08年数学高考题08年数学高考题2008福建数学高考题理科

中国教育在线高考频道 http://gaokao.eol.cn 2008年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 数 学（理科） 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第2至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A·B)=P(A)+P(B) 第一卷（选择题60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ⑴若复数 是纯虚数，则实数 的值为（ ） A）1 B）2 C）1或2 D）-1 ⑵设集合 ， ，那么“ ”是“ ”的（ ） A）充分而不必要条件 B）必要而不充分条件 C）充要条件 D）既不充分也不必要条件 ⑶设 是公比为正数的等比数列，若 ，则数列 的前7项的和为（ ） A）63 B）64 C）127 D）128 ⑷函数 ，若 ，则 的值为（ ） A）3 B）0 C）-1 D）-2 ⑸某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为 ，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ） A） B） C） D） ⑹如图，在长方体 中， ， 则 与平面 所成角的正弦值为（ ） A） B） C） A） ⑺某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 种数为（ ） A）14 B）24 C）28 D）48 ⑻若实数 ，则 的取值范围是（ ） A） B） C） D） ⑼函数 的图象按向量 平移后，得到函数 的图象，则 的值可以为（ ） A） B） C） D） ⑽在 中，角A、B、C的对边分别为 、 、 ，若 ，则角B的值为（ ） A） B） C） 或 D） 或 ⑾双曲线 的两个焦点为 、 ，若P为其上一点，且 ，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A） B） C） D） ⑿已知函数 的导函数的图象如右图， 那么 的图象可能是（ ） 第二卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 填在答题卡的相应位置。 ⒀若 ，则 。（用数字作答） ⒁若直线 与圆 ( 为参数)没有公共点，则实数 的取值范围是 。 ⒂若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是 。 ⒃设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 、 ，都有 、 、 、 （除数 ），则称P是一个数域。例如有理数集Q是数域；数集 也是数域。有下列命题： ①整数集是数域； ②若有理数集 ，则数集 必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域。 其中正确的命题的序号是 。（把你认为正确的命题的序号都填上） 三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 过程或演算步骤。 (17)（本小题满分12分） 已知向量 ， ， ，且A为锐角。 (Ⅰ)求角A的大小； (Ⅱ)求函数 的值域。 (18)（本小题满分12分） 如图，在四棱锥 中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD= ，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD， ， ，O为AD中点。 (Ⅰ)求证： 平面 ； (Ⅱ)求异面直线 与 所成角的大小； (Ⅲ)线段 上是否存在点 ，使得它到平面 的距离为 ？ 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。 (19)（本小题满分12分） 已知函数 (Ⅰ)设 是正数组成的数列，前 项和为 ，其中 ，若点 在函数 的图象上，求证：点 也在 的图象上； (Ⅱ)求函数 在区间 内的极值。 (20)（本小题满分12分） 某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为 ，科目B每次考试成绩合格的概率均为 。假设各次考试成绩合格与否均互不影响。 (Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率； (Ⅱ)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学 期望Eξ。 (21) （本小题满分12分） 如图，椭圆 的一个焦点是 ，O为坐标原点。 (Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形， 求椭圆的方程； (Ⅱ)设过点F的直线 交椭圆于A、B两点。若直线 绕点F 任意转动，恒有 ，求 的取值范围。 (22) （本小题满分14分） 已知函数 。 (Ⅰ)求 的单调区间； (Ⅱ)记 在区间 上的最小值为 ，令 。 (ⅰ)如果对一切 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围； (ⅱ)求证： 。 数学试题（理工农医类）参考答案 一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分60分. （1）B 由 得 ,且 EMBED Equation.DSMT4 （2）A 由 得 ,可知“ ”是“ ”的充分而不必要条件. （3）C 由 及 是公比为正数的等比数列，得公比 （4）B 注意到 为奇函数，又 故 即 . （5）B 由 （6）D 连 与 交与O点,再连BO,则 为所成角,下面就是计算了. （7）A 只少一名女生可用间接法即 。 （8）C 可看做可行域中的点与原点构成直线的低斜率. （9）A ,而f(x)=cosx (x R)的图象按向量(m,0) 平移后得到 ,所以 ,故 可以为 . （10）D 由 得 即 ,又在△中所以B为 或 . （11）B 可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a与c的关系 （12）D 从导函数的图象可知两个函数在 处斜率相同,可以排除B答案,再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小,可明显看出y=f(x)的导函数的值在减小,所以原函数应该斜率慢慢变小,排除AC,最后就只有答案D了,可以验证y=g(x). 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分16分. （13）31 令 ,再令 （14） 此圆的圆心为(-1.2),因为要没有公共点,所以根据圆心到直线的距离大于半径即可;或者可以联立方程根据二次函数的 . （15）9 依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径. , （16）③④ 要满足对四种运算的封闭,只有一个个来检验，如①对除法如 不满足，所以排除；对②当M中多一个元素 则会出现 所以它也不是一个数域；③④成立. 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.满分12分. 解:(Ⅰ)由题意得 由A为锐角得 , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,所以 因为 ,所以 ,因此,当 时, 有最大值 , 当 时, 有最小值-3,所以所求函数 的值域是 (18)本小题主要考查直线与平面位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分12分。 　　　 　　　解法一： 　　（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD, 又侧面PAD⊥底面ABCD,平面 平面ABCD=AD, 平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD. （Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC, 有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形， 所以OB∥DC. 由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角， 所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角. 因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1, 所以OB＝ ， 在Rt△POA中，因为AP＝ ，AO＝1，所以OP＝1， 在Rt△PBO中，tan∠PBO＝ 所以异面直线PB与CD所成的角是 . （Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为 . 　　　设 ，则 ，由（Ⅱ）得CD=OB= ， 　　　在Rt△POC中， 所以PC=CD=DP, 由Vp-DQC=VQ-PCD,得 2，所以存在点Q满足题意，此时 . 解法二： (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)以O为坐标原点， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系 ,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0), P(0,0,1), 所以 所以异面直线PB与CD所成的角是 ， (Ⅲ)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为 ， 由(Ⅱ)知 设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0). 则 所以 即 ， 取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1). 设 由 ，得 解y=- 或y= (舍去)， 此时 ，所以存在点Q满足题意，此时 . (19)本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分. (Ⅰ)证明：因为 所以 , 由点 在函数y=f′(x)的图象上, 又 所以 所以 ,又因为 ,所以 , 故点 也在函数y=f′(x)的图象上. (Ⅱ)解: , 由 得 . 当x变化时, ﹑ 的变化情况如下表: x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 注意到 ,从而 ①当 ,此时 无极小值； ②当 的极小值为 ,此时 无极大值； ③当 既无极大值又无极小值. (20)本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题/解愉问题的能力.满分12分. 解:设“科目A第一次考试合格”为事件A，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B，“科目B补考合格”为事件B. (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立， 则 . 答：该考生不需要补考就获得证书的概率为 . (Ⅱ)由已知得， ＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 故 答：该考生参加考试次数的数学期望为 . (21)本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分. 解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点， 因为△MNF为正三角形， 所以 , 即1＝ 因此，椭圆方程为 (Ⅱ)设 (ⅰ)当直线 AB与x轴重合时， (ⅱ)当直线AB不与x轴重合时， 设直线AB的方程为： 整理得 所以 因为恒有 ，所以 AOB恒为钝角. 即 恒成立. 又 ,所以 对m R恒成立， 即 对m R恒成立. 当m R时， 最小值为0，所以 . , 因为a>0,b>0,所以 ,即 , 解得a> 或a< (舍去)，即a> , 综合（i）(ii)，a的取值范围为（ ，+ ）. 解法二： （Ⅰ）同解法一， （Ⅱ）解：（i）当直线l垂直于x轴时， x=1代入 =1. 因为恒有 , ，即 >1, 解得a> 或a< (舍去)，即a> . （ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）, B（x2,y2）. 设直线AB的方程为y=k(x-1)代入 得 , 故x1+x2= 因为恒有 , 所以 , 得 恒成立. = . 由题意得 对k R恒成立. ①当 时，不合题意； ②当 时，a= ; ③当 时，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0，a4- 3a2 +1>0, 解得a2> 或a2> （舍去），a> ，因此a EMBED Equation.DSMT4 . 综合（i）（ii），a的取值范围为（ ，+ ）. （22）本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分14分. 解法一： （I）因为 ，所以函数定义域为（-1,+ ）,且 . 由 得-10，f(x)的单调递增区间为（0，+ ）. (II)因为f(x)在[0,n]上是减函数，所以 , 则an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n. (i) EMBED Equation.DSMT4 > 又lim , 因此c<1，即实数c的取值范围是（- ，1）. （II）由（i）知 因为[ ]2 = 所以 ＜ (n N*), 则 ＜ N*） 解法二： （Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）因为f(x)在 上是减函数，所以 　　　则 （i）因为 对n∈N*恒成立.所以 对n∈N*恒成立. 　　则 对n∈N*恒成立. 　　设 n∈N*，则c＜g(n)对n∈N*恒成立. 　　考虑 　　因为 ＝0， 　　所以 内是减函数；则当n∈N*时，g(n)随n的增大而减小， 又因为 ＝1. 所以对一切 因此c≤1,即实数c的取值范围是(-∞，1]. (ⅱ) 由(ⅰ)知 下面用数学归纳法证明不等式 ①当n=1时，左边＝ ，右边＝ ，左边<右边.不等式成立. ②假设当n=k时,不等式成立.即 当n=k+1时， = 即n＝k＋1时，不等式成立 综合①、②得，不等式 成立. 所以 即 . PAGE 1 _1274472060.unknown _1274476317.unknown _1274809143.unknown _1274851525.unknown _1274852188.unknown _1274852605.unknown _1274853253.unknown _1274854174.unknown _1275825970.unknown _1275826032.unknown _1275826153.unknown _1275825998.unknown _1274854328.unknown _1274854407.unknown _1274853443.unknown _1274853552.unknown _1274853444.unknown _1274853386.unknown _1274853405.unknown _1274853288.unknown _1274853109.unknown _1274853222.unknown _1274853236.unknown _1274853140.unknown _1274852756.unknown _1274852959.unknown _1274853072.unknown _1274852868.unknown _1274852721.unknown _1274852383.unknown _1274852428.unknown _1274852504.unknown _1274852397.unknown _1274852269.unknown _1274852291.unknown _1274852248.unknown _1274851766.unknown _1274851942.unknown _1274852090.unknown _1274852124.unknown _1274852002.unknown _1274851851.unknown _1274851882.unknown _1274851804.unknown _1274851583.unknown _1274851703.unknown _1274851731.unknown _1274851601.unknown _1274851546.unknown _1274851568.unknown _1274851555.unknown _1274851537.unknown _1274811323.unknown _1274812005.unknown _1274813747.unknown _1274851478.unknown _1274851514.unknown _1274851455.unknown _1274813814.unknown _1274813052.unknown _1274813641.unknown _1274812031.unknown _1274811860.unknown _1274811918.unknown _1274811343.unknown _1274810006.unknown _1274811215.unknown _1274811248.unknown _1274811069.unknown _1274809952.unknown _1274809969.unknown _1274809444.unknown _1274800744.unknown _1274801038.unknown _1274807303.unknown _1274807542.unknown _1274808971.unknown _1274809033.unknown _1274809068.unknown _1274809006.unknown _1274807549.unknown _1274807332.unknown _1274801072.unknown _1274807189.unknown _1274807253.unknown _1274801102.unknown _1274801160.unknown _1274801098.unknown _1274801056.unknown _1274800924.unknown _1274800966.unknown _1274800990.unknown _1274800946.unknown _1274800780.unknown _1274800818.unknown _1274800758.unknown _1274478765.unknown _1274794518.unknown _1274795015.unknown _1274795045.unknown _1274794886.unknown _1274794279.unknown _1274794294.unknown _1274479835.unknown _1274477508.unknown _1274477823.unknown _1274477918.unknown _1274478033.unknown _1274478063.unknown _1274477997.unknown _1274477851.unknown _1274477727.unknown _1274477807.unknown _1274477693.unknown _1274476429.unknown _1274476471.unknown _1274476362.unknown _1274473760.unknown _1274475140.unknown _1274475619.unknown _1274476105.unknown _1274476129.unknown _1274475653.unknown _1274475210.unknown _1274475288.unknown _1274475187.unknown _1274474929.unknown _1274474971.unknown _1274475001.unknown _1274474948.unknown _1274474152.unknown _1274474816.unknown _1274474123.unknown _1274472426.unknown _1274473168.unknown _1274473304.unknown _1274473457.unknown _1274473284.unknown _1274472724.unknown _1274472755.unknown _1274472601.unknown _1274472333.unknown _1274472365.unknown _1274472394.unknown _1274472351.unknown _1274472297.unknown _1274472304.unknown _1274472210.unknown _1274466522.unknown _1274466934.unknown _1274467522.unknown _1274471855.unknown _1274471968.unknown _1274471993.unknown _1274471904.unknown _1274467646.unknown _1274471768.unknown _1274467566.unknown _1274467212.unknown _1274467491.unknown _1274467507.unknown _1274467478.unknown _1274467139.unknown _1274467160.unknown _1274466980.unknown _1274466753.unknown _1274466880.unknown _1274466908.unknown _1274466920.unknown _1274466894.unknown _1274466777.unknown _1274466868.unknown _1274466761.unknown _1274466643.unknown _1274466693.unknown _1274466744.unknown _1274466671.unknown _1274466602.unknown _1274466625.unknown _1274466564.unknown _1274465065.unknown _1274466204.unknown _1274466361.unknown _1274466448.unknown _1274466490.unknown _1274466403.unknown _1274466312.unknown _1274466344.unknown _1274466262.unknown _1274465827.unknown _1274465882.unknown _1274465902.unknown _1274465855.unknown _1274465736.unknown _1274465759.unknown _1274465113.unknown _1274464587.unknown _1274464930.unknown _1274464989.unknown _1274465015.unknown _1274464969.unknown _1274464662.unknown _1274464800.unknown _1274464638.unknown _1274464074.unknown _1274464279.unknown _1274464407.unknown _1274464105.unknown _1274464235.unknown _1274464005.unknown _1274464039.unknown _1274463780.unknown