小概率事件原理及其应用

小概率事件原理及其应用 桑龙瑞    指导老师：李劲 （河西学院数学与应用数学专业2008届2班26号， 甘肃张掖 734000） 摘  要 对小概率事件原理及其推断方法进行了分析、论证，结合现实日常生活中的一些实例，介绍了小概率事件原理在实际中的应用. 关键词 小概率事件；小概率事件原理；假设推断 中图分类号 The principle and application of small probability events (S.N.26, Class 2 of 2008. Specialty of Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics, Hexi university, Zhangye,Gansu, 734000, China) Abstract: This article through to small probability events principle and inference method analysis, demonstration, combined with the reality of everyday life some practical examples, this paper introduces the principle of small probability events in practical application. Keywords: Small probability events; Principle of small probability events; Hypothesis inferred 1 引言 数理统计的很多方法已被越来越多的应用在各个研究领域.包括经济、医学气象等各种与人民生活息息相关的领域.小概率事件原理作为在统计推断的理论及应用中有着重要的作用，只要我们充分的认识和把握它，并加以很好的应用，就会给我们的生活带来意想不到的收获. 2 小概率事件原理 2.1 小概率事件 概率是刻画随机事件发生的可能性大小的数量指标，事件 的概率以 表示，并且规定 ．对于概率值很接近于1的事件，其对立事件的概率也就很接近于0，在概率论中，我们把概率很接近于0的事件称为小概率事件，那么多大的概率值算小概率呢？没有绝对 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ，需要根据具体情况来确定．对于某些特别重要的试验，当事件发生会产生严重的后果，比如雪崩、山洪、沉船等等，我们把概率值为0.0001，甚至更小一些的数值算作小概率．一般情况下，我们把事件发生的概率在0.01或0.005以下的事件称为小概率事件． 小概率事件理论上认为其有发生的可能性，但不一定肯定发生．小概率事件具有三个特点： 不管其概率值有多么小，其值总是一个不确定的正数； 概率很小的事件在一次试验中不大可能发生，如果居然发生了，绝不能认为是必然现象，而应该认为是有着某些偶然因素； 一个事件发生的概率很小，在一次试验中就可以把它看成是不可能事件． 2.2小概率事件原理与假设推断方法 根据大数定律，在大量重复实验中事件出现的频率接近与它们的概率．倘若某事件 出现的概率 甚小，则它在大量重复试验中出现的频率应该很小．例如若 =0.001,则大体上在1000次试验中 才出现一次．因此概率很小的事件在一次试验中实际上不大可能出现，在概率论的应用中，称这样的事件为实际不可能事件．实际不可能事件在一次试验中是不会出现的，这就是小概率原理．它是统计假设检验决定推翻还是接受假设的依据，也是人们在实践中 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 出来而被广泛应用的一个原理． 小概率原理的推断方法是概率性质的反证法，指的是人们首先提出假设，继而根据一次试验的结果来进行计算，最后按照一定的概率标准作出鉴别．若导致不合理的现象出现，即小概率事件发生，则拒绝假设；若未导致不合理的现象出现，即小概率事件未发生，则不拒绝假设． 小概率原理不经意地在指导人们的实际生活．因为人们总是坚持这样一个信念：小概率事件在一次实际试验中几乎是不可能发生的，如果在实际中居然发生了，人们仍旧坚持这个信念，而宁愿认为发生此事件的前提条件起了变化．如某日飞机失事，致使乘客伤亡，这件事故说明飞机失事不是不可能的，尽管概率很小）．但是人们仍然以为发生这样的事是极稀少的，如果发生了，那也可能是由于天气原因、操作失误、机械故障等，而不愿承认它的必然． 但也有相反的情况，即人们更愿意承认小概率事件的发生．例如，在彩票的发行中，尽管人们知道中大奖的机会微乎其微，但人们购买的热情依旧很高，这里就有人们期望概率很小的事件在一次试验中出现（购买一次就中大奖）的侥幸心理．其实，根据中彩概率来推算，即使你投下几千元几万元也仅是沧海一粟．例如“双色球”的中大奖的概率是1700多万分之一．中大奖真比“天上掉馅饼正好砸在头上”的概率还小． 3 小概率事件原理的应用 我们分析小概率事件是为了更好的利用它，控制其发生的条件，使它朝着我们所期望的方向发展，避免破坏性的小概率事件发生．下面我们以实例来说明小概率事件原理在经济、医学、体育等与人们生活息息相关的领域中的应用． 例1  某车间用一台包装机包装葡萄糖．包得的袋装糖重是一个随机变量，它服从正态分布．当机器正常时，其均值为0.5千克，标准差为0.015千克．某日开工后为检验包装机是否正常，随机地抽取它所包装的糖9袋，称得净重为  （千克）： 0.497  0.506  0.518  0.524  0.498  0.511  0.520  0.515  0.512 问机器是否正常？ 解： 以 分别表示这一天袋装糖重总体X的均值和标准差．由于长期实践表明标准差比较稳定，就可设 ，于是 ，这里 未知问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 是根据样本值来判断 还是 ，为此，提出假设： 和 这是两个对立的假设，然后，给出一个合理的法则，根据这一法则，利用已知样本作出判断是接受假设 ，还是拒绝假设 ，如果作出的判断是接受 ，则认为 ，即认为机器工作是正常的，否则，则认为是不正常的． 由于已知正态总体方差 ，又假设正态总体数学期望 ，根据抽样分布的讨论，因而由样本均值 构造的统计量 变量服从标准正态分布，即 可以利用 变量构造小概率事件． 假设所给概率 ，概率 就是置信度，小概率 就是检验水平，也称为显著性水平．此题要求以0.95的概率推断正态总体数学期望 是否成立，那么当零假设 成立时，对于给定的概率0.95，存在标准正态分布双侧分位数 使得概率等式 成立．这说明事件 是一个小概率事件．根据 变量的观测值 ，于是有 ． 这意味着在一次抽样中，小概率事件居然发生了，应用概率性质的反证法，所以拒绝零假设 ，而接受备择假设： ，认为这天包装机工作不正常． 对总体分布中的某些参数作出假设，根据样本值提供的信息，应用概率性质的反证法，检验这种假设是否成立，这一统计推断称为参数的假设检验． 例2  治疗白癜风的旧药的治愈率为0.001，现研制出一种新药，通过对10名患者的临床试验，有六人治愈，问次新药的疗效是否提高了？ 解： 先假设“治愈率没有提高”．抽取10名患者进行临床试验可以看做10次独立的重复试验，治愈的人数设为X，则X服从二项分布， 即 概率分布列为 则至少有6人治愈的概率为 该结果表明治愈超过六人的概率是很小的，根据小概率原理，治愈超过六人这个事件几乎不会发生，而现在在一次试验中发生了，所以我们有理由怀疑假设不成立，即新药治疗白癜风的效果比原来有明显的提高． 例3  假设某篮球运动员投篮的命中率为0.7，如果比赛开始后其连续投篮5次，命中次数不超过一次，可否认为该运动员尚未进入状态，试为教练提供理论依据． 解： 可假定5次投篮为相互独立的5次试验，用X表示命中的次数，则 ，其概率分布为 则5次命中0次的概率为 5次命中1次的概率为 综上可知命中次数不超过一次的概率为 这是一个小概率事件，几乎是不可能发生，而在一次试验中发生了，所以我们有理由认为该运动员不在状态，此时，他的命中率要小于0.7． 例4  假设某一保险公司里有2500个同一年龄和同一社会阶层的人参加了人寿保险．在一年里每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日付120元保险费，而在死亡之时，家属可由公司里领取20000元．试问：“保险公司亏本”的概率是多少？ 解： 一个人在一年内死亡与否是一种随机现象．对同一年龄，同一社会阶层的一群人，虽然人的个体各异，而且一般彼此无关，但死亡现象的总体规律，通过统计的方法是可以用数量来刻画的，这就是题设中告诉我们的，这“群”人中每个人死亡的概率为0.002． 如果把观察一个人在一年内死亡与否作为一次试验，则问题涉及2500重的贝努里 概型，且 （每人在一年内死亡的概率）=0.002．如这群人每年的死亡人数记为 ，则 记 保险公司亏本， 代表死亡人数，则公司应支出20000 （元），而公司的总收入为 （元），所谓亏本，就是指“ ”发生．所以有： 所以， 可见，保险公司亏本几乎是不可能的．在保险领域，小概率的应用非常广泛 当然也远非如此简单．学好概率，在保险等金融行业，你将前程似锦． 小结 通过对小概率事件的分析可知，小概率事件是一个简单但是很有实用价值的原理，日常生活中常常不经意间指导着人们的实际生活，它是概率论的精髓，是统计学发展的基础，未统计推断和决策提供了严格的数学依据．小概率事件在一次试验中被认为不可能发生，但我们不能把注意力总是停留在小概率事件的极端个别现象上． 致谢 在此，非常感谢李劲老师对本文的指导审核． 参 考 文 献 马统一.经济应用数学——概率论与数理统计 .北京：高等教育出版社，2009.181-183. 盛骤，谢式千，潘承毅编.概率论与数理统计 .第三版. 北京：高等教育出版社， 2001.213-215. 安美景 小概率事件原理的应用 ，时代教育，2009 :147 刘义山 如何应用概率性质的反证法进行推断 ，科技信息，2005 代恩华 小概率事件原理及其应用 ，高等函授学报（自然科学版），2010 ：34