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第六章 选 择 公 理
6.1 良序定理和选择公理
如果集合 A上存在良序关系，则称 A是可良序的。良序定理
是说任何集合都可良序。
如果良序定理成立，则由良序集基本定理可知，任给两个集
合，总可以建立从其中一个集合到另一个集合的单射，从而任何
基数都可以比较大小了。这样，基数作为元素个数的数就更令人
满意了。因此，良序定理是否成立是集合论中的一个重要问
题
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。
首先给出良序定理的严格表述。
6.1.1 良序定理 任给集合 A，存在 A 上二元关系 R，使得
是良序集。
Zermelo在 1904年提出了选择公理，并用它证明了良序定理。
选择公理有许多不同的形式，我们采用最一般的集合族的形式。
6.1.2 选择公理 任何非空集合的集合族上都存在选择函
数。详细地说就是：
如果Γ是集合族且∅∉Γ，则存在Γ到∪Γ的映射 f，满足任给
X∈Γ，都有 f(X)∈X。
选择公理的直观意义是：对于任意多个非空集合，可以同时
指定属于每个集合自身的一个元素。选择函数 f 就是这样的一个
指定，f(X)就是属于 X的一个元素。
对于每个确定的非空集合，指定属于它自身的一个元素总是
可以做到的，如果这些集合的个数有限，则一个一个指定就行了。
所以选择公理的关键在于：对无限多个非空集合，同时指定属于
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每个集合自身的一个元素。
因此，在没有选择公理的情况下，除非另有
标准
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外，一般不
能保证这样的元素同时被指定。
Russell曾经举过一个通俗的例子：无限多双鞋子，可以同时
对每双鞋子取一只，而无限多双袜子，就不能做到这一点。因为
鞋子有左右之分，我们可以同时取左边一只，而袜子没有左右之
分，我们没有任何标准同时在两只中取一只。
在良序集基本定理的证明中，重要的一步是：
如果任给 i∈I，Ai都是 A的前段，Bi都是 B的前段且 Ai≌Bi，
则∪Ai≌∪Bi。
因为任给 i∈I，Ai到 Bi的相似映射只有一个，所以可以对每
个 i∈I同时找到 Ai到 Bi的相似映射 fi，从而去构造∪Ai到∪Bi的
相似映射。
设{Ai | i∈I}和{Bi | i∈I}都是不交的，我们一般不能证明：
如果任给 i∈I，都有| Ai | =| Bi |，则| ∪Ai | = | ∪Bi |。
因为任给 i∈I，Ai到 Bi的双射一般不止一个，所以无法保证
对每个 i∈I 同时找到 Ai到 Bi的双射 fi，在没有其它条件时，一般
无法构造∪Ai到∪Bi的双射。
选择公理是对集合性质的一种假设。虽然对于有限多个集合
来说，它是正确的，但我们并不能就此说对于无限多个集合，它
也是正确的。因为有限的性质不能随意地推广到无限。
由于选择公理的假设性，它一提出来就遭到了一些人的反对，
但它在数学中有很大的用处。经过长期的争论，它得到了大多数
人的公认。
在证明任何无限集都有可数子集时，是需要用选择公理的。
在一些和选择公理相反的假设下，可以证明存在没有可数子集的
无限集。这样的集合的存在，破坏了数学中一些基本的性质，所
以虽然它们在逻辑上是无矛盾的，但在数学中是难以接受的。
以下从选择公理证明良序定理。
191
6.1.3 引理 A ≠ ∅，取 P(A)＼{∅}上的选择函数 h，取 b∉A。
对每个序数α，归纳定义 Aα ⊆ A∪{b}和 aα∈A∪{b}如下：
Aα = {aτ | τ<α}
h(A＼Aα) 如果 A＼Aα ≠ ∅ aα = b 如果 A＼Aα = ∅，
则它们有以下性质：
(1) 如果β≤α，则 Aβ ⊆ Aα。
(2) aα ≠ b当且仅当 A＼Aα ≠ ∅。
(3) 如果 aα ≠ b，则 aα∈A＼Aα。
(4) 如果β<α，则 aβ∈Aα。
证 (1) 任给 aτ∈Aβ，都有τ<β，由β≤α得
τ<α，
所以
aτ∈Aα，
因此 Aβ ⊆ Aα。
(2) 由 aα的定义直接可得。
(3) 如果 aα ≠ b，则 aα = h(A＼Aα)，因为 h是选择函数，所以
h(A＼Aα)∈A＼Aα，
即 aα∈A＼Aα。
(4) 如果β<α，则由 Aα的定义得 aβ∈Aα。■
6.1.4 定理 选择公理可以推出良序定理。
证 空集是能良序的，以下设 A ≠ ∅。按引理 6.1.3定义 Aα
和 aα。取 B = {α | aα ≠ b} = {α | A＼Aα ≠ ∅}。
任给α∈B，如果β≤α，则由引理 6.1.3(1)得
Aβ ⊆ Aα
由 A＼Aα ≠ ∅和 Aβ ⊆ Aα得
A＼Aβ ≠ ∅，
所以
192
β∈B。
因此 B是序数的前段，由定理 5.3.11得
存在序数γ，使得 B = O(γ)。
任给 aα∈Aγ，都有α<γ，由 B = O(γ)得α∈B，所以
aα ≠ b，
由引理 6.1.3(3)得 aα∈A＼Aα，更有 aα∈A，因此
Aγ ⊆ A。
又因为γ∉B，所以 aγ = b，由引理 6.1.3(2)得
A＼Aγ = ∅，
因此
A ⊆ Aγ。
最终得 A = Aγ = {aα | α<γ}。
任给α∈B，都有α<γ，由引理 6.1.3(1)得
aα∈Aγ = A，
因此可以构造 B到 A的映射：
f：B→A f(α) = aα。
任给α, β∈B，如果α ≠ β，不妨假设β<α，则由引理 6.1.3(4)
和(2)得
aβ∈Aα且 aα∈A＼Aα，
所以 aα ≠ aβ，即
f(α) ≠ f(β)，
因此 f是单射。
任给 aα∈A，都有α<γ，所以
α∈B且 f(α) = aα，
因此 f是满射。
由习题 3.3.1得相似于，再由定理 5.1.13得
是良序集。■
这个证明的直观想法是用序数一个一个数集合 A中的元素，
aα就是第α个元素。每次在剩下的子集中取元素是由选择公理预先
193
指定的，在定理中表示为
aα = h(A＼Aα)。
我们用超穷归纳定义描述这样的过程，但又不知道到哪个序数为
止可以把集合 A中的元素数完。所以引进 b∉A，使得当集合 A的
元素数完后，就重复地数 b。
有个值得注意的现象，对于任何集合，总是可以到某个序数
为止，将集合中所有的元素数完。这个现象的产生是因为序数集
合的一个性质(定理 5.3.12)：
任给序数的集合，总有一个序数比集合中每个序数
都大。
由良序定理可知，只要我们需要，任何集合都可以将它看作
良序集。从良序定理的证明中还可得到，任何集合总可以无重复
地表示成{aα | α<γ}。
如果γ是无限序数，则由习题 5.4.3可知，存在极限序数σ和自
然数 n，使得γ = σ+n。这时集合{aα | α<γ}的直观形象如下：
a0 ,⋯, an−1, an, an+1 ,⋯⋯, aω ,⋯⋯, aσ ,⋯, aσ+n−1
对于小于 n的自然数 m，令 bm = aσ+m，对于大于等于 n的自然数
m，令 bm = am−n，对于小于σ的其它序数α，令 bα = aα，直观形象
如下：
aσ ,⋯, aσ+n−1, a0, a1 , ⋯⋯, aω ,⋯⋯
b0 ,⋯, bn−1, bn, bn+1,⋯⋯, bω ,⋯⋯
则{bα | α<σ} = {aα | α<γ}。
这说明了任何无限集总可以无重复地表示成{aα | α<σ}，其中
σ是极限序数。
通过这种表示，我们可以用序数的性质和超穷归纳法取证明
集合的性质了。
首先，我们在选择公理的假设下严格证明任何无限集都有可
数子集。
194
6.1.5 定理 任何无限集都有可数子集。
证 设 A是无限集，将 A表示为{aα | α<γ}，则γ是无限序数。
因为ω是最小的无限序数，所以ω≤γ。令
B = {aα | aα∈A且α<ω}，
则 B就是 A的可数子集。■
其次，我们来证明有重要应用的极大链存在定理。
6.1.6 定义 极大链 A是偏序集，M是 A的线形链，如果
任给 x∈A \ M，都有 M ∪{x}不是 A的线形链，
则称 M是 A的极大线形链，简称 M是 A的极大链。
6.1.7 引理 设 A = {aα | α<σ}是偏序集，B是 A的线形链，
归纳构造 Bα(α<σ)如下：
① α = 0，Bα = B；
Bδ 如果 Bδ∪{aδ}不是线形链 ② α = δ+，Bα = Bδ∪{aδ} 如果 Bδ∪{aδ}是线形链；
③ α是极限序数，Bα = ∪β<αBβ。
则：
(1) 任给α<σ，都有如果β<α，则 Bβ ⊆ Bα。
(2) 任给α<σ，Bα都是线形链。
(3) ∪{Bα | α<σ}是线形链。
证 (1) 对α使用超穷归纳法。
① α = 0。因为没有比 0小的序数，所以β<α为假，因此如果
β<α，则 Bβ ⊆ Bα。
② α是后继序数，则存在序数δ，使得α = δ+。由定义得
Bα = Bδ∪{aδ}或 Bα = Bδ，
所以
Bδ ⊆ Bα。
如果β<α，则 β<δ+，所以
β<δ或β = δ，
195
当β<δ时，由归纳假设得 Bβ ⊆ Bδ，当β = δ时有 Bβ = Bδ，所以
Bβ ⊆ Bδ，
因此 Bβ ⊆ Bα。
③ α是极限序数。如果β<α，则 Bβ ⊆ ∪β<αBβ ⊆ Bα。
(2) 对α使用超穷归纳法。
① α = 0，则 Bα = B是线形链。
② α是后继序数，则存在序数δ，使得α = δ+，由归纳假设得
Bδ是线形链。由定义得
Bα = Bδ∪{aδ}或 Bα = Bδ，
当 Bα = Bδ∪{aδ}时，由定义得 Bα是线形链，当 Bα = Bδ时，就有 Bα
= Bδ是线形链。
③ α是极限序数。由(1)得{Bβ | β<α}是单调的，由习题 3.4.7
得 Bα ⊆ ∪β<αBβ是线形链。
(3) 由(1)得{Bα | α<σ}是单调的，由习题 3.4.7得∪{Bα | α<σ}
是线形链。■
6.1.8 定理 A是偏序集，B是 A的线形链，则存在 A的极大
线形链 M，使得是 B ⊆ M。
证 将 A表示为{aα | α<σ}，按引理 6.1.7构造 Bα，取
M = ∪{Bα | α<σ}，
则由引理 6.1.7(3)得 M是线形链，显然 B ⊆ M，以下证 M是极大
线形链。
任给 aδ∈A，如果 aδ∉M，则 aδ∉Bδ+，由 Bδ+的定义得
Bδ∪{Bδ}不是线形链，
所以
M∪{Bδ}不是线形链。
因此 M是 A的极大线形链。■
在例 2.1.19中，我们用自然数的最小数原理构造了P(N)＼{∅}
上的选择函数。良序集有最小元原理，所以如果Γ是良序集 A的子
集族且∅∉Γ，则可以用类似的方法构造Γ上的选择函数。注意到Γ
196
总是∪Γ的子集族，所以由良序定理可以推出选择公理，因而它们
是等价。
6.1.9 定理 良序定理可以推出选择公理。
证 Γ是集合族且∅∉Γ，由良序定理，可设∪Γ是良序集。任
给 X∈Γ，都有 X ⊆ ∪Γ，所以 X有最小元，因此可以构造Γ到∪Γ
的映射：
h：Γ→∪Γ h(X) = X的最小元，
h就是Γ上的选择函数。■
设{Ai | i∈I}和{Bi | i∈I}都是不交的。在选择公理的假设下，我
们就可以从
任给 i∈I，都有| Ai | = | Bi |
得到| ∪i∈I Ai | = | ∪i∈I Bi |。
因为我们可以用选择公理对每个 i，取定一个 Ai到 Bi的双射，
它们的并映射就是∪i∈IAi到∪i∈IBi的双射。具体步骤如下：
任给 i∈I，令
Di = {f | f是 Ai到 Bi的双射}，
因为| Ai | = | Bi |，所以 Di = ∅。令
Γ = {Di | i∈I}，
取Γ上的选择函数 h，构造映射族
Σ = ran(h) = {h(Di) | i∈I}。
可以证明并映射 fΣ存在且是∪i∈IAi到∪i∈IBi的双射。
如果我们用指标集 I将Γ表示为{Ai | i∈I}，则Γ上的选择函数
就属于∏i∈IAi。所以由选择公理很容易得到卡氏积定理：
如果任给 i∈I，都有 Ai ≠ ∅，则∏i∈IAi ≠ ∅。
设 h是Γ上选择函数，因为任给 X∈Γ，都有 h(X)∈X，所以
任给 X∈Γ，都有 X∩ran(h)≠∅。
当Γ是不交时，X∩ran(h)中恰有一个元素 h(X)。因此由选择公理可
以得到交点惟一定理：
如果Γ是一个不交的集合族且∅∉Γ，则存在集合 A，
197
使得任给 X∈Γ，都有| X∩A | = 1。
这两个定理的详细证明留给读者。
习题 6.1
6.1.1 卡氏积定理 证明：如果任给 i∈I，都有 Ai ≠ ∅，则
∏i∈IAi ≠ ∅。
6.1.2 交点惟一定理 证明：如果
Γ是一个不交的集合族且∅∉Γ，则
存在集合 A，使得任给 X∈Γ，都有| X∩A | = 1。
6.1.3 {Ai | i∈I}和{Bi | i∈I}都是两两不交的。证明：如果
任给 i∈I，都有| Ai | = | Bi |，
则| ∪i∈IAi | = | ∪i∈IBi |。
6.1.4 证明：如果任给 i∈I，都有| Ai | = | Bi |，则|
∏i∈IAi | = | ∏i∈IBi |。
6.1.5 {Ai | i∈I}是两两不交的，任给 i∈I，都有κi = | Ai |，定
义
Σi∈I κi = | ∪i∈I Ai |，
由习题 6.1.3，这定义是合理的。Σi∈I κi称为{κi | i∈I}的广义和。证
明：如果任给 i∈I，都有κi = κ，则Σi∈I κi = | I |⋅κ。
6.1.6 任给 i∈I，都有κi = | Ai |，定义
∏i∈I κi = | ∏ i∈IAi |，
由习题 6.1.4，这定义是合理的。∏ i∈I κi称为{κi | i∈I}的广义积。
证明：如果任给 i∈I，都有κi = κ，则∏i∈I κi = κ | I |。
198
6.2 基数的进一步性质
在选择公理的假设下，基数就有许多类似于序数的性质。首
先我们将序数和基数联系起来。
两个相似的良序集一定等势，所以任何序数都可以确定一个
基数。
6.2.1 定义 序数的基数 α是任意序数，取良序集 A，使得
α = A，称 A的基数| A |是序数α的基数，记为| α |。
两个不同的序数可以有相同的基数，如ω，ω+1，ω+ω是不同
的序数，但它们有相同的基数ℵ 0。
有了选择公理(也就有了良序定理)，每个基数都是序数的基
数。任给基数κ，取集合 A，使得κ = | A |，由良序定理可使 A是良
序集，令α = A，则κ = | α |。
既然每个基数都是序数的基数，就可以使用序数的性质来讨
论基数的性质。
6.2.2 定理 如果β≤α，则| β |≤| α |。因此如果| α |<| β |，则
α<β。
证 因为β≤α，所以可取良序集 A, B，使得
A = α，B = β且 B是 A的前段，
由 B是 A的前段得 B ⊆ A，因此
| B |≤| A |，
即| β |≤| α |。■
6.2.3 定理 基数可比较定理 任给基数κ, λ，都有κ≤λ或
λ≤κ。
证 取序数α, β，使得
κ = | α |且λ = | β |。
由定理 5.3.3(4)得
α≤β或β≤α，
199
由定理 6.2.2得
| α |≤| β |或| β |≤| α |，
即κ≤λ或λ≤κ。■
6.2.4 定理 任何基数的非空集合都有最小数。
证 设 A是基数的非空集合，取
B = {β | β是序数且| β |∈A}，
则 B是序数的非空集合，由定理 5.3.9得 B有最小数α，以下证明
| α |就是 A的最小数。
任给κ∈A，存在β∈B，使得| β | = κ，由α是 B的最小数和β∈B
得
α≤β，
所以
| α |≤| β | = κ。
因此| α |就是 A的最小数。■
6.2.5 定理 A是基数的集合，则存在基数λ，使得任给κ∈A，
都有κ<λ。
证 取 B = {β | β是序数，存在κ∈A，使得| β |≤κ}，则 B是序
数的集合，由定理 5.3.12得
存在序数γ，使得任给β∈B，都有β<γ。
令λ = | γ |。如果存在κ∈A，使得λ≤κ，则| γ |≤κ，由 B的定义
得γ∈B，矛盾。
因此任给κ∈A，都有κ<λ。■
设 A = {κi | i∈I}是基数的集合，由定理 6.2.5，
存在基数κ，使得任给 i∈I，都有κi<κ。
对照习题 4.4.5，在那里，对于集合族{Ai | i∈I}，证明了
存在κ，使得κ大于每一个| Ai |。
如果没有选择公理，只给定 A = {κi | i∈I}，就无法对每个 i同时找
到 Ai，使得κi = | Ai |，从而无法使用那里的方法证明
存在κ，使得κ大于每一个κi。
200
和序数类似，由定理 6.2.4可知，任何基数的集合 A都有上确
界，这个上确界记为 supA。
也和序数类似，由定理 6.2.5可定义基数的后继，进而定义后
继基数和极限基数。
6.2.6 定义 基数的后继 κ是基数，则 A = {λ | λ>κ}是基数
的非空集合，A的最小数称为基数κ的后继，记为κ+。
6.2.7 定义 后继基数和极限基数 如果存在λ，使得κ = λ+，
则称κ是后继基数，如果κ ≠ 0且κ不是后继基数，则称κ是极限基
数。
基数的后继、后继基数和极限基数和序数中相应的概念有许
多类似的性质。
6.2.8 定理 后继基数的性质
(1) κ<κ+。
(2) 如果λ<κ，则λ+≤κ。因此如果κ<λ+，则κ≤λ。
(3) 如果κ+ = λ+，则κ = λ。
证 类似于定理 5.3.18，详细证明留给读者。■
6.2.9 定理 极限序数的性质
(1) κ是极限基数，如果λ<κ，则λ+<κ。
(2) A是基数的集合，κ = supA，如果κ∉A，则κ是极限序数。
(3) 如果κ ≠ 0，则κ是极限序数当且仅当κ = {λ | λ<κ}。
证 类似于习题 5.3.2，详细证明留给读者。■
因为有基数的最小数原理(定理 6.2.4)，所以也有基数的超穷
归纳法。
6.2.10 定理 基数的超穷归纳法 设φ(κ)是基数κ的一个命
题，并且满足：
如果任给κ0≤λ<κ，φ(λ)都成立，则φ(κ)成立。
那么，任给基数κ≥κ0，φ(κ)都成立。
证 类似于定理 5.3.19，详细证明留给读者。■
和序数的超穷归纳法类似，条件中蕴涵着φ(κ0)成立，在应用
201
时经常需要补上φ(κ0)的证明。另外，κ0经常取ℵ0。
基数的超穷归纳法也有分κ0，后继基数和极限基数三种情况
的第二形式，它的叙述和证明留给读者。
由 Cantor定理，κ<2 κ，所以κ+≤2 κ。是否有κ+ = 2 κ呢？因为
κ+是大于κ的最小基数，所以这也是问在κ和 2 κ之间是否还有其它
基数。这就是著名的连续统假设和广义连续统假设。
6.2.11 连续统假设 ℵ 0+ = 2 ℵ 0。
6.2.12 广义连续统假设 任给无限基数κ，都有κ+ = 2 κ。
这两个假设推动了关于基数性质的更为深入的研究，但对于
这两个假设及相关的研究不是本书所能讨论的。
由定理 6.2.3 和定理 6.2.4，基数的大小不但是全序而且是良
序。所以可以形象地利用序数将所有无限基数按大小排列。
6.2.13 定义 超穷归纳定义基数ℵ α如下：
(1) ℵ 0 = | ω |；
(2) ℵ α+ = ℵ α+；
(3) σ是极限序数，ℵ σ = sup{ℵ τ | τ<σ}。
下面证明这样的表达式正是我们所需要的。
6.2.14 引理 如果α<β，则ℵ α<ℵ β。因此如果α≤β，则
ℵ α≤ℵβ。
证 对β作超穷归纳证明。
① 没有比 0小的序数。
② 如果α<β+，则α<β或α = β，由归纳假设得
ℵ α<ℵ β或ℵ α = ℵ β，
所以ℵ α≤ℵ β<ℵ β+ = ℵ β+。
③ σ是极限序数。如果α<σ，则α+<σ，所以
ℵ α+∈{ℵτ | τ<σ}，
因此ℵ α<ℵ α+ = ℵ α+≤sup{ℵ τ | τ<σ} = ℵ σ 。■
6.2.15 定理 任给无限基数κ，存在序数α，使得κ = ℵ α。
证 反证法。假设存在无限基数κ，使得
202
任给序数α，都有κ ≠ ℵ α，
则由引理 6.2.3，具有这样性质的基数中有最小数，设这个最小数
为λ。
取 A = {τ | ℵ τ<λ}，则任给α∈A，任给β≤α，都有ℵ β<ℵ α<λ，
所以
β∈A，
因此 A是序数的前段。由定理 5.3.11得存在序数γ，使得
A = O(γ)，
所以
γ∉A，
因此λ≤ℵ γ。
① 如果γ = 0，则ℵ γ = ℵ 0≤λ。
② 如果γ = β+，则β∈A，所以ℵβ<λ，因此ℵ γ = ℵ β+ = ℵ β+≤λ。
③ 如果γ是极限序数，则
ℵ γ = sup{ℵ τ | τ<γ} = sup{ℵ τ | τ∈A}
= sup{ℵ τ | ℵ τ<λ}≤λ。
在三种情况下都有ℵ γ≤λ，所以ℵ γ = λ，矛盾。■
由定理 6.2.15，如果在基数的超穷归纳法中κ0 = ℵ0，则可以用
序数的超穷归纳法代替基数的超穷归纳法。
A是任何集合，由良序定理，A可以表示成{aα | α<γ}。取
σ = {β | | β | = | γ |}的最小数
则 A也可以表示成{aα | α<σ}，既然σ是{β | | β | = | γ |}的最小数，
所以
任给γ<σ，都有| γ | < | σ |，
因此
任给γ<σ，都有| {aα | α<γ} | = | γ | < | σ | = | A |。
这是一个非常有用的性质。
203
习题 6.2
6.2.1 证明定理 6.2.8，即证明：
(1) κ<κ+。
(2) 如果λ<κ，则λ+≤κ。因此如果κ<λ+，则κ≤λ。
(3) 如果κ+ = λ+，则κ = λ。
6.2.2 证明定理 6.2.9，即证明：
(1) κ是极限基数，如果λ<κ，则λ+<κ。
(2) A是基数的集合，κ = supA，如果κ∉A，则κ是极限序数。
(3) 如果κ ≠ 0，则κ是极限序数当且仅当κ = {λ | λ<κ}。
6.2.3 证明基数的超穷归纳法，即证明：
φ(κ)是基数κ的一个命题，并且满足：
如果任给κ0≤λ<κ，φ(λ)都成立，则φ(κ)成立。
那么，任给基数κ≥κ0，φ(κ)都成立。
6.2.4 叙述并证明基数的超穷归纳法第二形式。
6.2.5 κ是无限基数，σ是{α | | α | = κ}的最小数。证明σ是极
限序数。
6.2.6 证明：如果α ≠ 0，则α是极限序数当且仅当ℵα的极限
基数。
6.2.7 在没有选择公理的情况下，不能证明每个基数都是序
数的基数，但能证明：
(1) 任给基数κ，如果κ≤| α |，则存在序数β，使得κ = | β |。
(2) 任给基数κ，{α | | α |<κ}是序数的前段。
(3) 任给基数κ，如果κ不是序数的基数，则存在序数γ，使得κ
和| γ |不可比较(即κ≤/ | γ |且| γ |≤/ κ)。
204
6.3 Zorn引理
选择公理有许多等价命题，其中经常使用的一个是 Zorn 引
理。
6.3.1 Zorn引理 A是非空偏序集，如果 A的任何线形链都
有上界，则 A有极大元。
选择公理可以推出 Zorn引理。直观的想法是这样的：因为偏
序集 A 的每个线形链都有上界，所以可由选择公理在所有上界中
取定一个不在这个线形链中的元素，将这个元素加在原来的线形
链中就得到一个新的线形链，再用同样的方法找元素，得到又一
个线形链，直至不能做为止。这时得到的线形链的上界必定属于
自己，所以它只有一个上界，这个上界就是偏序集 A的极大元。
我们用序数来数这些找出来的元素，以便使用超穷归纳法。
又类似于良序定理的证明，引进 b∉A，当符合条件的元素数完后，
重复数 b。
也类似于良序定理的证明，先证明一个引理。
6.3.2 引理 A是非空偏序集，偏序关系为≤A，取 P(A)＼{∅}
上的选择函数 h，取 b∉A。
对每个序数α，归纳定义 Aα ⊆ A∪{b}，Bα ⊆ A和 aα∈A∪{b}
如下：
Aα = {aτ | τ<α}，
Bα = {x | x∈A＼Aα且 x是 Aα＼{b}的上界}，
h(Bα) 如果 Bα ≠ ∅ aα = b 如果 Bα = ∅，
则它们有以下性质：
(1) 如果β≤α，则 Aβ ⊆ Aα且 Bα ⊆ Bβ。
(2) aα ≠ b当且仅当 Bα ≠ ∅。
205
(3) 如果 aα ≠ b且 b∉Aα，则 aα是 Aα的上界。
(4) 如果 aα ≠ b，b∉Aα且β≤α，则 aβ≤A aα。
证 (1) 任给 aτ∈Aβ，都有τ<β，由β≤α得
τ<α，
所以
aτ∈Aα，
因此 Aβ ⊆ Aα。
由 Aβ ⊆ Aα得 A＼Aα ⊆ A＼Aβ且 Aβ＼{b} ⊆ Aα＼{b}。
任给 x∈Bα，都有
x∈A＼Aα且 x是 Aα＼{b}的上界，
由 x∈A＼Aα和 A＼Aα ⊆ A＼Aβ得
x∈A＼Aβ，
由 x是 Aα＼{b}的上界和 Aβ＼{b} ⊆ Aα＼{b}得
x是 Aβ＼{b}的上界，
所以
x∈Bβ。
因此 Bα ⊆ Bβ。
(2) 由 aα的定义直接可得。
(3) 由 aα ≠ b和(2)得 Bα ≠ ∅，所以 aα∈Bα，因此
aα是 Aα＼{b}的上界。
又因为 b∉Aα，所以
Aα＼{b} = Aα，
因此 aα是 Aα的上界。
(4) β = α时显然，以下设β<α。由β<α和 Aα的定义得
aβ∈Aα，
由 aα ≠ b，b∉Aα和(3)得
aα是 Aα的上界。
因此 aβ≤A aα。■
下面由选择公理证明 Zorn引理。
206
6.3.3 定理 选择公理可以推出 Zorn引理。
证 设 A 是非空偏序集，A 的任何线形链都有上界。按引理
6.3.2定义 Aα，Bα和 aα。取 C = {α | aα ≠ b} = {α | Bα ≠ ∅}。
任给α∈C，都有 Bα ≠ ∅，如果β≤α，则引理 6.3.2(1)得
Bα ⊆ Bβ，
由 Bα ≠ ∅和 Bα ⊆ Bβ得 Bβ ≠ ∅，所以
β∈C。
因此 C是序数的前段，由定理 5.3.11得
存在序数γ，使得 C = O(γ)。
任给 aα, aβ∈Aγ，不妨设β≤α，就有
β≤α<γ。
任给 aδ∈Aα，都有δ<α，所以
δ<γ，
由 C = O(γ)得δ∈C，所以
aδ ≠ b，
因此
b∉Aα。
由β≤α，b∉Aα和引理 6.3.2(4)得
aβ≤A aα。
所以 Aγ是线形链，因此 Aγ有上界。
由 C = O(γ)得γ∉C，所以 aγ = b，因此
Bγ = ∅。
这说明了 Aγ没有属于 A＼Aα的上界，所以 Aγ只有属于 Aγ的上界，
因此 Aγ的上界只有一个，由习题 3.4.4，这个上界就是 A的极大元。
■
要应用 Zorn引理，首先要根据需要构造一个非空偏序集，使
得它的每个线形链都有上界，这样它就有极大元，其次就是证明
这个极大元有我们所需要的性质。
应用最多的偏序集是有序对的集合，其中 X是集合，f
207
是定义域为 X的映射。为了以后使用方便，先证明以下引理。
6.3.4 引理 B是集合，Σ是有序对的集合，其中 X是集
合，f是 X到 B的映射。在Σ上定义二元关系≤如下：
≤ = {<, > | X1 ⊆ X2且 f2 | X1 = f1}，
即
≤当且仅当 X1 ⊆ X2且 f2 | X1 = f1，
则有：
(1) ≤是Σ上偏序关系。
(2) 如果Φ = { | i∈I}是Σ的线形链，令 X = ∪i∈I Xi，则
存在 X到 B的映射 f，使得任给 i∈I，都有 f | Xi = fi。
因此，如果∈Σ，则是Φ的上界。
(3) 在(2)中，如果每个 fi是单射，则 f是单射。
证 (1) 证明≤具有自返性、反对称性和传递性。
自返性。任给∈Σ，都有
X ⊆ X且 f | X = f，
所以≤。
反对称性。如果≤且≤，则
X1 ⊆ X2，X2 ⊆ X1，f2 | X1 = f1且 f1 | X2 = f2，
所以
X1 = X2，f1 = f2 | X1 = f2 | X2 = f2，
因此 = 。
传递性。如果≤且≤，则
X1 ⊆ X2，X2 ⊆ X3， f2 | X1 = f1且 f3 | X2 = f2，
所以
X1 = X2，f3 | X1 = (f3 | X2) | X1 = f2 | X1 = f1，
因此≤。
(2) 考虑映射族Γ = {fi | i∈I}。显然
{Xi | i∈I}
是单调的，又任给 i, j∈I，如果 Xi ⊆ Xj，则 fj | Xi = fi，所以
208
任给 x∈Xi，都有 fj(x) = fj | Xi (x) = fi (x)。
由定理 2.5.11(2)，存在Γ的并映射 f，由并映射的定义得
f是 X到 B的映射
且
任给 i∈I，都有 f | Xi = fi。
(3) 由定理 2.5.12(2)。■
现在证明由 Zorn 引理可以推出选择公理，从而它们是等价
的。
证明的思路是这样的：考虑有序对组成的集合，其中 X
是Γ的子集，f 是 X 上的选择函数，由引理 6.3.4 在这个集合上构
造偏序关系，然后用 Zorn引理证明它有极大元，最后证明
X0 = Γ，所以 f0就是Γ的选择函数。
6.3.5 定理 Zorn引理可以推出选择公理。
证 设Γ集合族且∅∉Γ，取
Σ = { | X ⊆ Γ，f：X→∪Γ，任给 Y∈X，都有 f(Y)∈Y}。
取 A∈Γ和 a∈A，令
f：{A}→∪Γ f(A) = a，
则<{A}, f>∈Σ，所以Σ非空。
由引理 6.3.4可在Σ定义偏序关系如下：
≤当且仅当 X1 ⊆ X2且 f2 | X1 = f1
则Σ是非空偏序集。
任给Σ的线形链
Φ = { | i∈I}，
取 X = ∪i∈I Xi，则 X ⊆ Γ。由引理 6.3.4，存在 X到∪Γ的映射 f，
使得
任给 i∈I，都有 f | Xi = fi。
又
任给 Y∈X，存在 i∈I，使得 Y∈Xi，
所以
209
f(Y) = fi (Y)∈Y，
由Σ的定义得
∈Σ，
因此是Φ的上界。
这说明Σ的任何线形链都有上界，由 Zorn 引理，Σ有极大元
。
如果 X0 ≠ Γ，则取 A∈Γ＼X0，取 a∈A，构造 X0∪{Y0}到∪Γ
的映射
f0(Y) 如果 Y∈X0 f：X0∪{Y0}→∪Γ f(Y) =
a 如果 Y = X0，
则任给 Y∈X0∪{Y0}，都有 f(Y)∈Y，所以
∈Σ。
显然有
<，
和是极大元矛盾。
因此 X0 = Γ，f0就是Γ的选择函数。■
另一类常用的偏序集是由集合族Σ和Σ上的包含关系组成的
偏序集。对于这样的偏序集Σ，任给Φ ⊆ Σ，Φ是线形链当且仅当
Φ是单调的。显然，任给Φ ⊆ Σ，∪Φ是Φ的上界。
所以，只要任给单调的Φ ⊆ Σ，都有∪Φ∈Σ，就能用 Zorn引
理证明Σ有极大元。
6.3.6 例 用 Zorn引理重新证明极大链存在定理。
设 B是 A的线形链，取
Σ = {X | X是 A的线形链且 B ⊆ X}，
则：
(1) Σ非空。
(2) 任给单调的Φ ⊆ Σ，∪Φ还是线形链，所以∪Φ∈Σ。
因此，由 Zorn引理得Σ有极大元 M。M就是 A的极大线形链，并
210
且 B ⊆ M。
习题 6.3
6.3.1 用 Zorn引理证明基数可比较定理 A, B是非空集合，
Σ = { | X ⊆ A，f是 X到 B的单射}，
由引理 6.3.4可在Σ定义偏序关系如下：
≤当且仅当 X1 ⊆ X2且 f2 | X1 = f1
证明：
(1) Σ非空。
(2) 任给Σ的线形链Φ = { | i∈I}，Φ都有上界，因此Σ有
极大元。
(3) 如果是极大元，则 X0 = A或 f [X0] = B
(4) 存在 A到 B的单射，或存在 B到 A的单射。
6.3.2 用良序定理证明 Zorn引理 A非空偏序集，A的任何
线形链都有上界。由良序定理，可设 A = {aτ | τ<γ}，任给τ<γ，
归纳定义 Aτ如下：
(1) A0 = ∅；
Aα∪{aα} 如果 aα是 Aα的上界
(2) A α+ = Aα 如果 aα不是 Aα的上界；
(3) σ是极限序数，Aσ = ∪{Aα | α<σ}。
令 B = ∪{Aτ | τ<γ}，证明：
(1) 任给τ<γ，Aτ是线形链。
(2) B是线形链。
(3) B的上界都在 B中，因此 A有极大元。
211
6.4 倍等定理和幂等定理
在选择公理的假设下，无限基数有两个重要定理，倍等定理
和幂等定理。我们用 Zorn引理来证明它们。
倍等定理是说：任给无限基数κ，都有κ+κ = κ。
证明的思路是这样的：取集合 A, B，满足
| A | = | B | = κ且 A∩B = ∅，
取 A 到 B 的双射 g。考虑有序对组成的集合，其中 X 是 A
的子集，f是 X到 A∪B的单射，且有 f [X] = X∪g[X]，这样的 X满
足
| X |+| X | = | X |。
然后由引理 6.3.4和 Zorn引理证明它有极大元，最后证明
| X0 | = | A | = κ，
所以κ+κ = | X0 |+| X0 | = | X0 | = κ。
6.4.1 定理 无限基数的倍等定理 任给无限基数κ，都有κ+κ
= κ。
证 取集合 A, B，满足| A | = | B | = κ且 A∩B = ∅，取 A到 B
的双射 g。取
Σ ={ | X ⊆ A，f是 X到 A∪B的单射且 f [X] = X∪g[X]}。
显然任给∈Σ，都有
| X |+| X | = | X∪g[X] | = | f [X] | = | X |。
取 A的可数子集 X，则 X∪g[X]也是可数集，取 X到 X∪g[X]
的双射 h，令
f：X→A∪B f(x) = h(x)
则∈Σ，所以Σ非空。
由引理 6.3.4可在Σ定义偏序关系如下：
≤当且仅当 X1 ⊆ X2且 f2 | X1 = f1
则Σ是非空偏序集。
212
任给Σ的线形链Φ = { | i∈I}，取 X = ∪i∈I Xi，则 X ⊆ A。
由引理 6.3.4，存在 X到 A∪B的单射 f，使得
任给 i∈I，都有 f | Xi = fi。
又
f [X] = f [∪i∈I Xi] = ∪i∈I f [Xi]
= ∪i∈I fi [Xi] = ∪i∈I (Xi∪g[Xi])
= (∪i∈I Xi)∪(∪i∈I g[Xi])
= X∪g[X]，
所以
∈Σ，
因此是Φ的上界。
这说明Σ的任何线形链都有上界，由 Zorn 引理，Σ有极大元
。
如果我们证明了| X0 | = | A |，就有κ+κ = | X0 |+| X0 | = | X0 | = κ。
以下用反证法证明| X0 | = | A |。
假设| X0 | ≠ | A |，则 A＼X0是无限的，可取 A＼X0的可数子集
Y，取 Y到 Y∪g [Y]的双射 h，构造 X0∪Y到 A∪B的映射
f0(x) 如果 Y∈X0 f：X0∪Y→ A∪B f(x) = h(x) 如果 Y = X0，
则 f是单射，又
f [X0∪Y] = f [X0]∪f [Y] = (X0∪g[X0])∪(Y∪g[Y])
= (X0∪Y)∪(g[X0]∪g[Y])
= (X0∪Y)∪g[X0∪Y]，
所以
∈Σ。
显然有
<，
和是极大元矛盾。■
213
设κ, λ都是无限基数，由定理 6.3.5可知，
如果κ, λ<µ，则κ+λ<µ。
这个结果将用在以下定理的证明中。
幂等定理是说：任给无限基数κ，都有κ⋅κ = κ。
证明的思路是这样的：取集合 A满足
| A | = κ。
考虑有序对组成的集合，其中 X是 A的子集，f是 X到
A×A的单射，且有 f [X] = X×X，这样的 X满足
| X |⋅| X | = | X |。
然后由引理 6.3.4和 Zorn引理证明它有极大元，最后证明
| X0 | = | A | = κ，
所以κ⋅κ = | X0 |⋅| X0 | = | X0 | = κ。
6.4.2 定理 无限基数的幂等定理 任给无限基数κ，都有κ⋅κ
= κ。
证 取集合 A满足| A | = κ。取
Σ = { | X ⊆ A，f是 X到 A×A的单射且 f [X] = X×X }
显然
任给∈Σ，都有| X |⋅| X | = | X×X | = | X |。
取 A的可数子集 X，则 X×X也是可数集，取 X到 X×X的双
射 h，令
f：X→A×A f(x) = h(x)
则∈Σ，所以Σ非空。
由引理 6.3.4可在Σ定义偏序关系如下：
≤当且仅当 X1 ⊆ X2且 f2 | X1 = f1
则Σ是非空偏序集。
任给Σ的线形链
Φ = { | i∈I}，
取 X = ∪i∈IXi，则 X ⊆ A。由引理 6.3.4，存在 X到 A×A的单射 f，
使得
214
任给 i∈I，都有 f | Xi = fi。
又
f [X] = f [∪i∈I Xi] = ∪i∈I f [Xi]
= ∪i∈I fi [Xi] = ∪i∈I(Xi×Xi)
= (∪i∈IXi)×(∪i∈IXi)
= X×X，
所以
∈Σ，
因此是Φ的上界。
这说明Σ的任何线形链都有上界，由 Zorn 引理，Σ有极大元
。
如果我们证明了| X0 | = | A |，就有κ⋅κ = | X0 |⋅| X0 | = | X0 | = κ。
以下用反证法证明| X0 | = | A |。
如果| X0 | ≠ | A |，则| X0 |<| A |，由定理 6.4.1得
| A＼X0 | = | A |
(否则由| X0 |<| A |和| A＼X0 |<| A |得| A | = | X0∪(A＼X0) |<| A |，矛
盾)。
可取 B1 ⊆ A＼X0，使得| B1 | = | X0 |，则 B1和 X0不交，由定理
6.4.1得
| X0∪B1 | = | X0 |+| B1 | = | X0 |+| X0 | = | X0 |，
所以
| A＼(X0∪B1) | = | A |，
又可取 B2 ⊆ A＼(X0∪B1)，使得
| B2 | = | X0 |，
类似地还可取 B3 ⊆ A＼(X0∪B1)，使得
| B3 | = | X0 |。
这样 X0, B1, B2, B3两两不交，且| B1 | = | B2 | = | B3 | = | X0 |。
取 B = B1∪B2∪B3，则由定理 6.4.1得
| B | = | B1 |+| B2 |+| B3 | = | X0 |+| X0 |+| X0 | = | X0 |，
215
又因为| X0×X0 | = | X0 |，所以
| X0×B | = | B×X0 | = | B×B | = | X0 |。
取 B1到 X0×B的双射 h1，取 B2到 B×X0的双射 h2，取 B3到
B×B的双射 h3，令
X = X0∪B = X0∪B1∪B2∪B3，
构造 X到 A×A的映射
f0(x) 如果 x∈X0
h1(x) 如果 x∈B1
h2(x) 如果 x∈B2 f：X→A×A f(x) =
h3(x) 如果 x∈B3，
则 f是单射，又
f [X] = f [X0∪B1∪B2∪B3]
= f [X0]∪f [B1]∪f [B2]∪f [B3]
= f0[X0]∪h1[B1]∪h2[B2]∪h3[B3]
= (X0×X0)∪(X0×B)∪(B×X0)∪(B×B)
= (X0∪B)×(X0∪B) = X×X，
所以
∈Σ。
显然有
<，
和是极大元矛盾。■
习题 6.4
6.4.1 κ, λ是无限基数。证明：如果κ<µ且λ<µ，则κ+λ<µ。
6.4.2 κ, λ是无限基数。证明：如果κ<µ且λ<µ，则κ⋅λ<µ。
6.4.3 λ是无限基数。证明：如果 2≤κ≤λ，则κ λ = 2 λ。
216
6.5 选择公理的其他等价命题
前面证明了良序定理、Zorn引理都和选择公理等价。又用选
择公理推出了以下三个定理。
(1) 卡氏积定理 如果任给 i∈I，都有 Ai ≠ ∅，则∏i∈IAi ≠ ∅。
(2) 交点惟一定理 如果Γ是一个不交的集合族且∅∉Γ，则存
在集合 A，使得任给 X∈Γ，都有| X∩A | = 1。
(3) 基数可比较定理 任给基数κ, λ，都有κ≤λ或λ≤κ。
以下证明这三个定理都和选择公理等价。
6.5.1 定理 卡氏积定理可以推出选择公理。
证 设Γ集合族且∅∉Γ。取 I = Γ，任给 i∈I，取 Ai = i，则
任给 i∈I，都有 Ai ≠ ∅，
由卡氏积定理得
∏i∈IAi ≠ ∅，
取 f∈∏i∈I Ai，则 f是 I到∪i∈I Ai的映射，并且满足
任给 i∈I，都有 f(i)∈Ai。
因为Γ = I且∪Γ= ∪i∈I Ai，所以 f是Γ到∪Γ的映射，又
任给 X∈Γ，存在 i∈I，使得 X = i = Ai，
所以
f(X) = f(i)∈Ai = X，
因此 f是Γ上的选择函数。■
6.5.2 定理 交点惟一定理可以推出选择公理。
证 设Γ集合族且∅∉Γ。任给 X∈Γ，令
A(X) = {X}×X = { | x∈X}，Σ = {A(X) | X∈Γ}，
就有
任给 X, Y∈Γ，如果 X ≠ Y，则 A(X)∩A(Y) = ∅，
所以Σ是不交的集合族，由交点惟一定理，存在集合 A，使得
217
| A∩A(X) | = 1。
构造Γ到∪Γ的映射
h：Γ→∪Γ h(X) = x (是 A∩A(X)中惟一的元素)
则 h是Γ上的选择函数。■
6.5.3 定理 基数可比较定理可以推出良序定理。
证 证明如果良序定理不成立，则基数可比较定理不成立。
如果良序定理不成立，则存在集合 A不能良序，所以κ = | A |
就不是序数的基数，由习题 6.2.7(2)，存在基数λ，使得κ和λ不可
比较，因此基数可比较定理不成立。■
下面再介绍一个选择公理的等价命题──Tukey 引理。先引
进有限特征的概念。用 F(A)表示 A的所有有限子集组成的集合，
即 F(A) = {X | X ⊆ A且 X是有限的}。
6.5.4 定义 有限特征 Γ是集合族，如果任给集合 A，都有
A∈Γ当且仅当 A的任何有限子集属于Γ，
即
A∈Γ当且仅当 F(A) ⊆ Γ，
则称Γ具有有限特征。
6.5.5 Tukey 引理 Γ是集合族，如果Γ具有有限特征，则Γ
有极大元。
Γ有极大元的意思是指Γ在包含关系下的极大元，也就是Γ的
极大集。详细地说，X0是极大元是指：任给 X∈Γ，如果 X0 ⊆ X，
则 X0 = X。
我们来证明 Zorn引理和 Tukey引理等价。
6.5.6 定理 Zorn引理可以推出 Tukey引理。
证 设Γ是具有有限特征的集合族。
任给Γ的线形链Σ，令 A = ∪Σ。任给 A的有限子集 X，因为Σ
是单调的，所以存在 Y∈Σ，使得 X ⊆ Y (由习题 1.5.5和数学归纳
法)，由 Y∈Γ和 X是 Y的有限子集得
X∈Γ。
218
这证明了
任给 A的有限子集 X，都有 X∈Γ，
由Γ具有有限特征得
A∈Γ，
所以 A是Σ的上界。
因此，Γ的任何线形链都有上界，由 Zorn引理，Γ有极大元。
■
6.5.7 定理 Tukey引理可以推出 Zorn引理。
证 设 A是非空偏序集，A的任何线形链都有上界。
如果 X是线形链，则 X的任何有限子集都是线形链，反之如
果 X的任何有限子集都是线形链，则任给 x, y∈X，由{x, y}得
x≤y或 y≤x，
所以 X是线形链。
因此Γ = {X | X是 A的线形链}具有有限特征
浙公网安备 33021202002483