专题06 圆锥曲线中的轨迹问题-2020高考数学尖子生辅导专题（公众号：卷洞洞）

专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 六圆锥曲线中的轨迹问题原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1专题六圆锥曲线中的轨迹问题轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的，这个轨迹条件一旦用动点坐标的数学 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式表示出来，轨迹方程就产生了．根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是高考的常考点：一方面，求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面，求轨迹方程培养了学生数形结合的思想、函数与方程的思想以及化归与转化的思想．模块1整理方法提升能力曲线轨迹方程的探求有两种题型，第一种题型是曲线类型已知，该题型常用的方法是找条件或用待定系数法，难度不大；第二种题型是曲线类型未知，该题型常用的方法有以下3种：1．定义法：如果所给的几何条件能够符合一些常见定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义），则可从定义出发直接写出轨迹方程，这种方法叫做定义法．2．直接法：如果动点运动的条件有明显的等量关系，或者是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含未知数x、y的等式，从而得到轨迹方程，这种方法叫做直接法．（免费资料公众号中学生上分）3．参数法：求解轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程，这种方法叫做参数法．一般来说，引进了N个未知数与参数，要得到未知数x与y之间的关系，需要找1N个方程．常见的消参手法是：加、减、乘、除、平方、平方相加、平方相减以及整体消参等．相关点代入法、交轨法是参数法的一种特殊情况．例1已知点2,2P，圆C：2280xyy，过点P的动直线l与圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当OPOM时，求l的方程及△POM的面积．【解析】（1）法1（定义法）：圆心0,4C，由垂径定理可知CMPM，于是点M在以CP为直径的圆上，所以M的轨迹方程为2420xxyy，即专题六圆锥曲线中的轨迹问题原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！222132xy．法2（直接法）：设M的坐标为,xy，由CMPM可得0CMPM．,4CMxy，2,2PMxy，于是2420xxyy，即22132xy．法3（参数法）：当l的斜率不存在时，其直线方程为2x，于是2840yy，所以点M的坐标为2,4．当l的斜率存在时，设直线方程为22ykx，,Mxy．联立222280ykxxyy消去y可得22221448120kxkkxkk，于是2221kkxk，将22ykx代入，消去参数k，可得2222222212yyxxxyx，整理可得22132xy（2x）．综上所述，M的轨迹方程为22132xy．（2）法1：由OPOM可知点M在以原点为圆心，OP为半径的圆上．联立22221328xyxy，解得25145xy，于是点M的坐标为214,55，于是直线l的方程为1223yx，即380xy．△POM的面积为2222121481622255513．法2：由OPOM可知点O在PM的垂直平分线上，而PM的垂直平分线过圆心1,3，所以直线l的斜率为13，直线方程为1223yx，即380xy．因为22OP，点O到直线l的距离为4105d，所以2241025PMOPd，于是△POM的面积为1410410162555．【点评】解析几何中两直线垂直的常见转化有以下4种：点在圆上，向量数量积为0，斜率乘积为1，勾股定理．用“点在圆上”的角度能从定义法出发直接得到轨迹方程；用“向专题六圆锥曲线中的轨迹问题原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3量数量积为0”的角度能避开分类讨论．求轨迹方程时，先考虑定义法，看是否满足某种曲线的定义，再考虑直接法，看能否得到一个几何条件，进而将该几何条件代数化再化简，最后再考虑参数法，引进参数解决问题．例2在直角坐标系xOy中，曲线1C上的点均在圆2C：2259xy外，且对1C上任意一点M，M到直线2x的距离等于该点与圆2C上点的距离的最小值．（1）求曲线1C的方程；（2）设00,Pxy（03y）为圆2C外一点，过P作圆2C的两条切线，分别与曲线1C相交于点A、B和C、D．证明：当P在直线4x上运动时，四点A、B、C、D的纵坐标之积为定值．【解析】（1）法1：由题设知，曲线1C上任意一点M到圆2C的圆心5,0的距离等于它到直线5x的距离，因此，曲线1C是以5,0为焦点，直线5x为准线的抛物线，所以方程为220yx．法2：设M的坐标为,xy，由已知得22253xxy，且点M位于直线2x的右侧，于是20x，所以2255xyx，化简得曲线1C的方程为220yx．【证明】（2）当点P在直线4x上运动时，设P的坐标为04,y，又03y，则过P且与圆2C相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为04yykx，即040kxyyk．于是025431kykk，整理得2200721890kyky…①．设过P所作的两条切线PA、PC的斜率分别为1k、2k，则1k、2k是方程①的两个实根，所以001218724yykk…②．由10124020kxyykyx可得21014020kyyyk…③．设四点A、B、C、D的纵坐标分别为1y、2y、3y、4y，则1y、2y是方程③的两个实根，所以01121204ykyyk，专题六圆锥曲线中的轨迹问题原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4同理可得02342204ykyyk．于是010212341240044ykykyyyykk22201201200121212400416400166400ykkykkyykkkkkk．所以当P在直线4x上运动时，四点A、B、C、D的纵坐标之积为定值6400．【点评】定义法和直接法非常相似，其出发点都是找几何条件，其区别在于对所找的几何条件的理解．如果能发现所找的几何条件是满足某种曲线的定义的，则可以根据曲线的定义马上得到所求的轨迹方程，这就是定义法．如果所找的几何条件究竟满足哪种定义不太明显，则可以利用直接法，把所找的几何条件代数化，再把代数化后的式子化简到最简．第（2）问的定值证明需要引进参数，而引进多少个参数是因题而异的，一般是从点的坐标和直线的方程这两个角度引进参数．本题总共引进了六个参数：1k、2k、1y、2y、3y、4y，其准则是所引进的参数都能帮助解题，且最终都能将其消去，这是解析几何中“设而不求”的重要思想方法．例3已知抛物线C：22yx的焦点为F，平行于x轴的两条直线1l、2l分别交C于A、B两点，交C的准线于P、Q两点．（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【证明】（1）焦点坐标为1,02F．不妨设直线1l：ya，直线2l：yb，则2,2aAa，2,2bBb，1,2Pa，1,2Qb，于是1,22abR．当线段AB垂直于x轴时，不妨设ab，则有1,12A，1,02R，1,12Q，于是1FQk，1ARk，所以AR∥FQ．当线段AB不垂直于x轴时，直线AB的斜率为22222abkabab，方程为专题六圆锥曲线中的轨迹问题原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5222ayaxab，即20xabyab，因为F在线段AB上，所以1ab．于是1122FQbkb，22212111122ARabbaabbkbaab，所以AR∥FQ．【解析】（2）△PQF的面积为2ab．直线AB与x轴的交点为,02ab，所以△ABF的面积为11222abab．由1222ababab，可得11ab，于是0ab（舍去）或2ab…①．设AB中点为,Mxy，则224abx…②，2aby…③．③式平方，可得22224ababy，将①②代入，可得21yx．【点评】本题采用了参数法求AB中点的轨迹方程，其实质是引进了2个未知数x、y与2个参数a、b，此时我们需要找3个方程：224abx，2aby，2ab，通过这3个方程消去2个参数，从而得到x与y之间的关系．一般来说，引进了N个未知数与参数，要得到未知数x与y之间的关系，一般需要找1N个方程．找到方程后，通过加、减、乘、除、平方、平方相加、平方相减以及整体消参等手法进行消参．这是参数法的关键所在．抛物线焦点弦有两个常用结论：设AB是过抛物线22ypx（0p）焦点F的弦，若11,Axy，22,Bxy，则有（1）2124pxx，212yyp；（2）以弦AB为直径的圆与准线相切．模块2练习巩固整合提升练习1：已知圆M：2211xy，圆N：2219xy，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A、B两点，当圆P的半径最长时，求AB．【解析】（1）设动圆P的半径为r，则1PMr，3PNr，两式相加，可得专题六圆锥曲线中的轨迹问题原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！64PMPN，所以圆心P是以M、N为焦点，24a的椭圆（左顶点除外）．2a，1c，3b，所以C的方程为22143xy（2x）．（2）由（1）可知1PMr，3PNr，所以22PMPNrMN，于是2r，当且仅当点P为2,0时，等号成立，所以当圆P的半径最长时，圆P的方程为2224xy．①当l的斜率不存在的时候，此时显然l就是y轴，23AB．②当l的斜率存在的时候，显然l的斜率不为0，设l与x轴交于点Q，则有12QMQP，即1122QQxx，由此解得4Qx，且221241kQM，于是直线方程为244yx．联立22244143yxxy，消去y，可得27880xx．由弦长公式，有222847821811477ABka．练习2：已知椭圆C：22142xy，00,Pxy为椭圆C外一点，过点P作椭圆C的两条切线PA、PB，其中A、B为切点．（1）当点00,Pxy为定点时，求直线AB的方程；（2）若PA、PB相互垂直，求点P的轨迹方程．【解析】（1）设11,Axy、22,Bxy，则切线PA方程为11142xxyy，点P在切线PA上，所以1010142xxyy…①．同理，切线PB方程为22142xxyy，点P在切线PB上，所以2020142xxyy…②．由①②可得直线AB的方程为00142xxyy，即00240xxyy．（2）①若直线PA、PB的斜率都存在，不妨设其斜率分别为1k、2k，则121kk．设过点00,Pxy的直线方程为00yykxx．由0022142yykxxxy消去y可得专题六圆锥曲线中的轨迹问题原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！72220000214220kxkkxyxkxy．因为直线与椭圆相切，所以2222000016421220kkxykkxy，即22200004220xkxyky．由PA、PB与椭圆相切可知1k、2k是该方程的两个实数根，所以201220214ykkx，即22006xy．②若直线PA、PB中有一条斜率不存在，则另一条斜率为0，此时点P的坐标为2,2，满足22006xy．综上所述，点P的轨迹方程为226xy．【点评】给定圆锥曲线C和点00,Pxy，用0xx、0yy、02xx、02yy分别替换2x、2y、x、y，得到直线l，我们称点P和直线l为圆锥曲线C的一对极点和极线．其结论如下：当P在圆锥曲线C上的时候，其极线l是曲线C在点P处的切线；当P在圆锥曲线C外的时候，其极线l是曲线C从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；当P在圆锥曲线C内的时候，其极线l是曲线C过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹．特别地：椭圆22221xyab（0ab），与点00,Pxy对应的极线方程为00221xxyyab．双曲线22221xyab（0a，0b），与点00,Pxy对应的极线方程为00221xxyyab．抛物线22ypx（0p），与点00,Pxy对应的极线方程为00yypxx．在椭圆22221xyab（0ab）中，点,0Pc对应的极线方程为2axc，这就是椭圆的右准线．本题采用整体法进行消参方法，这是消参的一种方法．第（2）小问也可以引进11,Axy、22,Bxy、00,Pxy，共2个未知数x、y和4个参数：1x、1y、2x、2y，利用以下5个方程进行消参：1010142xxyy、2020142xxyy、2211142xy，2222142xy、121214xxyy．练习3：如图，抛物线1C：24xy和2C：22xpy（0p）．点00,Mxy在抛物线2C上，过M作1C的切线，切点分别为A、B（M为原点O时，A、B重合于O）．当012x时，切线MA的专题六圆锥曲线中的轨迹问题原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8斜率为12．（1）求p的值；（2）当M在2C上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A、B重合于O时，中点为O）．【解析】（1）因为抛物线1C：24xy上任意一点,xy的切线的斜率为2xy，且切线MA的斜率为12，所以点A的坐标为11,4，故切线MA的方程为11124yx．因为点012,My在切线MA及抛物线2C上，所以有01122322244y和20122py，由此可得2p．（2）设,Nxy，211,4xAx，222,4xBx．当12xx时，因为N是线段AB的中点，所以有122xxx…①，22128xxy…②．切线MA的方程为211124xxyxx，即21124xxxy，同理MB的方程为22224xxxy．解此方程组，得MA、MB的交点00,Mxy的坐标为1202xxx，1204xxy，由此及点M在抛物线2C上，得2004xy，即2212126xxxx…③．由①②③可得243xy，0x．当12xx时，A，B重合于原点O，此时线段AB的中点N为原点O，坐标也满足上述方程．因此，线段AB的中点N的轨迹方程为243xy．