高考满分突破之对数单身狗指数找基友

对数单身狗，指数找基友四川朱亮【例1】已知xxxfln)(，若)0(2)(2aaaxxf在),0(x上恒成立，求a的最小值．【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】令aaxxxxF2ln)(2，则axxxF21ln)('，如此研究)(xF最小值有点复杂，为了避免求导后出现lnx可以先“清除”lnx前面的因式，实现“对数单身狗”．【解析】设aaxxxxF2ln2axaxxx2ln，02lnaaxaxxxg， 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 目命题等价于0xg恒成立，即0)(minxg，2221)('axaxaxaxg，①0a时，02)1(aag，不合题意；②0a时，)(xg在a1,0上单调递减，在,1a单调递增，所以01)(minagxg，即03ae．【例2】判断1ln)(xxxxf的零点个数．【解析】xxxxxf2ln)(，令xxxxg2ln)(，则xxxxxxxxxg)1)(12(12121)('2，所以)(xg在)1,0(上单调递增，在),1(上单调递减，又因为0)1(g，所以)(xg在),1(仅有一个零点．【例3】（2018•新课标II卷）求证：（1）12xex（0x）；（2）exex；（3）2)1(xexex（0x）【证明】（1）此题是指数函数中典型的“指数找基友”模型．要证12xex，只需证112xex，令xexxf1)(2，则0)1(12)('22xxexexxxf，所以)(xf在0x上单调递减，由于1)0(f，故112xex即证．（2）令xeexxf)(，xexexf)1()('，当1x时，0)('xf；当1x时，0)('xf，所以1)1()(maxfxf，故1xeex，exex即证．秒杀秘籍：对数单身狗，指数找基友原理设)(xf为可导函数，则有xxfxxfxxf1)(ln)(')'ln)((，若)(xf为非常数函数，求导式子中含有xln，这类问题需要多次求导，显得繁琐复杂．处理这类函数的秒杀技巧是将xln前面部分提出，就留下lnx这个单身狗，然后研究剩余部分，这类方法技巧叫对数单身狗．设xf为可导函数，则有)('))'((xfexfexx，若)(xf为非常数函数，求导式子中还是含有xe，针对此类型，可以采用做商的方法，构造xxexfxfexf)()(')('，从而达到简化证明和求最值的目的，xe总在找属于它的基友，此类方法技巧俗称指数找基友．AdministratorSquareAdministratorSquare【小结】exy即为xey在点),1(e处的切线，属于1xex的代换模型题，将1x替代原来的x即可．关于此类替换，还有224xeex（用2x替换x），两函数在点),2(2e处相切；3327xeex（用3x替换x），两函数在点),3(3e处相切．（3）令xexexxf2)1()(，xeexxxf)3)(1()('，当0)('xf时，ex31，12x，故)(xf在区间),1()3,0(e上递减，在区间)1,3(e上递增，由于1)0(f且1)1(f，故1)1(2xxexe对),0[x恒成立．【例4】（2016•新课标Ⅱ卷）当0x时，求证：2)2(xexx．【证明】由题显然当2x时，不等式成立；当20x时，令)2(2)(xexxfx，则0)2()('22xexxxf在)2,0[上恒成立，故)(xf在区间)2,0[递增，所以1)0()(minfxf，故当0x时，2)2(xexx即证．【例5】（2011•全国II卷）若不等式xkxxxxx1ln11ln在0x时且1x时恒成立，求k的取值范围．【解析】01ln1201ln11ln2xkxxxkxxxxx011ln2112xxkxx，令xxkxxf11ln2，即当10x时，0)(xf；当1x时，0)(xf；求导得：]12)1[(1)('22kxxkxxf，因为0)(xf，所以0)('xf，即0k．下面讨论k在所有的取值范围的情况：①当0k，01212kxxk恒成立，即0'xf，)(xf递减满足题意；②1k时，0)('xf不合题意；③当10k时，函数有零点1x，2x21xx，由于121xx，所以)(xf在)1,(1x上递增，所以0)1()(fxf不合题意．【例6】（2016•新课标I卷）已知函数2)1()2()(xaexxfx有两个零点1x、2x，求实数a的取值范围．【解析】由0)1()2()(2xaexxfx得：)2()2()1(12xxexax．（1）当2x，0a时，仅有0)2(f；令)2()1()(2xexxgx，易知在2x时，0)(xg．（2）当2x时，22)2()54)(1()('xexxxxgx，易知1x时，0)('xg，故)(xg在区间)1,(上递减，在区间)2,1(递增，则0)1()(mingxg，且在2x以及x时，)(xg．所以：①),0(1a，即0a时，2)1()2()(xaexxfx有两个零点，且2121xx；②当)0,(1a时，2)1()2()(xaexxfx有仅有一个零点，且2x不合题意；③0a时仅有一个零点，且2x不合题意，综上：实数a的取值范围为0a．【例7】（2018•新课标Ⅲ卷）已知函数xxaxxxf2)1ln()2()(2．若0a，证明：当01x时，0)(xf；当0x时，0)(xf．【证明】当0a时，xxxxf2)1ln()2()()1(x．由于02x，故令22)1ln()(xxxxg，)2)(1()2(411)('22xxxxxxg，故),1(x时，0)0('g，所以)(xg在),1(上递增．因为0)0(g，所以当01x时，0)(xg；当0x时，0)(xg，故当01x时，0)(xf；当0x时，0)(xf即证．【例8】（2017•新课标Ⅱ卷）已知函数xxaxaxxfln)(2，且0)(xf．（1）求a的值；（2）证明：)(xf存在唯一的极大值点0x，且2022)(xfe．【解析】（1）因为)0)(ln(ln)(2xxaaxxxxaxaxxf，则0)(xf等价于0ln)(xaaxxh，由于0)1(h，所以0)(xh等价于)(xh在0x时的最小值为)1(h，所以等价于)(xh在1x处是极小值，又xaxh1)('，所以)1()(minahxh，所以11a，解得1a．【证明】（2）由（1）可知xxxxxfln)(2，xxxfln22)('，令0)('xf，可得0ln22xx，记xxxtln22)(，则xxt12)('，令0)('xt，解得21x，所以)(xt在区间)21,0(上单调递减，在),21(上单调递增，所以012ln)21()(mintxt，从而0)(xt有解，即0)('xf存在两根0x，2x，且不妨设)('xf在)0(0x，上为正，在),(20xx上为负，在),(2x上为正，所以)(xf必存在唯一极大值点0x，且0ln2200xx，所以20020002000020022ln)(xxxxxxxxxxxf，由210x可知412121)()(22000xxxf；由0)1('ef可知2110ex，所以)(xf在),0(0x上单调递增，在)1,(0ex上单调递减，所以201)1()(eefxf；综上所述：)(xf存在唯一的极大值点0x，且2022)(xfe．【例9】（2017•新课标Ⅰ卷）已知函数xeaaexfxx)2()(2．（1）讨论)(xf的单调性；（2）若)(xf有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）由已知函数求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得)(xf单调性；（2）可以根据第一问的结论来求参数a的取值范围，但此题出现了2xe和x之间的关系，故可以利用指对互换原理，简化讨论和运算，令tex，则)0(lnttx，从而构造ttaattfln)2()(2，这样对数单身狗模型立即形成．【解析】（1）由xeaaexfxx)2()(2得，1)2(2)('2xxeaaexf，当0a时，012)('xexf，所以当Rx，)(xf单调递减，当0a时，)1)(21(2)1)(12()('aeeaaeexfxxxx，令0)('xf，解得ax1ln，当0)('xf，解得ax1ln，当0)('xf，解得ax1ln，所以当)1ln,(ax时，)(xf单调递减；当),1(lnax时，)(xf单调递增；当0a时，0)1)(21(2)('aeeaxfxx恒成立，所以当Rx时，)(xf单调递减．综上可知：当0a时，)(xf在R上为减函数；当0a时，)(xf在)1ln,(a是减函数，在),1(lna是增函数．（2）若0a时，由（1）可知：)(xf最多有一个零点；当0a时，xeaaexfxx)2()(2，令tex，则)0(lnttx，ttaattfln)2()(2，当0t时，)(tf，当t，)(tf，所以函数有两个零点时，)(tf的最小值小于0即可，由tattttaattf)1)(12(1)2(2)('，0)('tf时，at1，故)(tf在)1,0(a是减函数，在),1(a是增函数，所以01ln1)2()1()1()(2minaaaaaafxf，所以01ln11aa，即0111lnaa，设am1，则1ln)(mmmg)0(m，求导11)('mmg，由0)1(g，所以11am，解得10a，所以a的取值范围是)1,0(．【注意】对数单身狗和指数找基友，在很多情况下是等同的，指数换成对数，就要“单身狗”，同样对数换成指数，则要“找基友”．欢迎各位指正！AdministratorSquare