椭圆知识点和例题

2.2.1《椭圆及其标准 方程》 1. 椭圆的定义． 把平面内与两个定点 ， 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为 时，椭圆即为点集 ． 2.椭圆标准方程: 焦点在 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程 ． 例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ， ，并且经过点 ，求它的标准方程。 分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出 ．引导学生用其 他方法来解。 解：设椭圆的标准方程为 ，因点 在椭圆上， 则 。 例2 如图，在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足．当点 在圆上运动时，线段 的中点 的轨迹是什么？ 分析：点 在圆 上运动，由点 移动引起点 的运动，则称点 是点 的伴随点，因点 为线段 的中点， 则点 的坐标可由点 来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，从而能求点 的轨迹方程。 解：设 ， ；∵ 为线段 的中点，∴ ； ∵ ， ∴点 的轨迹方程为 ； 例3如图，设 ， 的坐标分别为 ， ．直线 ， 相交于点 ，且它们的斜率之积为 ，求点 的轨迹方程。 分析：若设点 ，则直线 ， 的斜率就可以用含 的式子表示，由于直线 ， 的斜率之积是 ，因此，可以求出 之间的关系式，即得到点 的轨迹方程。 解：设点 ，则 ， ； 代入点 的集合有 ，化简即可得点 的轨迹方程。 为： 。 课堂小结 1.能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义； 2.能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示； 3.正确推导椭圆的标 准方程，理解椭圆的焦点位置和图形的对应关系。 拓展提升 1．如果方程 表示焦点在y轴的椭圆，那么实数m的取值范围是（  ） A．（0，+ ） B．（0，2） C．（1，+ ） D．（0，1） 2．若椭圆 过点（－2， ），则其焦距为 （  ） A.2             B.2             C. 4             D. 4 3．设F是椭圆 的一个焦点，椭圆上至少有21个点P1，P2，P3，…，P21，使得数列{PiF}(i=1,2,…,21)成公差为d的等差数列，则d的一个可取值是    （  ） A．   B．－   C．     D．－ 6．已知AB是过椭圆 左焦点F1的弦，且|AF2|＋|BF2|=4，其中F2为椭圆的右焦点，则弦AB的长是        。 7．已知△ABC的顶点B、C在椭圆 上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是            。 8.已知F1、F2分别为椭圆 的左、右焦点，椭圆内一点M的坐标为（2，－6），P为椭圆上的一个动点，试求|PM|＋|PF2|的取值范围。 参考答案 1．D【解析】距离之和恰好等于两 定点间的距离。 2．C【解析】运用离心率的计算公式。 3．C【解析】用椭圆定义． 4．D【解析】将方程化成标准形式． 5．C【解析】将点的坐标代入，求b． 6．D【解析】考虑特殊情况． 7．4 【解析】用椭圆定义． 8.解：由椭圆的定义知 |PF2|+|PF 1|=2a=20， 故  |PM|+|PF2| = |PM|-|PF1|+20 1?  |PM|-|PF1|≤|MF1| =10， 故  |PM|+|PF2|≤30（当且仅当P为有向线段 的延长线与椭圆的交点时取“=”）； 2?  |PF1|-|PM|≤|MF1| =10， 故  |PM|+|PF2|=20-（|PF1|-|PM|）≥10（当且仅当P为有向线段 的反向延长线与椭圆的交点时取“=”） 综上可知，|PM|+|PF2|的取值范围为[10，30]。 2.2.2《椭圆的简单几何性质》 新授课阶段 1.椭圆的简单几何性质 ①范围：由椭圆的标准方程可得， ，进一步得： ，同理可得： ，即椭圆位于直线 和 所 围成的矩形框图里； ②对称性：由以 代 ，以 代 和 代 ，且以 代 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以 轴和 轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义， 即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴； ④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率（ ）， ； ． 2.椭圆性质的运用 例1 求椭圆 的长轴和短 轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出 ．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量． 解：依题意， ，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论： ①当焦点在 轴上，即 时，有 ，∴ ，得 ； ②当焦点在 轴上，即 时，有 ，∴ ． 例2过椭圆C： 上一点P引圆O： 的两条切线PA、PB，切点为A、B，直线AB与x轴、y轴分别相交于M、N两点. （1）设 ，且 ，求直线AB的方程； （2）若椭圆C的短轴长为8，且 ，求此椭圆的方程； （3）试问椭圆C上是否存在满足 · =0的点P，说明理由． 解：（1）直线AB的方程： ; （2）椭圆C的方程： ; （3）假设存在点 满足 · =0，连结OA、OB，由|PA|=|PB|，知四边形PAOB为正方形，  |OP|= |OA|,  ∴ .  ①又P在椭圆上, ∴ .  ②  由①②得 ， . ∵ ,    ∴ .  ∴当 即 时，椭圆C上存在点P满足题设条件； 当 即 时，椭圆C上不存在满足题设的点P. 课堂小结 1.掌握椭圆的简单几何性质； 2.能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率； 3.理解已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性. 作业 见同步练习部分 拓展提升 1．点 在椭 圆 的左准线上，过点 且方向为 的光线经直线 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（  ） A．             B．             C．             D． 2．一个中心在原点的椭圆，其一条准线的方程是x=4，对 应的焦点F（2，0），则椭圆的方程是    . 3．已知AB是过椭圆 左焦点F1的弦，且|AF2|＋|BF2|=4，其中F2为椭圆的右焦点，则弦AB的长是        . 4．已知△ABC的顶点B、C在椭圆 上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是            . 5．把椭圆 的长轴AB分成8等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，求|PF1|＋|PF2|＋…＋|PF7|的值. 6．在直角坐标平面内，已知两 点A（－3，0）及B（3，0），动点P到点A的距离为8，线段BP的垂直平分线交AP于点Q. （1）求点Q的轨迹T的方程； （ 2）若过点B且方向向量为（－1， ）的直线l，与（1）中的轨迹T相交于M、N两点，试求△AMN的面积. 7．已知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是F（－m,0）(m是大于0的常数).  (1)求椭圆的方程； (2)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线 与y轴交于点M. 若 ，求直线 的斜率. 8.已知点 是⊙ ： 上的任意一点，过 作 垂直 轴于 ,动点 满足 . （1）求动点 的轨迹方程； （2）已知点 ，在动点 的轨迹上是否存在两个不重合的两点 、 ，使 (O是坐标原点)，若存在，求出直线 的方程，若不存在，请说明理由. 参考答案 1．A【解析】求出入射光线所在直线方程及椭圆焦点坐标准线方程. 2． 【解析】直接用公式. 3．2【解析】数形结合用定义. 4．4 【解析】用椭圆定义. 5．35【解析】用焦半径公式：|PFi|= a＋exi. 6．解：（1）由于QB=QP，故AQ+BQ=AP＞ AB，Q点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．                                                      其中2a=8,a=4,a2=16,  c=3,c2=9,  b2=a2－c2=7                    椭圆方程为                                         （2）∵l过点B且方向向量为（－1， ），∴l的方程为y=－ （x－3） 将直线方程代入椭圆方程化简得：55x2－288x＋320=0 x1+x2= ,x1x2=                                           |x1－x2|= = |MN|= |x1－x2|=                                   A到MN的距离                                 S△AMN=   7．分析：（1）直接求出a、b，用m表示；（2）F是MQ的中点． 答案：（1）   （2） 或0 8.解：（1）设 ，依题意，则点 的坐标为     又    ∴      ∵ 在⊙ 上，故   ∴        ∴ 点 的轨迹方程为                     （2）假设椭圆 上存在两个不重合的两点 满足 ，则 是线段MN的中点，且有 又 在椭圆 上 ∴    两式相减，得 ∴          ∴  直线MN的方程为 ∴  椭圆上存在点 、 满足 ，此时直线 的方程为 继续阅读