数学：第十三章《排列组合与概率》数学竞赛讲义(苏教版)5

第十三章  排列组合与概率 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，……，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。 3．排列与排列数：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用 表示， =n(n-1)…(n-m+1)= ,其中m,n∈N,m≤n, 注：一般地 =1，0！=1， =n!。 4．N个不同元素的圆周排列数为 =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集。从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用 表示： 6．组合数的基本性质：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 。 7．定理1：不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解的个数为 。 [ 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ]将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B中每一个解(x1,x2,…,xn),将xi作为第i个盒子中球的个数，i=1,2,…,n，便得到A的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n份，共有 种。故定理得证。 推论1  不定方程x1+x2+…+xn=r的非负整数解的个数为 推论2  从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重组合，其组合数为 8．二项式定理：若n∈N+,则(a+b)n= .其中第r+1项Tr+1= 叫二项式系数。 9．随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件A发生的概率，记作p(A),0≤p(A)≤1. 10.等可能事件的概率，如果一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A的概率为p(A)= 11.互斥事件：不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么A1，A2，…，An中至少有一个发生的概率为 p(A1+A2+…+An)= p(A1)+p(A2)+…+p(An). 12．对立事件：事件A，B为互斥事件，且必有一个发生，则A，B叫对立事件，记A的对立事件为 。由定义知p(A)+p( )=1. 13．相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 14．相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即p(A?B)=p(A)?p(B).若事件A1，A2，…，An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率为p(A1?A2? … ?An)=p(A1)?p(A2)? … ?p(An). 15.独立重复试验:若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的. 16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,这个事件恰好发生k次的概率为pn(k)= ?pk(1-p)n-k. 17．离散型随机为量的分布列：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量，例如一次射击命中的环数ξ就是一个随机变量，ξ可以取的值有0,1,2,…,10。如果随机变量的可能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量。 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,…,xi,…,ξ取每一个值xi(i=1,2,…)的概率p(ξ=xi)=pi，则称表 ξ x1 x2 x3 … xi … p p1 p2 p3 … pi …               为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列，称Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望或平均值、均值、简称期望，称Dξ=(x1-Eξ)2?p1+(x2-Eξ)2?p2+…+(xn-Eξ)2pn+…为ξ的均方差，简称方差。 叫随机变量ξ的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差。 18．二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为p(ξ=k)= , ξ的分布列为 ξ 0 1 … xi … N p … …               此时称ξ服从二项分布，记作ξ～B(n,p).若ξ～B(n,p)，则Eξ=np,Dξ=npq,以上q=1-p. 19.几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数ξ也是一个随机变量，若在一次试验中该事件发生的概率为p，则p(ξ=k)=qk-1p(k=1,2,…)，ξ的分布服从几何分布，Eξ= ，Dξ= (q=1-p). 二、方法与例题 1．乘法原理。 例1  有2n个人参加收发电报培训，每两个人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？ 2．加法原理。 例2  图13-1所示中没有电流通过电流表，其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种？ 3．插空法。 例3  10个节目中有6个演唱4个舞蹈，要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱，有多少种不同的安排节目演出顺序的方式？ 4．映射法。 例4  如果从1，2，…，14中，按从小到大的顺序取出a1,a2,a3使同时满足：a2-a1≥3,a3-a2≥3，那么所有符合要求的不同取法有多少种？ 5．贡献法。 例5  已知集合A={1，2，3，…，10}，求A的所有非空子集的元素个数之和。 6．容斥原理。 例6  由数字1，2，3组成n位数(n≥3)，且在n位数中，1，2，3每一个至少出现1次，问：这样的n位数有多少个？ 7．递推方法。 例7  用1，2，3三个数字来构造n位数，但不允许有两个紧挨着的1出现在n位数中，问：能构造出多少个这样的n位数？ 8．算两次。 例8  m,n,r∈N+，证明：   ① 9．母函数。 例9  一副三色牌共有32张，红、黄、蓝各10张，编号为1，2，…，10，另有大、小王各一张，编号均为0。从这副牌中任取若干张牌，按如下规则计算分值：每张编号为k的牌计为2k分，若它们的分值之和为2004，则称这些牌为一个“好牌”组，求好牌组的个数。 10．组合数 的性质。 例10  证明： 是奇数(k≥1). 例11  对n≥2,证明： 11．二项式定理的应用。 例12  若n∈N, n≥2，求证： 例13  证明： 12．概率问题的解法。 例14  如果某批产品中有a件次品和b件正品，采用有放回的抽样方式从中抽取n件产品，问：恰好有k件是次品的概率是多少？ 例15  将一枚硬币掷5次，正面朝上恰好一次的概率不为0，而且与正面朝上恰好两次的概率相同，求恰好三次正面朝上的概率。 例16  甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以用三局二胜或五局三胜制，问：在哪一种比赛 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 下，甲获胜的可能性大？ 例17  有A，B两个口袋，A袋中有6张卡片，其中1张写有0，2张写有1，3张写有2；B袋中有7张卡片，其中4张写有0，1张写有1，2张写有2。从A袋中取出1张卡片，B袋中取2张卡片，共3张卡片。求：（1）取出3张卡片都写0的概率；（2）取出的3张卡片数字之积是4的概率；（3）取出的3张卡片数字之积的数学期望。 三、基础训练题 1．三边长均为整数且最大边长为11的三角形有_________个。 2．在正2006边形中，当所有边均不平行的对角线的条数为_________。 3．用1，2，3，…，9这九个数字可组成_________个数字不重复且8和9不相邻的七位数。 4．10个人参加乒乓球赛，分五组，每组两个人有_________种分组方法。 5．以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是_________。 6．今天是星期二，再过101000天是星期_________。 7．由 展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有_________项。 8．如果凸n边形(n≥4)的任意三条对角线不共点，那么这些对角线在凸n边形内共有_________个交点。 9．袋中有a个黑球与b个白球，随机地每次从中取出一球（不放回），第k(1≤k≤a+b)次取到黑球的概率为_________。 10．一个箱子里有9张卡片，分别标号为1，2，…，9，从中任取2张，其中至少有一个为奇数的概率是_________。 11．某人拿着5把钥匙去开门，有2把能打开。他逐个试，试三次之内打开房门的概率是_________。 12．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，要将其中三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数是_________。 13．a,b,c,d,e五个人安排在一个圆桌周围就坐，若a,b不相邻有_________种安排方式。 14．已知i,m,n是正整数，且1(1+n)m. 15.一项“过关游戏” 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 ：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所得到的点数之和大于2n，则算过关。问：（1）某人在这项游戏中最多能过几关？（2）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体） 四、高考水平训练题 1．若n∈{1,2,…,100}且n是其各位数字和的倍数，则这种n有__________个。 2．从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任取3个不同元素作为二次函数y=ax2+bx+c的系数，能组成过原点，且顶点在第一或第三象限的抛物线有___________条。 3．四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中任取4个不共面的点，有_________种取法。