4.3 统计模型4.3.1 一元线性回归模型基础预习初探主题1 相关关系 观察下列变量，思考有关问题.(1)正方体的体积与棱长之间的关系；(2)人的身高与视力之间的关系；(3)汽车的质量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程之间的关系；(4)数学成绩与语文成绩之间的关系.上述每个问题中的两个变量之间具有怎样的关系？提示：(1)正方体的体积与棱长之间是确定的关系；(2)人的身高与视力之间不具有相关关系；(3)汽车的质量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程成负相关关系；(4)数学成绩与语文成绩之间不具有相关关系.结论：1.确定关系、相关关系(1)确定关系：当一个变量确定后，另一个变量就确定了.(2)相关关系：变量之间确实有一定的关系，但没有达到可以互相决定的程度，它们之间的关系带有一定的随机性，统计学上称为相关关系.2.散点图一般地，如果收集了变量x和变量y的n对数据(简称为成对数据)，如下
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所示，序号i123…n变量xx1x2x3…xn变量yy1y2y3…yn3.正相关、负相关(1)正相关：如果一个变量增大，另一个变量大体上也增大，则称这两个变量正相关；(2)负相关：如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称这两个变量负相关.【对点练】1.观察下列关于两个变量x和y的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次为( )A.正相关、负相关、不相关 B.负相关、不相关、正相关C.负相关、正相关、不相关 D.正相关、不相关、负相关【解析】选D.由相关性可知从左到右的第一个图是正相关，第二个图相关性不明确，所以不相关，第三个图是负相关.2.下列关系属于负相关的是( )A.父母的身高与子女身高的关系B.农作物产量与施肥的关系C.吸烟与健康的关系D.数学成绩与物理成绩的关系【解析】选C.若以吸烟量为横轴，健康为纵轴画出散点图，则由生活常识知，这些点散布在从左上角到右下角的区域内.因此吸烟与健康的关系属于负相关.主题2 回归直线方程 如何利用回归分析研究变量？提示：对两个具有线性相关关系的变量，利用回归分析的方法进行研究，其步骤为画散点图，求回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测.结论：1.回归直线方程一般地，已知变量x与y的n对成对数据(xi，yi)，i=1，2，3，…，n，任意给定一个一次
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y=bx+a，对每一个已知的xi，由直线方程可得到一个估计值i=bxi+a，如果一次
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数=x+能使(-y1)2+(-y2)2+…+(-yn)2=(yi-)2取得最小值，则=x+称为y关于x的回归直线方程(对应的直线称为回归直线).因为是使得平方和最小，所以其中涉及的方法称为最小二乘法.其中称为回归系数，即回归直线方程的斜率.2.回归直线方程的性质(1)回归直线过点()；(2)一次函数=x+的单调性由的符号决定，函数递增的充要条件是>0.y与x正相关的充要条件是>0；y与x负相关的充要条件是<0.【对点练】根据如下样本数据得到的回归直线方程为=x+.若=4.9，则x每增加1个单位，y就( )x34567y4.02.50.50.52.0A.增加0.7个单位B.减少0.7个单位C.增加0.6个单位D.减少0.6个单位【解析】选D.由题意可得=×(3+4+5+6+7)=5，=×(4+2.5+0.5+0.5+2.0)=1.9，代入回归直线方程得1.9=5+4.9，所以=-0.6，所以回归直线方程为=-0.6x+4.9，当x每增加1个单位时，-0.6(x+1)+4.9-(-0.6x+4.9)=-0.6，所以y就减少0.6个单位.主题3 相关系数1.相关系数是度量什么的一个量？提示：相关系数是度量两个变量相关性关系强弱的一个量.2.相关系数是如何影响两变量之间关系的？提示：相关系数r的绝对值越接近于1，相关性越强；反之，相关性越弱.结论：1.相关系数统计学里一般用来衡量y与x的线性相关性强弱，这里的r称为线性相关系数(简称为相关系数).2.相关系数的性质(1)|r|≤1且y与x正相关的充要条件是r>0，y与x负相关的充要条件是r<0；(2)|r|越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱；|r|越大，说明两个变量之间的线性相关性越强.(3)|r|=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上.【对点练】 下列对样本相关系数的说法不正确的是( )A.相关系数r可用来衡量变量x与y之间的线性相关程度B.|r|≤1，且|r|越接近1，相关程度越高C.|r|≤1，且|r|越接近0，相关程度越低D.|r|≥1，且|r|越接近1，相关程度越高【解析】选D.相关系数r的取值范围为[-1，1]，|r|≤1，且|r|越接近1，相关程度越高，|r|越接近0，相关程度越低.核心互动探究探究点一 变量间的相关关系及判断【典例1】(1)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i=1，2，…，10)，得散点图①，对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i=1，2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断( )A.变量x与y正相关，u与v正相关B.变量x与y正相关，u与v负相关C.变量x与y负相关，u与v正相关D.变量x与y负相关，u与v负相关(2)两个变量x，y与其线性相关系数r有下列说法：①若r>0，则x增大时，y也随之相应增大；②若r<0，则x增大时，y也相应增大；③若r=1或r=-1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上，其中正确的有( ) A.①②B.②③C.①③D.①②③【思维导引】(1)根据散点图中点的分布判断.(2)根据相关系数的性质逐一判断.【解析】(1)选C.由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关.(2)选C.根据两个变量的相关性与其相关系数r之间的关系知，①③正确，②错误.【类题通法】线性相关系数的理解线性相关系数是从数值上来判断变量间的线性相关程度，是定量的方法.与散点图相比较，线性相关系数要精细得多，需要注意的是线性相关系数r的绝对值小，只是说明线性相关程度低，但不一定不相关，可能是非线性相关.【定向训练】下列两变量中具有相关关系的是( )A.正方形的面积与边长B.人的身高与体重C.匀速行驶的汽车的行驶距离与时间D.球的半径与体积【解析】选B.选项A中正方形的面积为边长的平方，有固定的函数关系；选项C中匀速行驶的汽车的行驶距离与时间成正比，也是函数关系；选项D中球的体积是π与半径的立方相乘，有固定的函数关系.只有选项B中人的身高与体重具有相关关系.【跟踪训练】在下列各图中，相关关系最强的是( )【解析】选A.对于A，图中各点成条状分布，这组变量具有较强的线性相关关系；对于B，C，D所示的散点图中，样本点成片状分布，两个变量的线性相关关系相对较弱，或不具有相关关系.探究点二 求回归直线方程【典例2】一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：转速x(转/秒)1614128每小时生产有缺陷的零件数y(件)11985(1)画出散点图；(2)如果y与x有线性相关的关系，求回归直线方程.【思维导引】(1)由表中数据作图.(2)根据回归直线方程公式求，即可写出方程.【解析】(1)画出散点图，如图所示：(2)=12.5，=8.25，=438，=660，所以==8.25-0.7286×12.5=-0.8575.故回归直线方程为=0.7286x-0.8575.【延伸探究】本题条件不变，求：若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？【解析】要使y≤10，则0.7286x-0.8575≤10，x≤14.9019.故机器的转速应控制在14.9转/秒以下.【类题通法】求回归直线方程的步骤(1)画散点图：由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系.(2)求回归系数：若存在线性相关关系，则求回归系数.(3)写方程：写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测.【定向训练】 某市环保部门为了让全市居民认识到冬天烧煤取暖对空气AQI数值的影响，进而唤醒全市人民的环保节能意识，对该市取暖烧煤天数x与空气AQI数值不合格的天数y进行统计分析，得出表中数据：x(天)98754y(天)76532(1)以统计数据为依据，求出y关于x的回归直线方程=x+；(2)根据(1)求出的回归直线方程，预测该市烧煤取暖的天数为20时空气AQI数值不合格的天数.参考公式：【解析】(1)由表中数据可求得=4×2+5×3+7×5+8×6+9×7=169，=42+52+72+82+92=235，=4.6-6.6=-2，所以回归直线方程为=x-2.(2)根据(1)求出的回归直线方程，当x=20时，代入可得=20-2=18，预测该市烧煤取暖的天数为20时空气AQI数值不合格的天数为18.【跟踪训练】某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得到下表数据：x681012y2356(1)请画出上表数据的散点图(要求：点要描粗)；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程=x+；(3)试根据求出的回归直线方程，预测记忆力为9的同学的判断力.【解析】(1)如图：(2)=6×2+8×3+10×5+12×6=158，=62+82+102+122=344，=4-0.7×9=-2.3，故回归直线方程为=0.7x-2.3.(3)由(2)中回归直线方程知当x=9时，=0.7×9-2.3=4，预测记忆力为9的同学的判断力为4.探究点三 非线性回归模型【典例3】某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费用，需了解年宣传费x(单位：万元)对年销量y(单位：吨)和年利润(单位：万元)的影响.对近6年宣传费xi和年销量yi(i=1，2，3，4，5，6)的数据做了初步统计，得到如下数据：年份201320142015201620172018年宣传费x(万元)384858687888年销售量y(吨)16.818.820.722.424.025.5经电脑模拟，发现年宣传费x(万元)与年销售量y(吨)之间近似满足关系式y=a·xb(a>0，b>0)即lny=blnx+lna，对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：(1)从表中所给出的6年年销售量数据中任选2年做年销售量的调研，求所选数据中至多有一年年销售量低于20吨的概率.(2)根据所给数据，求y关于x的回归方程.(3)若生产该产品的固定成本为200万元，且每生产1吨产品的生产成本为20万元(总成本=固定成本+生产成本+年宣传费)，销售收入为+500(万元)，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，2019年该公司计划投入108万元宣传费，你认为该决策合理吗？请说明理由.(其中e为自然对数的底数，e=2.71828…)附：对于一组数其回归直线=·u+中的斜率和截距的最小二乘估计分别为【思维导引】(1)利用组合知识，根据古典概型概率公式可得结果；(2)对y=axb两边取对数得lny=lna+blnx，令ui=lnxi，vi=lnyi得v=lna+bu，根据所给的数据，求出变量u，v的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得回归直线方程的系数b，再根据样本中心点一定在回归直线方程上，求出a的值，写出回归方程；(3)设该公司的年利润为，由利润=销售收入-总成本，求得的解析式，由二次函数的性质求得x=100时，取最大值，从而可得结果.【解析】(1)记事件A表示“至多有一年年销售量低于20吨”，由表中数据可知6年中有2年的年销售量低于20吨，故(2)对y=axb(a>0，b>0)两边取对数得lny=lna+blnx，令ui=lnxi，vi=lnyi得v=lna+bu，由题中数据得：得=e，故所求回归方程为=e.(3)设该公司的年利润为f(x)，因为利润=销售收入-总成本，所以由题意可知当=10即x=100时，利润f(x)取得最大值500万元，故2019年该公司计划投入108万元宣传费的决策不合理.【类题通法】非线性回归的模型(1)当两个变量已明显呈线性相关关系时，则无需作散点图，就可直接求回归直线方程，否则要先判定相关性再求回归方程.(2)非线性回归方程的求法.①根据原始数据(x，y)画出散点图；②根据散点图，选择恰当的拟合函数；③作恰当变换，将其转化成线性函数，④求线性回归方程；⑤在④的基础上通过相应的变换，即可得非线性回归方程.【定向训练】某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图(如图1)：
规定
关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定
产品的质量指标值在[65，85)的为劣质品，在[85，105)的为优等品，在[105，115]的为特优品，销售时劣质品每件亏损0.8元，优等品每件盈利4元，特优品每件盈利6元，以这100件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率.(1)求每件产品的平均销售利润；(2)该企业主管部门为了解企业年营销费用x(单位：万元)对年销售量y(单位：万件)的影响，对该企业近5年的年营销费用xi和年销售量yi(i=1，2，3，4，5)数据做了初步处理，得到的散点图(如图2)及一些统计量的值.表中ui=lnxi，vi=lnyi，根据散点图判断，y=axb可以作为年销售量y(万件)关于年营销费用x(万元)的回归方程.①求y关于x的回归方程；②用所求的回归方程估计该企业每年投入216万元的营销费时，年收益的预报值.(收益=销售利润-营销费用，取e3.59≈36)附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为=【解析】(1)设每件产品的销售利润为X，则X的可能取值为-0.8，4，6.由频率分布直方图可得产品为劣质品、优等品、特优品的概率分别为0.25，0.65，0.1.所以P(X=-0.8)=0.25；P(X=4)=0.65；P(X=6)=0.1.所以X的分布列为X-0.846P0.250.650.1所以E(X)=(-0.8)×0.25+4×0.65+6×0.1=3(元).即每件产品的平均销售利润为3元.(2)①由y=a·xb得lny=ln(a·xb)=lna+blnx，令u=lnx，v=lny，c=lna，则v=c+bu，由所给数据可得则=4.68-1.09=3.59，所以=3.59+u，即ln=3.59+lnx=ln因为取e3.59≈36，所以故所求的回归方程为②设年收益为z万元，则当x=216时，z=432.即该企业每年投入216万元营销费，年收益的预报值为432万元.【跟踪训练】在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数据如表：试建立y与x之间的回归方程.x0.250.5124y1612521【解析】作出变量y与x之间的散点图如图所示.由图可知变量y与x近似地呈反比例函数关系.设y=，令t=，由y与x的数据表可得y与t的数据表：t4210.50.25y1612521作出y与t的散点图如图所示.由图可知y与t呈近似的线性相关关系.设回归直线方程为=t+，又=1.55，=7.2，=94.25，=21.3125，=-=7.2-4.1344×1.55≈0.8，所以=4.1344t+0.8.所以y与x的回归方程是=+0.8.【课堂小结】课堂素养达标1.若变量x，y之间是线性相关关系，则由数据表得到的回归直线必过定点( ) A.(2，6)B.(4，10)C.(3，9)D.(2.5，9)x1245y861012【解析】选C.因为(1+2+4+5)=3，(8+6+10+12)=9，所以回归直线必过定点(3，9).2.对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i=1，2，…，8)，其回归直线方程是=x+，且x1+x2+x3+…+x8=2(y1+y2+y3+…+y8)=6，则的值是( )【解析】选C.因为x1+x2+x3+…+x8=6，y1+y2+y3+…+y8=3，所以所以样本中心点的坐标为代入回归直线方程得解得.3.已知变量x和y之间的几组数据如下表：( )x4681012y12356若根据上表数据所得回归直线方程为=0.65x+m，则m=( )A.-1.6B.-1.7C.-1.8D.-1.9【解析】选C.由题干表格中的数据可知(4+6+8+10+12)=8，(1+2+3+5+6)=，把点代入回归直线方程可得=0.65×8+m，解得m=-1.8.4.对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是________.(填序号) ①都可以分析出两个变量的关系；②都可以用一条直线近似地表示两者的关系；③都可以作出散点图；④都可以用确定的表达式表示两者的关系.【解析】给出一组样本数据，总可以作出相应的散点图，故③正确，但不一定能分析出两个变量的关系，故①不正确，更不一定符合线性相关，不一定用一条直线近似地表示，故②不正确，两个变量的统计数据不一定有函数关系，故④不正确.答案：③
浙公网安备 33021202002483