高等数学习题(二)：导数与微分

第二讲：导数与微分 一．填空 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1）设 siny x x  ，则 y  _______ 2）设 23 x xy a e x   ，则 dy dx  _______ 3）设  2 3 1xy e x x   ，则 0x dy dx   _______ 4）设 ln cosy x ，则 y  _______ 5）设 tan 210x xy  ，则 y  _______ 6）曲线 sin2y x   在 0x  处的切线与 x轴正向夹角为_______ 7） 2 arctan 2 xed      _______dx 8）曲线 cossin x t t y t t   在 2t  处的法线方程为_______ 9）已知 cossin t t x e t y e t    ，则 dydx  _______， 10）若 3 x xy e e  ,则在 0y  时, x  _________ 二．选择题 （1）设曲线 2y x ax b   和 32 1y xy   在点 (1, 1) 处相切，其中 ,a b是常数，则 （ ） A． 0, 2a b  B． 1, 3a b   C． 3, 1a b   D． 1, 1a b    （2）设函数 ( )y y x 由参数方程 2 2 ln(1 ) x t t y t      确定，则曲线 ( )y y x 在 3x  处的法 线与 x轴交点的横坐标是 （ ） A． 1 ln 2 38  B． 1 ln 2 38  C． 8ln 2 3  D．8ln 2 3 （3）设两函数 ( )f x 和 ( )g x 都在 x a 处取得极大值，则函数 ( ) ( ) ( )F x f x g x 在 x a 处 （ ） A．必取极大值 B．必取极小值 C．不可能取极值 D．是否取极值不能确定 （4）设 ( )y f x 是满足微分方程 sin 0xy y e    的解，且 0( ) 0f x  ，则 ( )f x 在 （ ） A． 0x 某邻域内单调增加 B． 0x 某邻域内单调减小 C． 0x 处取得极小值 Ｄ． 0x 处取得极大值 （5）设 ( )f x 在 ( , )  内可导，且对任意 1, 2x x ，当 1 2x x 时，都有 1 2( ) ( )f x f x ， 则（ ） A．对任意 x ， ( ) 0f x  B．对任意 x， ( ) 0f x   C．函数 ( )f x 单调增加 D．函数 ( )f x  单调减少 （6）设在[0,1]上 ( ) 0f x  ，则 (0), (1), (1) (0)f f f f   或 (0) (1)f f 的大小顺序 是 （ ） A． (1) (0) (1) (0)f f f f    B． (1) (1) (0) (0)f f f f    C． (1) (0) (1) (0)f f f f    D． (1) (0) (1) (0)f f f f    （7）设函数 ( )f x 在 0x  的邻域内连续，且 (0) 0f  ， 0 ( )lim 21 cosx f x x  ，则 ( )f x 在 0x  处（ ） A．可导，但 (0) 0f   B．取得极大值 C．取得极小值 D．不可导 （8）设函数 ( )f x 连续，其导函数 '( )y f x 图像如下，则 ( )y f x （ ） A.有两个极大值点，一个极小值点，一个拐点 B.有两个极大值点，一个极小值点，两个拐点 C.有一个极大值点，两个极小值点，一个拐点 D.有一个极大值点，两个极小值点，两个拐点 （9）设函数 ( )f x 在其定义域内可导，若函数 ( )y f x 的图形如图(1)所示，则其导数 '( )y f x 的图形应为（ ） (10)设 2 c o s , 0( ) 1, 0 x xf x x x      ，则 A. 0x  是 ( )f x 的极值点，但(O，1)不是曲线 ( )y f x 的拐点 B. 0x  不是 ( )f x 的极值点，但(O，1)是曲线 ( )y f x 的拐点 C. 0x  是 ( )f x 的极值点，且(O，1)是曲线 ( )y f x 的拐点 D. 0x  不是 ( )f x 的极值点，(O，1)也不是曲线 ( )y f x 的拐点 三．解答题 （1）求曲线 2 3 1x t y t     在 2t  处的切线方程. （2）求曲线 sin 2cos t t x e t y e t    在 (0,1)处的法线方程. （3）设函数 ( )y y x 由方程 3 2 22 2 2 1y y xy x    所确定，试求 ( )y y x 的驻点，并判 断它是否为极值点. （4）设有方程 2 1 73 ( ) 4 0f x x f x x        ，求 ( )f x 的极值. （5）设 ( )x 为连续的正函数，令 ( ) ( )a a f x x t t dt  ， 0a  ，判别 ( )f x 的图形 在[ , ]a a 上的凹凸性. （6）设函数 ( )y y x 由方程 ln 0y y x y   确定，试判断曲线 ( )y y x 在点 (1,1)附 近的凹凸性. （7）已知点 (2, 4)是曲线 3 2y x ax bx c    的拐点，且在点 3x  处取得极值，求 , ,a b c 的值. （8）求曲线 2 1 ( 0)1y xx  的拐点. （9）求曲线 2xy e 的上凸区间 （10）设0 2x   ，证明 2 2 1 cos 2 x xx    （11）证明：当 0x  时，有不等式 1arctan 2x x   （12）利用导数证明：当 1x  时，有不等式 ln(1 )ln 1 x x x x    . （13）设 0x  ，常数 a e ，证明：  a a xa x a   一．填空题 1） sin cos2 xx xx    ； 2） 2 23 lnx xa a e x  ； 3） 2 4） tan x ； 5） tan 2 210 ln10(tan 2 2 sec 2 )x x x x x 6） 4  ； 7） 2 4 2 2 2 x x e e ； 8） 02 2x y     9） sin coscos sin t t t t   ； 10） ln 3 2  二．选择题 （1）D （2）A （3）D （4）C （5）B （6）B （7）C （8）B （9）D (10)C 三．解答题 （1） 8 3( 5)y x   ； （2） 1 2y x   （3）  1,1 是极小值点 （4） 1( ) 4 22f  为 ( )f x 的极小值； 1( ) 4 22f    为 ( )f x 的极大值 （5） ( )f x 的图形在[ , ]a a 上是凹的 （6）曲线在 (1,1)附近是凸的； （7） 6 9 2 a b c     （8） 1 3( , )43 ； （9） 1 1( , )2 2 ；