数学圆锥曲线

直线与圆锥曲线 　　　　　　　　　　　　编稿：高姗姗　　审稿：安东明　　责编：辛文升 一、直线和圆锥曲线 1. 直线和圆锥曲线的位置关系问题 　　位置关系的判定 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ： 　　将直线与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得一个方程， 　　若方程为一元二次方程且有两个不同解（ ）或方程二次项系数为零，方程有一解则称直线和圆锥曲线相交； 　　若方程为一元二次方程且有两个不同解（ ），则称直线和圆锥曲线相切； 　　若方程无解，则称直线和圆锥曲线相离. 2. 切线问题 　　经过椭圆 上一点 的切线方程为： 　　 ； 　　经过双曲线 上一点 的切线方程为： 　　 ； 　　经过抛物线 上一点 的切线方程为： 　　 3. 弦长问题 　　直线 与圆锥曲线交于 ， ，则 　　 　　直线 与圆锥曲线交于 ， ，则 　　 4. 弦中点问题 点差法 　　 1. 已知椭圆方程为 ，求中点为（4，1）的弦所在直线的方程. 　　解：设直线与椭圆的交点 、 的坐标分别为 ， ， 　　　　则由 、 都在椭圆上，得： 　　　　 　　　　（1）-（2）得： 　　　　 　　　　中点为（4，1）故 ，且 ，即： 　　　　 　　　　 = 　　　　所以，直线的方程为 ，即 . 二、典型例题 　　 1. 中心在坐标原点，焦点在 轴上的椭圆，离心率为 ，与直线 相交于 、 两点，若以 为直径的圆经过原点，求椭圆方程. 　　解：可知所求为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程， 可设此方程为 (a＞b＞0)， 　　　　 ，　 　　　　又 a2=b2+c2, , a2=4b2, 　　　　 方程为 ，把x+y+1=0代入椭圆方程消去y有： 　　　　5x2+8x+4-4b2=0，(*) 　　　　令M(x1,y1), N(x2, y2)，　 y+x+1=0和椭圆交于M，N两点， 　　　　 x1, x2为方程(*)的根， ， 　　　　 y1y2=(-x1-1)(-x2-1)=x1x2+(x1+x2)+1= , 　　　　又 OM⊥ON， x1x2+y1y2=0， 　　　　 ， ， 　　　　 所求方程为 。 　　小结： 　　1）读题：OM⊥ON, 即 ； 　　2）选方法：直线代入曲线用韦达定理是常用的解决直线和圆锥曲线的位置关系问题的方法； 　　 2. 已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，椭圆 上的点到焦点距离的最大值为 ，最小值为 ． 　　（Ⅰ）求椭圆 的标准方程； 　　（Ⅱ）若直线 与椭圆 相交于 ， 两点（ 不是左右顶点），且以 为直径的 　　　　　圆过椭圆 的右顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标． 　　解：（I）由题意设椭圆的标准方程为 　　　　　　 ， 　　　　（II）设 ，由 得 　　　　　　　 ， 　　　　　　　 ， . 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点 ， 　　　　　　　 ， ， 　　　　　　　 ，即 ，解得 　　　　　　　 ，且满足 . 　　　　　　　当 时， ，直线过定点 与已知矛盾； 　　　　　　　当 时， ，直线过定点 　　　　　　　综上可知，直线 过定点，定点坐标为 　　 3. 如图，直线y＝kx＋b与椭圆 交于A、B两点，记△AOB的面积为S． 　　（I）求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值； 　　（Ⅱ）当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程． 　　（I）解：设点A的坐标为( ，点B的坐标为 ， 　　　　　　 由 ，解得 　　　　　　 所以 　　　　　　 当且仅当 时，．S取到最大值1． 　　（Ⅱ）解：由 得 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　① 　　　　　　　｜AB｜＝ ② 　　　　　　　又因为O到AB的距离 　　所以 　　③ 　　　　　　　③代入②并整理，得 　　　　　　　解得， ，代入①式检验，△＞0 　　　　　　　故直线AB的方程是 　　　　　　　 或 　　　　　　　或 或 ． 　　 4. 已知抛物线 ： ，直线 交 于 两点， 是线段 的中点，过 作 轴的垂线交 于点 ． 　　（Ⅰ）证明：抛物线 在点 处的切线与 平行； 　　（Ⅱ）是否存在实数 使 ，若存在，求 的值；若不存在，说明理由． 　　 解：解法一：（Ⅰ）如图，设 ， ， 　　　　　　　　　　　 把 代入 得 ， 　　　　　　　　　　　 由韦达定理得 ， ， 　　　　　　　　　　　 ， 　　　　　　　　　　　 点的坐标为 ． 　　　　　　　　　　　 设抛物线在点 处的切线 的方程为 ， 　　　　　　　　　　　 将 代入上式得 ， 　　　　　　　　　　　 直线 与抛物线 相切， 　　　　　　　　　　　 ， ． 　　　　　　　　　　　 即 ． 　　　　　　　　 （Ⅱ）假设存在实数 ，使 ，则 ，又 是 的中点， 　　　　　　　　　　　 ． 　　　　　　　　　　　 由（Ⅰ）知 　　　　　　　　　　　 ． 　　　　　　　　　　　 轴， ． 　　　　　　　　　　　 又 　　　　　　　　　　　　　　　 ． 　　　　　　　　　　　 ，解得 ． 　　　　　　　　　　　 即存在 ，使 ． 　　　　 解法二：（Ⅰ）如图，设 ，把 代入 得 　　　　　　　　　　　 ．由韦达定理得 ． 　　　　　　　　　　　 ， 点的坐标为 ． 　　　　　　　　　　　 ， ， 　　　　　　　　　　　 抛物线在点 处的切线 的斜率为 ， ． 　　　　　　　　 （Ⅱ）假设存在实数 ，使 ． 　　　　　　　　　　　 由（Ⅰ）知 ，则 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 ， 　　　　　　　　　　　 ， ，解得 ． 　　　　　　　　　　　 即存在 ，使 ． 　　 5. 如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B. 　　（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列； 　　（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时， ，求此时抛物线的方程； 　　（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线 上，其中，点C满足 　　　　　 （O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说 　　　　　明理由. 　　解：（Ⅰ）证明：由题意设 ． 　　　　　　　　　　由 得 ，得 ， 　　　　　　　　　　所以 ， ． 　　　　　　　　　　因此直线 的方程为 ， 　　　　　　　　　　直线 的方程为 ． 　　　　　　　　　　所以 ，① ．② 　　　　　　　　　　由①、②得 ，因此 ，即 ． 　　　　　　　　　　所以 三点的横坐标成等差数列． 　　　　（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当 时，将其代入①、②并整理得： 　　　　　　　　　 ， ， 　　　　　　　　　所以 是方程 的两根，因此 ， ， 　　　　　　　　　又 ，所以 ． 　　　　　　　　　由弦长 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 得 ． 　　　　　　　　　又 ， 　　　　　　　　　所以 或 ，因此所求抛物线方程为 或 ． 　　　　（Ⅲ）解：设 ，由题意得 ， 　　　　　　　　　则 的中点坐标为 ， 　　　　　　　　　设直线 的方程为 ， 　　　　　　　　　由点 在直线 上，并注意到点 也在直线 上， 　　　　　　　　　代入得 ． 　　　　　　　　　若 在抛物线上，则 ， 　　　　　　　　　因此 或 ．即 或 ． 　　　　　　　　　（1）当 时，则 ，此时，点 适合题意． 　　　　　　　　　（2）当 ，对于 ，此时 ， ， 　　　　　　　　　又 ， ，所以 ， 　　　　　　　　　即 ，矛盾． 　　　　　　　　　对于 ，因为 ，此时直线 平行于 轴， 　　　　　　　　　又 ， 　　　　　　　　　所以直线 与直线 不垂直，与题设矛盾， 　　　　　　　　　所以 时，不存在符合题意的 点． 　　　　　　　　　综上所述，仅存在一点 适合题意． 　　 6．在直角坐标系 中，以 为圆心的圆与直线 相切．（1）求圆 的方程；（2）圆 与 轴相交于 两点，圆内的动点 使 成等比数列，求 的取值范围． 　　解：（1）依题设，圆 的半径 等于原点 到直线 的距离，即 ． 　　　　　　 得圆 的方程为 ． 　　　　（2）不妨设 ．由 即得 ． 　　　　　　 设 ，由 成等比数列，得 　　　　　　 ， 　　　　　　 即 ． 　　　　　　 由于点 在圆 内，故 由此得 ． 　　　　　　 所以 的取值范围为 ． 　　 7. 已知椭圆的一个顶点为 ，焦点在 轴上，若右焦点到直线 的距离为3.（1）.求椭圆方程；（2）.设椭圆与直线 相交于 两点，当 时，求 的取值范围. 　　解：（1）设焦点为 ，则 　　　　　　 则椭圆方程为 　　　　（2）设 ， 　　　　　　 将 代入 整理得 　　　　　　 ，得 　　　　　　 ， 　　　　　　 由 得 　　　　　　 即 ， 　　　　　　 得 ， 。 　　 8. 已知双曲线C的方程为 ，离心率 ，顶点到渐近线的距离为 . 　　（I）求双曲线C的方程； 　　（II）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限， 　　　　　若 ，求 面积的取值范围. 　　解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点 到渐近线 　　　　　　　　∴ 　　　　　　　　由 得 ∴双曲线C的方程为 　　　　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为 　　　　　　　　设 　　　　　　　　由 得P点的坐标为 　　　　　　　　将P点坐标代入 化简得 　　　　　　　　设∠AOB 又 　　　　　　　　 　　　　　　　　记 　　　　　　　　由 　　　　　　　　当 时，△AOB的面积取得最小值2，当 时，△AOB的面积取得最大值 　　　　　　　　∴△AOB面积的取值范围是 　　解答二（Ⅰ）同解答一 　　　　　（Ⅱ）设直线AB的方程为 由题意知 　　　　　　　　由{ 得A点的坐标为 　　　　　　　　由{ 得B点的坐标为 　　　　　　　　由 得P点的坐标为 　　　　　　　　将P点坐标代入 　　　　　　　　设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）. 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 = 　　　　　　　　以下同解答一.