余弦定理练习题和答案

余弦定理练习题 源网 1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝ ，那么AC等于(  ) A．6  　  　B．2               C．3           D．4 2．在△ABC中，a＝2，b＝ －1，C＝30°，则c等于(  ) A.           B.           C.           D．2 3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋ bc，则∠A等于(  ) A．60°          B．45°            C．120°        D．150° 4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ ac，则∠B的值为(  ) A.                 B.           C. 或         D. 或 5．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则acosB＋bcosA等于(  ) A．a        B．b            C．c        D．以上均不对 6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为(  ) A．锐角三角形    B．直角三角形    C．钝角三角形 D．由增加的长度决定 7．已知锐角三角形ABC中，| |＝4，| |＝1，△ABC的面积为 ，则 · 的值为(  ) A．2        B．－2         C．4        D．－4 8．在△ABC中，b＝ ，c＝3，B＝30°，则a为(  ) A.         B．2           C. 或2         D．2 9．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________． 10．△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝( －1)∶( ＋1)∶ ，求最大角的度数． 11．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝5 ，则边c的值为________． 12．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos A∶cos B∶cos C＝________. 13．在△ABC中，a＝3 ，cos C＝ ，S△ABC＝4 ，则b＝________. 14．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则 · 的值为________． 15．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝ ，则角C＝________. 16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 17．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2 x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长． 18．已知△ABC的周长为 ＋1，且sin A＋sin B＝ sin C.(1)求边AB的长；(2)若△ABC的面积为 sin C，求角C的度数． 19．在△ABC中，BC＝ ，AC＝3，sin C＝2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－ )的值． 20．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos Asin B＝sinC，确定△ABC的形状． 答案 源网 1． 解析：选A.由余弦定理，得 AC＝ ＝ ＝6. 2． 解析：选B.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC ＝22＋( －1)2－2×2×( －1)cos30° ＝2， ∴c＝ . 3． 解析：选D.cos∠A＝ ＝ ＝－ ， ∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝150°. 4． 解析：选D.由(a2＋c2－b2)tanB＝ ac，联想到余弦定理，代入得 cosB＝ ＝ · ＝ · . 显然∠B≠ ，∴sinB＝ .∴∠B＝ 或 . 5． 解析：选C.a· ＋b· ＝ ＝c. 6．解析：选A.设三边长分别为a，b，c且a2＋b2＝c2. 设增加的长度为m， 则c＋m＞a＋m，c＋m＞b＋m， 又(a＋m)2＋(b＋m)2＝a2＋b2＋2(a＋b)m＋2m2＞c2＋2cm＋m2＝(c＋m)2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形． 7． 解析：选A.S△ABC＝ ＝ | |·| |·sinA ＝ ×4×1×sinA， ∴sinA＝ ，又∵△ABC为锐角三角形， ∴cosA＝ ， ∴ · ＝4×1× ＝2. 8． 解析：选C.在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即3＝a2＋9－3 a， ∴a2－3 a＋6＝0，解得a＝ 或2 . 9． 解析：∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝ . 在△ABD中， AD＝ ＝ ＝ . 答案： 10． 解：∵sinA∶sinB∶sinC＝( －1)∶( ＋1)∶ ， ∴a∶b∶c＝( －1)∶( ＋1)∶ . 设a＝( －1)k，b＝( ＋1)k，c＝ k(k＞0)， ∴c边最长，即角C最大．由余弦定理，得 cosC＝ ＝－ ， 又C∈(0°，180°)，∴C＝120°. 11． 解析：S＝ absinC，sinC＝ ，∴C＝60°或120°. ∴cosC＝± ，又∵c2＝a2＋b2－2abcosC， ∴c2＝21或61，∴c＝ 或 . 答案： 或 12． 解析：由正弦定理a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4， 设a＝2k(k＞0)，则b＝3k，c＝4k， cos B＝ ＝ ＝ ， 同理可得：cos A＝ ，cos C＝－ ， ∴cos A∶cos B∶cos C＝14∶11∶(－4)． 答案：14∶11∶(－4) 13． 解析：∵cos C＝ ，∴sin C＝ . 又S△ABC＝ absinC＝4 ， 即 ·b·3 · ＝4 ， ∴b＝2 . 答案：2 14． 解析：在△ABC中，cosB＝ ＝ ＝ ， ∴ · ＝| |·| |·cos(π－B) ＝7×5×(－ ) ＝－19. 答案：－19 15． 解析： absinC＝S＝ ＝ · ＝ abcosC，∴sinC＝cosC，∴tanC＝1，∴C＝45°. 答案：45° 16 解析：设三边长为k－1，k，k＋1(k≥2，k∈N)， 则 ?2＜k＜4， ∴k＝3，故三边长分别为2,3,4， ∴最小角的余弦值为 ＝ . 答案： 17． 解：∵A＋B＋C＝π且2cos(A＋B)＝1， ∴cos(π－C)＝ ，即cosC＝－ . 又∵a，b是方程x2－2 x＋2＝0的两根， ∴a＋b＝2 ，ab＝2. ∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC ＝a2＋b2－2ab(－ ) ＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab ＝(2 )2－2＝10， ∴AB＝ . 18． 解：(1)由题意及正弦定理得 AB＋BC＋AC＝ ＋1，BC＋AC＝ AB， 两式相减，得AB＝1. (2)由△ABC的面积 BC·AC·sin C＝ sin C，得BC·AC＝ ， 由余弦定理得cos C＝ ＝ ＝ ， 所以C＝60°. 19． 解：(1)在△ABC中，由正弦定理 ＝ ， 得AB＝ BC＝2BC＝2 . (2)在△ABC中，根据余弦定理，得 cos A＝ ＝ ， 于是sin A＝ ＝ . 从而sin 2A＝2sin Acos A＝ ， cos 2A＝cos2 A－sin2 A＝ . 所以sin(2A－ )＝sin 2Acos －cos 2Asin ＝ . 20． 解：由正弦定理，得 ＝ . 由2cos Asin B＝sin C，有cosA＝ ＝ . 又根据余弦定理，得 cos A＝ ，所以 ＝ ， 即c2＝b2＋c2－a2，所以a＝b. 又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， 所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2， 所以b＝c，所以a＝b＝c， 因此△ABC为等边三角形． 继续阅读