上海市徐汇区2017届高三一模数学试题+答案

2016-2017学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科2016．12一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分（或5分），否则一律得0分．1.25lim1nnn____________．【解答】25lim1nnn52nlim11nn2010=2．2.已知抛物线C的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x轴上，若C经过点(1,3)M，则其焦点到准线的距离为____________．【解答】由题意可知：由焦点在x轴上，若C经过点M（1，3），则图象经过第一象限，∴设抛物线的方程：y2=2px，将M（1，3）代入9=2p，解得：p=92，∴抛物线的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程为：y2=9x，由焦点到准线的距离d=p=2p，3.若线性方程组的增广矩阵为ba1020，解为21xy，则ba____________．【解答】解：由题意知21xy是方程组2axyb的解，即，则a+b=1+1=2，故答案为：2．4.若复数z满足：3izi（i是虚数单位），则z=______．【解答】解：由iz=+i，得z==1﹣i，故|z|==2，故答案为：2．5.在622()xx的二项展开式中第四项的系数是____________．（结果用数值表示）【解答】解：在（x+）6的二项展开式中第四项：=8Cx﹣3=160x﹣3．∴在（x+）6的二项展开式中第四项的系数是160．故答案为：160．6.在长方体1111ABCDABCD中，若11,2ABBCAA，则异面直线1BD与1CC所成角的大小为____________．【解答】解：如图，连接D1B1；∵CC1∥BB1；∴BD1与CC1所成角等于BD1与BB1所成角；∴∠B1BD1为异面直线BD1与CC1所成角；∴在Rt△BB1D1中，cos∠B1BD1=；∴异面直线BD1与CC1所成角的大小为．故答案为：．7.若 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 22,0(),0xxfxxmx的值域为,1，则实数m的取值范围是____________．【解答】解：x≤0时：f（x）=2x≤1．x＞0时，f（x）=﹣x2+m，函数的对称轴x=0，f（x）在（﹣∞，0）递增，∴f（x）=﹣x2+m＜m，函数f（x）=的值域为（﹣∞，1]，故m＜1，故答案为：（﹣∞，1]8.如图：在ABC中，若13,cos,22ABACBACDCBD，则ADBC=____________．【解答】解：根据条件：===；∴===．9.定义在R上的偶函数()yfx，当0x时，2()lg(33)fxxx，则()fx在R上的零点个数为___________个．【解答】解：当x≥0时，f（x）=lg（x2﹣3x+3），函数的零点由：lg（x2﹣3x+3）=0，即x2﹣3x+3=1，解得x=1或x=2．因为函数是定义在R上的偶函数y=f（x），所以函数的零点个数为：4个．故答案为：4．10.将6辆不同的小汽车和2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个内，其中2辆卡车必须停在A与B的位置，那么不同的停车位置安排共有____________种？（结果用数值表示）【解答】解：由题意，不同的停车位置安排共有A22A86=40320种．故答案为40320．11.已知数列na是首项为1，公差为2m的等差数列，前n项和为nS．设*()2nnnSbnNn，若数列nb是递减数列，则实数m的取值范围是____________．【解答】解：Sn=n+×2m=mn2+（1﹣m）n．∴bn==，∵数列{bn}是递减数列，∴bn+1＜bn，∴＜，化为：m＜n，对于?n∈N*，即可得出．因此m＜1．则实数m的取值范围是（﹣∞，1）．故答案为：（﹣∞，1）．12.若使集合2|(6)(4)0,AxkxkxxZ中的元素个数最少，则实数k的取值范围是_______________．【解答】解：集合A={x|（kx﹣k2﹣6）（x﹣4）＞0，x∈Z}，∵方程（kx﹣k2﹣6）（x﹣4）=0，解得：，x2=4，∴（kx﹣k2﹣6）（x﹣4）＞0，x∈Z当k=0时，A=（﹣∞，4）；当k＞0时，4＜k+，A=（﹣∞，4）∪（k+，+∞）；当k＜0时，k+＜4，A=（k+，4）．∴当k≥0时，集合A的元素的个数无限；当k＜0时，k+＜4，A=（k+，4）．集合A的元素的个数有限，此时集合A的元素个数最少．则有：，解得：k＜0．故答案为：（﹣∞，0）．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．13.“()4xkkZ”是“tan1x”成立的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件【解答】解：∵tanx=1，∴x=kπ+（k∈Z）∵x=kπ+（k∈Z）则tanx=1，∴根据充分必要条件定义可判断：“x=kπ+（k∈Z）“是“tanx=1”成立的充分必要条件故选：C14.若12i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程20xbxc的一个复数根，则（）（A）2,3bc（B）2,1bc（C）2,1bc（D）2,3bc【解答】解：∵1﹣i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，∴1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，∴，解得b=﹣2，c=3．故选：D．15.已知函数xf为R上的单调函数，xf1是它的反函数，点3,1A和点1,1B均在函数xf的图像上，则不等式121xf的解集为（）（A）1,1（B）1,3（C）20,log3（D）21,log3【解答】解：∵点A（﹣1，3）和点B（1，1）在图象上，∴f（﹣1）=3，f（1）=1，又f﹣1（x）是f（x）的反函数，∴f﹣1（3）=﹣1，f﹣1（1）=1，由|f﹣1（2x）|＜1，得﹣1＜f﹣1（2x）＜1，即f﹣1（3）＜f﹣1（2x）＜f﹣1（1），函数f（x）为R的减函数，∴f﹣1（x）是定义域上的减函数，则1＜2x＜3，解得：0＜x＜log23．∴不等式|f﹣1（2x）|＜1的解集为（0，log23）．故选：C．16.如图，两个椭圆221259xy，221259yx内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列三个判断：①P到1(4,0)F、2(4,0)F、1(0,4)E、2(0,4)E四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线yx、yx均对称；③曲线C所围区域面积必小于36.上述判断中正确命题的个数为（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个【解答】解：对于①，若点P在椭圆+=1上，P到F1（﹣4，0）、F2（4，0）两点的距离之和为定值、到E1（0，﹣4）、E2（0，4）两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆+=1，+=1关于直线y=x、y=﹣x均对称，曲线C关于直线y=x、y=﹣x均对称，故正确；对于③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确．故选：C三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图，已知PA平面ABC，ABAC，2BCAP，30CBA，D是AB的中点．（1）求PD与平面PAC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积（结果保留）．18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数23cossin()cos1xxfxx．（1）当0,2x时，求()fx的值域；（2）已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，若()3,4,52Afabc，求ABC的面积．19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）．（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A、B两种产品的利润()fx、()gx表示为投资额x的函数；（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．如图：双曲线：2213xy的左、右焦点分别为12,FF，过2F作直线l交y轴于点Q．（1）当直线l平行于的一条渐近线时，求点1F到直线l的距离；（2）当直线l的斜率为1时，在的右支上．．．是否存在点P，满足110FPFQ？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若直线l与交于不同两点AB、，且上存在一点M，满足40OAOBOM（其中O为坐标原点），求直线l的方程．21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．正数数列{}na、{}nb满足：11ab，且对一切2,*kkN，ka是1ka与1kb的等差中项，kb是1ka与1kb的等比中项．（1）若222,1ab，求11,ab的值；（2）求证：{}na是等差数列的充要条件是{}na为常数数列；（3）记||nnncab，当*2()nnN时，指出2ncc与1c的大小关系并说明理由．参考答案一、填空题：(共54分，第1题至第6题每小题4分；第7题至第12题每小题5分)1.22.923.24.25.1606.47.01m8.329.410.4032011.01m12.3,2二、选择题：(共20分，每小题5分)13.C14.D15.C16.C三、解答题17、解：（1）PA平面ABC，ABPA，又ABAC，AB平面PAC，所以DPA就是PD与平面PAC所成的角.,,,4分在PADRt中，23,2ADPA，,,,,,,,,,,,,,,,6分所以43arctanDPA，即PD与平面PAC所成的角的大小为43arctan.,,,,,,,,,8分（2）PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体，是以AB为底面半径、AP为高的圆锥中挖去一个以AD为底面半径、AP为高的小圆锥.,,,10分所以体积232)23(312)3(3122V.,,,,,14分.18、解：（1）由条件得：21cos21()3cossincos3sin222xfxxxxx，即313()cos2sin2222fxxx,,,2分3sin(2)32x，,,,3分因为[0,]2x，所以3sin(2)[,1]32x因此3()sin(2)32fxx的值域是3[0,1]2,,,6分（2）由()32Af，化简得3sin()32A，因为(0,)A，所以4(,)333A，所以233A，即3A.,,,8分由余弦定理得：2216bcbc，所以2()316bcbc，又5bc，解得3bc，,,,12分所以133sin24ABCSbcA.,,,14分19、解：（1）1()(0)4fxxx.,,3分，5()(0)4gxxx.,,,6分（2）设B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为（10x）万元，创业团队获得的利润为y万元，则51()(10)(10)(010)44ygxfxxxx.,,,10分令xt，1002545412ttty，即21565()(010)4216ytt，当52t，即6.25x时，y取得最大值4.0625,,,13分答：当B产品的投资额为6.25万元时，创业团队获得的最大利润为4.0625万元.,,14分20、解：（1）易得1(2,0)F，2(2,0)F，的渐近线方程为33yx，由对称性，不妨设3:(2)3lyx,即320xy，------------------2分所以，1(2,0)F到l的距离|22|213d.-----------------------------4分（2）当直线l的斜率为1时，l的方程为2yx，------------------------5分因此，(0,2)Q，-----------------------------6分又1(2,0)F，故1(2,2)FQ，设右支上的点P的坐标为(,),(0)xyx，则1(2,)FPxy，由110FPFQ，得2(2)20xy，-----------------------8分又2213xy，联立消去y得2212150xx，由根与系数的关系知，此方程无正根，因此，在双曲线的右支上不存在点P，满足110FPFQ.--------------------10分（3）设1122(,),(,)AxyBxy，则1212(,)44xxyyM，----------------11分由M点在曲线上，故212212()4()134xxyy(*)设:(2)lykx联立l与的方程，得2222(13)121230kxkxk---------------------------12分由于l与交于不同两点，所以，33k.所以，21221213kxxk，因此，12121224(2)(2)()413kyykxkxkxxkk.------------14分从而(*)即为22222124()3()481313kkkk，解得22k.即直线l的方程为220xy.-------------------------------------------16分21、解：（1）由条件得111122abab，1，即1a=23，1b=23.----------4分（2）充分性：当{}na为常数数列时，{}na是公差为零的等差数列；--------------5分必要性：当{}na为等差数列时，1120mmmaaa对任意2,*mmN恒成立，----------------------------------------------------------------------6分而112mmmaaa=1ma+1211()()mmmmabab=121()mmmabb=111111()22mmmmmababb=1111324mmmmabab=1111(3)()4mmmmabab，因为1130mmab，所以110mmab，即11mmab，-------------9分从而1111122mmmmmmabaaaa对2,*mmN恒成立,所以{}na为常数列.------------------------------------------------------------------------10分（3）因为任意*,2nNn，11112nnnnnnabaabb，--------------12分又已知11ab，所以nnncab.从而11nnab=111(2)(2)()2222nnnnnnnnnnnnnabababababbab，即112nncc，----------------------------------------------------------------------------------14分则nc121nc2212nc⋯1112nc，----------------------------------------------16分所以2ncc112c++1112nc=11(1)2n1c<1c.-------------------18分