第三章 函数的概念与性质3.3 幂函数[学习目标] 1.通过具体实例,了解幂函数的定义,会作y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1五个幂函数的图象,理解它们的性质.2.通过对幂函数的研究,体会研究一类函数的基本内容与方法.一、幂函数的概念[知识梳理]幂函数的概念一般地,函数叫做幂函数,其中是自变量,是常数.【思考】 幂函数具有怎样的特征?[基础测试]1.已知幂函数f(x)的图象经过点(4,),则f(9)=.RRR{x|x≠0}[0,+∞)R[0,+∞)R{y|y≠0}[0,+∞)二、幂函数的图象与性质[知识梳理]1.常见幂函数的图象与性质 解析式 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 y= 图象 定义域 值域 奇偶奇奇非奇非偶递增递减递增递增递减递减递增(1,1)续
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解析式 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 y= 奇偶性 函数 函数 函数 函数 11函数 单调性 在区间(-∞,+∞)上单调1 在区间(-∞,0]上单调,在区间(0,+∞)上单调 在区间(-∞,+∞)上单调1 在区间(-∞,0)上单调,在区间(0,+∞)上单调1 在区间[0,+∞)上单调 定点 12.幂函数的性质归纳(1)所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1).(2)当α>0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数.(3)当α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴;当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.【思考】(1)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限吗?(2)幂函数在第一象限内,在直线x=1的右侧,图象从下到上,相应的指数是如何变化的?在直线x=1的左侧,图象从下到上,相应的指数是如何变化的?[基础测试]2.幂函数的图象过点(3,),则它的单调递增区间是( )A.[-1,+∞)B.[0,+∞)C.(-∞,+∞)D.(-∞,0)3.已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则f(9)=.探索点一幂函数的概念【例1】 (1)已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(9,3),则f(100)=.(2)若f(x)=(m2-4m-4)xm是幂函数,则m=.1.幂函数的判断方法(1)幂函数是一种“形式定义”的函数,也就是说必须完全具备形如y=xα(α∈R)的函数才是幂函数.(2)如果函数以根式的形式给出,则要注意先把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理,再对照幂函数的定义进行判断.2.用待定系数法求幂函数解析式若已知待求函数是幂函数,则可根据待定系数法,设函数为f(x)=xα,根据条件求出α即可.【跟踪训练】1.已知幂函数y=mxn(m,n∈R)的图象经过点(4,2),则m-n=.2.函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(x)=.探索点二利用幂函数的单调性比较大小【例2】 (1),,6.2从小到大依次是.(2)比较下列各组数中两个数的大小.①()0.5与()0.5;②(-)-1与(-)-1.1.利用幂函数的单调性比较大小的三种方法2.利用幂函数的单调性比较大小时要注意的问题比较大小的两个实数必须在同一函数的同一单调区间内,否则无法比较大小.【跟踪训练】3.比较下列各组数的大小.(1)-与-;(2)与.解:(1)-=-(),函数y=在区间(0,+∞)上为增函数,又因为>,则()>(),所以-()<-(),所以-<-().(2)==,=.因为函数y=在区间(0,+∞)上为减函数,>,所以<,所以<.探索点三 幂函数的图象【例3】(1)幂函数y=xα在第一象限的大致图象如图所示,已知α取-2,-,,2四个值,则曲线C1,C2,C3,C4对应的α的值依次为( )A.-2,-,,2B.2,,-,-2C.-,-2,2,D.2,,-2,-(2)幂函数y=x-1与直线y=x,y=1,x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”:①,②,③,④,⑤,⑥,⑦,⑧(如图所示),那么幂函数y=的图象经过的“卦限”是( )A.④⑦B.④⑧C.③⑧D.①⑤(3)若点A(,2)在幂函数f(x)的图象上,点B(-2,)在幂函数g(x)的图象上,①求f(x),g(x)的解析式;②求当x为何值时:(i)f(x)>g(x);(ii)f(x)=g(x);(iii)f(x)<g(x).②令f(x)=g(x),解得x=±1.在同一平面直角坐标系下作出函数f(x)和g(x)的图象,如图.由图象可知,f(x),g(x)的图象均过点(1,1)和(-1,1).由图象可知,(i)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);(ii)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);(iii)当-1<x<1,且x≠0时,f(x)<g(x).1.求幂函数y=xα(其中α是分数形式)定义域的基本步骤(1)还原为根式.(2)根据根式和分式有意义的条件求幂函数的定义域.2.作幂函数图象的原则和方法(1)原则:作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等.(2)方法:首先作出幂函数在第一象限内的图象,然后根据奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象.【跟踪训练】4.变式练若把题(2)中的函数y=改为y=x2,求函数图象所过的“卦限”.5.同类练幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则( )A.-1<n<0<m<1 B.n<-1,0<m<1C.-1<n<0,m>1 D.n<-1,m>16.拔高练已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在区间(0,+∞)上单调递减,求满足(a+3<(5-2a的a的取值范围.课堂建构
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