普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标II卷)数学试题 (文科) word解析

4、ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b2，B，C，则ABC的64面积为（）（A）232（B）31（C）232（D）31【答案】B7bcB,CAc22【解析】因为,所以.由正弦定理得，解得。所6412sinsin64117以三角形的面积为bcsinA222sin.因为221273221231sinsin()()，所以123422222221231bcsinA22()31，选B.2222x2y25、设椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F,F，P是C上的点，PFFF，a2b212212PFF30，则C的离心率为（）123113（A）（B）（C）（D）6323【答案】D2343【解析】因为PFFF,PFF30,所以PF2ctan30c,PFc。又21212231363c133PFPFc2a，所以，即椭圆的离心率为，选D.123a33326、已知sin2，则cos2()（）341112（A）（B）（C）（D）6323【答案】A1cos2()1cos(2)421sin2【解析】因为cos2()，所以4222211sin231cos2()，选A.42267、执行右面的程序框图，如果输入的N4，那么输出的S（）111111（A）1（B）123423243211111111（C）1（D）123452324325432【答案】B11【解析】第一次循环，T1,S1,k2；第二次循环，T,S1,k3；第三次循22111环，T,S1,k4，第四次循环，232231111T,S1,k5，此时满足条件输出234223234111S1，选B.2232348、设alog2，blog2，clog3，则（）352（A）acb（B）bca（C）cba（D）cab【答案】D11【解析】因为log21，log21，又log31，所以c最大。又3log35log5222111log3log5，所以，即ab，所以cab，选D.22log3log5229、一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体OABC的直观图，以zOx平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A.10、设抛物线C:y24x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点。若|AF|3|BF|，则l的方程为（）33（A）yx1或yx!（B）y(x1)或y(x1)3322（C）y3(x1)或y3(x1)（D）y(x1)或y(x1)22【答案】C【解析】抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A（x，y），B（x，112y），则因为|AF|=3|BF|，所以x+1=3（x+1），所以x=3x+2212121因为|y|=3|y|，x=9x，所以x=3，x=，当x=3时，y212，所以此时y1223，1212123111123若y23，则A(3,23),B(,),此时k3,此时直线方程为y3(x1)。若133AB123y23，则A(3,23),B(,),此时k3,此时直线方程为y3(x1)。133AB所以l的方程是y3(x1)或y3(x1)，选C.11、已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是（）（A）xR，f(x)000（B）函数yf(x)的图象是中心对称图形（C）若x是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(,x)单调递减00（D）若x是f(x)的极值点，则f'(x)000【答案】C【解析】若c0则有f(0)0，所以A正确。由f(x)x3ax2bxc得f(x)cx3ax2bx，因为函数yx3ax2bx的对称中心为（0,0），所以f(x)x3ax2bxc的对称中心为(0,c),所以B正确。由三次函数的图象可知，若x是0f(x)的极小值点，则极大值点在x的左侧，所以函数在区间（-∞,x）单调递减是错误的，00D正确。选C.12、若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是（）（A）(,)（B）(2,)（C）(0,)（D）(1,)【答案】D1【解析】因为2x0，所以由2x(xa)1得xa2x，2x在坐标系中，作出函数f(x)xa,g(x)2x的图象，当x0时，g(x)2x1，所以如果存在x0，使2x(xa)1，则有a1，即a1，所以选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是_______。1【答案】5【解析】从5个正整中任意取出两个不同的数，有C210种，若取出的两数之和等于5，则521有(1,4),(2,3)，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为。105（14）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD_______。【答案】21【解析】在正方形中，AEADDC,BDBAADADDC,所以2111AEBD(ADDC)(ADDC)AD2DC222222。22232（15）已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为3，则以O为球心，OA为半2径的球的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面积为________。【答案】2413232【解析】设正四棱锥的高为h，则(3)2h，解得高h。则底面正方形的对322326角线长为236，所以OA()2()26,所以球的表面积为224(6)224.（16）函数ycos(2x)()的图象向右平移个单位后，与函数2ysin(2x)的图象重合，则_________。35【答案】6【解析】函数ycos(2x)，向右平移个单位，得到ysin(2x)，即ysin(2x)233向左平移个单位得到函数ycos(2x)，ysin(2x)向左平移个单位，得232ysin[2(x)]sin(2x)sin(2x)cos(2x)23332355cos(2x)，即。66三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知等差数列{a}的公差不为零，a25，且a,a,a成等比数列。n111113（Ⅰ）求{a}的通项公式；n（Ⅱ）求aa+aa；1473n2解(1)设{a}的公差为d.由题意，a2＝aa，n11113即(a＋10d)2＝a(a＋12d)．于是d(2a＋25d)＝0.1111又a＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2.1故a＝－2n＋27.n(2)令S＝a＋a＋a＋…＋a.n1473n－2由(1)知a＝－6n＋31，故{a}是首项为25，公差为－6的等差数列．3n－23n－2nn从而S＝(a＋a)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n.n213n－22（18）如图，直三棱柱ABCABC中，D，E分别是AB，111BB的中点，。1（Ⅰ）证明：BC//平面；1（Ⅱ）设AAACCB2，AB22，1求三棱锥CADE的体积。1(1)证明连结AC交AC于点F，则F为AC中点，连结DF.111又D是AB中点，则BC∥DF.1因为DF⊂平面ACD，BC⊄平面ACD，111所以BC∥平面ACD.11(2)解因为ABC－ABC是直三棱柱，所以AA⊥CD.1111又因为AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA∩AB＝A，于是CD⊥平面ABBA.111由AA＝AC＝CB＝2，AB＝22得∠ACB＝90°，CD＝2，1AD＝6，DE＝3，AE＝3，11故AD2＋DE2＝AE2，即DE⊥AD.11111所以VC－ADE＝××6×3×2＝1.132（19）（本小题满分12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品。以X（单位：t，100X150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。（Ⅰ）将T表示为X的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；解(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65000.所以T＝{800X－39000，100≤X<130，65000，130≤X≤150.(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.（20）(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23。（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；2（Ⅱ）若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程。2解(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1.∴P点的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设P的坐标为(x，y)，00|x－y|2则00＝，即|x－y|＝1.2200∴y－x＝±1，即y＝x±1.0000①当y＝x＋1时，由y2－x2＝1得(x＋1)2－x2＝1.000000∴{x＝0，y＝1，∴2＝00r3.∴圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3.②当y＝x－1时，由y2－x2＝1得(x－1)2－x2＝1.000000∴{x＝0，y＝－1，∴2＝00r3.∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3.综上所述，圆P的方程为x2＋(y±1)2＝3.（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)x2ex。（Ⅰ）求f(x)的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线yf(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围。解(1)f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)．令f′(x)＝0，得x＝0，x＝2.12列表：∴f(x)＝f(0)＝0，f(x)＝f(2)＝4e－2.极小极大(2)设切点P(x，y)，当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，000切线斜率为k＝e－x(2x－x2)<0，000切线方程为y－x2e－x＝k(x－x)．000x2－x∴切线l在x轴上的截距为h＝00.x－20令t＝x－2，x2－x＝t2＋3t＋2，t∈(－∞，－2)∪(0，＋∞)．0002∴h(t)＝t＋＋3，t2当t<－2时，h(t)＝t＋＋3在(－∞，－2)上单调递增．t∴h(t)0时，h(t)＝t＋＋3≥22＋3，t当且仅当t＝2时取等号．综上所述，截距h的取值范围是(－∞，0)∪[22＋3，＋∞)．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。（22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAEDCAF，B、E、F、C四点共圆。（Ⅰ）证明：CA是ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DBBEEA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值。(1)证明因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，BCDC由题设知＝，故△CDB∽△AEF，FAEA所以∠DBC＝∠EFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．(2)解连结CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值1为.2（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程x2cost,已知动点P、Q都在曲线C:（t为参数）上，对应参数分别为t=与t=2y2sint（02），M为PQ的中点。（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。解(1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α)．M的轨迹的参数方程为{x＝cosα＋cos2α，y＝sinα＋sin2α，(α为参数，0<α<2π)．(2)M点到坐标原点的距离d＝x2＋y2＝2＋2cosα(0<α<2π)．当α＝π，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．（24）（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲设a、b、c均为正数，且abc1，证明：1a2b2c2（Ⅰ）abbcac；（Ⅱ）13bca证明(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.1所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.3a2b2c2(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，bcaa2b2c2故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，bcaa2b2c2即＋＋≥a＋b＋c.bcaa2b2c2所以＋＋≥1.bca