泛函分析和偏微分方程的广义求解

泛函分析和偏微分方程的广义求解 1历史和背景 1.1泛函分析简介 1.1.1什么是泛函分析 泛函分析(Functional Analysis)是现代数学的一个分支,隶属于分析学,其研究的主要对象是 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 构成的空间。泛函分析是由对变换(如傅立叶变换等)的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法,代表作用于函数的函数。泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题,积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论,几何学,代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数,算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程,概率论,计算数学等分科中都有应用,也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。 1.1.2赋范线性空间 泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间,巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间,其上的范数由一个内积导出。这类空间是量子力学数学描述的基础。更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。 泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线性算子。这类算子可以导出C*代数和其他算子代数的基本概念。 1. 希尔伯特空间 希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类,即对于任意两个希尔伯特空间,若其基的基数相等,则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言,其上的 连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言,其上的任何态射均可以分解为可数维度(基的基数为50)上的态射,所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是,是否对于每个希尔伯特空间上的算子,都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 是肯定的。 2. 巴拿赫空间 一般的巴拿赫空间比较复杂,例如没有通用的办法构造其上的一组基。 对于每个实数p,如果p ≥1,一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p 次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。(参看Lp空间)在巴拿赫空间中,相当部分的研究涉及到对偶空间的概念,即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构,但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。 微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广,微分算子作用于其上的所有函数,一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。 1.1.3主要结果和定理 泛函分析的主要定理包括: 1. 一致有界定理(亦称共鸣定理),该定理描述一族有界算子的性质。 2. 谱定理包括一系列结果,其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达,该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。 3. 罕-巴拿赫定理(Hahn-Banach Theorem)研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。 4. 开映射定理和闭图像定理。 1.1.4产生的历史、特点和内容 十九世纪以来,数学的发展进入了一个新的阶段。这就是,由于对欧几里得第五公设的研究,引出了非欧几何这门新的学科;对于代数方程求解的一般思考,最后建立并发展了群论;对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 一般化准备了条件。 本世纪初,瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中,出现了把分析学一般化的萌芽。随后,希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代,在数学界已经逐渐形成了一般分析学,也就是泛函分析的基本概念。 由于分析学中许多新部门的形成,揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如,代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法,并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关,有些乍看起来很不相干的东西,都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。 非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知,n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样,就显示出了分析和几何之间的相似的地方,同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广,以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。 这时候,函数概念被赋予了更为一般的意义,古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。 研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论,就产生了一门新的分析数学,叫做泛函分析。在二十世纪三十年代,泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。 泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了,而且还把这些概念和方法几何化了。比如,不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量,这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象,也包括了不同的函数空间。 泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动,实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说,从质点力学过渡到连续介质力学,就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。 正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和微积分学作为工具一样,研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学,这正是泛函分析的基本内容。因此,泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法,也就是用线性的对象去逼近非线性的对象,完全可以运用到泛函分析这门学科中。 泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支,它是古典分析观点的推广,它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。 半个多世纪来,泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象,和某些研究手段,并形成了自己的许多重要分支,例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等;另一方面,它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用,还是建立群上调和分析理论的基本工具,也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天,它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中,已成为近代分析的基础之一。 泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来,泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去,起着重要的作用。 1.2偏微分方程简介 1.2.1偏微分方程的起源 如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程叫做常微分方程,也简称微分方程;如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数,或者说如果未知函数和几个变量有关,而且方程中出现未知函数对几个变量的导数,那么这种微分方程就是偏微分方程。 微积分方程这门学科产生于十八世纪,欧拉在他的著作中最早提出了弦振动 的二阶方程,随后不久,法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1746年,达朗贝尔在他的 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中,提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。 和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题,提出了解弹性系振动问题的一般方法,对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程,丰富了这门学科的内容。 偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪,那时候,数学物理问题的研究繁荣起来了,许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。法国数学家傅立叶在从事热流动的研究中,写出了《热的解析理论》,在文章中他提出了三维空间的热方程,也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。 1.2.2偏微分方程的内容 弦是指又细又长的弹性物质,比如弦乐器所用的弦就是细长的、柔软的、带有弹性的。演奏的时候,弦总是绷紧着具有一种张力,这种张力大于弦的重量几万倍。当演奏的人用薄片拨动或者用弓在弦上拉动,虽然只因其所接触的一段弦振动,但是由于张力的作用,传播到使整个弦振动起来。 用微分的方法分析可得到弦上一点的位移是这一点所在的位置和时间为自变量的偏微分方程。偏方程又很多种类型,一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程。上述的例子是弦振动方程,它属于数学物理方程中的波动方程,也就是双曲型偏微分方程。 偏微分方程的解一般有无穷多个,但是解决具体的物理问题的时候,必须从中选取所需要的解,因此,还必须知道附加条件。因为偏微分方程是同一类现象的共同规律的表示式,仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性,所以就物理现象来说,各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的特定条件,就是初始条件和边界条件。 拿上面所举的弦振动的例子来说,对于同样的弦的弦乐器,如果一种是以薄片拨动弦,另一种是以弓在弦上拉动,那么它们发出的声音是不同的。原因就是 由于“拨动”或“拉动”的那个“初始”时刻的振动情况不同,因此产生后来的振动情况也就不同。 天文学中也有类似情况,如果要通过计算预言天体的运动,必须要知道这些天体的质量,同时除了牛顿定律的一般公式外,还必须知道我们所研究的天体系统的初始状态,就是在某个起始时间,这些天体的分布以及它们的速度。在解决任何数学物理方程的时候,总会有类似的附加条件。 就弦振动来说,弦振动方程只表示弦的内点的力学规律,对弦的端点就不成立,所以在弦的两端必须给出边界条件,也就是考虑研究对象所处的边界上的物理状况。边界条件也叫做边值问题。 当然,客观实际中也还是有“没有初始条件的问题”,如定场问题(静电场、稳定浓度分布、稳定温度分布等),也有“没有边界条件的问题”,如着重研究不靠近两端的那段弦,就抽象的成为无边界的弦了。 在数学上,初始条件和边界条件叫做定解条件。偏微分方程本身是表达同一类物理现象的共性,是作为解决问题的依据;定解条件却反映出具体问题的个性,它提出了问题的具体情况。方程和定解条件合而为一体,就叫做定解问题。 求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解,然后再用定解条件确定出函数。但是一般来说,在实际中通解是不容易求出的,用定解条件确定函数更是比较困难的。 偏微分方程的解法还可以用分离系数法,也叫做傅立叶级数;还可以用分离变数法,也叫做傅立叶变换或傅立叶积分。分离系数法可以求解有界空间中的定解问题,分离变数法可以求解无界空间的定解问题;也可以用拉普拉斯变换法去求解一维空间的数学物理方程的定解。对方程实行拉普拉斯变换可以转化成常微分方程,而且初始条件也一并考虑到,解出常微分方程后进行反演就可以了。 应该指出,偏微分方程的定解虽然有以上各种解法,但是我们不能忽视由于某些原因有许多定解问题是不能严格解出的,只可以用近似方法求出满足实际需要的近似程度的近似解。 常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题,再求变分问题的近似解;有限差分法是把定解问题转化成代数方程,然后用计算机进行计算;还有一种更有意义的模拟法,它用另一个物理的问题实验研究来代 替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同,但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题,如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题,在数学上是拉普拉斯方程的边值问题,由于求解比较困难,可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究,测定场中各处的电势,从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。 随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展,偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看,偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说,偏微分方程变成了数学的中心。 2 研究现状 2.1 泛函分析现状概述 2.1.1 泛函分析在离散问题中的应用 应用泛函分析方法对非线性方程的差分离散解进行分析,其基本框架为: 1、证明差分解的存在性,主要是应用各种不动点原理,例如Brouwer不动点定理、Leray-Sehauder不动点定理、Poinear睡不动点原理等。 2、对于采用各种离散方法得到的差分解,应用Sobolev空间的离散内插公式对差分解进行有效的先验估计。 3、利用已得到的先验估计,对差分解的收敛性和稳定性进行系统地研究,其中Banach空间的列紧性是证明差分解收敛性的理论基础。【1】 2.1.2 应用泛函分析取得的一些成果 徐岩【1】等应用泛函分析方法对Burgers-KdV方程差分解的收敛性和稳定性进行了研究,并且对一类广义Burgers-KdV方程差分解的收敛性和稳定性和一类耦合Burgers-KdV方程差分解的收敛性和稳定性进行了研究; 程利芳【2】等对一类一阶泛函微分方程的渐近性、一类含多项混合时滞微分方程的正周期解和一类带分布时滞非线性中立型微分方程的周期解进行了证明 和研究; 孙红【3】等应用泛函分析对对流扩散方程的差分解进行了研究; 陈海耿【4】等应用泛函分析方法对炉子进行了最优控制。 2.2偏微分方程的广义求解 2.2.1非线性问题研究的意义 科学家们已经发现了非线性现象的三大普适类:混沌(chaos)、孤立子(soliton)和分形(factal),并且在此基础上建立了非线性科学的三大理论。同时,非线性科学揭示了更普遍的、既确定又随机的混沌现象及其特有的规律性以及确定性现象、随机现象、混沌现象的转化关系。因此,有的科学家认为,混沌学的创立是20世纪物理学的第三次革命;分形几何是继微积分以来的又一次革命;孤立子理论预示着物理学与数学的统一。 正因为非线性科学具有革命性意义,所以,它一出现就引起学术界的重视,现在对非线性科学的研究方兴未艾。今天,非线性科学贯穿了自然科学、工程科学、数学和社会科学的几乎每门学科【5】。 2.2.2偏微分方程的解法概述 1、求准确解,即试图运用各种技巧(如利用对称性或一些巧妙的变换)来问题的准确解。例如,对二维的理想流体的定常运动,做出无旋的假定后,通过引进势函数,再利用复变函数就可求出大量的准确解。但实际上只有极的非线性问题能够求得准确解。 2、定性分析,即对解的存在性和惟一性问题进行讨论。对某些复杂问题,气动力学中的粘性流问题,有关的偏微分方程除特殊情况外很难求出准确但可对解作定性分析。如果一个非线性问题的解不存在或不惟一,则要对问模型作重新考察。数学中对解的存在性,通常有构造性和非构造性两种证明方法。 3、数值解法,由于求非线性问题的准确解是很困难的,因此采用数值方法求解是不可避免的。事实上,大量的非线性问题己经能够用数值计算来解决,特别是当要解决的问题需要数字结果时。不过,在数值计算中常会遇到算法的稳定 性问题,例如当差分方程的步长取得不恰当,会产生振荡解;另外,计算中也有许多技巧,如遇到病态方程等等。例如,对于助renz混沌吸引子,通常可以采用四阶龙格库塔算法进行迭代计算进行求解。 4、渐近展开法,采取多次线性逼近方法,通过解若干次线性问题得出非线性问题的近似解。在这类问题中,往往含有一个小参数,对方程作关于小参数展开,得到无限个线性问题,逐次求出若干个线性问题,即可求得很好的近似解。在目前对非线性问题还没有完全获得系统的处理方法的情况下,不同的研究领域里分别出现了自己独特的研究方法,如混沌运动、分形、奇异摄动理论、分岔、突变理论和孤立子理论等。随着非线性科学的发展,孤立子已经成为非线性科学研究的重要内容【5】。 2.2.3 偏微分方程的精确求解方法 在非线性科学的研究过程中,有许多研究偏微分方程的精确解的方法,例如:李点对称方法、条件对称方法、广义条件对称方法、CK直接法、形式分离变量法、泛函分离变量法、导数相关分离变量法、形变映射法、几何法、混合指数法、反映射方法、达布变换法、Paiulev芭截断展开法等等【6】。主要的方法有: 1、齐次平衡法:齐次平衡方法是由王明亮、李志斌教授在1995年提出的构造非线性演化方程孤波解的一种非常有效的方法,也称拟解法。依据该方法,可事先判定某类非线性偏微分方程是否有一定形式的精确解存在,如果回答是肯定的,则可按一定的步骤求出它来。因而齐次平衡原则具有直接、简洁、步骤分明的特点,再者,还适于用计算机符号计算系统进行计算,且得到的是精确的结果。1998年范恩贵教授将这一方法给以充分的发展,用于获得B益cklund变换,相似约化及更多的精确解。2001年,田播教授和高以天教授提出了变系数均衡作用法,这一方法是对齐次平衡法的改进和推广。利用这一方法,不但可以求解常系数的非线性发展方程或方程组,也可以求解变系数的非线性发展方程或方程组。 2、Tanh函数法:这种方法首先被楼森岳教授等用于求解复杂的方程,之后被Malfiet系统化为构造非线性方程孤波解的Tanh函数法。 3、行波法:求行波解是一种求解非线性偏微分方程的重要途径。它首先作 变量代换,将非线性偏微分方程转化为常微分方程,然后求解所得到的常微分方程,即可得行波解。这种解法简洁明快,而且得到的解析解,主要是孤立波解,体现了非线性波的重要性质。 4、Backlund变换法:非线性方程找到一个解很困难,找到更多的解就更难, Backlund变换是建立一个非线性偏微分方程的解与另一个己知的线性偏微分方程解之间的关系,或者是建立一个非线性偏微分方程两个不同解之间的联系。这样,就可以根据己知线性偏微分方程的解去求非线性偏微分方程的解,或者根据非线性偏微分方程的一个解去构造其他的解。 5、反演散射方法:反演散射方法是求解可积非线性系统的重要方法,它的基本思想是将这类非线性问题通过常微分算子和本征值转化为线性问题来求解。1967年,Gardner等人(简称GGKM)在研究Kdy方程时,利用量子力学中Schrodinger方程的反散射论证(正散射问题和反散射问题)将KdV方程的初值问题转化为三个求解线性方程的问题,得到了N孤子解,这种处理问题的方法称为反散射法。1968年,Lax分析了GGKM用于求解KdV方程初值问题的上述思想,整理提出了用反散射方法求解其他偏微分方程(PDE)的更一般的框架,同时指出,用反散射方法求解PDE的前提是找到该方程的Lax表示(Lax对)。1972年,Zakharov和Shahat利用Lax的思想,用反散射方法求解非线性Schrodinger 方程,第一次用实例证明了反散射方法的更一般性。1972年,Wadati用类似方法求解了MKdV方程。1973年,Ablowitz,Kaup,Newell和Segur编制了用反散射方法求解大批偏微分方程的软件包。1975年,WahlPuist和Estabrook提出了含有两个非线性偏微分方程的延拓结构法。该方法的一个重要应用是:借助Lie代数可以得到方程的Lax表示,这为用反散射方法求解方程提供了必要条件。 6、达布变换法:Darboux变换的基本思想为:利用非线性方程的一个解及其Lax对的解,用代数算法及微分运算来获得非线性方程的新解和Lax对相应的解。 7、Hirota双线性方法:1971年,Hirota引入了双线性方法,用于构造许多方程的多孤子解和Backiund变换。1988年,Boiti等人研究了(2+1)一维模型,提出了孤立子解的一种特例-Dromion结构。随后,人们证明其他(2+l)一维方程也拥有Dromion结构。1993年,Rosenau和Hyman为了研究非线性色散模型的影响,提出K(m,n)模型,并且给出了该方程在分段连续情况下的Compacton解, 该解具有弹性碰撞等有趣的类似于孤立子解的性质。19%年,楼森岳教授用Hirota 方法研究了一个(3+l)维KdV型方程,证明了该方程拥有丰富的类Dromion结构。 9、基于符号计算的一种统一的代数方法:范恩贵教授发展了这种基于符号计算的一种统一的代数方法,可用于构造各种行波解,包括孤子解、有理解、三角函数周期解、Weicrstrass和Jacobi椭圆函数双周期解。 10、相似约化法:虽然迄今为止已经出现多种求解非线性偏微分方程的方法,但是直接寻找偏微分方程的解依然是一件困难的事。由于常微分方程的求解相对简单,并且对常微分方程的研究相对深入一些,因此,如果能够将偏微分方程化为常微分方程,通过常微分方程的解来得到偏微分方程的解,也不失为一个好的途径。 对非线性偏微分方程进行相似约化是达到这一目的的重要手段之一。目前存在很多有效的约化偏微分方程的方法,其中最常用的三种方法为:1)Lie的经典无穷小变换法;2)Bluman和Cole的非经典无穷小变换法;3)Clarkson和Kruskal 的CK直接法。 十九世纪末,挪威数学家Sophus Lie开创了微分方程连续对称群理论的研究。现在,对称这一概念已经在数学和物理的研究与发展中起着关键的作用。Lie群与Lie代数理论己经被应用到数学的许多领域,如微分几何、代数拓扑、分岔理论等。Lie的思想对经典力学、量子力学和其他应用领域得到的微分方程的研究产生了重要的影响。 Lie对称的思想和原理在数学物理的研究中扮演着一个非常重要的角色。在一定的变换作用下,可以使用微分方程的这些对称去构造或寻找微分方程的精确解。Lie对称的分析方法提供了获得微分方程的精确解或相似解的一种系统和精确的途径。此外,通过Lie对称技巧获得的群不变解可以对物理模型本身进行解释,同时这些精确解也可用于检验数值计算结果的正确性和精确度。 2.2.4 偏微分方程研究方面目前取得的部分成果 董晓红【7】等用Shannon小波配点法讨论了某一类热传导方程的求解问题,又应用二维多分辨分析理论,讨论了二维偏微分方程的求解问题; 张鸿庆、杨光【8】等对变系数偏微分方程组的一般解进行了够造; 付遵涛、刘式适、刘式达【9】等从Legendre 椭圆积分和Jacobi 椭圆函数的定义出发,对非线性波方程进行了新的求解; 张鸿庆, 闫振亚【10】等基于AC = BD 的思想来求解非线性微分方程(组),获得了非线性微分方程显式解析解的两种新算法; 刘洪刚、许梦杰、郁美玲【11】等应用小波解法解决了偏微分方程的定解问题。 参考文献 [1]徐岩.应用泛函分析方法对Burgers_KdV型方程差分解的研究.天津师范大学, 2002,11 [2]程利芳.泛函微分方程的渐近性与周期解.山西大学,2005,6 [3]孙红.应用泛函分析对对流扩散方程差分解的研究.天津师范大学,2005,4 [4]陈海耿.泛函分析在炉子最优控制中的应用.东北大学学报,1995,16(4): 434-437 [5]刘新源.非线性发展方程的性质及其求解方法的研究.北京邮电大学,2007,3 [6]李金花.非线性反应扩散方程的广义条件对称及其精确解.西北大学,2009,6 [7]董晓红.Shannon小波配点法在偏微分方程中的应用.哈尔滨理工大学,2006, 3 [8]张鸿庆,杨光.变系数偏微分方程组二般解的构造.应用数学和力学,1991,2: 135-139 [9]付遵涛,刘式适,刘式达.非线性波方程求解的新方法.物理学报,2004,2: 343-348 [10]张鸿庆, 闫振亚.获得非线性微分方程显式解析解的两种新算法.应用数学和力学,2000,12:1285-1292 [11]刘洪刚,许梦杰,郁美玲.偏微分方程定解问题的小波解法.应用数学和计算数学学报,2006,12:113-116 [12]吕大昭.非线性发展方程的丰富的Jacobi 椭圆函数解.物理学报,2005,10: 4501-4505 [13]张风云.应用扩展的F一展开法求解一类非线性偏微分方程.江苏大学,2007, 12 [14]刘式适,付遵涛,刘式达,赵强.求某些非线性偏微分方程特解的一个简洁方法.应用数学和力学,2001,3:281-286 [15]刘群.基于小波变换的偏微分方程求解.仪器仪表学报,2004,4:953-954 [16]闫振亚, 张鸿庆.两个非线性发展方程组精确解析解的研究.应用数学和力学,2001,8:825-833