线性代数及其应用（第三版）（中文版）3rd第四章34.8

4.8 差分方程中的应用 现在，功能强大的计算机被广泛的领域应用着.越来越多的科学上和工程上的问题，在某种意义上讲，用离散的或数字化的数据来处理胜过用连续的数据来处理.差分方程往往是分析这样的数据的合适工具，甚至当使用微分方程作连续过程的模型时，其数值解也常常由一个相关的差分方程得到. 本节中突出一些线性差分方程的基本性质，它们可用线性代数得到很好的解释. 离散时间信号 离散时间信号的向量空间 在4.1节中引入， 中一个信号是一个只定义在整数上的函数同时可用一个数列将其直观化，即 .图1中展示出三个典型的信号，它们的一般项分别是 和 . ******************** *********图形******* ******************** 图1 中三个信号 数字信号显然来自电学和控制系统工程学，但离散数据序列也来自生物学，物理学，经济学，人口统计学以及其他任何一个需要在离散时间区间测量或抽样的过程的领域.当一个过程从一个指定的时间开始，用形如 的序列去描述一个信号有时是方便的.对于 的 项，可以假设取值为0或者予以忽略. 例1光盘唱机中发出的清晰的声音是以每秒44100次的速度从音乐中抽样而成的，见图2.在每次测量时，音乐信号的振幅用一个数字的形式记录下来，即 .最初的音乐是由各种频率的不同声音合成的，然而序列 包含足够多的信息用来复制声音中的所有频率，高到达到大约每秒20000个周期，这超出了人耳所能感觉到的范围. ｜ ******************** *******图形********* ******************** 图2 音乐信号的抽样数据 信号空间 中的线性无关 为了简化符号，我们考虑一个仅包含三个信号 和 的集合 ，当方程 对所有 成立 (1) 蕴涵 时， 恰好是线性无关的.这里说“对所有 成立”指对所有整数—正整数，负整数和0成立.我们可能考虑从 开始的信号，例如，这时“对所有 成立”将 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示对所有 的整数成立. 假设 满足(1)式，那么方程(1)对任意三个相邻的值 和 成立，这样(1)蕴涵 对所有 成立 和 对所有 成立 从而 满足 对所有 成立 (2) 这个方程组的系矩阵称为信号的Casorati矩阵,这个矩阵的行列式称为 的Casoratian行列式.如果对至少一个 值Casorati矩阵可逆，则(2)将蕴涵 ，这就证明这三个信号是线性无关的. 例2 证明 和 是线性无关的信号. 解 Casorati矩阵是 用行变换可相当简单地证明这个矩阵总是可逆的，然而，若用 代替 ，则会更快地行简化这个数值矩阵： 这个Casorati矩阵对 可逆，所以 和 是线性无关的. ｜ 若Casorati矩阵不可逆，相应的信号通过检测可能线性相关也可能不是线性相关，(见习题33).但是可以证明，如果这些信号是同一个齐次差分方程(将在下面描述)的所有解，则Casorati矩阵对所有 是可逆且这些信号是线性无关的，或者Casorati矩阵对所有 都不可逆且这些信号是线性相关的.一个用线性变换方法的较好的证明可在学习指导中找到. 线性差分方程 给定数量 和 不为零，给定一个信号 ，方程 对所有 成立 (3) 称为一个 阶线性差分方程(或线性递归关系).为了简化， 通常取为1.若 是零序列，则方程是齐次的；否则，方程为非齐次的. 例3 在数字信号过程中，像上面(3)那样的差分方程描述一个线性滤波器， 称为滤波器系数，若将 看作输入， 看作输出，则对应齐次方程的解是过滤掉的信号，并被变换成零信号，让我们向如下滤波器提供两个不同的信号: 这里0.35是 的一个简写，第一个信号是由连续信号 在整数值 抽样而生成，如图3 .离散信号是 为了简单，用 代替 ，从而 ******************* ******图形********* ******************* (a) (b) 图3 具有不同频率的离散信号 表1展示出输出序列 的一个计算.这里 是 的一个简写，将 移动一项，输出就成为 . 表1 计算一个滤波器的输出 0 1 2 3 4 5 1 0.7 0 0.7 0 -0.7 0 -0.7 -1 -0.7 -1 -0.7 -1 -0.7 0 -0.7 0 0.7 0.35(1) +0.5(0.7) +0.35(0) 0.7 0.35(0.7) +0.5(0) +0.35(-0.7) 0 0.35(0) +0.5(-0.7) +0.35(-1) -0.7 0.35(-0.7) +0.5(-1) +0.35(-0.7) -1 0.35(-1) +0.5(-0.7) +0.35(0) -0.7 0.35(-0.7) +0.5(0) +0.35(0.7) 0 于是一个不同的输入信号由更高的频率信号 生成，见图3 .用与前面相同的抽样率去抽样，我们得到一个新的输入序列： 当将 提供给滤波器，则输出是零序列，若一个滤波器使 能够通过，但将高频的 截止，则称该滤波器为低通滤波器. 在许多应用中，序列 由差分方程(3)的右端确定，满足(3)的一个 称为这个方程组的一个解.下一个例子表明对一个齐次方程如何求解. ｜ 例4 齐次差分方程的解通常具有形式 对某 成立，求下列方程的解 对所有 成立 (4) 解 用 代替方程中的 ，并将左边分解因子. (5) (6) 由于(5)等价于(6)， 满足差分方程(4)当且仅当 满足(6)，于是 和 都是(4)的解，比如，为验证 是(4)的一个解，计算 ｜ 一般而言，一个非零信号 满足齐次差分方程 对所有 成立 当且仅当 是辅助方程 的一个根，我们将不考虑当 是辅助方程的重根的情形.当这个辅助方程有复根，则差分方程具有形如 和 的解，其中 和 是常数，这在例3中已出现过. 线性差分方程的解集 给定 ，考虑映射 ，将信号 变换到信号 ，由下式给出 容易验证 是一个线性变换.这蕴涵齐次方程 对所有 成立 的解集是 的核(经 映到零信号的信号的集合)，进而这个解集是 的一个子空间，任何解的线性组合仍然是解. 下一个定理是一个简单但基本的结论，它将引导出关于差分方程组解集的更多的信息. 定理16 若 且 给定，只要 给定，方程 对所有的 成立 (7) 有惟一解. 证明 若 给定，利用(7)定义 现在 明确了，再利用(7)定义 .一般情形，利用递归关系 (8) 对 定义 .对 ，为了定义 ，利用递归关系 (9) 这样生成了一个满足(7)式的信号.反之，对任何 ，满足(7)式的任何信号一定满足(8)和(9)，所以(7)的解是惟一的. 定理17 阶齐次线性差分方程 对所有 成立 (10) 的解集 是一个 维向量空间. 证明 我们早已解释过为什么 是 的一个子空间.对 中的 ，设 是 中的向量 .容易证明 是一个线性变换.任给 中向量 ，由定理16知存在 中惟一一个信号 使得 这说明 是由 到 上的一一线性变换,即 是一个同构，从而 .(见4.5节习题32). 例5 对差分方程 对所有 成立 求其解集的一个基. 解 我们在线性代数中的工作现在真的要给我们回报！从例2和例4知道 和 是线性无关解.一般情形，直接证明一个信号的集合张成差分方程的解空间可能是困难的,但在这里因为有两个关键定理—定理17和4.5节中的基定理，所以使得我们的工作没有困难，由定理17知，本例中方程的解空间恰好是3维的，再由4.5节中基定理知， 维空间中含 个向量的线性无关集必然是一个基，所以 和 构成解空间的一个基. ｜ 描述(10)式的“一般解”的标准方法是对所有解构成的子空间展示它的一个基，这样的基称为(10)的基础解系.实际上，如果我们能找到和 个线性无关的信号满足(10)，它们必然张成这个 维解空间，就象我们见到的上面的例题那样. 非齐次方程 非齐次差分方程 对所有 成立 (11) 的一般解能写成(11)的一个特解加上对应齐次差分方程(10)的一个基础解系的任意线性组合.这个结果类似于1.5节中关于 和 的解集的关系，二者是平行的.这两个结果有相同的解释：映射 是线性的，(11)中将信号 变换成信号 的映射也是线性的，见习题35. 例6 证明信号 满足差分方程 对所有 成立 (12) 然后给出这个方程所有解的一个刻画. 解 将（12）左端中的 用 代替. 所以 的确是（12）的一个解.下一步是解齐次方程 (13) 辅助方程为 根为 ，所以齐次差分方程的两个解为 和 ，显然它们彼此不是倍数关系，所以它们是线性无关信号.(Casorati检验也可用).由定理17，此解空间是2维的，所以 和 构成(13)的解集的一个基，该解集用非齐次差分方程(12)的特解形式写出来，得到(12)的一般解： 或 图4给出两个解集的几何直观解释，图中每个点对应 中的一个信号. ***************** ********图形***** ***************** 图4 差分方程(12)和(13)的解集 约简成一阶方程组 研究 阶齐次线性差分方程的现代方法是用等价的一阶差分方程组代替它，其中一阶差分方程写成形如： 这里向量 在 中， 是一个 矩阵. 这样的(向量值)差分方程的简单例子在1.9节中已经研究过.进一步的例子将在4.9和5.6节中给出. 例7 将下列差分方程写成一个一阶方程组： 对所有 成立 解 对每个 ，设 由差分方程得 ，所以 即 对所有 成立，这里 ｜ 一般而言，方程 ，对所有 成立 可重写成 ，对所有 成立，这里 进一步阅读 Hamming,R.W.,Digital Filters,2d ed.(Englewood Cliffs,NJ:Prentice-Hall,1983),pp.1-37. Kelly,W.G.,and A.C.Peterson, Difference Equations, 2nd ed.(San Diego:Harcourt-Academic Press,2001). Mickens,R.E.,Differewce Equations,2nd ed.(New York: Van Nostrand Reinhold,1990),pp.88-141. Oppenheim,A.V.,and A.S.Willsky,Signals and Systems, 2nd ed.(Upper Saddle River,NJ: Prentice-Hall, 1997),pp.1-14,21-30,38-43. 练习题 可以证明信号 和 是 的解，证明这些信号构成这个差分方程所有解集的一个基. 习题4.8 验证1题和2题中的信号是相应差分方程的解. 1. 2. 证明3-6题中的信号分别构成相应差分方程解集的一个基. 3.习题1中的信号和方程. 4.习题2中的信号和方程. 5. 6. 在习题7-12中，假设列出的信号是给出的差分方程的解，确定这些信号是否构成相应方程解空间的基. 7. 8. 9 9. 10. 11. 12. 在13-16题中，分别求差分方程解空间的一个基. 13. 14. 15. 16. 在17和18题中，涉及到国民经济的一个简单模型，用下列差分方程描述 (14) 这里 是第 年国民收入总和， 为一个小于1的常数，称之为边际消费倾向， 是一个正的调节常数，用来刻画消费性开支对一年的私人投资率影响方面如何变化 . 17.当 时，求(14)的一般解，当 增加时， 如何变化？[提示：先求形如 的特解，这里 是一个常数，称为国民收入的平衡水平] 18.当 时，求(14)的一般解. 一个轻的悬梁被间隔10英尺的 个支点支撑着，一个重500磅的法码挂在悬梁的一端，它距第一个支点10英尺，如图所示.设 表示第 个支点的弯矩，则 英尺一磅.假设这个悬梁刚性地连接在第 个支点上并且此处弯矩为零，则各弯矩满足以下3-弯矩方程： 对 成立 (15) ******************* **********图形***** ******************* 悬梁上的挠矩 19.求差分方程(15)的一般解. 20.求满足边界条件 的(15)的特解(答案涉及到 ). 21.当一个信号通过在一个过程中(化学反应，通过管子的热流，活动机械手等等)的一系列测量生成时，这个信号通常包括由测量误差造成的随机噪声.预处理这些数据以便减少噪声的标准方法是将这个数据打磨或叫过滤.一个简单的过滤法是用两个相邻值的平均数代替每个 的移动平均数： 对 假设对 一个信号 是：9,5,7,3,2,4,6,5,7,6,8,10,9,5,7 利用过滤法计算 .作一个原始信号和打磨过的信号的双重折线图. 22.设 是由连续信号 在 处抽样生成的，如图所示.从 开始的 值为 这里0.7是 的简写. 例如，可参考《离散动力系统》，by James T.Sandefur，(Oxford: Clarendon Press，1990).pp267-276，最原始的加速乘数模型由经济学家P.A.Samuelson提出. ****************** *********图形***** ****************** 由2 得到的抽样数据 a.当 提供给例3中的滤波器时，计算输出信号 . b.解释为什么(a)中输出与例3中的计算相关，有怎样的关系？ 在习题23和24题中，对适当的常数 和 ，涉及到一个形如 的差分方程. 23.10000美元的贷款每月有1%的利息和450美元的月供.一个月之后在 时办理第一次付款.对 设 是第 次月度付款刚办理后贷款的未付余额，则 a.写出 满足的差分方程. b.[M]作一张表展示月份 时 与余额 ，列出你作这张表的程序和按键. c.[M]当作完最后的付款时， 为多少？最后一次的付款是多少？借款者共支付多少钱？ 24. 在时间 ，办理了一个1000美元的最初存款的储蓄账户。这个储蓄账户每年付6%的利息(每月利率为0.005)，这个利息按每月复利计算。在最初存款之后，每月将200美元存到账户里。对 设 表示在时间 刚办理完存款后账户里的存款金额. a.写出 满足的差分方程. b.[M]作一张表，展示 与在月份 时账户里的总金额， 取 到60.列出你作这张表的程序和按键. c.[M]两年(即24个月)之后，账户里有多少存款？4年和5年之后呢？5年的总利息是多少？ 在25-28题中，证明给出的信号是相应差分方程的解，然后求差分方程的一般解. 25. 26. 27. 28. 将29和30题中的差分方程用一阶方程组 (对任意 成立)的形式写出来. 29. 30. 31.下列差分方程具有3阶吗？解释之. 32.下列差分方程的阶是多少？解释你的答案. 33.设 ，信号 和 线性无关吗？对 和 ，求相应的Casorati矩阵 ，并讨论你的结果. 34.设 是定义在全体实数上的线性无关函数，通过取整数上的函数值抽样构造3个信号： 在 上这些信号一定是线性无关的吗？讨论之. 35.设 和 是非零数，定义映射 ，其中 ，证明 是一个由 到 中的线性变换. 36.设 是一个向量空间， 是一个线性变换.给定 ，假设 满足 ，设 是 的核中的任一向量，证明 满足非齐次方程 . 37.设 是所有形如 的序列的向量空间，定义从 到 的线性变换 和 如下 证明 ( 上的恒等变换)但 . 练习题答案 检查Casorati矩阵： 设 ，将矩阵进行行简化，证明它有3个主元位置，从而矩阵可逆： 当 时，Casorati矩阵是可逆的，所以这些信号是线性无关的，因为有3个信号，差分方程的解空间 是3维的(定理17)，由基定理知，这3个信号构成 的一个基. _1163780454.unknown _1163829441.unknown _1166427347.unknown _1172064751.unknown _1172066898.unknown _1172067139.unknown _1172067506.unknown _1172067507.unknown _1172067323.unknown _1172067505.unknown _1172067240.unknown _1172066924.unknown _1172067035.unknown _1172067124.unknown _1172066917.unknown _1172065404.unknown _1172066558.unknown _1172066843.unknown _1172066852.unknown _1172066836.unknown _1172065935.unknown _1172065183.unknown _1172065293.unknown _1172065042.unknown _1172063943.unknown _1172064309.unknown _1172064514.unknown _1172064546.unknown _1172064425.unknown _1172064253.unknown _1172064296.unknown _1172063946.unknown _1172063778.unknown _1172063790.unknown _1172063813.unknown _1172063799.unknown _1172063784.unknown _1166428396.unknown _1172063766.unknown _1172063772.unknown _1166428518.unknown _1172063760.unknown _1168500486.unknown _1166428406.unknown _1166427953.unknown _1166428347.unknown _1166427415.unknown _1163836957.unknown _1163839245.unknown _1166427070.unknown _1166427193.unknown _1166427223.unknown _1166427175.unknown _1163839586.unknown _1163839701.unknown _1163839803.unknown _1163839834.unknown _1163839881.unknown _1163840951.unknown _1163840992.unknown _1163840797.unknown _1163839872.unknown _1163839826.unknown _1163839748.unknown _1163839778.unknown _1163839711.unknown _1163839631.unknown _1163839679.unknown _1163839603.unknown _1163839409.unknown _1163839580.unknown _1163839461.unknown _1163839527.unknown _1163839313.unknown _1163839350.unknown _1163839293.unknown _1163838274.unknown _1163838851.unknown _1163839038.unknown _1163839182.unknown _1163839227.unknown _1163839111.unknown _1163838925.unknown _1163838975.unknown _1163838881.unknown _1163838564.unknown _1163838712.unknown _1163838782.unknown _1163838652.unknown _1163838369.unknown _1163838380.unknown _1163838339.unknown _1163837548.unknown _1163837937.unknown _1163838252.unknown _1163838030.unknown _1163838069.unknown _1163837907.unknown _1163837929.unknown _1163837894.unknown _1163837321.unknown _1163837457.unknown _1163837511.unknown _1163837347.unknown _1163837174.unknown _1163837310.unknown _1163837141.unknown _1163833194.unknown _1163835368.unknown _1163836533.unknown _1163836694.unknown _1163836803.unknown _1163836853.unknown _1163836714.unknown _1163836598.unknown _1163836641.unknown _1163836550.unknown _1163835815.unknown _1163836270.unknown _1163836426.unknown _1163836480.unknown _1163836233.unknown _1163835591.unknown _1163835768.unknown _1163835547.unknown _1163835424.unknown _1163835479.unknown _1163833993.unknown _1163835136.unknown _1163835228.unknown _1163835312.unknown _1163835326.unknown _1163835187.unknown _1163835096.unknown _1163835110.unknown _1163834025.unknown _1163833717.unknown _1163833909.unknown _1163833963.unknown _1163833797.unknown _1163833386.unknown _1163833562.unknown _1163833288.unknown _1163830756.unknown _1163831370.unknown _1163832765.unknown _1163832973.unknown _1163833047.unknown _1163832839.unknown _1163831524.unknown _1163832635.unknown _1163831436.unknown _1163831319.unknown _1163831344.unknown _1163830992.unknown _1163831055.unknown _1163830825.unknown _1163830044.unknown _1163830502.unknown _1163830523.unknown _1163830540.unknown _1163830511.unknown _1163830124.unknown _1163830388.unknown _1163830092.unknown _1163829665.unknown _1163829816.unknown _1163829832.unknown _1163829736.unknown _1163829529.unknown _1163829562.unknown _1163829470.unknown _1163825992.unknown _1163826819.unknown _1163827479.unknown _1163828002.unknown _1163828699.unknown _1163829382.unknown _1163829413.unknown _1163829025.unknown _1163829361.unknown _1163828941.unknown _1163828955.unknown _1163828318.unknown _1163828448.unknown _1163828295.unknown _1163827694.unknown _1163827764.unknown _1163827802.unknown _1163827728.unknown _1163827568.unknown _1163827610.unknown _1163827524.unknown _1163827503.unknown _1163827083.unknown _1163827435.unknown _1163827463.unknown _1163827268.unknown _1163827399.unknown _1163827427.unknown _1163827213.unknown _1163826852.unknown _1163826946.unknown _1163826838.unknown _1163826286.unknown _1163826625.unknown _1163826706.unknown _1163826801.unknown _1163826652.unknown _1163826381.unknown _1163826521.unknown _1163826323.unknown _1163826148.unknown _1163826190.unknown _1163826260.unknown _1163826164.unknown _1163826035.unknown _1163826116.unknown _1163826011.unknown _1163780554.unknown _1163781041.unknown _1163825735.unknown _1163825817.unknown _1163825847.unknown _1163825762.unknown _1163781191.unknown _1163781401.unknown _1163781105.unknown _1163780822.unknown _1163780846.unknown _1163780865.unknown _1163780670.unknown _1163780710.unknown _1163780805.unknown _1163780586.unknown _1163780532.unknown _1163768177.unknown _1163771145.unknown _1163779839.unknown _1163780224.unknown _1163780289.unknown _1163780399.unknown _1163780254.unknown _1163780074.unknown _1163780161.unknown _1163779866.unknown _1163772178.unknown _1163772546.unknown _1163772771.unknown _1163772195.unknown _1163771287.unknown _1163772118.unknown _1163771261.unknown _1163768843.unknown _1163769290.unknown _1163771084.unknown _1163771128.unknown _1163771030.unknown _1163769130.unknown _1163769179.unknown _1163769036.unknown _1163768304.unknown _1163768720.unknown _1163768822.unknown _1163768521.unknown _1163768682.unknown _1163768294.unknown _1163766988.unknown _1163767561.unknown _1163767728.unknown _1163768100.unknown _1163768124.unknown _1163768019.unknown _1163767570.unknown _1163767703.unknown _1163767256.unknown _1163767352.unknown _1163767414.unknown _1163767460.unknown _1163767201.unknown _1163767060.unknown _1163767146.unknown _1163767014.unknown _1163766116.unknown _1163766701.unknown _1163766945.unknown _1163766973.unknown _1163766839.unknown _1163766173.unknown _1163766656.unknown _1163766153.unknown _1163765829.unknown _1163765922.unknown _1163765947.unknown _1163765882.unknown _1163765815.unknown