数学建模读书报告

数学建模读书报告 ------读《数学中的美》（吴振奎、吴旻 著） 五月中旬我阅读了吴振奎、吴旻两位先生所著的《数学中的美》一书，书中从简洁、和谐、奇异三个方面记述了数学的各个分支中的美。书中包含了从初等数学到高等数学的各方面知识。此书从哲学范畴出发，配以数学实例去解释数学潜在规律，探索运用美学原理指导数学创造、发现的途径，这对数学的教、学、研究均有裨益；另外，通过数学美学的研究，也就是对美学乃至哲学自身的一种丰富。此书中的数学思路新颖独特，读了之后对我的思维拓展极有裨益。其中很多内容对学习数学建模，领悟数学思想很有帮助。现录读书笔记如下，作为《数学建模》课程的结业作业。 引言 数学，如果正确的看，不但拥有真理，而且也具有至高的美。 ------罗素 最有益的即是最美的 ------苏格拉底 数学能促进人们对美的特性：数值、比例、秩序等的认识。 ------亚里士多德 人们对美认识的几种模式： （1） 美是绝对观念在具体事物和现象中的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现或体现； （2） 美是有意向的，从主观上认识事物的结果； （3） 美是生活的本质同作为美的尺度的人相比，或者同他的事迹需要、同他的理想和关于美好生活观念相比较的结果； （4） 美是自然现象的自然属性. 美的基本类别(客观来源)有二:自然美和社会美. 美的社会形态也有二:艺术美和科学美(更确切的是科技美).艺术美是艺术家通过艺术形象再现生活中的美;科学美主要指理论美,其内涵是指结构美和 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 美. 黄金分割的问题:: 1) 五角星里 2) 建筑业 3) 人体的黄金比例,人的肚脐是人体长的黄金分割点,而膝盖是人体肚脐以下部分的黄金分割点 叶子在茎上的排布是呈螺旋状的,相邻的两片在与茎垂直的平面上的投影夹角是137度28分. 犹太民族是个善于经营和智慧的民族,他们的经济学家巴特莱(Pateler)在总结事物祝辞时提出:正方形内切圆面积与正方形除去其内切圆后剩下的部分(四个角)面积比为78:22称为宇宙大法则. 空气中的氮与氧之比为78:22:人的十个指头中利用率最高的只有两个:拇指与食指。人身体成分中水分与其它物质的比为78:22. 任何特定的群体中,重要的因子通常只占少数,而不重要的因子则往往占少数. 曾有人问科学大师爱因斯坦(A.Einstein):何谓世界第八奇迹?爱因斯坦答道:符合成长.这个概念在经济活动中体现为”72法则”.在衡量收益公式中常数72是一个奇妙的数字: 资本增加一倍的年数=72÷预期投资报酬率 或 投资报酬率=72÷资本增加一年所需年数. 美女的数量化标准: (1) 眼睛的宽度占眼睛所在面部位置的3/10; (2) 下巴长度占脸长的1/5; (3) 从眼珠到眼眉的距离是脸长的1/10; (4) 从正面端详,眼珠竖长占脸长的1/14; (5) 鼻部面积占脸整个面积的5%以下; (6) 嘴站嘴所在脸部宽度的50%. 数学美的特征是什么? 概括起来讲有简洁性、和谐性和奇异性.具体地有: 简洁性:符号美,抽象美,统一美; 和谐美:和谐美,对称美,形式美; 奇异美:奇异美,有限美,神秘美(朦胧美),常数每. 1、 数学的简洁性 数学简化了思维过程并使之更可靠. ------弗赖伊(T.C.Fry) 算学中所谓美的问题,是指一个难以解决的问题;而所谓美的解答,这是指对于困难和复杂问题的简单回答. ------狄德罗 宇宙之大、粒子之微、火箭之速、画工之巧、地球质变、生物之谜。日用之繁、……无不可用数学表述. ------华罗庚 数学是上帝用来书写宇宙的文字. ------伽利略 数学中人们对于简洁的追求是永无止境的:建立公理体系人们试图找出最少的几条(摒弃任何多余的赘物);命题的证明人们力求严谨、简练(因而人们对某些命题证明不断地在改进);计算方法尽量便捷、明快(因而人们不断地在探索计算方法的创新);……数学拒绝繁冗. 数学的简洁性在人们生活中屡见不鲜: 钱币种类只须有一分、贰分、伍分、一角、二角、五角、医院、二元、五元、十元、……，就可以简单的致富任何数目的款项. 1. 符号美 数学也是一种语言,且是现存的结构与内容的结构与内容方面最完美的语言.……可以说,自然用这个语言讲话;造世主已用它说过话,而世界的保护者继续用它讲话. ------C·戴尔曼 古代数学的漫长历程、今日数学的飞速发展；17世纪、18世纪欧洲数学的兴起、我国近千年数学发展的缓慢，这些在某种程度上也都归咎于数学符号的运用得是否得当，简练、方便的数学符号对于书写、运算、推理来讲，都是何等方便! 我们还指出一点: 数学符号的产生也对数学发展的背景有着致密的联系,同一概念开始往往运用不同的符号表示,人们在使用过程中不断对其进行鉴别已确定优势(实用性、方便性、简洁性等)------这里面也蕴含一个审美的过程. 著名的”六人相识问题”(拉姆塞(Ramsey)定理的特征): 任何6个人中必可从中找出3人,使得他们要么彼此都相识,要么彼此都不相识. 2. 抽象美 就其本质而言,数学使抽象的;世纪上他的抽象比逻辑的抽象更高一阶. ------G.Chrystal 自然几乎不可能不对数学推理的美抱有偏爱. ------C.N.杨 数学虽不是研究现实事物的质,但任意事物必有量和形,,这样两种事物如有相同的量和形,便可用相同的数学方法,因而数学必然也必须抽象. 物理、化学、工程乃至许多科学技术领域中的基本原理,都是用数学语言表达的.万有引力的思想、历史上早就有之，但只有当牛顿用精确的数学公式表达时，才成为科学中最重要、最著名的万有引力定律.爱因斯坦的广义相对论的产生与表达,也得益于黎曼(Rimann)几何所提供的数学框架和手段. 抽象的两种含义: (1) 我们不容易想到(或意想不到)的; (2) 我们无法体验到(或与现实脱节)的. 十七世纪，德国传教士鲍威特（J.Bouvet）从中国将《易经》和两幅术士们绘制的“易图”，带给了德国大数学家莱布尼茨，引起了莱布尼茨极大的兴趣.从而发明了二进制. 1924年巴拿赫(S.Banach)和塔斯基(A.Tarski)证明了: 三维空间中任何两个几何体(从集合论的观点看)都组成相等(Banach—Tarski悖论). 数学的抽象美害在于它可以无矛盾的按照严格数学推理,得到一些我们无论如何也无法想象的,或者是在现实空间认为是不可能的事实. 3、统一美 天得一以清,地得一以宁,万物得一以生. ------古代道家语 数学科学史统一的一体,其组织的活力依赖于其各部分之间的联系. ------D.西尔伯特 世界的统一在于它的物质性.宇宙的统一性表现在为宇宙的统一美.因而能解释宇宙统一的理论,即被认为是美的科学理论. 比大格拉斯认为宇宙统一于”数”;狄摩克利特(Demokritos)认为宇宙统一于原子;柏拉图(Plato)认为宇宙统一于理念世界;中国古人认为宇宙通过阴阳五行,统一于太一;笛卡尔认为宇宙统一于以太…… 统一也是数学内涵的一个特征,古往今来人们一直都在探索它,并试图找到统一它们的办法. 笛卡尔通过解析几何(即坐标方法)把几何学、代数学、逻辑学统一起来； 高斯从曲率的观点把欧几里得几何、罗巴契夫斯基几何和黎曼（G.F.B.Riemann）几何统一起来了； 克莱因（C.F.Klein）用变换群的观点统一了19世纪发展起来的各种几何学（该理论认为：不同的几何只不过是在相应的变换群下的一种不变量）； 拓扑学在分析学、代数学、几何学中的渗透,特别是在微分几何种种空间,产生了所谓拓扑空间的统一流形; 统一也是数学家们永远追求的目标之一. 数学中的联系绝非是一种巧合,而这恰恰反映了数学的本质. 布尔巴基(这是一大批优秀数学家组成的一个数学团体)的《数学原理》是迄今为止的全部数学,且使之趋于统一的大胆、优秀尝试. 布尔巴基抽象出三种最基本的结构模型: 代数结构:可以通过合成规则定义,反映集合中元素间的运算关系; 序结构:由次序先后关系形成的结构; 拓扑结构:给空间提供一个抽象的数字表示,反映集合各元素间亲疏关系. 数学需要统一,而统一由历来为数学家们梦寐以求（对于其他学科也是如此）. 数学中的巧合很多:比如e与π这两个看上去似乎风马牛不相及的常数（超越数）的表达式中,有很多令人不解的数字现象 位数 1 2 3 4 5 … 13 … 17 18 … 21 … 34 … π 3 1 4 1 5 … 9 … 2 3 … 6 … 2 … e 2 7 1 8 2 … 9 … 2 3 … 6 … 2 … .e和π的十进制小数中,平均每个十位,发现一次重合.另外π中会出现27 132,而e中又会有31 415等数字排列. 圆锥曲线与物理或航天学中的三个宇宙速度问题有关:当物体运动分别达到该速度时,它们的轨迹便是相应的原准曲线(大自然同大数学家一样,总是以通等重要性把理论与应用统一起来): 速 度 第一宇宙速度 第二宇宙速度 第三宇宙速度 轨 道 椭 圆 抛 物 线 双 曲 线 我们还知道:三种几何学(欧几里得几何、罗巴切夫斯基几何、黎曼几何)可以在高斯曲率的观点下统一成一种几何的三种不同情形. 几何体系 平行公理 三角形内角和 空间类型 曲率k 欧几里得几何 过直线外一点最多可作一条直线与已知直线平行 =180度 平面 =0 罗巴切布斯基几何 过直线外一点至少可以做两条直线与已知直线不相交 <180度 双曲线 <0 黎曼几何 任何两条直线有唯一交点 >180度 椭圆 >0 2、 数学美的和谐 所谓＂数学的和谐＂不仅是宇宙的特点,原子的特点,也是生命的特点,人的特点. ------高尔基 数学构造了人类智慧的最壮丽的纪念碑。 ------T.Thomson 宇宙概念常常在哲学家脑子里被表现为和谐------因为宇宙是和谐的.艺术的和谐人们可以”感觉到”,数学以致科学的和谐人们同样可以”感觉”,有时甚至是直觉. 1. 和谐美 我指的是本质的美,它来自自然各部分的和谐的秩序,并且纯智力都能够领悟它. ------庞加莱 数学的许多”艺术形式”是由精致的、”无噪声的”结果所组成的. ------R.W.哈明 美是和谐的.和谐性也是数学美的特征之一.和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性. 德国数学家康托尔创立了”集合论”,这是现代数学的基础,也是现代数学诞生的标志. 1902年,英国数理逻辑学家罗素在《数学原理》中提出一个足以说明”集合论本身是自相矛盾的”例子------罗素悖论: 试把集合分成两类:自己为自己元素者为甲类;自己不是自己元素者为乙类. 这样,一个集合要么属于甲,要么属于乙,二者必居其一,且仅居其一. 试问:乙类集合的全体属于哪一类? 若乙属于甲,,由甲的定义则有乙属于乙,这和乙属于甲矛盾;若乙属于乙,则仍以甲的定义应该有乙属于甲也矛盾. 由于哲学观点不同,由此便产生了数学的几大派: 逻辑主义学派(代表者罗素、怀德海等)； 直觉主义学派(代表人物科罗内可(L.Kronecker)等); 形式主义学派(代表人物希尔伯特等). 人们意识到:如果说化学、物理学与生物学的结合,打开了生物学的大门的话,那么数学与物理学的结合将揭开微宏观世界的奥秘. 2. 对称美 对称是一个广阔的主题,在艺术和自然两方面都意义重大.数学则是他的根本. ------H.Weyl 虽然数学没有明显地提到善和美,但善和美也不能和数学完全分离.因为美德主要形式就是秩序、匀称和确定性,这些正是数学所研究的原则. ------亚里士多德 自古以来,人们就已经讨论”对称原理”之一------左和右之间的对称.物理学定律一直显示左右之间完全对称.这种对称在"量子力学”中可以形成一种守恒定律,即宇称守恒,他和左右对称原理完全相同. 英美几位物理学家日前提出的关于宇宙起源的新学说一鸣惊人:在五维空间按中存在我们的宇宙和另外一个”隐藏’的宇宙(对称的宇宙). 新理论是由美国普林斯顿大学、宾夕法尼亚大学和英国剑桥大学的物理学家们共同提出的.它们认为,我们宇宙和一个隐藏的宇宙共同镶嵌在五维空间中.在我们的宇宙早期,这两个宇宙发生了一次相撞事故,相撞产生的能量生成了我们宇宙中的物质和能量. 3. 形式美 只有音乐堪与数学媲美. ------A.H.怀德海 在形式数学中,每一步骤或为允许的,或为不正确的. ------J.W.图恩 毕达哥拉斯学派及其崇拜者还研究了多角数的美妙性质,比如他们发现: 每个死角数是两个相继三角数之和; 第n-1个三角数与第n个k角数之和为第n个k+1角数; ……………… 17世纪初,法国业余数学家费马在研究多角性质是提出猜想: 每个正整数均可至多用三个三角数和、四个四角数和、……、k个k角数和表示. 我们再来看看”幻方大王”弗里安逊(Frianson)制作的九阶幻方,堪称一绝: 其性质: (1) 虚线框出的带圆圈的25个数字,恰好构成一个五阶幻方(幻和值为205); (2) 虚线框中没有圆圈上的数字恰好构成一个四阶幻方(幻和值为164); 42 58 68 64 1 8 44 34 50 2 66 54 45 11 77 78 26 10 12 6 79 53 21 69 63 46 20 52 7 35 23 31 39 67 55 60 73 65 57 49 41 33 25 17 9 22 27 15 43 51 59 47 75 30 62 36 19 13 61 29 3 76 70 72 56 4 5 71 37 28 16 80 32 48 38 74 81 18 14 24 40 (3) 虚线框内数字(包括边界上的数字)全为奇数;框外数字全部为偶数; (4) 幻方中奇数的末位数字与水平轴线对称;偶数的末位数字业余水平轴线对称. 3、 数学美的奇异性 美在于奇特而令人惊异. ------培根 逻辑是贫乏的,而数学是最多产的母亲. ------Anonymous 奇异性是数学美的一个重要特性.奇异性包括两个方面内容:一是奇妙,二是变异. 数学中不少结论巧妙无比,令人赞叹,正是因为这一点数学才有无穷的魅力. 1. 奇异美 在绘画与数学中,美又客观标准.画家讲究结构、线条、造型、肌理,而数学家则讲究真实、正确、新奇、普遍、…… ------哈尔摩斯 审美趣味和数学趣味是一致或相同. ------贝尔 数学中有许多变异现象,它们往往与人们预期的结果相反(有些则是人们没有认清而作出的错误判断,有些则是有悖于通常认识的结论),令人失望之余,也给了人们探索它们的动力(这是人类与生俱来的冲动所致). 年轻的挪威数学家阿贝尔(N.H.Abel)证明了: 一般五次和五次以上代数方程的结不能用公式给出. 2. 有限美 十进制技术的发明恐怕是科学史上最重要的成就. ------H.Lebesque 科学需要一种能够简练地、合乎逻辑地表达的语言，这种语言便是数学…… ------阿尔芬 自然的终极秘密是用一种我们还不能阅读的语言书写，数学为这种原文提供了注释。 ------O.G.Sutton 世界是无限的,宇宙是无限的,数学血液是无限的. 唯一性在数学上有时是很重要的.比如整数的质因数分解,为了保证分解时的唯一性,人们不得不牺牲1这个按照定义原本属于质数的数,结果是: 1既不是质数,也不是合数. 这样一来,便保证了整数的质因数分解或表成质因数乘积时唯一. 3. 神秘每(朦胧美) 数学和诗歌都具有永恒的性质. ------R.D.Carmichael 哪里有数,哪里就有美. ------Proclus 数学关注抽象,却闭口不谈时空宇宙. ------O.G.Sutton 数学中有许多新奇、巧妙而又神秘的东西吸引着人们,这是数学的趣味魅力所在，它们“像甜蜜的笛声诱惑了如此众多的‘老鼠’，跳进了数学的深河”. 《说文》中对数的解释如下: 一,性初太始,道立于一,造分天地,化成万物; 二,地之数也; 三,天、地、人之道也； 四,阴数也; 五,五行也; 六,《易》之数也; ……………… 诗,以其简练的语言,深邃的意境,给人以无穷的遐想.古人还以文字为游戏:如《晚秋即景》 正念 反念 烟霞映水碧迢迢 暮色求生一雁遥 前岑落辉残晚照 边城古树冷萧萧 萧萧冷树古城边 晚照残辉落岑前 遥雁一声秋色暮 迢迢碧水映霞烟 有趣的是数学中也有回文质数，所谓回文质数就是指某数为质数，而该数的各数字倒过来写也是质数. 卡特(Card)经计算发现:回文质数与无重回文质数个数如下表: 位数 两位 三位 四位 五位 …… “对”数 4 13 102 684 …… 4. 常数美 大哉言数. ------姬昌 整数的简单构成,若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉. ------G.D.Birkhoff 数学中的某些常数,有着特殊魅力(因而也蕴藏着含着美感),比如黄金数0.618…、斐波那契级数、圆周率π、自然对数的底e、欧拉常数γ、肺根鲍姆(M.Feigenbaum)数4.669 201 609…、物理中的大树、……等等,它们不仅自身有着美妙的性质,还常常出现某些自然现象之中. 狄拉克提出大数猜想: 引力常数与宇宙年龄成反比. 这种自然界告知我们的美妙信息(以数的形式告知),也许是宇宙永恒每得特征,它也奠定了粒子物理中大统一的理论基础. 4、 美的扭曲 数学并不应当纯粹建立在无矛盾性这一点上. ------布尔巴基 不美的数学是不允许继续存在的. ------C.A.柯尔松 康德关于美的命题是:美并不等于完善. 数学有着无比的功力,但有时又是软弱的.比如,人们想要用数学描述某些貌似简单的问题,往往反而非常困难.一些看来或许并不难解决的问题,往往会使人索求几个、甚至几十个世纪,比如费马大定理稽核难题的解决就是如此. 5、 数学美学研究的意义 任何科学领域都有美存在,只要你能用心挖掘到它的美,你就有可能攀登科学顶峰. ------杨振宁 数学的无穷无尽的诱人之处在于,它里面最棘手的悖论也能盛开出魅力的理论之花. ------P.J.戴维 数学是创造的艺术,因为数学创造了美好的新概念,数学家们像艺术家们一样地生活,一样的工作,一样地思索. ------哈尔摩斯 06304216 刘富华 2006-5-28 数学建模读书笔记 读《数学中的美》 吴振奎、吴旻著 教师：奚先 学号：002004102920 班学号：06304216 姓名：刘富华 2006-5-28