2005年全国硕士研究生入学统一考试理工
数学二试题详解及评析
1、 填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
填在题中横线上)
(1) 设
,则
= ______
【答】
.
【详解】
=
=
(2) 曲线
的斜渐近线方程为______.
【答】
【详解】 因为a=
,
于是所求斜渐近线方程为
(3)
______
【答】
.
【详解】 令
,则
EMBED Equation.3
=
(4)微分方程
满足
的解为______.
【答】
【详解】 原方程等价为
,
于是通解为
=
,
由
得C=0,故所求解为
(5)当
时,
与
是等价无穷小,则k= ______
【答】
.
【详解】
=
=
EMBED Equation.3 ,
得
(6)设
均为3维列向量,记矩阵
,
,
如果
,那么
.
【答】 2
【详解】 由题设,有
=
,
于是有
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)设函数
,则f(x)在
内
(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点.
【 】
【答】 应选(C)
【详解】 先求出f(x)的表达式.
因此,
由
的表达式及它的函数图形可知,
在
处不可导(图形是尖点),其余点
均可导,因此选(C).
(8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,
表示“M的充分必要条件是N”,则必有
(A) F(x)是偶函数
f(x)是奇函数.
(B) F(x)是奇函数
f(x)是偶函数.
(C) F(x)是周期函数
f(x)是周期函数.
(D) F(x)是单调函数
f(x)是单调函数.
【 】
【答】 应选(A)
【详解】 已知,
若
为奇函数
EMBED Equation.DSMT4 为偶函数
EMBED Equation.DSMT4 的全体原函数为偶函数.
又若
为偶函数,则
为奇函数,因此选(A).
(9)设函数y=y(x)由参数方程
确定,则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是
(A)
. (B)
.
(C)
. (D)
.
【 】
【答】 应选(B)
【详解】 当x=3时,有
,得
(舍去,此时y无意义),于是
,
可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为:
,
令y=0, 得其与x轴交点的横坐标为:
,
故应(A).
(10)设区域
,f(x)为D上的正值连续函数,a,b为常数,则
(A)
. (B)
. (C)
. (D)
.
【 】
【答】 应选(D)
【详解】 由轮换对称性,有
EMBED Equation.3
=
=
应选(D).
(11)设函数
, 其中函数
具有二阶导数,
具有一阶导数,则必有
(A)
. (B)
.
(C)
. (D)
.
【 】
【答】 应选(B)
【详解】
,
,
,
,
,
可见有
,应选(B).
(12)设函数
则
(A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.
(B) x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.
(C) x=0是f(x)的第一类间断点,x=1是f(x)的第二类间断点.
(D) x=0是f(x)的第二类间断点,x=1是f(x)的第一类间断点.
【 】
【答】 应选(D)
【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义,因此是间断点.
且
,所以x=0为第二类间断点;
,
,
所以x=1为第一类间断点,故应选(D).
(13)设
是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为
,则
,
线性无关的充分必要条件是
(A)
. (B)
. (C)
. (D)
.
【 】
【答】 应选(B)
【详解】 按特征值特征向量定义,有
,
线性无关
EMBED Equation.3 ,
恒为0
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 恒为0
由于不同特征值的特征向量线性无关,所以
线性无关.
于是
恒为0
而齐次方程组
只有零解
所以应选(B).
(14)设A为n(
)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B,
分别为A,B的伴随矩阵,则
(A) 交换
的第1列与第2列得
. (B) 交换
的第1行与第2行得
.
(C) 交换
的第1列与第2列得
. (D) 交换
的第1行与第2行得
.
【 】
【答】 应选(C)
【详解】 为书写方便,不妨考查A为3阶矩阵,因为A做初等行变换得到B,所以用初等矩阵左乘A得到B,按已知有
于是
从而
.
又因
所以选(C)
三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分11分)
设函数f(x)连续,且
,求极限
【详解】 由于
,
于是
=
=
=
=
(16)(本题满分11分)
如图,
和
分别是
和
的图象,过点(0,1)的曲线
是一单调增函数的图象. 过
上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线
和
. 记
与
所围图形的面积为
;
与
所围图形的面积为
如果总有
,求曲线
的方程
【详解】 (1)先求
与
的表达式.
由定积分的几何意义知
,
,
(2)由题设,
=
即
,
其中
,于是
(3)解方程①:
在①中令y = 1,等式自然成立.
两边对①求导得
,
故所求的函数关系为:
(17)(本题满分11分)
如图,曲线C的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线
与
分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分
【详解】 按题意,直接可知
EMBED Equation.3 (拐点必要条件).从图中可求出
在点(0,0)与(3,2)处的切线分别为
于是
,
现在分部积分法计算积分值:
原式
(18)(本题满分12分)
用变量代换
化简微分方程
,并求其满足
的特解.
【详解】 建立y对t 的导数与y对x 的导数之间的关系.
,
,
代入原方程,得
.
解此微分方程,得
回到x为自变量得
将初始条件
代入,有
.
故满足条件的特解为
(19)(本题满分12分)
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1. 证明:
(I)存在
使得
;
(II)存在两个不同的点
,使得
【详解】 (I) 即证
,则F(x)在[0,1]上连续,
且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知,存在存在
使得
,
即
.
(II) 在
和
上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理,
知存在两个不同的点
,
使得
,
于是
(20)(本题满分10分)
已知函数z=f(x,y) 的全微分
,并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域
上的最大值和最小值.
.【详解】 (1)先求f (x , y).
由
由
(2)求f (x , y)在D内的驻点及相应函数值.
解
得 (x , y) = (0 , 0).
唯一驻点(0 , 0) , f (0 , 0) = 2.
(3) 求 f (x , y) 在D的边界
上的最大值和最小值.
将
EMBED Equation.DSMT4 得
(4)比较函数值.
Z = f (x , y) 在D上的最大值是
最小值是
.
解
(21)(本题满分9分)
计算二重积分
,其中
.
【详解】 在D中,
用圆弧
将D分成两部分,
,
记
,
,
用分块积分法得
=
EMBED Equation.3
=
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
=
+
=
(22)(本题满分9分)
确定常数a,使向量组
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 可由向量组
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 线性表示,但向量组
不能由向量组
线性表示.
【详解】 因为
可由向量组
线性表示,故三个方程组
均有解.对增广矩阵作初等行变换,有
EMBED Equation.3 ,
当a=-2时,
EMBED Equation.3 ,
显然
不能由
线性表示,因此
;
当a=4时,
EMBED Equation.3 ,
显然然
均不能由
线性表示,因此
.
而当
且
时,秩
,此时向量组
可由向量组
线性表示.
又
,
由题设向量组
不能由向量组
线性表示,必有
或
,即a=1或
.
综上所述,满足题设条件的a只能是:a=1.
(23)(本题满分9分)
已知3阶矩阵
的第一行是
不全为零,矩阵
(
为常数),且
求线性方程组
的通解.
【详解1】 由
知
又
,
(1) 若
必有
此时
方程组
的通解是
,其中
为任意实数.
(2)若
则
的通解方程是
且满足
如果
,方程组的通解是
其中
,
为任意实数;
如果
,方程组的通解是
其中
,
为任意实数;
【详解2】 (1)如果
则秩
由
知
因此,
秩
所以
的通解是
其中
,
为任意实数;
(2)如果
则秩
那么,秩
或2.
若
则
的通解是
,其中
为任意实数.
若
对
,设
,
则方程组的通解是
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