考研数学历年真题赛尔水木9999数2

1999年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学二试题详解及评析 一、填空题 （1） 曲线 在点 处的法线方程为 . 【答】 【详解】 根据参数方程的求导公式，有 与 对应 ， 故 ，从而在点 处的法线的斜率为-2，法线方程为 即 （2）设函数 由方程 确定，则 . 【答】 1. 【详解】 方程两边同时对 求导，视 为 的函数，得 由原方程知， 时 ，代入上式，得 （3） . 【答】 【详解】 （4）函数 在区间 上平均值为 . 【答】 【详解】 函数 在区间 上平均值为 （5）微分方程 得通解为 . 【答】 . 【详解】 特征方程为： 解得 故 的通解为 由于非齐次项为 ， 为特征方程的单根， 因此原方程的特解可设为 ，代入原方程，得 故所求通解为 二、选择题 （1）设 其中 是有界函数，则 在 处 （A）极限不存在. （B）极限存在，但不连续 （C）连续，但不可导 （D）可导. 【 】 【答】 应选（D） 【详解】 因为 可见， 在 处左、右导数相等，因此， 在 处可导， 故正确选项为(D). （2）设 则当 时， 是 的 （A）高阶无穷小； （B）低阶无穷小； （C）同阶但不等价的无穷小； （D）等价无穷小. 【 】 【答】 应选（C） 【详解】 因为 故 是 的同阶但不等价的无穷小. 因此正确选项为（C）. （3）设 是连续函数， 是其原函数，则 （A） 当 是奇函数时， 必是偶函数. （B） 当 是偶函数时， 必是奇函数. （C） 当 是周期函数时， 必是周期函数. （D） 当 是单调增函数时， 必是单调增函数. 【 】 【答】 应选（A） 【详解】 的原函数 可以表示为 于是 当 为奇函数时， ，从而有 即 为偶函数. 故（A）为正确选项.至于（B）、（C）、（D）可分别举反例如下： 是偶函数，但其原函数 不是奇函数，可排除（B）； 是周期函数，但其原函数 不是周期函数，可排除（C）； 在区间 内是单调增函数，但其原函数 在区间 内非单调增函数，可排除（D）. （4）“对任意给定的 ，总存在正整数 当 时，恒有 ”是数列 收敛于 的 （A）充分条件但非必要条件； （B）必要条件但非充分条件； （C）充分必要条件； （D）既非充分条件又非必要条件； 【 】 【答】 应选（C） 【详解】 由数列 收敛于 “对任意给定的 ，总存在正整数 当 时，恒有 ”，显然可推导处：“对任意给定的 ，总存在正整数 当 时，恒有 ” 反过来，若有“对任意给定的 ，总存在正整数 当 时，恒有 ” 则对任意的 （不访设 ，当时，取一 代替即可），取 ，存在正整数 当 时，恒有，令 ，则满足“对任意给定的 ，总存在正整数 当 时，恒有 可见上述两种说法是等价的，因此正确选项为（C） （5）记行列式 为 ，则方程 的根的个数为 （A）1． （B）2 （C）3. （D）4 【 】 【答】 应选（B） 【详解】 因为 ＝ 三、求 【详解】 原式＝ 四、计算 【详解】 方法一： 原式＝ 方法二： 作变换 则 原式＝ 五、求初值问题 的解 【详解】 原方程可化为 令 上述方程可化为 分离变量，得 解得 将 代回，得 将 代入，得 故初值问题得解为 即 化简得 六、为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30m,抓斗自重400 缆绳每米重500 ，抓斗抓起的污泥重2000 ，提升速度为3m/s,在提升过程中，污泥以20 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？（说明：① EMBED Equation.DSMT4 分别表示米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计） 【详解1】 建立坐标轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功 其中 是克服抓斗自重所作的功； 是克服缆绳重力作的功； 为提出污泥所作的功.由题意知 将抓斗由 处提升到 处，克服缆绳重力所作的功为 从而 在时间间隔 内提升污泥需作功为 将污泥从井底提升至井口共需时间 ，所以 因此，共需作功 【详解2】 作 轴如图所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需作功记为 ，当抓斗运动到 处时，作用力 包括抓斗的自重400 缆绳的重力 ，污泥的重力 ，即 于是 七、已知函数 求 (1) 函数的增减区间及极值； (2) 函数图形的凹凸区间及拐点； (3) 函数图形的渐进线. 【详解】所给函数的定义域为 令 ，得驻点 及 令 0，得 列表讨论如下： 0 3 + 0 + - 0 + - 0 + + + + 拐点 极小值 由此可知： （1）函数的单调增加区间为 和 ；单调减少区间为 ， 极小值为 (2)函数图形在区间 内是（向上）凸的， 在区间 ，内是（向上）凹的，拐点为 （3）由 知 是函数图形的铅直渐进线； 由 又 故 是函数图形的斜渐近线. 八、设函数 在闭区间 上具有三阶连续导数，且 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：在开区间 内至少存在一点 使 【详解】方法一： 在 处，将 按泰勒公式展开，得 其中 介于 与 之间， 分别令 和 ，并结合已知条件，得 两式相减，得 由 的连续性，知 在闭区间 上有最大值和最小值，设它们分别为 ，则有 再由连续函数的介值定理知，至少存在一点 ，使 方法二： 令 ，则 令 则 由罗尔定理，知 使得 又 由罗尔定理， 知 使 再由罗尔定理 ，使 而 ， 而 所以 九、设函数 二阶可导，且 过曲线 上任意一点 作该曲线的切线及 轴的垂线，上述两直线与 轴所围程的三角形的面积记为 区间 上以 为曲边的曲边梯形面积记为 并设 恒为1，求此曲线 的方程. 【详解】 曲线 上点 处的切线方程为 它与 轴的交点为 由于 ， 因此 ，于是有 又 根据题设 有 并且 上述两边对 求导并化简得 这是可降阶的二阶常微分方程， 令 ，则上述方程化为 分离变量，得 解得 即 从而 根据 EMBED Equation.DSMT4 得 故所求曲线的方程为 十、设 是区间 上单调减少且非负的连续函数， 证明数列 的极限存在. 【详解】 由题设可得 所以有 即数列 单调下降， 又 即数列 有下界. 十一、设矩阵 矩阵 满足 其中 是 的伴随矩阵，求矩阵 【详解】 在已知矩阵等式两边同时左乘 得 利用公式 ，上式可化为 即 从而 由于 故 十二、 设向量组 EMBED Equation.DSMT4 （1） 为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量 用 ， ， ， 线性表出； （2） 为何值时，该向量组线详相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组. 【详解】 由于行列式 可见： （1）当 时，向量组 线性无关.此时设 对矩阵 作初等行变换： 解得 ： （2）当 时，向量组 线性相关. 此时向量组的秩为3， （或 ）为其一个极大性无关组. _1192278876.unknown _1193047838.unknown _1193048646.unknown _1193051305.unknown _1193052920.unknown _1193054584.unknown _1193056344.unknown 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