Q)， QQ1212 BAB A?Q>，根据非满足性假定，必有B,A，但由于A、B在同一条无差异曲,QQQ2211 线上，故有B,A，两者矛盾，所以，无差异曲线的斜率只能为负。证毕。 性质2:如果消费者是理性的，则对应不同满足水平的两条无差异曲线不可能相交，但也不一定平行。 无差异曲线不相交，并不意味着一定平行，几何知识告诉我们，同一平面内的两条直线不相交则平行，但这一结论对曲线不成立，两条无差异曲线可以无限逼近，但可以永不相交，如图3,9所示 , , U 3 U 2 U 1 0 , 图,-,:无差异曲线可以不平行 性质3:右上方的无差异曲线代表更高的满足水平。 性质4:通常，两种经济物品的无差异曲线凸向原点。 三、无差异曲线的特殊情况 1.自由品的无差异曲线 自由品的重要特征是取之不尽，用之不竭，而且不存在替代关系，例如空气和阳光就是这样的自由品。但人们必须消费一定数量的空气和阳光才能生存，超过这一数量，也并不能给人带来更大的满足水平。假定消费者不会造成因过量消费空气和阳光而带来不适的情况，则消费者对空气和阳光的无差异曲线是一定范围内的平面，如图所示，Q1和Q2分别为消费者对空气和阳光的必要消费数量。阴影区内的各点都是无差异的。 空气 4 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net , ,, 0 Q 阳光 2 图3-10: 消费两种自由品的无差异曲线 如果两种物品中有一种是自由物品，另一种为经济物品，则无差异曲线是一条平行于自由品数轴的直线。图3,11给出了消费者消费食品和阳光时的无差异曲线。Q为阳光的基2本数量。 食品 0 , 阳光 , 图,-,,:消费一种自由品的无差异曲线 如果食品的数量增加，无差异曲线将平行向上移动。 2. 有害品的无差异曲线 当消费者消费一种有害品和一种经济物品时，随着有害品的数量的增加，需要同时增加经济物品的数量来弥补有害品增加带来的满足水平的下降以维持满足水平不变。这时的无差异曲线的斜率为正。图3,12给出了消费者消费污染和保健品的无差异曲线图。 污染 保健品 5 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 图,-,,:消费者消费一种有害品和一种经济物品的无差异曲线 3. 完全替代品的无差异曲线 定义3,1:充分替代品(Perfect substitutes)是指可以以固定比例彼此替代的两种或多种商品。 例如，面额为10元的人民币和面额为1元的人民币总可以1比10的比例互相替代(假定不考虑携带不便)这对持币人(消费者)来讲是完全替代品。图3,14给出了这种情况下的无差异曲线，这是一条斜率为负的直线。在维持满足程度不变的前提下，消费者总是可以以恒守不变的比例(1:10)把两种面额的货币进行兑换。 10 元 面 额 8 A ) 张 ) 4 B 2 C D 0 40 60 80 1元面额(张) 图3-14: 完全替代品的无差异曲线 完全替代的产品在现实生活中并不多见，严格说来，上例中的两种面额货币并不是严格的完全替代品，特别是当数额较大时，消费者携带10元面额的货币更加方便。 无差异曲线的斜率反映了两种商品替换的比例: 4.完全互补品的无差异曲线 定义3,2:完全互补品(Perfect Complements)是指必须以固定比例搭配起来才能满足消费者某种需求的两种或多种商品。 左 鞋 ) 只 ) 3 C U3 2 B U2 A 1 U1 o 1 2 3 右鞋(只) 图3-15: 完全互补品的无差异曲线 6 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 例如，人们穿的左鞋和右鞋，眼镜的镜片和镜框等可看成是完全互补品，它们必须分别以1:1和2:1的恒定比例结合起来才能满足消费者的需求。完全互补品的无差异曲线是直角线，图3,15给出消费1只左鞋、1只右鞋，2只左鞋、2只右鞋和3只左鞋、3只右鞋的满足程度，除此以外的点如D点(2只左鞋和1只右鞋)的满足程度依然和A点的满足程度相等，因为多余的1只左鞋没有任何价值。 上例中不同满足水平的无差异曲线的直角点都在同一条射线OA上，OA的斜率反映了两种商品配合的比例。 无差异曲线分析法是微观经济学中重要的分析方法，是消费者选择理论的基础，应该很好地掌握。 第三节 效用与边际效用 一、效用与效用函数 1.效用 定义3,3:经济学中所说的效用(utility)是指经济物品为经济主体带来的满足程度。 效用与经济物品的数量和性质有关，根据非满足性假定，数量越多，效用越大; 2. 效用函数 定义3,4:效用函数(Utility Function)是指消费者的总效用与其消费的各种商品的数量的函数关系。 例如，消费者消费n 种商品，其数量分别为X，i=1„n，则其效用函数为: i U,U(X, X,„X)效用函数的形式由消费者的主观心理即偏好所决定。图3,16给出了12n 消费者消费一种商品时的效用曲线。 U U m m 0 XX1 1 图3-16 : 总效用曲线 起初，消费者的效用随X的增加而增加，达到最大值Um时开始下降，这是因为X11过多时反而变成了有害品(例如，鸭蛋不能吃太多，否则难受)，从而使总效用出现下降趋势。 二、边际效用 1. 边际效用的经济意义 消费者每追加一个鸭蛋，就能增加一些效用，这就是“边际”的含义，微观经济学中对边际效用的定义是: 定义3,5:消费追加的那个消费品带来的效用增量叫边际效用(Marginal Utility)。 例如，消费者吃了三个鸭蛋后，共得效用25单位，再追加第四个鸭蛋，带来5单位效用， 7 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 使总效用增加到30单位，这第四个鸭蛋的边际效用就是5单位。 2.边际效用递减规律 通常，消费者消费每一单位消费品的效用是不等的 3. 边际效用递减规律的数学表示 根据效用函数U,U(X)(一种消费品的情况)的含义和边际效用的定义，边际效用可以用数学形式表示为:MU,ΔU/,X，如果消费品X可以无限细分，则效用函数连续可微，此时，MU,dU/dX。 边际效用递减规律说明，随着消费品X数量的增加，边际效用MU是减少的，即 22dMU/dx<0或dU/dx<0 。 4. 总效用与边际效用的关系 (1) 总效用是边际效用的累加，把每一单位消费品的边际效用累加起来，就是总效 用。图3,17说明了消费者消费鸭蛋的边际效用和总效用的关系。 鸭蛋(只) 边际效用 总效用 0 0 0 1 10 10 2 7 17 3 5 22 4 3 25 5 1 26 6 0 26 图3-17:总效用是边际效用的累加 (2)边际效用为0时，总效用最大。 这是因为，尽管边际效用是递减的，但只要边际效用大于0，总效用就会增加，但当边际效用为负时，总效用开始下降。边际效用为0时，总效用达到最大。 这一结论可以用数学方法进行如下证明: 22U,U(X)最大化的必要条件是dU/dX=0，充分条件是dU/dX<0，故充分条件满足，由边际效用的定义可知，MU,dU/dX,0 图3,18也说明了这样的关系。 (3)边际效用递减规律决定了总效用曲线是一条下凹(或上凸)的曲线，这是由于，总效用曲线的斜率就是边际效用，所以，边际效用递减必然导致总效用曲线下凹。用数学可以证明为: 22边际效用递减,dMV/dX<0,dU/dX<0,曲线下凹。 需要指出，通常的理性消费者的消费数量不会超过X点，这里为便于解释，在图上做0 出了边际效用为负的情况。 U U m 8 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net MU X(鸭蛋) O X X(鸭蛋)0 图3-18: 总效用与边际效用的关系 三、多种消费品的效用分析 给定消费者消费n种消费品的消费束X,X(X， X，„„X)，其效用函数为:U,U12n(X, X，„X)是对上述情况(只有一种消费品)的拓展。 12n 1. 边际效用 MU,,U/,X(i=1.2„n)，即第i种消费品的边际效用，其经济意义是:在其它消费品ii 数量不变时，追加一单位第i种商品为消费者带来的效用增量。MU可正，可负，也可以为i0。 边际效用递减规律即戈森第一定律可以表示为: , ,V,U(xi),,MU,,U/,xi,12？n ,ii ,2,MU,Ui,,,0,,x,xii, 此式的经济意义是:在其它消费品数量不变的情况下，随着消费品i的数量的增加，其 边际效用是递减的。 2. 互补品、替代品和独立品 2,U互补品，替代品和独立品分别可以由二阶导数 来描述。 ,X,,Xij 对于互补品， 2,U必有 (i,j),0,x,xij 这是由于: 2,MU,MU,Uji,, ,x,x,x,xijji 9 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 2MU,MUU,,ii即 或 其经济意义是: ,0,,0,0xxxx,,,,ijji 在其它商品数量不变时，第j种商品数量的增加会使第i种商品的边际效用提高，显然互补品具有这样的特点。例如啤酒和花生米互为互补品，当花生米的数量增加时，啤酒也会变得有滋有味，反之也是如此。 2,U越大，两种商品的互补性越强。 ,x,xij 对于替代品，必有 2,U<0 ( ) 这是由于: i,j,x,xij 22MU,U,,Ui<0 或 其经济意义是: ,,0,0,x,xxx,,ijji 在其它商品的数量不变时，第j种商品数量的增加会使第i种商品的边际效用下降，或第i种商品数量的增加会使第j种商品的边际效用下降。显然，替代品具有这样的特点，例如，啤酒和白酒互为替代品，当白酒消费量增加时，啤酒就会变得无关紧要，反之也是如此。 2,U 的绝对值越大，两种商品的替代性越强。 ,x,xij 对于独立品(两种互不相关的商品)，必有 2,U=0 ( ) 这是由于: i,j,x,xij 22,MU,U,Ui=0 或 其经济意义是: ,,0,0,x,x,x,xijji 在其它商品的数量不变时，一种商品数量的增加不影响另一种商品的边际效用。显然，独立品具有这样的特点。例如，花生米和西服可以看成是独立品，当花生米的消费数量变化时，并不会改变西服的边际效用，反之也是如此。 四、效用与无差异曲线 1. 无差异曲线的数学形式 前面的分析已经指出，消费者可以通过变换两种商品的数量来维持其效用不变。由于效用也就是消费者的满足程度，因此，当消费者效用不变时，两种消费品的函数关系正好反映了消费者的无差异曲线。在图3,19中，U>U>U，右上方的无差异曲线代表较高的效用102 水平。 X 2 X=X(X) 221 10 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net U=150 1 U=100 0 U=50 2 0 X 1 图3-19: 无差异曲线的数学形式 例如，消费者的效用函数为U,x x，效用为100单位的无差异曲线为x=100/ x(x,0)。 1221 2.无差异曲线的斜率与边际替代率 无差异曲线说明，为维持消费者效用不变，增加或减少一单位的某种商品，必须减少或增加相应数量的另一种商品，边际替代率反映了这一替代比率。 定义3,6:维持效用水平不变时，消费者愿意用一单位的商品x替换商品x的数量称12为x 对x的边际替代率(Marginal Rate of Substitution)用数学表示为: 12 ,x2MRS ,, 如果x和x都是可以无限细分的商品，则有 1.212,x1 dx2MRS=,，负号表示x和x的变化方向相反，即边际替代率用正数来表示更加1.212dx1 dx2方便。 正好反映了无关异曲线x=x(x) 的斜率，因此，边际替代率就是无差异22 1dx1 曲线斜率的负值。 dx2 如图3,20所示:MRS=, ,,tg,1.2dx1 X 2 U 0 α 0 X1 图3-20:边际替代率 3. 边际替代率递减规律 消费者消费两种商品并维持效用不变时，每增加一单位的某种商品，必须放弃 的另一种商品的数量即边际替代率会如何变化呢,图3,21可以帮助我们说明这一问题。 X 2 11 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net A B C D E F U0 0 1 2 3 4 X 1 图3-21:边际替代率递减规律 消费者效用水平不变时，为增加第二个单位的x必须放弃AB单位的x，继续增加第12三单位的x必须放弃CD单位的x，为增加第四单位的x必须放弃EF单位的x，显然，1212AB>CD>EF。这说明，维持效用水平不变，消费者每增加1单位的x，必须放弃的x的数12量是递减的，换言之，消费者的边际替代率是递减的。用数学形式可以表示为: , ,U,U(xx)012, ,dx,2 MRS,,,1.2dx1, 2,，，dMRSdxdxd1.222,,,(),,，02,dxdxdxdx1111, 边际替代率递减规律是由边际效用递减规律决定的:消费者每增加一单位x，边际效1用逐渐减少，于是愿意放弃的x的数量就会随之减少。边际效用递减规律决定了无差异曲2 线凸向原点，因为，如果无差异曲线凹向原点，则边际替代率必然是递增的，如图3,22所示AB 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 经济国家发行了大量的票证，许多商品凭票供应，消费者必须把货币和票证结合起来，才能购买商品，这是短缺经济的重要特点，也称为配额。 例如，购买一尺细布，消费者必须支付0.8元货币和0.2尺布票，购买一尺粗布，消费者必须支付0.4元货币和0.5尺布票，现在消费者有16元货币和1尺布票且全部用为购买细布和粗布，预算约束是什么呢, 首先，消费者必须满足货币约束，即:0.8x+0.4x,16 其次，必须满足布票约束，即12 0.2x+0.5x,10 12 X 2 40 30 20 F A G B 10 D H E C 0 20 50 X 1 图3-30:多重约束的预算线 显然，此时的预算集为阴影部分，预算线则不再是直线，而变成了OAB和BC线段的叠加。阴影部分以外的点如E、F等，都是消费者无法达到的消费束。B点表示消费者将货币和布票都用尽的消费束，D点表示剩余货币和布票，G点表示布票用完，但剩余了货币，H点表示货币用完，但剩余了布票。在预算线上，消费者究竟选择什么样的消费束，取决于消费者的偏好，即效用函数的形式。 第五节 消费者均衡 一、二商品常态均衡 1. 均衡点 在E点，无差异曲线U正好和预算线AB相切，此时，任何的X和X的替换都会使212效用水平下降，而要达到更高的效用水平也不可能，此时，我们说消费者在既定约束条件下达到了均衡。 15 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 2.均衡点的数学分析 数学上常用代入法和拉格郎日法求解这样的问题。 (1)代入法: MPX,11PX，PX,M,X, 代入效用函数得: 11222 P2 MPX,,11U,U(X，) 两边对X求导并令其为0，得到最优消费量X,X和X,1 1121 P2 ,X。二阶条件(充分条件)保证取得的极值是最大值: 2 dU2由边际效用递减规律可知:, 二阶条件满足。 ,02dX1 (2)拉格郎日乘数法 令L,U(X X)，,(M,PX,PX) 121122 一阶条件(First Order Condition, 以下简写为F .O.C.)为 ,,L,U,,,01,P,11X,X,,,, 联立求解可以得到X,X，X,X 1212, L,U,,,,,02P,,22X,X,, 二阶条件(Second Order Condition) 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 : ,,UU22 ,P12,,,XXX121 ,,UU22 ,P >0 2,,,XXX122 ,P,P 012 3.消费者均衡的性质 21性质2:消费者达到常态均衡时，预算线必然与无差异曲线相切。 /12证明:对效用函数U,U(xx)两边微分并令其为零: 12 dX,,UX,U,UdU= (A) ，,,,,0 1222 dXdX 这是无差异曲线的斜率。由均衡的一阶条件可知: /,,U1,X,X,dXUX,,,P,111/, (B) X,UX,,P,,,22/U,UX,,P,2,P,2,16 X,, 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 再对预算方程PX，PX,M两边微分并假定价格和收入不变: 1122 P1PdX+PdX= 0,dX/dx=, (C) 112221P2 这是预算线的斜率。 综合(A)(B)(C)三式可知，无差异曲线的斜率等于预算线的斜率，故两者相切。 性质3:消费者达到常态均衡时，两种商品的价格比等于其边际效用之比。 证明:由B式可知: P,,UX/MUMUMU11112或。这一比例也等于无差异曲线、预算线的,,, PP12 PUX,,/MU斜率。 222 :消费者达到常态均衡时，两种商品的边际替代率、价格比、边际效用之比都相性质5 等。即 PMUdX112MRS, 其中，MRS,, ,1.21.2dX1PMU22 二、两商品特殊均衡 1.完全互补品的消费者均衡 完全互补品的无差异曲线是直角线，但消费者的预算线仍为直线。此时，消费者的均衡点往往落在与预算线相接触的那条无差异曲线的直角点上。图3,33给出了这样的均衡点。在E点，消费者消费4个眼镜片和2副眼镜架，既达到了U2的效用水平，又满足了预算约束，所以E点是均衡点。 2. 完全替代品的消费者均衡 完全替代品的无差异曲线是一条直线，消费者的预算线也为直线。此时，消费者的均衡点往往落在横轴或纵轴上。 图3,34给出了这样的均衡点。在E点，无差异曲线AC和预算线AB相交，达到最大 P1效用水平且完全满足预算约束，所以E点必然是均衡点，但此时，MRS< ，即不满足1.2P2上述性质5。这种情况是由于消费者对X有着特殊的钟爱造成的。 2 C 小 瓶 啤 B 酒 ) 只 ) 17 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 0 E 大瓶啤酒(只) 图3-34:完全替代品的无差异曲线 三、多种商品的常态均衡 现在我们把消费束扩展到n种商品，即X=X(XX„X)，对应的价格向量为P,P(P ，，1 2n1P„P)，消费者的收入为M，效用函数为U,U(xx„x)。 2n1 2n 1.均衡点的确定 求解的问题是: n MaxU=U(x1 ，x2„x) s.t M= i=1.2„n Pxn,iii,1 n 令:L,U(xx„x)+,(M,Px) ，，1 2n,iii,1 一阶条件为: ,,LU,,,,P,01,,,xx11,,,,,x,x11LU,,,,,P,02,,,,x,xxx,,2222, ,,？？,L,U,,,,,P,0n,,,,,xxx,xnnnn,,,L,,M,Px,0,ii,,,, ,此方程组中有n+1个方程，n+1个未知数，即xx„x和, 。可以得到唯一解，即x 1 2n1,,,,,x „x，,。这就是均衡解，用数学表示为X*=X*(x x „x) 2n12n 二阶条件保证满足一阶条件的解X*为最优解，二阶条件要求1,—n阶行列式符号交叉变换并同时满足;即 18 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net ,,,,UUUU2222？,P12,,,,,,,xxxxxxx12131n1 ,,,,UUUU2222？,P22,,,,,,,xxxxxxx12232n2n(,1) >0 ？？？？？ ,,,,UUUU2222？,Pn2xxxxnxxn,,,,,,x,1223n ,P,P,P？ ,P 0123n 3. 替代品、互补品和独立品 2,MU,MU,Uii>0 即，或 ， 则i.j两种商品为互补品; ,0,0,x,x,x,xijji 2,MU,MU,Uii <0 即， 或 ，则i.j两种商品为替代品 ,0,0,x,x,x,xijji 2MUMU,,,Uii=0 即， 或 则i.j两种商品为独立品 ,0,0,x,xxx,,ijji 4. 边际替代率 U,U(x x„xn) P,P(P P„Pn) 1212 保持效用U、价格向量P不变，对效用函数两边微分可得: ,,,UUU dx，dx，？，dx,012n,,,xxx12n 令除i, j商品以外的其它商品的消费数量都不变，则有: ,,U/xMUP,,UUjjjdx，dx,0,MRS,,, ijij,x,x,U/,xMUPijiii 即均衡时，两种商品的边际替代率等于其边际效用之比，也等于其价格之比。 第二章 生产和技术 第一节 生产函数 一、生产函数的一般形式: 1(定义Q,Q( X ) = Q(X,X，„„，X)生产函数(Production Function)是指在既定的12n 技术水平下，一定的生产要素组合投入与其在理论上可能实现的最大产出之间的对应关系。 2.生产函数的度量 19 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 给定一组投入向量X=X(X，X，„„，X)，对应的产出为Q=Q(X，X，„„，X)， 12n12n3.生产函数的性质 ? 单值对应性 给定一组投入要素向量，最大的产出一定是唯一的。注意单值对应与一一对应的不同。 ? 单调性 在生产函数给定情况下，任何和一种要素的增加或减少都会同时增加或减少产出。 Q,Q(X1，X2，„„，Xn)， ,Q/,X,0 (i=1,2 ,„„，n) i ?连续性 这一条也可以视为假定。即投入的要素和实现的产出总是可以无限细分。这决定了生产函数是可导的，即: ,Q X,i (i=1,2 ,„„，n) 总是存在的。 ?边际技术替代率递减 边际技术替代率(MRTS)是指一种要素增加或者减少一个单位，另一种要素也必须减少或者增加一个单位。我们留待后面继续讨论。 二、单要素变动:产量曲线与企业决策 要素向量X,(X1，X2，„„，Xn)中其它n-1种要素的投入量都保持不变，单纯考察第i种要素与投入量和产量Q的变化关系。 1. 产量曲线:某种要素的投入量与最大产量之间的依存关系。 生产函数变为:Q,Q(X) X为第i种要素的投入量。 ii 把这一函数关系用几何形式描述出来，就得到了产量曲线，如图6,1中的上部分所示。 mm当X投入量为0时，产量为0，X,X时，产量达到最大值。由于在X以后，随着Xi 投iiii 入量的增加，产量开始下降，企业作为经济人通常不会这么做，所以对应的产量曲线用虚线表示。 Q 产量曲线` X MP 20 X 图6-1:产量曲线` 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 2. 边际产量 边际产量(Marginal Product)是指在投入要素达到一定水平时，再追加一单位投入要素时，总产量的增量，即边际投入增加的产出。通常用MP表示第i种要素的边际产量。 i ,QQ,MP=(假定可以无限细分) ,i,XX,ii 3. 平均产量 平均产量(Average Product)是指在投入要素达到一定水平时，总产量与某种投入要素量的比，它表明了平均每个单位生产要素为总产量做出的贡献。通常用APi表示第i种要素的平均产量 Q APi=,,tgXi 平均产量反映了总产量的平均值，表现在总产量曲线上是总产量曲线割线的斜率。 Q Q=Q(X) 根据这一点，我们可以在总产量曲线的基础上作出平均产量曲线，如图8,1的下部分所示。可以看出，只要总产量在递增，即割线QA的斜率tg,在不断增大，直到割线成为切а X 线时，tg,最大，此时平均产量达到最大值，此后，tg,又逐渐变小，平均产量开始下降。MP 只要总产量不为零，平均产量也不为零，只能无限趋近于零。边际产量通过平产量的最高点。这一点可以仿照边际成本通过平均成本的最低点的思路证明。 AP 4. 总产量、平均产量和边际产量的关系 X 1) 在总产量曲线的拐点上，边际产量达到最大，或者说，当边际产量最大时，总产量MP 曲线必然出现拐点。 图6-2:边际产量 2) 总产量达到最大值时，边际产量为0，或者说，边际产量为0时，总产量达最大值。 证明:由总产量最大化的必要条件可知: ,MP,Qi,0,0 即Mp=0, 此时总产量函数Q,Q(X)达到最大值。充分条件为时，iiX,Q,i 显然满足，即保证了Mp=0时，总产出达到最大值即不是极小值。 i 3) 在平均产量达到最大时，边际产量必然等于平均产量，或者说，边际产量曲线必然通过 21 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 平均产量曲线的最大点。 ,Q,,QAPi证明:AP=, AP达到最大值的必要条件是: , 即 ,0iiX,XiiQXi (/) ,AP,QX,X,QQiii ,,,,,,,02 MPAPii 充分条件保证了MP=AP时，AP达到最大值而不是最小值，读者可以自己验证充分条件iii X,X,X,XXiiiii也是成立的。即: AP,2i ,02X,i 5. 企业的决策 根据生产要素x的投入水平，我们可以把企业的生产划分为四个阶段: i 第I阶段:边际产量从0到最大值，此时对应的总产量为从0到Q; 1 第II阶段:边际产量从最大到平均产量的最大值，此时对应的总产量为从Q到Q; 12 第III阶段:边际产量从平均产量的最大值到0，此时对应的总产量为从Q到最值Q。 23 Q X MP,AP I II III IV AP Q Q Q X 123 MP 图6-3:企业的决策 那么，企业如何通过选择要素X的投入确定总产量呢,换言之，生产要素的合理投入i 区域是什么, 显然，企业不会选择第IV区域，因为此时生产要素X的投入已经使边际产量为负值，i 22 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 即使出现使总产量下降的现象。 同时，企业一般也不会选择第I区域，因为此时再增加一单位X的投入，总的以得到i 比前一单位X更多的总产量增量，企业是不会有利不图的。 i 可见，企业选择合理的要素投入水平只能在区域?和?中进行。是选择多投入要素Xi从而多实现产出呢,还是选择少投入要素X从而少实现产出呢,这又与要素X的市场价格ii有关。 如果X十分便宜，极端情况下可以成为取之不尽用之不竭的自由品，则企业必然投入i m大量的X以使总产量达到最大值，即投入贩X要素，实现Q的产出。例如，在海洋上Xiimi 用海水和其它要素制造化肥，海水这种要素的投入就可以达到这样的水平。这就是在劳动力相对便宜的国家，劳动密集型产业会得到快速发展的原因。 如果X十分昂贵，企业就会对产出和成本进行核标，如果少投入X又不会使产出下降ii 很多的话，企业就宁可牺牲一定的产品，也不能使成本太大。通常，X越昂贵，X的投入水ii 'm平越接近，即越向左移;X越便宜，X的投入水平越接近，即越向右移。这也正是XXiiii 在劳动力昂贵的国家(如美国)，劳动密集型产业发展较慢，而资本密集型产业发展较快的原因。 可见，企业要素合理投入区必然会选在区域?和区域?，其决策可以表示为 'mQ , (Q，Q)X,(，) XXmiii 以上我们分析了单要素变动情况下企业的产量曲线和决策，但这种情况在现实生活中并不普遍，一般的情况是企业面对两种或两种以上的可变要素进行生产，这种情况比较普遍，但更能符合实际地分析企业的生产和技术。下一节我们将借助产量曲线重点分析二要素变动时企业的生产行为。 三、产出弹性 产出弹性(product Elasticity)是指要素投入量发生变化时，产量变化率与要素投入量变化率的比率。它衡量产出变化对要素投入量变化的敏感程度。 产出弹性的表达式为: , ,Q/QX,Q/Q,QMP,==== iQ,X/X,X/X,XAP 或者: 23 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net ,, QQ/lnQ ,i,, ,,iiXlnX越大，要素对产出变化影响大;越小，要素对产出变化影响越小。弹性通常为正值。 ,, 第二节 等产量曲线与边际技术替代率 一、 等产量曲线 1. 等产量曲线的定义 在等产量曲面上，如果保持两种要素的投入数量可以变化，而其它要素投入数量均不变，则等产量曲面就变小了等产量曲线，它表示为达到既定的产出水平，两种生产要素的各种可能的百分比例的集合。 根据定义，等产量，曲线的表达式为: Q,Q(XX) i j0 其中，Q为既定的产出水平，XX为第i和j种要素的投入量。 0i j 等产量曲线的形式，和无差异曲线一样，是一条向右下方倾斜的曲线，曲线上注意点的产出水平是不变的，都等于Q。 2.等产量曲线的度量 ,,,例如柯布-道格拉斯生产函数: =AXXX Q123 指数越大，说明这种要素越重要;指数越小说明这种要素越不重要。若指数为零，则说明这种要素不起作用。 3.等产量曲线的性质 ? 在生产曲线右上方的点代表更高的产出水平，左下方的点代表更低的产出水平。 证明:如图所示，过X2轴取一平行于X1轴的直线。因为多投入就多产出，C比A多投入X1，D比A多投入X2，而D、C等产量，因此，B点产出水平高。 X 2 D B A C X 1 24 图6-5:等产量曲线以外的点 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 这一结论由生产函数的单调性加以证明: BBAA如图6-5所示A、B两点代表着不同的投入组合，A()和B()，在等XX,X,Xijij DDCC量曲线Q0上选定C，D两点，即C()和D()，对于C点: XX,XX,ijijCA ,XX,ii, 0 ,,,QQQCA,CA 即Q>Q， A点无法达到Q的产出水平，只能实现Q的产出水平。 0A0AXX,DB,jj,,XX,ii, 0,,,QQQBD,BD XX,即Q>Q，B点可以实现更高的产出水平Q。 BD,jj, 这一结论的推论是:在上方的等产量曲线比左下方的等产量曲线代表着高的产出水平。 ? 由定义可知，等产量曲线上任一点所代表的产出水平相同。 ? 任何两条等产量曲线不可能相交。 ? 由边际技术替代率递减规律决定等产量曲线通常凸向原点。 ? 等产量曲线的斜率在正常情况下为负。 X 2 B A X 1 图6-7:等产量曲线斜率为正的特殊情况 如果等产量曲线出现了从A到B的正斜率，说明此时X和X必须同时增加才能保持总12X 1 产量不变。在现实中，比如说一些企业可能需要额外投资于一些娱乐设施以保证那些无所是事又不得不养活着的人不会在闲极无聊时发挥余力去破坏正常的生产经营，即此时，企业既要增加人力资源的投入(工资成本)，又要增加资本的投入，才能保证正常的产量水平。 三、边际技术替代率MRTS MRTS通常表示第i种要素对第j种要素的替代。 25 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 1. 定义: 在维持产出不变的情况下，每增加或减少一单位某种要素投入量，所减少或增加的另一种要素投入量叫做前一种要素对后一种要素的边际技术替代率(Marginal Rate of Technical Substitution)。维持产量不变的情况下，要素之间保持此消彼长的关系，反方向变化。 2. 边际技术替代率的度量 根据定义，对于只有两种要素投入量变化的生产函数Q,Q(X，X)，边际技术替代率i j 可以表示为: ,XdXjjMRTS= ,ij ,XdXii 考虑到符号，则有: ,XdXjj MRT,,,,ij ,XdXii 注意上述是第i种要素对第j种要素边际技术替代率的表达形式(而不能相反)，其基本含义是:维持产出不变时，每增加或减少一单位i要素可以减少或增加的j要素的数量。 边际技术替代率就是等产量曲线切线的斜率。 3. 边际技术替代率与边际产量的关系 给定两种要素i, j变化的等产量曲线Q,Q(X, X)，两边全微分可得 0ij dXjQXiMP,,/,Q,Qij1Q, 即:= ，MRTS,,,ijdXdXMPij2 dXQXX,X,ij ,,/ 这就是说，边际技术替代率的大小正好等于既定产出水平时，两种要素边际产量的比值，注意，i和j的位置即分子和分母不要搞反。 四、等产量曲线的特殊形式 1. 两要素X，X的完全替代 12 男工 3 2 1 26 Q 2 Q 1 女工 0 1 2 3 4 5 图6-9:两要素X，X的完全替代 12 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 在特殊情况下，两种要素可以以一定的比例完全替代。例如，某企业雇佣男工和女工，假定男人的一半是女人，一个男工相当于两个女工，且男工的工资是女工的2倍，则男工和女工存着1:2的完全替代关系，此时的等产量曲线如图6-9 所示，是一条直线，和消费理论中的完全替代品的无差异曲线一样。在等产量曲线Q上，各点的斜率都是相同的，且等0 于,0.5，这说明边际技术替代率为常数1/2。企业为实现既定的产出Q，可以选择等产量0 线上的任何要素组合。 2. 两要素X，X的完全互补 12 卡车 B Q 2 A Q 1 司机 图6—10:两要素完全互补的等产量曲线 在特殊情况下，两种要素可以以一定比例完全互补，换言之，两种要素必须以严格的比例互相匹配，才能实现既定产出，否则，多余的要素毫无用处。例如，某汽车运输公司有6辆卡车，则只能也必须雇佣6个卡车司机，否则不是多余的卡车无用就是多余的司机无用，此时，卡车和司机以1:1的比例完全互补，等产量曲线是直角线，和消费理论中的完全互补品的无差异曲线一样。在这种情况下，边际技术替代率只在直角点A、B处存在，均等于1。如图 6-10所示。 1. 斜率为正的等产量曲线。 K B 27 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net A D Q 0 C L 图6—11:斜率为正的等产量曲线 有时，企业有可能出现等产量曲线变曲到使斜率为正的情况，如图6,11所示。AC段的斜率为正，但AB、CD段的斜率为负，这是由于企业一不留斜过度投入某种要素所致。在AB或CD段，企业必须同时增加两种要素投入量才能维持Q0的产出水平不变，显然这是一种极端浪费的情况。中国的许多国有企业由于人浮于事而扯皮，于是不得不增加资本的投入修建娱乐设施供一部分人玩乐，以减少他们对产品带来的负作用。请记住，任何要素的过度投入都会使过多的要素成为有害物品，必须花费代价才能排除。斜率为正的等产量曲线的边际替代率是负值。图6,11中的A、C点为斜率正负变换点，也叫脊点(Ridge Point)。只要在脊线以外，都要通过要素的调整使其落入脊线以内的经济区域。 六、替代弹性 边际技术替代率反映了两种投入要素之间的替代关系，它是等产量曲线斜率的负值，随着这一斜率的变化，两种投入要素的比例(X/X)也在发生着变化，为了反映两个变量依ji 存关系的敏感程度，微观经济学中常用替代弹性(Substitution Elasticity)来进行分析。 两种投入要素的替代弹性是指在既定的投入水平和投入价格下两种要素的投入比例(X/X)对于边际技术替代率变化的敏感程度，边际技术替代率每变化一个百分比，要素投ji 入比例发生的变化率。 根据定义，替代弹性可以表示为: dXXXX(/)/(/) MPijiji 由于, 所以， MRTS,T,ijdXXXX(/)/(/)dXXln(/)MPjdMRTSMRTS()/ ijijjijiji T,, ,,dMPMPMPMP(/)/(/)dMPMPln(/)例如，对柯布,道格拉斯生产函数Q,AXX，我们容易得到: 12 lnQ=lnA+,lnX+,lnX12 ijijij也容易求出弹性。 第三节 规模收益:多要素同时变动 28 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 一、 规模收益的定义 1.规模变化: 企业的规模变化(Scale variation)是指所有投入要素同比例变化，企业的规模发生的变更。只有所有投入要素同时变化时，才意味着企业规模的变化，换言之，只要有一种投入要素不发生，就不能理解为企业的规模发生了变化。同比例变化同时也意味着同方向变化，即要增加，都增加;要减少，都减少。增加时企业规模扩大，减少时，企业规模减小。所有投入要素同比例变化，意味着企业不存在固定成本，这意味着企业在于长期状态，可见，规模可以变化的企业必定处于长期状态，或者说，企业只有处于长期状态，规模才可以发生变化。规模变化可能导致企业的产出发生变化，规模扩大，可能使产出增加，也可能使产出减少，规模减小，可能使产品减小，也可能使产出增加，这要看企业处于什么样的状态。通常产出随规模的扩大而扩大，随规模的减小而减小。 对于生产函数Q=Q(X，X，„„，Xn)，所有要素同比例变化t倍，得到 12 / Q=Q(tX,tX,„„，tXn) 12 当t>1时，规模是扩大的;当t<1时，规模是缩小的;当t=1时，规模不变。假定t=1/2，意味着企业的分立，严格讲是企业按照产品来分开，一分为二，分成两个完全相同的企业;假定t=2，意味着企业的合并或兼并。 若其中仅有一个Xi变化α倍，那么如果α>t,则企业规模变化t倍;如果α0，即产出随着规模的扩大而增加，随着规模的减小而减少。 根据定义，规模收益SR可以表示为: ,QSR, t为企业的规模水平，当t和Q可以连续变化时，就有: ,t 29 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net dQSR, 即规模收益是规模曲线切线的斜率。 dt 二、 规模收益SR递减规律 规模收益递减规律是指随着企业规模的增加。规模收益必然出现从递增到不变再到递减的现象，或者说，随着企业规模的增加，开始时，产出增加的比例大于规模扩大的比例，随后，产出增加的比例等于规模扩大的比例，直到最后必然出现产出增加的比例小于规模增加的比例。 企业一般不会在规模收益递增阶段停下来，而是会加紧扩大生产;通常企业会处在规模收益下降阶段。 以下有几点需要我们注意: ? 企业的产出变化可能与规模变化不同步，只有在规模收益不变时，两者才同步变化。 ? 规模收益递增时，应该及时扩大规模，以便充分谋求规模扩大带来的好处，规模收益递 减时，如果进一步扩大规模的成本很大，就应该维持不变或减小规模，但并不意味着企 业必须减小规模。 ? 企业不可能在规模收益递增阶段停下来，而是会进一步扩大规模。 ? 企业规模收益有三种状态:递增、递减和不变。 三、 规模收益的度量 1. 齐次生产函数 给定生产函数Q,Q(X, X„X)，Q为产出，X为第i种要素的投入量，如果Q(tX, tX„12ni12 ,,tX)= tQ(X, X„X)= tQ, 则我们说Q,Q(X, X„X)为,次齐次生产函数。 n12n12n ,,0时，有Q(tX, tX„tX)= Q(X, X„X)，Q为0次齐次生产函数。 12n12n ,,1时，有Q(tX, tX„tX)= tQ(X, X„X)，Q为1次齐次生产函数。 12n12n „„ n,=n时，有Q(tX, tX„tX)= tQ(X, X„X)，叫做n次齐次生产函数。 12n12n 2( 规模弹性: 规模弹性(Elasticity of Scale)是指在技术水平和投入价格给定的产出变化时规模变化的敏感程度，即规模每变化一个百分点，引起的产出变化的晨分比。 =(dQ/ dt)(t/Q) ,,,(/)/(/)(/)/(/),,QQttdQQdtt 我们可以很方便地用规模弹性来度量规模收益: 30 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net dQQ/当ε>1时，>1，dQ/Q>dt/t，企业处于规模收益递增阶段; dtt/ dQQ/, < 1时，<1，dQ/Q

1(不妨取t=2，意味着企业的规模扩大了一倍)， , 若,>1，则t >2，企业处于SR递增阶段; , 若,<1，则t<2，企业处于SR递减阶段; , 若,=1，则t=2，企业处于SR不变阶段。 假设t <1(不妨取t=1/2，意味着企业的规模缩小了一倍)， ,若,>1，则t <1/2，企业处于SR递增阶段; ,若,<1，则 t >1/2，企业处于SR递减阶段; , 若,=1，则t=1/2，企业处于SR不变阶段。 假设t=1，则企业处于规模不变阶段，不详加讨论。 综上所述，我们可以看到，企业规模收益递增有两重含义:在规模扩大的时候，产出增加的比例大于规模扩大的比例;在规模缩小的时候，产出减少的比例也大于规模缩少的比例。这就意味着，在规模收益递增的时候，兼并是明智之举;在规模收益递减的时候，拆分一个企业将使产出的损失更大。 企业的规模收益递减也有两重含义:在规模扩大的时候，产出增加的比例小于规模扩大的比例;在规模缩小的时候，产出减少的比例小于规模缩小的比例。 由上可以得出一个结论:不论t的取值如何，当,>1时，企业处于规模收益递增阶段;当,<1时，企业处于规模收益递减阶段;当,=1时，企业处于规模收益不变阶段。 我们可以证明，当一个企业处于规模收益递增阶段时，如果把企业一分为二，则企业还是处于规模收益递增阶段，即两个拆分后的企业的产量之和小于原企业的产量;当一个企业处于规模收益递减阶段时，如果把企业一分为二，则企业还是处于规模收益递减阶段，即两个拆分后的企业的产量之和大于原来企业的产量。 证明:不妨假定两企业分开后各自生产函数还和原企业生产函数相同，都为,次齐次生 31 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 产函数Q(X)，各自获得原企业aX和bX的要素量，其中，a、b都大于0，且a+b=1。 ,,则显然Q(aX)+Q(bX)= (a+ b)Q(X)，由于a、b都是大于0且小于1，所以当,>1即原 ,,,,1，规模收益递增;,,1时，规模收益不变;,<1时，规模收益递减。 4( n种投入要素的规模弹性 ,Q/Qn每种要素的产出弹性为 ,X/Xii dQ/Q企业的规模弹性 ,,dt/t 对给定n种投入要素的生产函数Q,Q(X, X„X)，对Q求全微分: 12n12ninn ,Q,Q,Q,QiiidQ=，对右边每项略作改动即得: ，，，,？,i1,12ni,,dXdXdXdxii dXXdX,QQdQ= ,,,,,,,,i,,i11iiiidXQ,X,X,X,X, ,,,dXQQ/dti其中，,，为要素X的产出弹性，而为企业规模的变化率，因此， ,ii,X,QdXXXXtnni,iiXX/dxdti dQ= 则有: ,,Q,,,Q,,ii,,11nxtiii dQQ/,,,, ,i,1idtt/ 所以，规模弹性等于所有要素的产出弹性之和。 32 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 第三章 生产者均衡及其变动 第一节 等成本曲线 一、成本预算 X代表生产要素组合的向量，X1和X2代表两种不同的生产要素，r是代表生产要素价格组合的向量，r1 和 r2分别表示要素X1和X2的价格。C表示成本。 1.价格向量 X2 r,r(r,r)12 2.要素向量 X,X(X,X)12等成本曲线 C/r2 3.成本约束/或成本预算 C,rX，rX1122 X1 C/r1 图7.1等成本曲线 第二节 生产者均衡 一、生产中的均衡 1.含义: 厂商谋求利润最大化，或产出最大化，或成本最小化，使生产者达到最优状态，称为生产者均衡。 2.达到均衡的方法 (1)提高产量:即保持成本不变，寻求最高的产量，如图，从A点或C点移动到B点，就是在成本固定的前提下达到了最 X2 高的产量。 (2)产量固定，减小支出:如图， A等产量曲线 从A点或C点移动到D点，就是在产量 固定的前提下达到了最低的成本。 3.均衡投入 生产者选择一种投入组合，在既定B C/r2 的产量下使成本最小化，或者在既定的 成本下使产量最大化。如图中的B点和 D点，是等成本曲线和等产量曲线的切 DC 33 X1 C/r1 图7.2非均衡点到均衡点 的移动 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 点，这些点都是代表对应产量下的最低成本或者对应成本下的最高产量。 二、产量最大化 1.问题的提出: 在生产函数Q=Q(X1, X2)、要素价格和总成本C给定的前提下，选择要素组合(X1, X2) 使产量最大化: Q(X,X)12Ma.x,XX 1 2 s.t.C,rX，rX1122 问题的解: 2. 构造拉氏函数求解: Max L(X,X,,),Q(X,X)，,(C,rX,rX)12121122F.O.C(一阶条件): ,L,Q,,,r,01,X,X11 ,L,Q,,,r,0 2,X,X22 ,L,C,rX,rX,01122,, 我们假设S.O.C成立，则由以上各式可以得到: ,QMPr,X111 ,,,QMPr,X 222 进一步可得: MPMP12 ,rr12 生产者均衡时，各要素边际产量和其自身价格的比为一定值。 3.产量最大时的要素投入函数 由一阶条件，可解得均衡时X1，X2和λ的表达式，即产量最大化时的要素需求函数， 也称为等成本要素需求函数: **X,X(r,r,C)1112 **X,X(r,r,C) 2212 **,,,(r,r,C)12 令r和C为常数，则得要素1的自价格需求函数和要素2的交叉价格需求函数: 2 **X,X(r)111 **X,X(r)221 34 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 同理令r和C为常数，则得要素2的自价格需求函数和要素1的交叉价格需求函数: 1 **X,X(r)112 **X,X(r)222 总之，在已知要素价格和总成本的前提下，厂商就可以依据等成本要素需求函数决定要素投入组合，使得产量最大。 三、利润最大化 1.问题提出: 在生产技术、要素价格和产品价格给定的条件下最大化利润，利润可表示成总收益与总成本的差，厂商可以通过选择适当的产量或者投入要素使得利润达到最大，即 Max,,R,C ,代表利润， R代表总收益，C代表总成本。 其中， 2.问题的分析和求解: (1)产量分析: 即以产量为选择变量求解， ,(Q),R(Q),C(Q)MaxQ 一阶条件为: ddRdC,,0,,,0,MR,MCdQdQdQ 结论是利润最大化时对应的产量，其边际成本等于边际收益。 (2)要素分析 即以投入要素为选择变量求解， ,(X,X),P,Q(X,X),(rX，rX)12121122MaxXX,12 一阶条件为: ,,,Q,P,,r,01,X,X11 ,,,Q,P,,r,02,X,X22 P,MP,r11 进一步可得: P,MP,r22 均衡时要素的边际产量与产品价格的乘积即为要素的边际产值，它必须等于要素自身的价格，否则，利润就有增长的空间。如果要素边际产值大于要素价格，则应该继续投入要素，降低边际产量，获取更大利润;反之，如果边际产值小于要素价格，就应该减少要素投入，增加边际产量，以获取更大利润。 3.要素需求函数 由要素分析中的一阶条件，可解得要素需求函数，(区别于产量最大化下的等成本要素需求函数): 35 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net **X,X(r,r,P)1112 **X,X(r,r,P)2212 类似的，在r1或r2为常数的条件下，可导得要素的自价格需求函数以及交叉价格需求函数。 4.利润函数: 将要素需求函数代入目标函数，可得利润函数: **** ,(r,r,P),,(X,X),,(X(r,r,P),X(r,r,P))1212112212 即在既定的生产技术，产品价格和要素价格下，厂商能够获得的最大的利润水平。 四、成本最小化 1.问题提出: 在生产技术、产量和要素价格给定的前提下，对投入要素进行选择，使得成本最小，即: c,rX，rXMin1122,XX12 s.t.Q,Q(X,X)12 2.分析与求解: 构造拉氏函数求解: L(X,X,,),rX，rX，,(Q,Q(X,X))12112212MinXX,,,12 一阶条件是: ,L,Q,,r,,01,X,X11 ,L,Q,,r,,0 2,X,X22 ,L,Q,Q(X,X),012,, MPMP12同样得到:，即均衡时各要素的边际产量比上其自身价格为常数。 ,rr12 3.成本函数和条件要素需求函数 由上面地一阶条件，我们可求出均衡时的要素需求函数,也称为条件要素需求函数: **X,X(r,r,Q)1112 **X,X(r,r,Q)2212 类似的，在r1或r2为常数的条件下，可导得要素的自价格需求函数以及交叉价格需求函数。 将条件要素需求函数代入目标函数，就可得到成本函数: 36 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net **C(r,r,Q),r,X(r,r,Q)，r,X(r,r,Q)1211122212 即在既定的生产技术、要素价格和产量之下，企业所要支付的最小成本。 第三节 多要素分析 一、等成本 在多种要素的情况下，厂商也可调整生产要素的组合方式，将成本固定在某一水平上。假定要素价格向量和要素向量如下: r,r(r,r,？,r)12n ， X,X(X,X,？,X)12n n 则多要素等成本意味着:。 C,rX,ii,1i 三、生产者均衡 1.产量最大化 n s.t. C,rXQ(X,X,？,X),12niiMa.xX,1ii 构造拉氏函数求解: n Max L(X,X,？,X,,),Q(X,X,？,X)，,(C,rX),1212nnii,1i F.O.C(一阶条件): ,L,Q,,,r,0i,X,Xii其中，i=1,2,„„，n。 n,L,C,rXi,0,i,,i,1 ,Q ,XMPii我们假设S.O.C成立，则由以上各式可得:。即,,,,其中i,1,2,？,nrrii 生产者均衡时，各要素边际产量和其自身价格的比为一定值。同时由一阶条件的n+1个方程，可解得均衡时X1，X2，„„，Xn和λ的表达式，即产量最大化时的要素需求函数，也称为等成本要素需求函数: **X,X(r,r,？,r,C)ii12n 其中，i,1,2,？,n 根据等成本要素需求函数，在已知要素价格和总成本的前提下，厂商就可以依据等成本要素需求函数决定要素投入组合，使得产量最大。 2.成本最小化 37 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 在生产技术、产量和要素价格给定的前提下，对投入要素进行选择，使得成本最小，即: n minC,rX,ii,1i s.tQ,Q(X,X.....,X)12,n 构造拉氏函数求解: n L(X,X,,),rX，,(Q,Q(X,X,？,X)),12ii12nMax,X,X,,i112 一阶条件是: ,L,Q,,r,,0,,i,1,2,？,n其中i,X,Xii ,L,Q,Q(X,X,？,X),012n,, ,Q ,XMPii同样得到:，即均衡时各要素的边际产量比上,,1/,,其中i,1,2,？,nrrii 其自身价格为常数。同时由一阶条件的n+1个方程，可解得均衡时X，X，„„，X和λ12n的表达式，即求得成本最小化时的要素需求函数，也称为条件要素需求函数: *X,X(r,r,？,r,Q)ii12n 其中，i,1,2,？,n 将要素需求函数代入目标函数，就可得到成本函数: n* C(r,r,？r,Q),r,X(r,r,？r,Q),1212niin,1i 即在既定的生产技术、要素价格和产量之下，企业所要支付的最小成本。 3.利润最大化 在生产技术、要素价格和产品价格给定的条件下最大化利润，利润可表示成总收益与总成本的差，可以通过选择适当的产量或者投入要素使得利润达到最大，即 Max,,R,C ,其中，代表利润， R代表总收益，C代表总成本。 (1)产量分析: 即以产量为选择变量求解， ,(Q),R(Q),C(Q)MaxQ 一阶条件为: ddRdC,,0,,,0,MR,MC dQdQdQ 结论是利润最大化时对应的产量，其边际成本等于边际收益。 38 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net (2)要素分析 即以投入要素为选择变量求解: n ,(X,X,？,X),P,Q(X,X,？,X),rX,1212nniiMax,1Xii 一阶条件为: ,,Q, 进一步可得: P,MP,r,P,,r,0其中i,1,2,？,niii,X,Xii 均衡时要素的边际产量与产品价格的乘积即为要素的边际产值，它必须等于要素自身的价格，否则，利润就有增长的空间。如果要素边际产值大于要素价格，则应该继续投入要素，降低边际产量，获取更大利润;反之，如果边际产值小于要素价格，就应该减少要素投入，增加边际产量，以获取更大利润。 同样由要素分析中的一阶条件，可解得要素需求函数，(区别于产量最大化下的条件要素需求函数): * X,X(r,r,？,r,P)ii12n 将要素需求函数代入目标函数，可得利润函数: *** ,(r,r,？,r,P),,(X,X,？,X)12n12n 即在既定的生产技术，产品价格和要素价格下，厂商能够获得的最大的利润水平。 第四章 市场结构与竞争均衡 第一节 完全竞争市场 一、市场特征 1.大量的买者和卖者，每一个买者和卖者都无法左右价格，只能是价格的被动接受者。 2.产品同质，无差异。 3.要素完全自由流动，厂商进入和退出一个市场没有障碍。 4.信息完全充分。 二、收益曲线和需求曲线 1.收益曲线 价格P为常数，总收益为R，平均收益为AR，边际收益为MR，产量为Q，则: R,P,Q AR,R/Q,P MR,dR/dQ,P MR,AR,P 所以，，即在市场完全竞争的条件下，厂商的边际成本、平均成本都等于产品价格P。如图8.2和8.3。 39 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net AR\MR R R R=P*Q AR=MR=P P P=tanα α Q Q 图8.2厂商的收益曲线 图8.3厂商的平均收益曲线 2.需求曲线 在完全竞争的市场上，单个厂商面临的需求曲线和所P 有厂商作为一个整体面临的市场需求曲线是不一样的，作 为单个厂商无法左右市场价格，但厂商作为一个整体，是 可以影响市场价格的，因此我们分两种情况来讨论需求曲 线。 P=C 1)厂商的需求曲线 (C MR,AR,P,C因为对于单个厂商，，其中C为 Q 常数，与产量Q无关，所以厂商需求曲线为一平行与横轴 图8.5厂商需求曲线 的一条直线(如图8.5)，因此单个厂商面临的需求弹性无 P P S1 D S2 P=P1 P1 P2 P=P2 Q Q QQ1 2 厂商需求曲线市场需求曲线及图8.6 及其变动 均衡的变动 穷大，价格稍微下降就可占领整个市场。但由于均衡价格下超额利润为零，降价必然亏本，所以没有厂商会降价。 (2)市场需求曲线 所有厂商作为一个整体，面临的需求曲线是一条向右下方倾斜的曲线，它完全由市场上的消费者决定。 同时，所有厂商作为一个整体，有其自身决定的一条供给曲线，它与需求曲线的交点决定了单个厂商所必须面对的时常均衡价格P。 当供给曲线或市场需求曲线移动时，均衡点发生变动，单个厂商面临的需求曲线也将发 40 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 生变动。如图8.6所示，假定由于某种因素影响，供给曲线向右下放移动，均衡价格从P1下降到P，而均衡产量从Q增加到Q，此时厂商需求曲线从P=P向下移动到P=P。 21212三、均衡分析 1.瞬时均衡 在一个固定时点上，单个厂商的供给和整个市场的供给都是固定的常量，与厂商的成本、技术都没有关系。只有市场需求曲线变动，均衡价格才会变动。如图8.7，需求曲线从D1*移动到D，市场供给量固定为Q，均衡价格的变动为从P到P。 212 P P D2 D1 P=P1 P1 P2 P=P 2 Q Q * Q 厂商需求曲 市场需求曲线线及其变动 及均衡的变动 图8.7瞬时均衡 2.短期均衡 短期厂商面临不变的价格水平，根据P,C P=MC的边际原则决定自己的产量。如果 MC P=MC>AC,厂商获得正的利润;如果AC P=MC=AC，则获得零利润;如果P=MC0，b>0 P,a,b,Q 2.收益曲线 总收益为R，平均收益为AR，边际收益为MR，产量为Q，则: R,P(Q),Q AR,R/Q,P(Q) MR,dR/dQ,P(Q)，Q,dP/dQ,P(Q)(1，1/E)p 其中为产品需求的价格弹性。 E,Q,dP/P,dQp R,C TC TR 三、 短期均衡分析 1.只有一个工厂 45 Q * Q 图8.20只有一个工厂(总量分析) 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net C 只有一个工厂时，垄断厂商将按照AC 边际原则确定自己的产量，如图 MC 8.19，边际成本曲线和边际收益曲 线相交与Q，或者，如图8.20，在 *Q点，总成本曲线和总收益曲线的切* P*线平行。 2.多个工厂 假定垄断厂商有多个生产工 厂，总产量为各个工厂的产量总 和，总成本也为各个工厂的成本总AR 和，因此垄断厂商MR nn Q,Q，R,P(Q),Q,R(Q)，C,C(Q)，C,,0iii* Q,,11ii ，它将依据最大化原则在各个工厂图8.19只有一个工厂(边际分析) 间分配产量，，一,,R,CmaxQi P,C 阶条件为: MCMCMC12TdC,R,QiC C C ，即,,0，i,1,2,？,n,Q,QdQiiQ MR(Q)=MC(Q)，均衡时各个工厂的边际成本ii 都将相等，并且都等于垄断厂商的边际收益。 当厂商有两个工厂时，如图8.21，由工厂1的边 际成本曲线MC和厂商2的边际成本曲线MC12 水平叠加得到厂商的总边际成本MC，MC与TTAR *MR相交，得到MR，所有的工厂边际成本都等* MR C PMP R AC Q图8.21Q多个工厂Q 1 2 T MC *MC 于MR，进而推出厂商的总产量和各工厂 的产量。 Pm 垄断与效率损失 Pm * 1(垄断的效率损失 PP1 由于MC=MR，垄断者生产的产量低于 * D 社会最优的产量，造成效率损失。这种损P MR 失用消费者剩余和生产者剩余的总和减少 Q AR 来衡量，是垄断造成的主要的社会成本。 * QQm MR 46 图8.22效率分析 * QQQm 1 图8.23垄断下的价格管制 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 垄断厂商的定价方法 1( 价格歧视 价格歧视就是指厂商把同一产品对不同的市场或不同的消费真制定不同的价格。价格歧视主要有一下三种方式: (1)一级价格歧视 一级价格歧视又称为完全价格歧视，是指对每单位商品都制定不同的价格，即每单位商品都以消费者愿意支付的最高价格出售。 一级价格歧视下，生产者占有P 了全部的消费者剩余，在追求最优 化时，最大化了生产者剩余和消费 P1 者剩余的总和，使得产量达到社会 P2 最优的水平。 显然，一级价格歧视在实际上 是无法实现的，它要求垄断者掌握市场需求曲线 每一单位产品对消费者的最高边际 MC 值，这样的信息要求是不可能达到 的。 (2)二级价格歧视 二级价格歧视就是指不同单Q 位的产品组合以不同的价格出售，图8.24一级价格歧视 而购买同一数量的不同消费者都支P 付同一价格。最普遍的二级价格歧视就是数 量优惠，买的越多，价格越低。 二级价格歧视所能获得的利润比单一 价格的垄断利润更高，如图8.25，单一垄断 Pm 价格为P，销售量为Q，厂商实施二级价格mm 歧视，购买量低于Q，单位价格为P，而高mmMC * *P于Q的购买量，则价格为P。显然，只要m*MC< PP。因为需求弹性小的市场上，消费者对价格不敏感，垄断者可以把价格定的较12 高而不损失太多需求量，最终获得较多的利润。 3(二重价 价格歧视的实质是垄断者利用自己P 的垄断势力，制定不同的价格，最大限度地占 P 有消费者剩余和增加自己的利润， P MC 七、结论与对策 1.结论: (1)完全垄断市场有很强垄断性，存在效T * 率损失。 P (2)完全垄断时，消费者的利益受到损害。 D(AR) (3)完全垄断的市场结构在现实经济中存 在，但并不多见。 Q 图8.26二重价 第三节 寡头垄断市场 一、 市场特征 1.厂商数量极少，但多于两个。 2.各厂商之间相互依存，有合作也有竞争。 3.产品同质的或有差异的。 4、市场进出困难，要素流动的障碍很强。 二、 需求曲线和收益曲线 1.需求曲线 每个厂商都面临向下倾斜的需求曲线，类似于完全垄断情况下的需求曲线,只是比完全垄断时的需求曲线平缓: ，Q代表所有厂商的总产量，单个厂商的产量QP,P(Q),dP/dQ,0，Q,Qi,i 对价格的影响程度较完全垄断下减弱。 2.收益曲线 收益曲线也类似于完全垄断的情况，各厂商仍能获得超额利润，第i个厂商的总收益， 平均收益，边际收益如下: R,P(Q),Qii AR,R/Q,P(Q) iii Q1iMR,dR/dQ,P(Q)，Q,dP/dQ,P(Q)(1，,)iiiiEQP 因为E为负，所以市场份额即Q/Q比较大的厂商，其边际收益以及边际成本都比较小，Pi 也即维持较大的市场份额必须有成本优势，进行低成本扩张。 三、 寡头行为 1.合作 寡头之间的相互合作可能是强强合作，谋求更大的发展空间和盈利能力，也可能是实 48 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 力较弱的厂商为得到实力较强的厂商的支持，主动要求相互合作。 2.独立行动 各厂商只谋求自身利益的最大化，在考虑对方可能的行动策略后，作出自己的决策。 均衡的结果可能是双方都没有最大化自己的利益。 四、几个模型 1.古诺特均衡 (1)假定:A.只有两个厂商。B.厂商的MC=0。C.面对相同的线形需求曲线。D.两厂商 同时做决策。 P (2)问题:两个厂商的均衡产量 和均衡价格如何确定 (3)分析求解: a) 图示: 如图8.27，假定需求曲线是线性 的，并且边际成本为零，厂商1先于 厂商2进入市场。显然完全竞争的产 量应该在MC=AR=0的D点，因为需求P1 曲线是线性的，所以边际收益曲线 (虚线所示)的斜率是平均收益曲线 (需求曲线)斜率的2倍，厂商1由P2 MR=MC=0的边际原则，首先选择OD的 中点A。而后厂商2进入，考虑到厂 商1已经生产OA，它将选择生产AB，Q 其中，B为AD的中点。接着，厂商1D C A B 考虑到厂商2生产了AB=BD，它将生 产OC，其中C为OB的中点。接下去，图8.27 古诺均衡 厂商2又会生产1/2CD的产量。总 之，由于需求曲线线性和边际成本为零，两厂商的最优策略总是选择1进行生产，厂商1的产量逐渐减少，而厂商2的产量逐渐增多，最终,(Q,Q)对方完全竞争2 11均衡时相等，由，可求得。 Q,,(Q,Q)Q,Q完全竞争完全竞争32 b) 数学分析: 0 用代表完全竞争时的产量，开始时，厂商1先进入，有Q=1/2,而后厂商2进QQ1入，两厂商按下列规则逐次调整产量: 11iiii,1并且 ,，,，Q,(Q,Q)，i0,，,Q,(Q,Q),i,1,，,211222 其中，i代表两厂商产量竞争的次数，因此: 11ii,1ii,1，并且 ,，,，Q,(Q，Q),i,1,，,Q,(Q，Q),i,1,，,112244 111ii,1即,，， Q,Q,(Q,Q),i,1,，,11343 49 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 111ii,1并且 ,，Q,Q,(Q,Q),i,1,，,22343 111111ii0i所以:，并且 ,，Q,Q，()(Q,Q),Q，()Q,i,0,，,11343364 111111ii0i ,，Q,Q，()(Q,Q),Q,()Q,i,0,，,223433124 1 显然，当厂商产量竞争的次数i趋于无穷时，可求得均衡产量为。 Q,Q,Q123 (4)反应函数 两个寡头对对方作出的决策如何反应，基于自身利益的最大化，即给定对方的产量或价格，选择自己的产量或价格。所以，寡头1假设对方产量Q给定，选择自己的产量，最大2 化利润:即，由于边际成本为零，一阶条件如下: Max,,P(Q，Q),Q,C11211 dP，后者即为厂商1的反应函数，同理，厂P(Q，Q)，Q,,0,Q,Q(Q)121112dQ1 商2也将有自己的反应函数，由两个反应函数联立即可求得均衡时的产量。 Q,Q(Q)221 当需求曲线为线性时，假设，其中a>0，b>0，时，反应函数为: P,a,b,Q abQ,2Q,12bQ2 abQ,1Q,22b 厂商1的反应曲线 a/ QQ ，解得。 ,,12厂商2先决定Q23b a此时，P,，如果3古诺均衡点 成本为零，则 2a。 ,,,,厂商2的反应曲线12 9bQ2 并且不论两寡头谁先做 出产量决策，最终产量都将Q1 /沿着反应曲线到达均衡点， Q 1如图8.28，如果寡头1先定R1 厂商1先决定 价，则路径从下到上，如果厂商2的等利润曲线 图8.28反应曲线 寡头2先定价，则路径从上 到下。 (5)等利润曲线 切点为古诺均衡点 a/2b 假定成本为零，需求曲线为线性厂商1的等利润曲线 需求曲线，则两厂商的利润可表示为: R2 50 Q1 a/2b 图8.29等利润曲线 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 2,,P,Q,aQ,bQ,bQQ111112 2,,P,Q,aQ,bQ,bQQ222212 由以上两式，给定一个利润值，就能在(Q, Q)平面上找到相应的一条曲线，曲线上12 的每一点都能达到这一利润水平，该曲线即为等利润线。随着利润水平的变动，就能得到一组等利润线。如图8.29，因为利润水平越高，等利润线越靠近坐标轴，所以厂商2尽可能地选择靠近纵轴的等利润线，厂商1尽可能地选择靠近横轴的等利润线，最终厂商2的等利润线与厂商1的等利润线在古诺均衡点相切，达到均衡。 2(斯塔克博格模型 (1)假设:A.两个厂商。B. 面对相同的需求曲线和价格。C.两个寡头不是同时决策，先决策的称为领导者，后决策的称为追随者。 (2)问题:两个寡头各自的产量、利润以及产品市场价格如何决定 (3)分析:令厂商1为领导者，厂商2为追随者 A.先求出厂商2的反映曲线: 由厂商2，并且MC=0，可知: Max,,P(Q),Q,C(Q)22222 ,P(Q)，又因为，所以可求得反应函数:。 Q,Q，QQ,Q(Q)P(Q)，Q,,0212221,Q2 B.把厂商2的反应函数代入厂商1的目标函数，得 ，因为MC=0，所以: Max,,P(Q，Q(Q)),Q,C(Q)11121111 dQ(Qd,,P21)1，进而推出厂商1的最,P(Q，Q(Q))，Q,,(1，),01211dQ,QdQ11 ***优产量，代入厂商2的反应函数，可得。 QQ,Q(Q)1221 C.举例:线性需求曲线 假设需求曲线为:，其中a>0，b>0，则: P,a,b,Q abQ,1Q厂商2的反应曲线为:，代入厂商1的目标函数，则厂商1 ,22b a,bQ1，由一阶条件可得 Max,,(a,b(Q，)),Q,C11112b **，代入反应函数，求得 Q,a/2bQ,a/4b12 22 进而，如果成本为零， P,a/4,,,a/8b,,,a/16b,12 (4)反应函数: 51 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 两厂商的反应函数和古Q2 诺模型的反应函数相同，只是 由于厂商1居于领先者地位， 可将作为追随者的厂商2的反 应函数直接代入目标函数，最R1 大化自己的利益。 厂商2的等利润曲线 (5)等利润曲线: 同古诺模型一样，我们 仍可做出两厂商的等利润曲切点为斯坦克博格均衡点 a/2b 线，但由于厂商1是领导者， 厂商1的等利润曲线 它不需要考虑自己的反应函 数，只需要以厂商2的反应曲 R2 线作为可行性约束，最大化自 己的利润，也就是厂商1必然 Q1 选择与厂商2的反应曲线相交 a/2b 并且利润最大的等利润曲线， 如图8.30，由于越靠近横轴的8.30等利润分析 等利润曲线所代表的利润水 平越高，显然与厂商2的反应曲线相切的等利润曲线为厂商1的选择，切点即为均衡产量。 3.张伯伦模型 (1)假设:A.两个厂商。B.两个厂商为避免总体利润的损失，相互妥协，争取合作。 C.厂商的成本和边际成本都为零。 (2)问题:两个寡头各自的产量、利润以及产品市场价格如何决定。 (3)分析:把两个厂商看作一个厂商，目标是最大化两厂商利润的总和，又因为成本为 零，我们只需最大化收益，即: ，一阶条件是:Max,，,,P(Q),Q12 dPP(Q)，Q,,0， dQ 2如果假设线性生产函数，则可求得。在总体利Q,a/2b,P,a/2,,，,,a/4b12 2润最大化后，两个寡头再进行利润分配，如果平分，则:。 ,,,,a/8b12 (4)Q2 前面厂商1的反应曲线 三个a/b 模型竞争均衡 的小古诺均衡 结: 张伯伦均衡 a/2b 如图死坦克均衡 8.31，契约曲线 厂商2的反应曲线 我们 Q52 1 a/2b a/b 图8.31三种模型的对比 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 在产量平面上给出了前面三种模型的均衡点，他们都没有达到竞争均衡的产量。 模型 QQP πππ+π 1 2 1 2 12 222古诺均衡 a/3b a/3b a/3 a/9b a/9b 2a/9b 222斯坦克博格模型 a/2b a/4b a/4 a/8b a/16b 3a/16b 222张伯伦模型 a/4b a/4b a/2 a/8b a/8b a/4b 4.贝特兰模型 R P2 1 (1)假定:A.厂商之间是激烈的 P= P 12价格竞争。B.如果两个厂商价格不等， 则价格低的一方把自己的产品全部卖 掉，而后价格高的一方才能卖自己的 产品。C.两寡头都认为对手不会改变 R2 1 价格，自己改变了价格就能占有整个P2 ,P,P12市场。即认为。D.成,,0,P,P21 2 本为0。 P2 (2)问题:两个寡头各自的产量、 P1 3 2 1 利润以及产品的市场价格如何决定。 PPP111 (3)图形分析: 如图8.32，R为厂商1的反应1图8.32贝特兰均衡 曲线，R为厂商2的反应曲线，45度2 线表示两个厂商的价格相等，不论出发点在哪里，在成本为零的条件下，最终的均衡都将是原点。如果成本不为零，则均衡价格将是两个厂商边际成本的最小值，如果二者成本结构不一样，则边际成本高的厂商将被挤出市场。 四、 卡特尔与囚犯困境 1.卡特尔 卡特尔是一种垄断组织，各个厂商互相通过某种协定达成某种默契以求获得共同的最大收益。 (1)价格卡特尔:制定一个共同的价格，销售同样的产品。 (2)产量卡特尔:统一控制产量，减少产量，抬高价格，使组织的共同收益最大，比如 53 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 欧佩克就是典型的产量卡特尔。 2.囚犯两难困境:个体理性与集体理性的冲突。 支付矩阵如下，两个参与者都会采取自己的最优策略—招供，因为不论对方招供还是不招供，自己选择招供都会得到较大的支付。于是同时选择招供，形成均衡(-10，-10)，但从总体来看这一均衡显然不是最优的，因为集体的最优选择应该是都不招供，得到(-3，-3)。 参与者 乙 战略 招供 不招供 甲 招供 -10，-10 -1，-20 不招供 -20，-1 -3，-3 卡特尔组织的各成员可能也会作出类似的个体最优的决策，最终损害卡特尔组织的集体利益，这样就需要强加一些惩罚性的 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 安排，改变支付矩阵，迫使均衡在集体最优的地方达到。 第四节 垄断竞争市场 一、市场特征 1.有众多的厂商。 2.厂商生产的产品是有差异的，而且不同的产品具有很强的替代性。 3.市场进出是自由的。 二、需求曲线和收益曲线 R 1(需求曲线 TR P D AR MR Q Q 图8.36剩余需求曲线 图8.37收益曲线 由于厂商生产的产品是有差异的，某个厂商的价格提高时，它所面临的需求会下降，但不会为零，同时它降价也不可能占有全部市场。也就是每个厂商面临自己的一条向下倾斜的需求曲线，为区别与完全垄断和寡头垄断下厂商面临的单一的市场需求曲线，我们称垄断竞争厂商各自面临的不同的需求曲线为剩余需求曲线，如图8.36，由于差异产品之间的替代性，剩余需求曲线比完全垄断和寡头垄断下的需求曲线较为平缓。 2、收益曲线 由于需求曲线的向下倾斜，垄断厂商同样面临向下倾斜的平均收益曲线和边际收益曲线，以及凹性的收益曲线，即有极大值点的收益曲线，如图8.37。 三、均衡分析 54 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 1(短期均衡 在短期，由于剩余需求曲线的向下倾斜，垄断竞争厂商有一定的垄断能力，它根据边际原则确定自己的价格和产量，可以获得一定的超额利润。如图8.38，短期均衡价格为P，产量为Q，超额利润为阴影部分面积。 2(长期均衡 在长期，由于市场进入是自由的 ，正的利润将吸引更多的厂商不断进入市场，参与竞争，直到利润水平下降到零，每个垄断竞争厂商的平均收益曲线都和平均成本曲线正好相切。 如图8.39，长期均衡点价格为P，产量为Q。 11 从短期到长期的均衡过程中，由于新的厂商不断进入，平均收益曲线即剩余需求曲线是必然会移动的，同时厂商也可以调整规 R,C 模，使自己的平均成本曲线移动，最终 到达一个均衡点。 R,C MC MC AC 超额利润 AC P P1 AR AR MR MR Q Q QQ1 0 Q 图8.38短期均衡 图8.39长期均衡 第八章 风险理论 风险的度量 二、期望值与方差 1. 期望值 如果经济主体的决策可能导致n种后果x1, x2, „xn，相应的概率为,1，,2„,n则期 n ,ixi,,x，,x，？，,x望值为:E(x)= ,1122nn,1i 2. 方差 三、风险的决定因素 1. 风险函数 上面分析说明，方差反映风险的大小，经济学上通常把风险与 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差的依存关系定义为 55 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 风险函数，即: dRK,0,Rk=Rk(σ)，由于方差与风险正相关，所以， d 第二节 风险偏好与期望效用函数 一、期望效用函数 1. 期望效用函数的定义 nn,, EU,,V(x)+ ,V(x)+„,V(x)=,Vx() ii,,11 12 2nn,,,,i,,i,1,1i 例如，经济主体决策后可能出现三种结果: 2第一种结果:概率为60,，结果为x, 效用函数为V(x)= X111 3第二种结果:概率为30,，结果为x, 效用函数为V(x)=X, X2222 4第三种结果:概率为10,，结果为x, 效用函数为V(x)= X333则期望效用函数即VN函数为: 234EU,60,?V(X)+30%?V(X)+1-%?V(X) 123 = 0.6 XXXX，,，0301.().1223 2. 期望效用函数的性质 二、风险偏好 1. 风险爱好者(Rish Lover) 2. 风险回避者(Rish Evader)。 3. 风险中立者(Risk Neutral)。 不同的风险偏好者有不同的经济决策行为和决策方式，这是由他们具有不同的效用函数 所决定。 三、不同风险偏好者的效用函数 1. 风险爱好者的效用函数 假定经济主体做出经济决策的后果有两种: A:以,的概率获得M的收入，效用为Viii B:以,的概率获得M的收入，效用为Vjjj 由于只有两种可能后果，故, ，, ,1. ij 则期望效用函数为:EU,,V+,V iijj 期望收益为:ME,,M+,M iijj 设V,V(M)是经济主体在确定情况下的效用函数，换句话说，当经济主体有100,把握 得到M的收入时，其效用为V(M)，V(M)曲线如图所示，上述A、B两种情况正好在V(M)曲线 上。 因此，我们得出结论:当效用函数V(M)下凸时，经济主体是风险爱好者，或者 56 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 2()dVM()dVM , 即V,(M)>0, V,(M)>0 ,0,02dMdM 2. 风险回避者的效用函数 按照上述分析方法，我们同样可以得出结论: 当效用函数V(M)上凸时，经济主体是风险回避者，W(ME)=EU0, V,(M)<0 3. 风险中立者的效用函数 同样，依照上述分析方法，我们可以得出结论: 当效用函数是一条直线时，经济主体是风险中立者，W(M)=EU=V(M)，经济主体对风险EE 采取无所谓态度，如图11,3。 此时， 2()dVM()dVM， 即:V,(M)>0, V,(M),0 ,0,02dMdM 需要指出，有时，经济学家们也用效用函数的一阶和二阶导数的比来判断经济主体的风险偏好态度，方法是: 如果V,/V,>0, 则经济主体是风险爱好者; 如果V,/V,<0, 则经济主体是风险回避者; 如果V,/V,,0, 则经济主体是风险中立者; 四、风险溢价 图11,4给出了风险回避者的效用函数，图中各符号的含义和前边的分析相同。从图中可以看出，在期望收益值ME时，经济主体达到了EV的期望效用水平，这是不确定情况下(有风险)时的结果。如果让经济主体有100,的把握(无风险)得到MF的收入，他也愿意，因为两种情况下的效用水平相等，都等于EU。换句话说，如果能够把有风险情况变成无风险情况而不改变经济主体效用水平的话，该风险回避者愿意支付CD,M,M的收入给风险承EF担者，这就是风险规避者的风险溢价(Risk premiu)。 事实上，风险溢价并不神秘，它无非是风险的市场价值，即风险受让者为接受风险而得到的补偿，或者是风险转让者为规避风险而付出的报酬。保险市场(Insurand Market)正是依据这样的原理建立起来:投保人为克服风险向保险公司支付一定的保险费，保险公司接受投保人不测事件发生后的赔偿风险而收取保险费。如果有极其大量的投保人，则未发生事故的投保人就共同分担了发生事故的投保人的不测后果，保险公司只是起一种中介作用，可见，保险市场具有突出的互助性。 第四节 保险市场分析 二、公平保险 1(公平保险的含义 假定保险公司规定的火灾保险费率为r，即投保每1元的财产需向保险公司缴纳r元保险费，如果火灾发生，保险公司赔偿某甲1元，如果不发生，r元保险费就归保险公司。这 57 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 样，火灾发生后，某甲的所得为1,r(保险费不再返还〕。那么，r的大小如何确定呢, 设某甲发生火灾的概率为,，则不发生火灾的概率为1,,，发生火灾时，保险公司支付1-r元给某甲，不发生火灾时，保险公司得到某甲r元保险费，则保险公司的期望收益为: E(R)=(1-,)r+(-,(1-r))=r-, (11,1) 和上文公平赌博的分析一样，我们把保险公司期望收益为0时的保险叫做公平保险(Fair Insurance)。显然，对于公平保险，我们有r=,，即保险费率与火灾发生的概率应该相等。这说明，如果火灾发生的概率为1,，则某甲为了得到火灾发生后的1元赔偿，应该向保险公司缴纳1分钱的保险费(当然是一段时期例如1年的情况，时间越长，发生火灾的概率越大，某甲应徼的保险费就越多)。 2. 公平保险的预算约束线 现在假定某甲的个人财富为W，发生火灾的概率仍然为,，火灾一旦发生，全部财产W便会付之一炬。这样，某甲就在两种随机商品之间进行选择和权衡:一种是火灾发生后的财富H，一种是火灾不发生时的财富A。显然，某甲的禀赋点为a，如图11,17所示。即火灾一旦发生，财富为0，如果不发生，则为W。 A W a Z π b C πW 1-π (1-π)W d 45? B1 (1-π)W H 图11-17 :公平保险的预算约束线 假定某甲准备购买1元财富的保险，则需向保险公司缴纳r元保险费，在公平保险情况下，r=,，即他必须放弃火灾不发生时的财富，即A种财富,元，而在火灾发生后可以得到1,,元的H种财富。如图11,17，ab=,, bc=1-,。即不发生火灾时，他减少了,元财富，火灾发生后，他比不保险时增加了1,,元财富，此时，某甲的状态从a移动到了c点。 按照这样一种交换比例可以连续进行交换，一直到d点，即支付rw,,w的保险费对全部的财富进行保险，一旦出现火灾，依然可得到w-wr=w-,w=(1-,)w的赔偿。就是某甲对两种随机商品A和H的预算约束线，其斜率为,,/(1-,)。方程为:(1-,)A+,H=(1-,)W，也就是我们前边提到的公平线。 3. 无差异曲线 某甲如何对上述两种随机商品进行权衡呢,由于某甲是风险回避者，所以其无差异曲线必然凸向原点。再结合图11,7，11,8和11,9的分析可知，某甲的无差异曲线必然在d点和公平线B1相切，其它无差异曲线和OZ线交点处的斜率也必然等于公平线B1的斜率，即等于,,/(1,,)。d点的经济意义是什么呢,d点说明，在公平保险情况下，某甲会花费,w的保险费将全部财富保险，火灾如果不发生，他的财富为w-w,=(1-,)w，如果火灾发生， 58 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 保险公司赔偿w的财富，扣除保险费,w后，他的财富为w-,w=(1-,)w，即不管火灾发生不发生的财富都为(1-,)w，某甲就处于无风险状态了。 A Z W f U 2 B" 1 e U 1 (1-π)W d B' 1 U 0 U 3 45? B 1 0 (1-π)W H 图11-18 公平保险的无差异曲线和均衡 某甲的无差异曲线族如图11,18所示。无差异曲线与OZ的交点d,e,f有相同的斜率, ',/(1-,)，即B1//B//B 11 5. 均衡的代数分析 下面我们用代数方法对公平保险的均衡问题进行分析，同时假定火灾后的财富并没有完全损失，这样更符合实际情况。 给定下列条件:某甲现有财富W，失火概率为,，失火后损失为L，保险费率为r，某甲对自己财富W中的一部分W进行保险，即支付wr的保险费购买一张赔偿额为w的保险单。 111 则某甲面临两种可能的结果: 状态1:火灾没有发生，某甲拥有财富C,w,rw，概率为1,, 11 状态2:火灾发生，某甲拥有财富C,W-L-rW+W 概率为, 211 (1)从保险公司的角度看，火灾如果发生，付赔偿费W，概率为,;火灾如果不发生，1 则没有支出，但总是收入1,W，期望收益为: 1 E,,(rw-w)+(1-,)rw=(r-,)w 1111 由于是公平保险，依然有r=,，即不管是全额保险还是非全额保险，只要是公平保险，保险费率与事故发生概率必然相等。 (2)从投保人来看，如何选择投保财产W1呢,某甲的期望财富为: E(W)=(1-,)C+,C 12 =(1-,)(w-rw)+ ,(w-L-rw+w)=w-,L+w(,-r) 1111 =W-,L (,=r) 可见，在公平保险下，财富的期望值与投保财产W没有关系，此时，对于风险规避者1 最好没有任何风险，即事故发生或不发生均有同等数量的财富，即C,C，由此得出: 12 w-rw=w-L-rw+w 即:w=L 1111 59 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 这说明，他投保的财产w必然等于他估计的损失额，如果他估计事故发生后他的财富1 全部损失，即L,W，则他必然全额保险，即W,W，这就是我们前面分析的情况。 1 (3)效用分析 假定投保人某甲的一般效用函数为V,V(C)，即两种状态下的效用分别为: V,V(C)=V(W-rW), V=V(C)=V(W-L-rW+W) 1112211 则期望效用函数即冯?纽曼,摩根斯坦效用函数为: EU,(1-,)V+,V=(1,,)V(W-rW)+ ,V(W-L-rW+W) 12111 我们的目标是求出W取何值时，EU最大。 1 期望效用EU取最大值的一阶条件是: ,EU,V,V,0 即,(1-,)r? 10W,1111 ，,(),r, VC'(),1,()r2即: (? C=W-rW, C=W-L-rW+W) 11211, ()WrW,,()WLrWW,,，,1,,VC'()r()1在公平保险情况下，r,,，则V,(C)= V,(C)，且对风险规避者，二阶条件满足，即:21 U,(W)<0 所以当且仅当C,C 即W,rW=W-L-rW+W 即W=L时，EU取得极大值。如果投保人某121111 甲认为事故发生后可能丧失全部财产W，即L,W，则有W,W，即某甲会将自己的全部财富1 W投保，即进行全额保险。 上述分析说明，风险规避者面临公平保险时，投保的财产额必然等于它估计可能发生的损失额，即估计损失多少，投保多少;估计损失全部财产W时，必然进行全额保险。这与前面分析得出的结论是一致的。 三、非公平保险 在现实生活中，保险市场的正常运作必须依靠保险公司的正常运营，而保险公司的正常运营又必然有相应的运营成本，如人员工资，办公费用等，同时保险公司又是企业法人，以盈利为目的，需要有相应的利润水平，再加上投保人的情况各异，损失发生的概率不尽相同。这些因素就使得保险公司不可能向投保人提供期望收益为0的公平保险，而一般提供不利于投保人的保险，即保险公司的期望收益一般大于0，这样可以使保险公司有相应的利润水平。 在11,1式中，我们令E(R)>0，则得到r> ,, 即投保人向保险公司缴纳的保险费率r大于损失发生的概率，我们把这样的保险叫做对投保人的不利保险(Unfair Insurance)。这说明，如果在一定时期内火灾发生的概率为1,，则某甲为了得到火灾发生后的1元赔偿，应该向保险公司缴纳多于1分钱的保险费。 同时，在现实生活中，保险公司难以准确测称每个人损失发生的可能性，即概率的大小，如果某投保人一向粗心大意，损失发生的概率很大，大于其缴纳的保险费，则此时保险公司的期望收益为负值，即E(R)<0，r< ,，这样的保险就是对投保人有利的保险，例如某甲患了癌症，自知不久于人世，因此去参加人寿保险，如果保险公司没有及时发现，收取和其它人同样的保险费率，则由于其在短期内死亡的概率很大，即 ,>r，此时保险公司的期望收益为负值，E(R)<0，某甲参加的就是有利保险。 可见，站在投保人的角度看，非公平保险可以分为两类:有利保险和不利保险，其特点分别是: 不利保险:E(R),r-,>0, r>,; 有利保险:E(R),r-,<0, r<,。 下面分别进行分析 60 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 1. 非公平保险的预算约束线 图11,20给出了不利保险的预算约束线B0，B1为公平保险的预算约束线。可以看出，为了达到损失发生后的财富水平(1,,)W，在公平保险下，某甲只需支付,W的保险费即可，但在不利保险下，某甲必须支付rW的保险费才行，显然，r>,，rw>,w，某甲多付了保险费。 A Z W πW d rw (1-π)W 45? B B 01 O (1-π)W H 图11-20 :不利保险的预算约束线B 0 事实上，从图11,20可以看出，公平保险的预算约束线B的斜率为,1,W/(1-,)W=-,/(1-,)，而不利保险的预算约束线B0的斜率为,rw/(1-,)W=-r/(1-,), 由于r>,，故不利保险的预算约束线更为陡峭。根据解析几何中的点斜率公式可知不利保险的预算约束线方程为: (1-,)A+rH=W(1-,) (r>,) 第六节 资本资产定价模型 一. 投资组合理论 因此, 马科维茨的问题可以写成: , min wVw , s.t. ,,,, ,，,，？，,,1123 意思就是说,在收益率确定的情况下,选择最小风险的证券组合. 这个问题可以通过拉式乘子法来求解. 2(有效边界与有效集 (1)假定:市场只有两种证券A和B，则由证券A和B建立的证券组合位于连接A 和B的直线或某一条弯曲的曲线上。如图所示: 61 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net E E B B ρ=-0.5 ρ=0.5 ρ=0 ρ=1 E A A 0 σ σ σ AB 图5.6-3:证券组合的连线 其中,线段AB是相关系数等于1时的投资组合,从这里可以看出在相同标准差下,曲线 上的点预期收益率高于线段上的收益率.而在相同预期收益率下,曲线上的点的标准差小于 线段上的点.相关系数越小,投资组合曲线就越弯曲. (2) A与B投资收益率率的相关系数 ,,(,)CovAB, A与B收益率的相关系数 ,AB,,,,AB 由此,相关系数ρ反映A和B之间收益的关系: i)ρ>0，收益率同向变动; ii)ρ<0，收益率反向变动; iii)ρ=0，收益率没有关系。 ρ与A、B之间连线的关系 ρ的取值范围:,1<ρ<1 即,ρ,<1,正如上面解释的ρ的值越小，连线弯曲得越厉害。即ρ决定A、B之间连线的形状。 (3) 可行集(有效集) 给定ρ时，由AB直线和曲线之间围成的区域就是有效集，即可以调节A、B的投资比例使组合在连线上变化。例如ρ=-0.5时的有效集如图所所示。 ρ=-0.5 E B D A 62 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net O σ 图5.6-4:Markovitz有效集 (4) 有效边界:剔除AB(直线)与AD段以及有效集内部的点，留下的BD段就 是有效边界，这是一个求得收益最大化或风险最小化的过程。 投资者一定会通过调节投资比例在有效边界上寻求投资组合。 (5) 允许卖空时的情况 E C B D A O σ 图5.6-5:允许卖空时的Markovitz有效集 (6) 多种证券时的情况: A、B都可以看成是其它证券组合的替代品，因此BD曲线上的任何一点都可以看成 是通过许多种证券组合后得到的。因为在图中表示不出具体的组合,而只能表示出组合 最后的结果,即拥有共同的收益率和方差. 这里,有效边界是投资者的预算约束线,投资者想在有效边界上达到最大的效用.在图中,无差异曲线越偏向西北方向,投资者的效用就越高.因此,最后的均衡点就落在了e点,即预算约束和无差异曲线相切的点.此时，E,E* σ=σ*. 二. 资本资产定价模型(CAPM，Capital Assets Pricing Model) 证券市场达到均衡时候的某种证券的收益率是如何决定的. 1(标准的资本资产定价模型 E O 2 O 1 r f 0 σ 图 5.6-8 (3) 证券市场均衡 在均衡时,每一种证券在切点证券组合的构成中都占有非零的比例.这一特性是 分离定理的结果.从分离定理中我们知道,每一个投资者所选择的证券组合中的风险 63 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 证券的组成是一样的. 当市场达到均衡的时候,即有如下性质: 1) 每个投资者都持有正的一定数量的每种风险证券 2) 证券的价格使得对每种证券的需求量正好等于市场上存在的证券的数量 3) 无风险利率使得对资金的借贷量相等. (4) 资本市场线 存在一种无风险资产F，可以借贷并参与与有风险资产组合的再组合，从而使有效集扩大有效边界成为FR(射线).FR与马科维茨边界相切于R点,FR上的点为无风险债券和风险债券的组合.在允许卖控操作的存在,因此有效集可以扩大到FH. E H Q R F K O σ 图5.6-9:资本市场线FKRQH 投资者依照自己的偏好在新的有效边界FRH上选择自己的投资组合:选择F点:所有资金都集中在无风险资产上;选择R点:所有资金都投资到风险资产的组合R上;选择K点:部分投资无风险资产，部分投资有风险资产组合R，越靠近F点，无风险资产的比例越大，越靠近R点，风险资产的比例越大;选择Q点:借入无风险资产(银行贷款)并和原有资金一起全部投资于风险证券组合R上。(卖空无风险资产) 投资者只要投资一定比例于风险资产，则各种证券的相对比例一定. 例如投资者有10000万元资金，3000万元投资无见险资产，则投资到风险资产中的7000万元一定按R的组合进行投资.也就是分离定理所讲的意思。 这里的R叫最优风险组合，也等于市场组合。下文中用M点代替R点。 (5) 资本市场线: 1) 资本市场线 图中射线FRH或FMH线就叫资本市场线，表明了有效组合的期望收益率与其标准差之间的一种线性关系。 H E M(R) E M -r EMF r F64 σ Mσ M 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 图5.6-10:资本市场线及方程 该线的方程是: ,ErMF,，,,Er 5.6-3 F ,M 其中， E，σ分别为有效组合的期望收益率和标准差; E，σ分别为市场组合(风险资产组合)的期望收益率和标准差; MM r为无风险资产收益率。 F 2) 资本市场线的含义: 有效组合(风险资产与无风险资产的组合)的期望收益率等于无风险资产的收益率rF 与风险溢价((E-r)/σ)?σ的和。 MFMP (E,r)/σ为风险的价格，即单位标准差得到的补偿。 MFM (6) 证券市场线 22市场对市场组合M的标准差σ的补偿为(E,r)，也等于对方差σ的补偿，而σMMFMM 又是各种证券贡献的总和，因此应该分配给各种证券。数学推导可知，证券i的贡献率为: ,iM, 5.6-4 ,i2,M σ为证券i的收益率与市场组合M的收益率的协方差。 iM 因此，证券i应该得到的补偿即风险溢价为: ,iM,,(,),(,),ErErEriFMFMF 5.6-5 i2,M 即:E= r+β( E- r) 5.6-6 i Fi M F 这就是CAPM，也叫证券市场线SML。 即:单个证券i的期望收益率等于无风险资产的收益率r与其得到的风险补偿的和。 F 显然，E=E时，β=β=1 iMim Ei U 证券市场线SML E M M r Q F 65 β=1 O M β i 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net -11:证券市场线 图5.6 对于一个证券组合P，如果投资于各种证券的比例分别为w，w，w„w 则 123n E(P)=wE+wE+„+wE 1122nn =w(r+β(E-r))+w(r+β(E-r))+„+w(r+β(E-r)) 1F1MF2F2MFnFnMF =r+(wβ+wβ+„+wβ)(E-r) F1122nnMF E(P)=r+β(E-r) 5.6-7 FpMF 可见，证券市场线对证券组合P同样适用。 证券市场线描述了证券组合的期望收益与风险之间的关系.与资本市场线不同的是,资本市场线是有效市场组合与无风险资产的有效组合,证券市场线是任意资产的有效组合.给定不同的资产种类和价格,投资者就可以通过改变资产的持有份额达到最优组合. 2(特征线模型 (1) CAPM描述的证券市场是处于均衡状态下的情况，实际上证券市场往往处于不均衡的状态。因此要考察实际证券市场距CAPM所描述的均衡市场有多远距离。即要对E, r+ βPF ( E- r) 做进一步的直接分析。 pM F (2) 证券i的特征线模型 r为证券i的实际收益率，r为市场组合的收益率，r为无风险资产收益率，统计学iMF 中可以用下列方程来描述他们之间的关系: r- r= α+ ( r- r) b+ε5.6-8 i F iM F ii α， b为与证券i有关的系数，ε为残差，数学中可知ε的均值为0， iiii 即E(εi)=0且ε与r- r不相关(协方差为0) iM F 统计学告诉我们: 2 b=σ/σ=β5.6-9 iiMMi 则: r- r=α+( r- r)β+ε5.6-10 i FiM Fi i 这是一条关于(r-r)——(r-r)的直线: iF MF (r-r) iF α 0 (r-r) MF 图5.6-12:α系数 66 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net (3) α系数 如图，α为关于(r-r),,r-r直线的截距项，对特征线两边取数学期望， 则有:iFMFE(r-r)=E[α+(r-r) β +ε] 5.6-11 iFiMFii 即:E(r)-r=α+[E(r)-r] β +0 iFiMFi ,r=α+(E-r) β„„„ 5.6-12 FiMFiri 均衡状态时，CAPM告诉我们: E- r= (E- r) β„„„„ 5.6-13 i F M Fi 两式相减得到:- E= α5.6-14 i i ri α非常重要，它反映了实际市场中证券i的预期收益率与CAPM中证券i的均衡期iri 望收益率Ei之间的差距，因此，α反映了市场价格被误定的程度。 iα>0，市场预期收益率高于均衡期望收益率，市场价格被低估:买入 i α<0，市场预期收益率低于均衡期望收益率，市场价格被高估:卖出 i α,0，市场预期收益率等于均衡期望收益率，市场价格被准确估计。 i (4) 证券特征线 把r-r=α+(r-r) β+ε改写为 iFiMFii r=α+(1-β) r +rβ+ε5.6-15 iiiFMii 令:a=α+(1-β) r， 5.6-16 iiiF 则r=a+rβ+ε iiMii 通过回归，可以得到: ˆ r,a，r,iimiri r M 图5.6-13:证券i的特征线 ˆ 5.6-17 r,a，r,iimi 这就是证券i的特征线。 如图5.6-17所示: 斜率就是证券i的β系数;截距a 则等于 i a =α+(1-r) β5.6-18iiFi 上述讨论对证券组合P依然适用， 即，r=a+rβ5.6-19ppMp 且a=α+(1-r)β5.6-20 ppFp 67 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 3(CAPM的应用 (1) 核心问题:寻找市场中价格被误定的证券. (2) 投资决策:已知E和β时，可以算得E=r+(E-r) β，同时，已知某证券的预MiiFMFi 期股息、期初、期末的价格时，可以计算出投资的预期收益率，即: E,[(预期股息，预期期末价格),期初价格]/期初价格 5.6-27 市场均衡时，E,E，因此可求出期初价格: i 期初价格,(预期股息，预期期末价格)/(E+1) i5.6-28 比较计算的期初价格和当期的实际市场价格，可以进行买入或卖出的决策。 三、资本资产套利模型(APT) 1(单因素模型 (1) 市场只受一种因素的影响时，给定 r=a+bF+ε5.6-29 itiitit r为证券i在t时期的收益率(实际); it b为证券i对因素F的敏感性; i F为t时期单因素的预期值; t ε为证券i在t时期的残差，表明r不受F影响的那部分。E(ε)=0 itittit (2) 分析 两边取期望: E=a+bE(F) iii 2222 方差为: σ=b σ+σ5.6-30 iiFεi 2 σ=bbσ (协方差) ijijF 对任一时期t都适用。 2(多因素模型 一个因素不足以反映证券间的关联性，因此要增加因素个数。设证券收益率r普遍受it 到K个因素的影响，则: r=a+bF+bF+„+bF+ε5.6-34 itii11ti22tikktit E=E(r)=a+bE(F)+bE(F)+„+bE(F) 5.6-35 iitii11ti22tikkt 对任何时期均成立，则有: E=a+bE(F)+bE(F)+„bE(F) iii11i22ikk 2222222,,,,,b，b，？，b，2bbCov(F,F)，2bbCov(F,F)iiFiFikFkiiii112212121313 2，？，2bbCov(F,F)，,ik,ikkk,,11i 5.6-36 222 ,,bb,，(bb，bb)Cov(F,F)，？，bb,，,ijijFijijikjkFk,111122112i 68 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 第六章 一般均衡与福利经济学 第一节 一般均衡理论 一、一般均衡与局部均衡 1( 局部均衡分析 只考察某一个市场的供求均衡，而把其他市场、其他主体排除在外，这种分析方法我们称作局部均衡分析(partial equilibrium approach)。局部均衡分析法是在分析时，只以一种商品为研究对象，而假定“其他事物不变”，即这种商品价格只取决于这种商品本身的供给和需求的作用，而不受其他商品的价格和供求状况的影响。 一般均衡分析 一般均衡分析是指，在分经济问题时假定各种商品的价格、供求、需求等等都是相互作用的、彼此影响的。因此，一种商品的价值不仅取决于它本身的供给和需求的状况，而且也要受到其他商品的价格和供求状况的影响。因而一种商品的价格和供求的均衡，只有在一切商品的价格和供求都达到均衡时才能决定。 通常认为，一般均衡理论是瓦尔拉斯在他的《纯粹经济学要义》中创立的。瓦尔拉斯认为，整个经济体系处于均衡状态时，所有消费品和生产要素的价格将有一个确定的均衡值，它们的产出和供给，将有一个确定的均衡量。他还认为在“完全竞争”的均衡条件下，出售一切生产要素的总收入和出售一切消费品的总收入必将相等。 二、二人交换的一般均衡 1(交换的图示分析 二人交换的一般均衡是最简单的交易的一般均衡的形式，其是指当社会生产的初始禀赋既定的条件下，通过要素所有者之间的交易使得交易者达到效用最大化的均衡状况。 下面我们先用埃奇沃斯方框图来描述这种一般均衡的过程,用来解释两个经济主体如何在自愿交易中获利。 图10,7是加入了无差异曲线的埃奇沃斯方框图。显然，在初始禀赋点E处，A、B两个人的效用水平都很低，双方都可以通过移动自己的无差异曲线来使得自己的状况好一些。但是，他们面临一个问题，即在资源数量固定不变的时候，这样的移动将使得对方的情况变坏。比如，当A的效用曲线移到通过F点的曲线时，A确实使得自己的Y商品增加了10个单位，但是B的效用水平变坏了，因为他损失了10个单位的Y，效用由U变成U。0 1 这样，在G点与F点，A与B都不会自愿进行交换。 给定A与B的无差异曲线的形状，总有一个区域可以使得两个人都获益。在图10,7中，这个区域是A的U与B的U 曲线交叉的地方。比如，在H点，A减少了X持有量，0 0 增加了Y的持有量，这样使得A通过H的新的无差异曲线有了更高的效用水平。同样，对于B有相同的结论。因此，只有在这个区域中，自愿的交换才能发生。 只要交易成本是足够小的，我们知道，通过交易能够使AB双方都受益。交易最后达到交换效率点，在这一点他们将停止交易，因为所有交易能够获得的好处都已经获取完毕，如果其中的一个人要继续获得交易的好处，那一定是在损害另一个人利益的基础上的。 69 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 40 20 15 B 40 契约曲线 R ? 10 30 H 在H点MRS相等 5 35 E 40 A 20 25 40 图 10,8 如图10,8所示，A和B最后交易之后，A的财富为20单位的X和10单位的Y,B的 财富为20单位的X和30单位的Y，交易最后均衡点由H点给出。A和B的无差异曲线在 H点相切，这意味着，两条无差异曲线的斜率在H点是相等的。由前面我们知道，边际替 代率MRS是无差异曲线斜率的绝对值，因此，可以得到: AB (10.1) MRS,MRSXYXY 从另外一个角度思考，我们仍然可以得到这个结论。假设最初的禀赋点为E，此时A 的MRS为1/2，而B的MRS为3。这表明A愿意用1单位的Y交换2单位的X，而B愿 意以3单位的Y来换1单位的X，即用6单位的Y 交换2单位的X。显然，这样的交换率 可以让双方都得到改善。如果B给A两单位的Y换取A的两单位X,则A、B都会获得好处。 只要A的MRS和B的MRS不同，则双方就会获利。因此，只有双方的交易达到交换效率 点，即两个人的边际替代率相等的时候，才会终止。 2( 数学分析 AB 我们要证明的是，在均衡点处有。 MRS,MRSXYXY AABB用表示A的效用函数，用表示B的效用函数。在给U,U(X,Y)U,U(X,Y)AABB 70 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 定B的效用函数水平既定，是,在这个约束条件下，求另一方的效用最大化。 U AA 目标函数是: Max (10.2) U,U(X,Y)AA BBs.t. = (10.3) U(X,Y)UB 0AB (10.4) X,X，X 0AB (10.5) Y,Y，Y 00其中，是X的初始总量，是Y的初始总量。 XY 根据目标函数和约束条件，得到下列拉格朗日函数 AABB0AB0ABL= U(X,Y)，,(U,U(X,Y))，,(X,X,X)，,(Y,Y,Y)A1B23 (10.6) 其中，是效用约束的拉格朗日乘数，，是禀赋约束的拉格朗日乘数。 ,,,123由拉氏函数 F.O.C: UL,,A (10.7) ,,,,02AAXX,, UL,,A (10.8) ,,,,03AAYY,, U,L,B (10.9) ,,,,,,012BBXX,, UL,,B (10.10) ,,,,,,013BBYY,, 由上面四个式子得到: U,A (10.11) ,,2AX, U,A (10.12) ,,3AY, U,B (10.13) ,,,,12BX, 71 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net U,B (10.14) ,,,,13BY, 用(10.11)比(10.12),再用(10.13)比(10.14),可以得到: AB,MUMU2XX (10.15) ,,AB,MUMU3YY 由此，得到交易的一般均衡条件 AB MRS,MRSXYXY 3( 帕累托效率与契约曲线 交易最终所达到的均衡状态称为帕累托最优(Pareto Optimality)或者帕累托效率(Pareto Efficiency)。 可以这样理解，帕累托最优是指这样一种状态，任何使得某些人状况变好的变化都会使得另一些人的状况变坏，即当且仅当不存在任何能够使得某些人状况变好的同时而不使另一些人的状况变坏的变化时，便达到了帕累托最优。在图10,8中，边际替代率相等的点都是帕累托最优点。我们从初始禀赋点，经过自愿交易就会达到帕累托最优的。一般情况下，从不同的禀赋点出发会得到不同的帕累托最优点。如果保持图10,8中的总资源不变，不断变化初始禀赋，我们会得到很多帕累托最优点。这样我们得到了一条曲线，就是契约曲线。如图10,8中的曲线AHRB。契约曲线上的任何一点代表一个帕累托最优，交易双方若达成契约，该契约所规定的配置一定是帕累托最优的。不然，他们可以继续交换以提高双方的效用。 4(效用可能性曲线 如图10,9 (a)，图中的点E、F、H为契约曲线上的三个点，对应的A、B两个人的效用水平分别如图所示。如我们前面的分析，三个点处A、B的无差异曲线一定相切。表明了在给定一方的效用水平，另一方将有一个可以达到的最大效用水平与之对应，将这种对应关系画在如图10,9(b)中，得到的是E’,F’和H’。这只是其中的三个点，如果将契约曲线上的所有点都对应到图10,9(b)中，即可得到效用可能性曲线。效用可能性曲线表示在给定一个人的满足程度的情况下，另一个人可以对达到的最大的满足程度。从图中可以看出，由E’向H’逐渐移动，B获得的效用越来越小，A获得的效用越来越大。 40 B 40 U 0 H U U 12 F U U 21 E U 0 三、 两厂商生产的一般均衡 假设有两个厂商，在技术与社会资源总量既定的情况下，它们都拥有两种相同的投入要 72 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 素，社会资源的配置使得两个厂商产品产量总和达到最大，这就是所谓的生产的一般均衡。如果产量没有达到最大，那么进行重新的配置要素，则将提高产量，使之达到最大。我们仍然还是假设社会中只有两个厂商，两种生产要素，只有一个资源禀赋点，两个厂商可以进行要素的交换。下面我们说明达到生产一般均衡的条件是两种生产要素的边际技术替代率对于使用这两种要素生产的商品来说是相等的。 1( 图示分析 同样我们也用埃奇沃斯方框图来进行图示分析，但这里使用的是埃奇沃斯生产方框图，这与交易的图示是有所区别的。假设有两种产品，X、Y，生产这两种产品的要素是K和L。假设K和L的总量是固定不变的，分别为K 和L 两种要素都是充分使用的，并且生产X00 . 的要素增加，则意味着生产Y的要素减少，反之亦然。在图10,10中，画出了生产X、Y初始要素的配置情况。图形是将Y的等产量曲线图倒转180º，与X的等产量曲线图合并而成。 我们知道在初始点A，生产X用K ，而生产Y要用K ,而且K + K = K.同样,对于XYXY0L,有L + L = L，同时在这一点X的产量为200单位，而Y的产量为450。 由于技术替XY0 代率等于两种要素的边际生产力之比，即,在几何上，MRTS等MRTS,MP/MPL,K L,KLK 于在等产量曲线给定某点的斜率的绝对值。在A点可以看出X等产量曲线与Y等产量曲线的斜率的绝对值并不相等，因为在这点两条曲线并不相切。这样，在初始点 XY。比较两条等产量曲线，发现Y的等产量曲线更加陡峭，说明 MRTS,MRTS,,LKLK YXYX。设 ,5，=1，因此与生产Y的厂商相比，生MRTS,MRTSMRTSMRTS,,,,LKLKLKLK 产X的厂商L的边际产量与K的边际产量的比要相对的低。这意味着，如果两个厂商交换他们各自的要素配置，则有可能同时增加双方的产量。 L L O 0Yy K 0 Y 450 Y 500 C K +5 B K ,5 X Y X 300 Y D 800 K X X K X50 200 Y A K 0 Ox L L X0 图 10,10 考虑下面的交换，生产Y的厂商用5单位的K，用来交换生产X厂商的1单位的L。这时Y的产量没有发生变化，但是X厂商多了5单位的K，并且少了1单位的L。实际上X厂 73 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 商只需1单位的K就可以保证产量不发生变化，因为它的技术替代率是1，显然这是X的产量将会增加。图10,10中，点A到点B移动就表明了这个交换过程。Y生产商仍然生产450单位的Y，因为B是在等产量曲线上移动。而此时X的产量已经由200变成了300。 这个例子就说明了，只要两个厂商的边际技术替代率不同，则就可能有要素的转移可以增加总产量。因此，厂商就有动力去改变它们的投入组合。而一旦要素的边际技术替代率相等，则任何要素投入组合的变动必然要其中的一个厂商的产量下降。这时，厂商将没有动力 XY去改变投入组合。这是也就达到了我们所说的生产的一般均衡，此时。MRTS,MRTS,,LKLK在图10,10中，点A和点B都不是生产均衡点，因为在这两种情况下，通过交换要素都可以增加产量。生产均衡的条件意味着，两个厂商的等产量曲线相切，即在两条等产量曲线的某个交点处，两条曲线的斜率相等。例如，在点C和点D，两条等产量曲线相切，这样点C和点D都是生产的一般均衡点。在埃奇沃斯生产方框图中，实际很多这样的点。所有这样的点构成的曲线成为生产契约曲线，如图10,10中的曲线ODCO 。曲线上的点都是生产x y 的最优均衡点。在生产中资源配置最终所达到的均衡状态称为生产的帕累托最优，它是指对于生产进行任何形式的重新组合都只会在增加某种产品产量的同时减少其他产品产量的状态，即不存在增加一种产品产量而不减少另一些产品产量的对生产重新组合的可能。 3.数学分析 XYXX我们要证明的是，在均衡点处有。用表示XMRTS,MRTSQ,Q(K,L),,LKLKXX YY的产量，用表示Y的产量。在给定Y的产量数水平既定，为,在这个QQ,Q(K,L)YY 约束条件下，求X的最大产量。 目标函数是: XX Max (10.16) Q,Q(K,L)XX YYs.t. (10.17) Q(K,L),QY 0XY L,L，L (10.18) 0XY K,K，K (10.19) 00其中，K是K的初始量，L是L的初始量。根据目标函数和约束条件，得到下列拉格朗日函数 XXYY0XY0XYL= Q(K,L)，,(Q,Q(K,L))，,(L,L,L)，,(K,K,K)X1Y23 (10.20) 其中，是产量约束的拉格朗日乘数，，是禀赋约束的拉格朗日乘数。由拉氏函数 ,,,123 F.O.C: QL,,X (10.21) ,,,,03XXKK,, Q,L,X (10.22) ,,,,02XXLL,, 74 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net QL,,Y (10.23) ,,,,,,013YYKK,, QL,,Y (10.24) ,,,,,,012YYLL,, 由上面四个式子得到: Q,X (10.25) ,,3XK, Q,X (10.26) ,,2XL, Q,Y (10.27) ,,,,13YK, Q,Y (10.28) ,,,,12YL, 用(10.25)比(10.26),再用(10.27)比(10.28),可以得到: XY,MPMP3KK (10.29) ,,XY,MUMU2LL 于是，得到生产一般均衡条件 XY (10.30) MRTS,MRTS,,LKLK 第二节 福利经济学 福利经济学研究的主要目标和内容，就是如何使一个经济社会的资源(包括生产要素和产品)在各个部门或不同的个体之间的配置或分配达到最优，也就是说，福利经济学主要是在探讨如何使要素投入在企业之间达到最适度配置(optimal allocation),使产品在消费者之间达到最适度分配(optimal distribution)的问题。这里所说的最适度，是指要社会福利最大化。 一(福利、效率和公平 1(福利 如何判断一项有关社会福利的政策实施是好还是坏，或如何判别一项变革是一种改进或是相反，对这些问题的看法存在很多分歧。对这类问题有四个不同的判别标准: 第一种是帕累托改善的标准，即一项变革如果它不使任何人受损而使一些人获益，那就是一种改进。然而，在现实中，这条标准是收到严重的限制的。 第二种是卡尔多改善的标准，即从变革获益的人们看待他们所得的利益，比从变革受损的人们看待他们所受的损失，用货币价值来衡量，评价要高些，那么这一变革就是一种改进。 第三种是席托夫斯基提出的，是针对卡尔多标准而言的。卡阿多标准虽然表明一项变革 75 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 是一种改进，但是它又会表明，在变革之后回到变革以前原来状态的一项变动也是一件好事。比如，卡尔多标准可能表明增收一项课税是一件好事;但是在增收了这项课税之后，卡尔多标准可能又认为减收这项课税到从前的水平也是一件好事。为了避免这种情况的发生，席托夫斯基建议只有当我们把从原点到新点的变动看作是一种改进，而把从新点到原点的变动看作不是一种改进时，一项变革才算得上是一种改进时，一项变革才算得是一种改进。 第四种是判别标准是柏格森提出的，建立在一种明确的“社会福利函数”之上的。他认为，只有组成了一系列“明确的价值判断”，并把它们结合到“社会福利函数”中去，判别标准问题才能解决。 社会福利函数是由柏格森最先提出，而后萨缪尔逊，阿罗等人进行了不断补充和进一步的阐述。在阐述这个问题之前，让我们先看看社会选择问题及其所反映的个人偏好问题。 社会福利函数建立在个人的偏好基础上之上，但是又不同于个人偏好函数。因为个人偏好函数具有若干良好的特性，比如完备性，传递性等等。然而，基于个人偏好的社会福利函数就可能不再具有这样的性质了。举下面的例子来说明这个道理。 我们用投票的方法来加总个人偏好。如果大多数消费者偏好x胜于y，我们就可以一致认为“社会偏好”是x而不是y。如表10,1，列出了三个人，每个人作出了三种选择x、y和z的排列。可以看到大多数人偏好x胜于y，偏好y胜于z，并且同时大多数人偏好z胜于x。因此，通过多数投票加总消费者偏好是行不通的。 前面说过，我们可能达到一般均衡状态，可是下面的这个问题很重要，就是如何使这一均衡成为帕累托最优。在图10,8中我们知道，均衡点是帕累托最优配置。因为均衡点是在契约曲线上，而契约曲线上的点都是帕累托最优配置的。即完全竞争的市场经济的一般均衡都是帕累托最优的，这就是福利经济学第一定理。下面，我们来证明这一结论。 **** 用和来表示一般均衡的配置。假设有另外一个帕累托较优配置为(X(X,Y)(X,Y) aabb ** ，Y)和 (X ，Y)，这样我们有:，，, X,Y(X,Y)a a b baaaa **，，, X,Y(X,Y)bbbb 0000初始禀赋是对于a来说是，对于b来说是。有供求平衡有， (X,Y)(X,Y)bbaa 00 X，X,X，Xabab 00 Y，Y,Y，Yabab 实际上，这样的配置是不存在的。 ****，这时A选择了而不是，，，说明在此价格下，A设均衡的价格为(P,P)(X,Y)X,Yaaaaxy ，，买不起，即 X,Yaa ***0*0 PX，PY,PX，PY xayaxbyb 对于B，也一定有， ***0*0 PX，PY,PX，PY xbybxbyb 将以上两式相加，得到: 76 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net ***00*00 P(X，X)，P(Y，Y),P(X，X)，P(Y，Y)xabyabxabyab 再根据供求平衡式，得到 *00*00*00*00 P(X，X)，P(Y，Y),P(X，X)，P(Y，Y)xabyabxabyab 显然时不可能的。由此可知，假设存在另一个帕累托较优的配置是不可能的。 福利经济学第一定理保证了竞争市场可以使贸易利益达到最大，即一组竞争市场所达到的均衡分配必定是帕累托有效配置。在完全竞争条件下，市场竞争能够通过价格有效率的协调经济活动，从而配置有限的稀缺资源。 另外一个相反的问题是，如果给定了一个帕累托最优配置，可不可以通过完全竞争的市场机制来达到这一配置,这就是我们所说的福利经济学第二定理。 福利经济学第二定理就是说任何一个帕累托最优配置都可以从适当的初始配置出发，通过完全竞争市场实现。其中，有一些消费者偏好的凸性假设和另外一些别的假设。第二定理表明市场经济可以实现反映社会意愿的任何一个帕累托最有配置。这在政策方面的启示实际上是要求政府不必用干预市场的方法来达到政策目的，而可以通过再分配的方法来达到同样的目的。因为市场收到政府的干预就会导致价格的扭曲而改变了实际决策行为，造成效率 第七章 博弈论初步 古诺均衡、STACKELBERG均衡、CHAMBERLIN 均衡、BERTRAND 均衡、HOTELLING 均衡，都属于经济学中的博弈过程。 第一节 基本概念 一、 博弈论 1(定义:博弈论是描述、分析多人决策行为的一种决策理论，是多个经济主体在相互 影响下的多元决策，决策的均衡结果取决于双方或多方的决策。如下棋，最后的结果就 是由下棋双方你来我往轮流做出决策，决策又相互影响、相互作用而得出的结果。 四、报酬函数与报酬矩阵: 1(报酬函数: 每一个参与博弈的参与者，他的收益依附于各个参与者所出的策略，这种收益与策略的依附关系就构成了报酬函数。也就是说，第i个参与者的收益取决于所有参与者的策略，而不仅仅是自己的策略，表示成数学式子就是:Ri=Ri(S1，S2，。。。Sn)。其中Ri表示第i个参与者的收益，Si (i=1。。。n) 表示第i个参与者所出的策略。 2(报酬矩阵: 参与博弈的多个参与者的报酬可以用一个矩阵或框图表示，这样的矩阵或框图就叫做报酬矩阵。例如有甲乙两个供货商组成一个价格卡特尔，双方都有选择遵守约定价格或者违反约定价格的权利。报酬矩阵如下图所示: 乙 守约 违约 77 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 甲 守约 8，8 6，10 违约 10，6 7，7 图 13-1 矩阵中每组数字中的前一个数字表示甲的收益，后一个数字表示乙的收益。当甲守约 ，乙如果违约，收益为10;当甲违约时，乙如果守约，收益为6，时，乙如果守约，收益为8 乙如果违约，收益为7。所以，当甲守约时，乙会选择违约(10>8);当甲违约时，乙也会选择违约(7>6)。反之不管乙如何选择，甲都会选择违约，最终的结果是双方都选择违约。报酬矩阵改变，就会影响到双方的决策。例如双方的报酬矩阵变成下图所示: 乙 守约 违约 甲 守约 12，12 2，10 违约 10，2 -4，-4 图 13-2 此时双方可能都选择守约，因为当甲守约时，乙会选择守约(12>10);当甲违约时，乙也会选择守约(2>-4)。反之不管乙如何选择，甲都会选择守约，最终的结果是双方都选择守约。 博弈过程参与者的决策行为要受到博弈规则的影响，即博弈规则的变化会改变报酬矩阵中的报酬值。比如在图 13-1中，由于卡特尔中的每一个供货商都追求自身利益的最大化，并且没有措施来保证遵守价格约定，双方表面上可能都信誓旦旦的承诺守约，但是实际中双方会违约。如果卡特尔追求整体利益的最大化，并且由于历史、政治、制度、惩罚等措施来保证遵守价格约定，双方就可能和平共处，遵守价格约定。在历次中东战争中，由于民族宗教原因，OPEC石油的产量和价格都得到了严格的执行。 五、均衡及博弈的解: 当博弈的所有参与者都不想改换策略时所达到的稳定状态叫做均衡，均衡的结果叫做博弈的解。比如图13-1中甲乙两个供货商组成的卡特尔。不管甲如何选择，乙必然选择违约，同样不论乙如何选择，甲必然选择违约。最终双方都选择了违约，并且只要给定的条件不变，双方就都不会改变策略，结果非常稳定，达成均衡。在这个均衡中，不管甲如何选择，乙都不会改变策略，同样无论乙如何选择，甲也不会改变策略，这种均衡就叫做占优均衡。这种无论对方如何决策，自己总是会选择的策略叫做占优策略，由双方的占优策略所达成的均衡叫做占优均衡。比如，在学校中，学生平时学习可能是非常努力也可能是非常懒散;老师可能把考试题出的很难，也可能出的很容易。从博弈论的角度，这里的老师和学生就构成了一个博弈，双方的报酬矩阵如下: 老师出考题 难 易 学生 努力 90，85 100，90 学习 懒散 50，60 90，70 图 13-3 由于老师出难题比出容易题要花费更多的时间和精力，所以收益较低，从而无论学生平时努力程度如何，老师一定选择出容易的题;由于学生只要努力学习就会取得更好的成绩，所以无论老师所出考题难度如何，学生一定会选择努力学习，这同样构成一个占优均衡。经常遇到的还有一种均衡，是有条件的均衡叫做纳什均衡。简单的说就是敌变我变、敌不变我亦不变。在后面第二节中将详细介绍纳什均衡。 作业:改造图 13-3 中师生博弈的报酬函数，构造出纳什均衡。 78 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 第二节 纳什均衡 一、 举例 假定A、B两个企业都生产白酒，白酒分为高度和低度两种。报酬矩阵如图所示: A企业 高度 低度 B企业 高度 700，600 900，1000 低度 800，900 600，800 图 13-5 A企业如果选择了生产高度白酒，那么B企业会选择生产什么呢,因为800 > 700 ，所以B企业会选择生产低度白酒。A企业如果选择了生产低度白酒，因为900 > 600 ，那么B企业会选择生产高度白酒。如果B企业选择了生产高度白酒，A企业就会选择生产低度白酒。如果B企业选择了生产低度白酒，A企业就会选择生产高度白酒。这里，A企业的决策取决于B企业的决策，同样B企业的决策取决于A企业的决策。但是A企业选择了生产高度白酒以后，只要不变化，B企业就会选择生产低度白酒不变化。反过来也一样，B企业如果选择了生产高度白酒不变化，A企业就会选择生产低度白酒不变化，这实际上是一个纳什均衡，纳什均衡就是在给定别人最优的情况下，自己最优选择达成的均衡。通俗的讲，就是给定你的最优选择，我会选择能够使我最优的选择，或者说，我选择在给定你的选择的情况下我的最优选择，你选择了给定我选择情况下你的最优选择。这种均衡最后到底均衡在哪一点，由具体情况决定。在存在帕累托改善的情况下，可能会达到帕累托最优。在本例中，B企业选择了生产高度白酒，A企业选择生产低度白酒是一种均衡;B企业选择了生产低度白酒，A企业选择生产高度白酒也是一种均衡。由于在B企业选择生产高度白酒，A企业选择生产低度白酒的时候，A、B两企业的收益都比B企业选择生产低度白酒，A企业选择生产高度白酒时的收益要高，存在着帕累托改善，因此最后可能会达到帕累托最优，即B企业选择生产高度白酒，A企业选择生产低度白酒。 1.纳什均衡与占优均衡的比较: a 占优均衡一定是纳什均衡，纳什均衡不一定是占优均衡。 b纳什均衡是有条件下的占优均衡，条件是它的参与者不改变策略。如果其他的参与者改变策略，我就要改变策略。 c占优均衡比纳什均衡更稳定。 均衡的确定 在二人博弈中，可以采用画圈法来确定均衡。在给定一方的策略后，把自己的最优策略画上一个圆圈，如果在某一个框中，两个收益值都被画上圆圈的话，此框所表示的决策就是一个均衡。上例中，采用画圈法，会发现存在着两个均衡。 A企业 高度 低度 B企业 高度 700，600 900 1000 低度 600，800 800 900 图 13-5 2.无帕累托改进的例子 并不是所有的均衡都会有帕累托改进的机会。如下图所示，有甲乙两辆汽车同时经过一 79 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 个路口，如果两车都不采取措施的话，将会发生碰撞，这时每辆车面临着继续开和等待两个选择。如果两个都选择继续开的话，就会相撞，收益都为 -10。如果甲选择继续开而乙选择等待，甲收益为1，乙收益为0。反过来，如果乙选择继续开而甲选择等待，乙收益为1，甲收益为0。如果两车都选择等待，甲乙收益都为 -1。这时的均衡有两个，如果甲选择继续开，乙就会选择等待;如果乙选择继续开，甲就会选择等待。 双方的收益矩阵如下图所示: 乙车 开 等 甲 开 -10，-10 1，0 车 等 0，1 -1，-1 图 13-5 最终均衡在哪一种情况，取决于交通规则。 二、 无纳什均衡的例子: 实际上，纳什均衡也是一种特殊情况，并不是所有的博弈都会产生纳什均衡。例如:在足球比赛中，罚点球的时候，守门员和罚球者也构成一个博弈，双方的收益矩阵如下图所示: 守门员 左 中 右 点 左 -1，1 1，-1 1，-1 球 中 1，-1 -1，1 1，-1 者 右 1，-1 1，-1 -1，1 图 13-5 假设罚球者罚球时可以选择三个方向:左中右;守门员也可选择三个方向扑球，左中右。当罚球者选择了左的情况下，如果守门员也选择了左，罚球者将得 -1，守门员将得 +1;如果守门员选择了右或者中，罚球者将得 +1，守门员将得 -1。当罚球者选择了中的情况下，如果守门员也选择了中，罚球者将得 -1，守门员将得 +1;如果守门员选择了右或者左，罚球者将得 +1，守门员将得 -1。当罚球者选择了右的情况下，如果守门员也选择了右，罚球者将得 -1，守门员将得 +1;如果守门员选择了左或者中，罚球者将得 +1，守门员将得 -1。当判断罚球者将向左罚球的时候，守门员一定选择左;当判断罚球者将向中罚球的时候，守门员一定选择中;当判断罚球者将向右罚球的时候，守门员一定选择右。同样当罚球者判断守门员将向右扑球时，罚球者将向左或中发球;当罚球者判断守门员将向右扑球时，罚球者将向右或中发球;当罚球者判断守门员将向中扑球时，罚球者将向左或右发球。此时没有均衡存在，双方都只能靠运气。 作业:根据游击战的16字方针:“敌进我退，敌驻我扰，敌疲我打，敌退我追”，写出报酬矩阵，并判断是否存在均衡。 第三节 动态博弈与承诺 80 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 一、 静态博弈与动态博弈 1(静态博弈: 博弈的参与者同时作出决策(或者虽然决策有先后，但是没有人在决策之前看到了其他参与者的决策行为)，一旦决策做出之后，就只能等待结果，对博弈的发展再也不能产生任何影响，这种博弈叫做静态博弈。 2.动态博弈: 博弈的参与者相继行动，由于后行动者能够看到先行动者的决策行为，所以后面的决策要受到以前决策行为的影响，每一个参与者都要根据在在决策时所掌握的全部信息来作出自己的最优策略，即每个人的策略是决策者在决策时所掌握全部信息的函数。换句话讲，参与者在某一个阶段做出的决策，要受到前边一系列决策信息的影响，是前边一系列决策信息的函数。典型的例子就是下棋，我走一个当头炮，你走一个屏风马，我走一步，你走一步，你走一步，我走一步。双方相继行动。每个人在每一时刻的决策都是前边一系列决策所掌握信息的函数。到了中间某一阶段，比如说一方“将军”了，这要受到前面一系列双方决策实施产生的影响，不是说想什么时候“将军”就能什么时候“将军”。 二、 动态博弈的描述: 1(博弈树: 对动态博弈的描述，一般是用博弈树来进行。如下图所示，有两个参与者进行博弈， 图 13-6 第一个参与者用三角形来表示，有两种选择，第二个参与者用圆圈来表示，第一个参与者选择1的时候，第二个参与者也有两个选择。第一个参与者选择2的时候，第二个参与者有两个选择。 2(子博弈: 由博弈中某一个阶段开始的，以后的博弈叫做一个子博弈。实际上，从一个博弈任何一个节点开始一直到博弈结束都可以看作一个子博弈。 3(动态博弈的解: 动态博弈的解通常可以由反推法来解出，即把博弈树加上收益之后，计算每一个子博弈的收益，根据收益情况进行反推，在利益最大化的条件下最后求出均衡状态的解。动态博弈比起静态博弈来，更加符合现实经济生活中的实际情况，但是随着参与者的增加，复杂程度会以几何倍数增长。在一个由两个寡头组成的寡头垄断市场上，这两个寡头的竞争行为，往往可以用动态博弈的方法来描述。通常情况下，有一方会首先投石问路，看对方是否有合作的意愿，并根据对方的反应来做出自己下一步的决策，对方也会根据另一方的反应做出反应，从而决策一直进行下去。在现实生活中，经常会听说父母干预儿女的婚姻的事情，这实际上是儿女与父母之间在进行博弈。如下图所示: 不伤心 81 新祥旭北京大学光华管理学院，经济学院，CCER考研辅导班-小班一对一www.xxxedu.net 嫁张三 断绝关系 跳楼 父 女儿 母 父 母 图 13-7 儿 女儿可以选择嫁给张三或者不嫁给张三，父母则威胁女儿要是嫁给张三就不给嫁妆，并断绝父女关系，另外一种可能当然是不断绝父女关系。女儿则说如果断绝父女关系就要跳楼，另一种选择是不跳楼。父母则说如果你跳楼了，我们也不会感到痛苦。双方都是希望对方沿着有利于自己的博弈路径进行决策，父母是想通过威胁断绝父女关系来迫使女儿不嫁给张三，女儿则是想通过跳楼来迫使父母在自己嫁给张三后不断绝父女关系。在这些所说的话没有实现之前，都属于空头威胁。空头威胁有可能改变对手的决策，也可能对对手的决策毫无影响。总的来说，动态博弈比静态博弈来得更加复杂，决策起来所要考虑的信息更要多一些，所以驾御信息的复杂程度也更大一些。 资料来源新祥旭考研辅导学校www.xxxedu.net 82