幂等Hermite矩阵性质探讨

第 18 卷第 2 期 � � � � � � � � � � � � � � 湖 南 工 程 学 院 学 报 � � � � � � � � � � � � Vo1. 18. No . 2 2008年 6月 � � � � � � � � � � � � � Journal of Hunan Inst itute of Engineering � � � � � � � � June 2008 收稿日期: 2007- 11- 25 作者简介:余新良( 1975- )男 ,硕士,讲师,研究方向:代数学. 幂等 Hermite矩阵性质探讨 余新良 (岳阳职业技术学院, 湖南 岳阳 414000) � � 摘 � 要: 给出了幂等 H erm ite矩阵的概念,研究了幂等 Hermite矩阵的一些性质,取得了幂等 Herm ite 矩阵与等幂矩阵、Hermite矩阵、正规矩阵、半正定矩阵的一些联系, 讨论了幂等 Herm ite 矩阵与正交投 影算子和 Moore- Penro se广义逆的关系. 关键词: 幂等矩阵; Hermite矩阵;幂等 H erm ite 矩阵;正交投影算子; M oore- Penrose广义逆 中图分类号: O151. 21 � � 文献标识码: A � � 文章编号: 1671- 119X( 2008) 02- 0050- 03 � � Hermite 矩阵是讨论酉空间时得到的, 在酉空 间、酉变换及复系数二次型中都有很重要的地位; 幂 等矩阵在矩阵的分块理论中起着很重要的作用; 幂 等 Hermite矩阵是一类很重要的矩阵, 在矩阵论中 有着较广泛的应用, 限于视野,本文就其性质进行探 讨. 定义 1 � 对于矩阵 满足以下两个条件: (1) P 2 = P ; (2) P * = P . 则称 P 为幂等 Herm ite矩阵. 定理 2 � 若 P � Cn n是幂等 Hermite矩阵,则 ( 1) ( I- P)是幂等 H erm ite 矩阵; ( 2) P k ( k是正整数)是幂等 Hermite矩阵; ( 3) P 非奇异的话, P- 1是幂等 Hermite矩阵; ( 4) P * 是幂等 Hermite矩阵. 证明 � 利用定义即可. 定理 3 � 若 P1、P2为幂等 Hermite 矩阵, 则 P1P 2= P2P 1且 P 1P2 为幂等 Herm ite矩阵. 两个幂等 Hermite矩阵的乘积是幂等 Hermite 矩阵,但它们的和与差却不一定,下面我们探讨满足 和与差仍上幂等 Hermite 矩阵的条件. 定理 4 � 设 P 1、P 2为幂等Herm ite矩阵, 则P= P1+ P2 为幂等 Herm ite 矩阵, 当且仅当 P1P 2 = P2P 1= 0. 证明:先证充分性 因为 P 1 2 = P1 , P 1 * = P1 , P 2 2 = P2 , P2 * = P 2 , 则 P* = ( P1 + P 2) * = P1 * + P 2 * = P 1+ P2 = P; P2 = ( P 1 + P 2) 2 = P1 2 + P1 P2 + P 2P1 + P 2 2 = P1 2 + P 2 2= P1+ P2= P . 再证必要性 由 P1 2= P1 , P2 2= P 2 ,及 P2 = P , 可得 P1 P2+ P 2P1 = 0 用 P 1左乘上式,我们有 P1( P1P2+ P2P1)= P1P1 P2 + P1P2P1= P1 P2+ P1P2 P1 = 0 再将上式右乘 P1 , 得 ( P1P2 + P1P2P1 ) P1 = 2P1P2P1 = 0 结合上两式,我们就得到 P1P2= 0.同样, 我们也 可得到 P2 P1 = 0,这样就完成了上定理的证明. 定理 5 � 设 P1、P2 为幂等 Hermite矩阵, P= P1 - P2为幂等 Hermite矩阵,当且仅当 P1P2 = P2P1= P2 . 证明:先证充分性 因为 P1 2= P1 , P1 * = P1 , P2 2 = P2 , P2 * = P2 ,则 P * = ( P1 - P2) * = P1 * - P2 * = P1- P2 = P ; P 2 = ( P1 - P2) 2 = P1 2 - P1P2 - P2P1+ P2 2 = P1 - P2= P. 再证必要性 由 P1、P2、P 是幂等 Hermite矩阵,得到 I- P1、I - P2、I- P 也是幂等 Hermite矩阵, 又 I- P = ( I- P1)+ P2 由上定理,必有( I- P1) P2= P2( I- P1)= 0 即 P1P2= P2 P1= P2 . 定理 6 � 若 P � Cn n是幂等 Hermite矩阵,则 P 是正规矩阵. 证明: P � Cn n是幂等 Hermite矩阵,则(1) P2 = P ; (2) P * = P. ,这样 PP* = PP= P* P, 所以 P是正规矩阵. 推论 7� 若 P � Cn n是正规的且是等幂矩阵,则 PP * , P * P 是幂等 Hermite矩阵. 证明:若 P � Cn n是正规的且是等幂矩阵, 则 P 满足 PP* = P* P, P2 = P ( PP* ) 2 = PP* PP* = PPP * P * = PP * , ( PP * ) * = PP * ,所以 PP* 是幂等 Hermite矩阵. 同理, P* P PP * 是幂等 Hermite矩阵. 定理 8� 若 P � Cn n , Q � Cn n , P和 Q不变且正 交,则 P+ Q是幂等 Hermite矩阵. 证明: ( P+ Q)2 = PP+ 2PQ+ QQ= P2+ Q2= P + Q, 显然, ( P+ Q) * = P* + Q* = P+ Q . 所以 P+ Q 是幂等 Hermite矩阵. 定义9 � 设T 是 Cn= L + M 上沿 M向 L 的投影 算子,并且 L !M,则称T 为 Cn = L + M 上沿 M 到 L 的正交投影算子(记作 T L, m或 T L, L ! ) . 定理 10 � 若 P � Cn n是幂等 Hermite 矩阵� P 为Cn= L+ M 上沿 M 到 L 的正交投影算子(其中, L = R( P) , M= N( P) ) . 证明: ∀ � # 由于 P2 = P,由∀对任意的等幂矩阵 P � Cn n都有 Cn= R(P) + N (P ) , 且 P 是 Cn上沿 N (P)向R(P)的投影算子, 反之亦然#知, P 是 Cn上沿 M= N(P)向L = R(P)的投影算子,现在只须根据P* = P证明R(P) !N(P) ,便证明了 P 是一个正交投 影算子. 为此,任取 x � N (P) , y � R( P) , 则 px= 0 ,且 存在 u � Cn ,使得 y= Pu . 从而有( x, y)= (x, Pu)= ( P* x, u)= (Px, u )= 0 这就 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明 R( P) !N (P ) . ∀ # 因为 P 为 C n 上沿 M 到L 的正交投影算 子,所以必有 L = R ( P ) , M = N ( P ) , R ( P ) !N (P) , P 2 = P . 下面证明 P * = P, 即证对任意的 x � Cn 都有 ( P * - P ) x= 0 (这等价于 ∃( P* - P ) x ∃ * = 0) 任取 x 1 , x 2 � Cn , 且设 x 1 = y 1+ z 1 , x 2 = y 2+ z 2 其中 y 1 , y 2 � R( P) , z 1 , z 2 � N (P ) , 由于 R (P )与 N ( P ) 互为正交子空间, 所以 ( y i , z i )= 0 , i , j= 1, 2. 从而便有( Px 1 , x 2) = ( y 1 , y2 + z 2 )= ( y1 , y 2) ( P * x1 , x2)= ( x1 , P x2)= ( y 1+ z 1 , y 2)= ( y1 , y 2) 因此 � ( P* x 1 , x 2 )= ( Px 1 , x 2) 或即 � ( ( P* - P ) x 1 , x 2)= 0 由于 x 2 为任意向量,故可取 x 2 = ( P* - P ) x 1 , 代入上式即有∃( P* - P ) x 1 ∃ 2= 0 再由 x 1 的任意性和范数的性质即不难推出 P * = P .证毕. 幂等 Hermite矩阵与正交投影算子 T L , L ! 之间 存在着一一对应关系. 例 � 给定 L = S pan[ x , y ] , M = Sp an[ u, v ] ,其 中 x= (0, 1, 1, 0) T ; y= ( 0, 1, - 1, 0) T ; u= ( 1, 0, 0, 0) T ; v = ( 0, 0, 0, 1) T . 试并求该正交投影算子对应的幂等 Herm ite 矩阵 P. 解 � 显然 C4 = L + M ,并且 L !M, 由幂等 Her! mite矩阵 P 与正交投影算子关系及性质知: L = R ( P) , M = N ( P) , 且对应的算子 P 是R (P )上的恒等 变换.因此 P [ x , y , u, v ] = [ P x , P y, Pu, P v ] = [ x , y , 0, 0] , [ x , y , u, v] - 1 = 0 1 2 1 2 0 0 1 2 - 1 2 0 1 0 0 0 0 0 0 1 所以 P= [ x , y , 0, 0] [ x , y, u, v] - 1= 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 定理 11 � 若 P � Cn n是幂等 Hermite矩阵,则 P + = P . 证明 � 若 P � Cn n是幂等 Hermite矩阵,即 P2 = P, P * = P . 将P+ = P 代入 Penrose条件(1) % ( 4) (1) PP + = P ; ( 2) P + PP + = P + ; ( 3) ( PP + ) * = PP + ; (4) ( P + P ) * = P + P 皆成立. 由 M - P 逆 的唯一性,所以 P+ = P . 定理 12 � P � Cn n是幂等 Hermite 矩阵 � P 为 半正定矩阵. 证明 � 若 P � Cn n是幂等 Hermite矩阵,即 P2 = P, P * = P ,取任一 x � Cn 由内积的定义与性质 � 有( x , P x ) = ( Px ) * x = x * P * x = x * Px , ( Px , P x ) &0 ( P x , P x )= ( P x ) * Px= x * P * Px= x * PPx= 51第2期 � � � � � � � � � � � � � � 余新良:幂等Hermite矩阵性质探讨 x * P 2 x= x * Px 所以( x , P x ) &0即 P 为半正定矩阵. 参 � 考 � 文 � 献 [ 1] � 陈景良, 陈向晖∀ 特殊矩阵 [ M ] . 清华大学出版社, 2000. [ 2] � 王国荣. 矩阵与算子广义逆[ M ] .科学出版社, 1998. [ 3] � 陈祖明.矩阵论引论[ M ] . 北京航空航天大学出版社, 1998. [ 4] � 王松桂,杨振海. 广义逆矩阵及其应用 [ M ] . 北京工业 大学出版社, 1996. [ 5] � I. n . H erstein and D. J. Winter , Matr ix theo ry and lin! ear alg ebr a[ M ] . Macmillan , New Yo rk, 1988. The Characters of Idempotent!Hermite Matrix YU Xin!liang ( Yueyang Vocationa l & T echnical Co lleg e , Yueyang 414000, China) Abstract: T he concept ion of Idempotent!Herm ite M atrix is given and many char acter s o f Idempotent!Her! mite M atrix ar e studies. T heir contacts betw een Idempotent!Herm ite M atrix and idempotent matrix , Her! mite!matr ix , no rmal matr ix , po sit iv e semi!def inite matrix ar e obtained ; and relation betw een Idempotent! Hermite Matrix and or thogonal projector, M oo re!Penrose inverse is also discussed. Key words: Idempotent matr ix ; Hermite!matrix; Idempotent!Hermite matrix ; o rtho gonal projector; Moore ! Penrose inverse (上接第 37页) The Newton Method for Solving Position Problems of Planar Linkage Mechanism MO Jiang!tao, WANG Jing!wen ( Jiangsu Pacific P recision For ging Co. , L td. , Jiangyan 225500, China) Abstract: Based on closed!lo op vector equat ion of planar linkage mechanism , Newton method is int roduced this paper for solv ing po sit ion problems of these mechanisms. By analy sis of repr esentat ive mechanism, some examples are given to demonst rate the validity of New ton method in kinet ic analy sis of mechanisms. Final ly a new method o f computing initial guess of New ton method in kinet ic analy sis o f mechanisms is de! scribed. Key words: planar linkage mechanism; closed loop vector equat ion; nonlinear equat ion; New ton method; ini! t ial guess 52 � � � 湖南工程学院学报 � � � � � � � � � � � � � � � � 2008年