抽象代数电子教案

.《抽象代数》课程教案第一章基本概念教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n的剩余类。教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用，对代数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模n的剩余类。教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n的剩余类。教学措施：黑板板书与口授教学法。教学时数：12学时。教学过程：§1集合定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为，且是任一集合的子集。（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。（2）集合 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示：习惯上用大写拉丁字母A，B，C…表示集合，习惯上用小写拉丁字母a，b，c…表示集合中的元素。若a是集合A中的元素，则记为。表示集合通常有三种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ：1、枚举法（列举法）：例：A=｛1，2，3，4｝，B=｛1，2，3，…，100｝。2、描述法：—元素具有的性质。例：。显然例6中的A就是例5的A。3、绘图法：用文氏图（）可形象地表现出集合的特征及集合之间的关系。（3）集合的蕴含（包含）定义：若集B中每个元素都属于集A，则称B是A的子集，记为，否则说B是A的子集，记为.定义：设，且存在，那么称B是A的真子集，否则称B不是A的真子集。定义：若集合A和B含有完全一样的元素，那么称A与B相等，记为A=B.结论：显然，.（4）集合的运算①集合的并：②集合的交：③集合的差：④集合在全集内的补：⑤集合的布尔和（对称差）：⑥集合的卡氏积：注：中的元素可看成由A和B坐标轴所张成的平面上的点。卡氏积的推广：对上述集合运算，可以得到一批基本公式：例题：例1A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B={2}A={1.2.3}B={4.5.6}那么A∩B=空集合.例2A={1.2.3}B={2.4.6}那么A∪B={1.2.3.4.6}A={1.2.3}B={4.5.6}那么A∪B={1.2.3.4.5.6}§2映射定义：设是集合A到B的一个对应法则：对于任何一个的元，都能够得到一个唯一的D的元d，那么这个法则叫做集合到集合D的一个映射。其中，元d是在映射的象，a是b在下的逆象。例1：A1=A2=....=An=D=所有实数作成的集合.φ：（a1,a2,……,an）→a12+a22+……+an2=φ(a1,a2,…,an)是一个A1×A2×…×AN到D的映射.例2：A1={东,西},A2={南}，D={高,低}φ1：（西,南）→高=φ1（西,南）不是一个A1×A2到D的映射.φ2:(西,南）→高，（东,南）→低，则φ2是一个A1×A2到D的映射.例3：A1=D=所有实数所成的集合.φ：a→a若a≠11→b这里b2=1不是一个A1到D的映射.例4：A1=D=所有实数所成的集合.φ：a→a-1不是一个A1到D的映射.定义：我们说，到集合D的两个映射φ1与φ2是相同的，假如对任何一个元来说，φ1=φ2。例5：A=D=所有正整数的集合.φ1：a→1=φ1（a）φ2:a→=φ2（a）则φ1与φ2是相同的.§3代数运算设给定，如果n=2时，f就叫做代数运算。一般地有定义：任一个的映射都叫做的一个代数运算。例1：A={所有整数}，B={所有不等于零的整数}。D={所有有理数}0：（a.b）EMBEDEquation.3=ab是一个A×B到D的代数运算，即普通的除法.例2：令V是数域F上一个向量空间，那么F的数与V的向量空间的乘法是一个F×V到V的代数运算.例3：A={1},B={2},D={奇，偶}0：（1.2）→奇=12是一个A×B到D的代数运算.例4A={1.2},B={1.2},D={奇，偶}0：（1.1）→奇（2.2）→奇（1.2）→奇（2.1）→偶是一个A×B到D的代数运算.代数运算表：当都是有限集时，那么的每一个代数运算都可以用运算表表示。设，则运算表为： … … ………………………注：对于代数运算的运算表，要求中元素在上表中的位置互换。在实际工作中，更多的是的情形，这时，有如下定义：定义：若的代数运算，则可称是的代数运算或二元运算。§4结合律例题:A={所有整数}，代数运算是普通减法那么（a-b）-c≠a-(b-c)除非c=0.定义：设是集合的一个代数运算，如果都有，则称满足结合律。定义：设中的代数运算为，任取个元素，如果所有加括号的步骤最后算出的结果是一样的，那么这个结果就用来表示。定理：如果的代数运算满足结合律，那么对于的任意个元素来说，所有加括号的步骤运算的结果总是唯一的，因此，这一唯一的结果就可用来表示。[论证思路]因是有限数，所以加括号的步骤必是有限的。任取一种加括号的步骤，往证：对用数学归纳法。①②和分别是和个元素经加括号而运算的结果.③，由归纳假设释之.§5交换律定义：设是集合的一个代数运算，如果都有，则称满足交换律。定理：设的代数运算同时满足结合律和交换律，那么中的元的次序可以任意掉换。[论证思路]采用数学归纳法，归纳假设时命题成立.对的情形，任掉换的位置，使之成为.注意是的一个排列.令.用结合律和归纳法假设证明之.§6分配律代数运算与的第一分配律和第二分配律的定义，以及的结合律与这两种分配律的综合运用定义：设都是集合，而是的代数运算，而是的代数运算，如果，都有那么称适合第一分配律。例.假如B与A都是全体实数的集合，和就是普通的乘法和加法，则b(a1a2)=(ba1)(ba2)就变为b(a1+a2)=(ba1)+(ba2)定理1：设和如上，如果满足结合律，且满足第一分配律，那么，都有[论证思路]采用数学归纳法，归纳假设时命题成立。先后利用：结合律——的归纳假设——的归纳假设直至完成证明。定义：设和同上，若，若有，那么称满足第二分配律.定理2：设和同上，若适合结合律，而适合第二分配律。那么。§7一一映射、变换在第1讲中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只对重要的一一映射作重点的讨论。例1：A={1，2，3，4，5}={2，4，6，8}则φ：12，24，36，42，52。是一个A到的映射.例2：A={1，2，3，…}={奇，偶}则φ：1，3，5，…奇，2，4，6…偶是一个A到的映射.定义：若是在一个集合到的映射下，的每一个元都至少是A中某一个元的象，那么叫做一个到的满射。定义：一个到的映射，叫做一个到单射，假如。定义：设是集合到的映射，且既是单的又是满的，则称是一个一一映射（双射）。例3：，其中，可知显然是一个双射。注意：与偶数集之间存在双射，这表明：与它的一个真子集一样“大”。思考题：从例1中得知：一个无限集与其的某个真子集一样“大”。这是否可作为无限集都有的特性？即我们是否有如下的结论：为无限集的充要条件是与其某个真子集之间存在双射。定理：一个到的一一映射带来一个通常用表示的到间的一一映射。证明：由于是到的双射，那么就中任一个元素，它在中都有逆象，并且这个逆象是唯一的。利用的这一特点，则可确定由到的映射：，如果，由上述 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，易知是映射。是满射：，因是映射，再由的定义知，这恰说明，是在下的逆象。由的任意性，知是满射。是单射：由是满射的逆象分别是，又是单射，这说明，所以是单射。综合上述讨论知：是到的一个双射。结论：设是映射，那么：（1）是双射EMBEDEquation.3可唯一的确定一个逆映射，使得：是双射；；也是的逆映射，且；（2）是双射同时是有限集或同时是无限集。定义：一个A到A的映射叫做的一个变换。一个A到A的一一映射（单射，满射）时，也称为的一个一一变换（单射变换，满射变换）例4：A={所有实数}。τ：XEMBEDEquation.3是A的一个单射变换.例5：A={所有整数}。τ：aEMBEDEquation.3假如a是偶数aEMBEDEquation.3假如a是奇数是A的一个满射变换.例6：A={1，2，3}τ1：11，22，33τ2：12，23，31都是A的一一变换.§8同态定义：一个到的映射叫做一个对于代数运算来说的，到的同态映射，假如，在之下，不管a和b是A的那两个元，只要就有。例1：φ：a1(a是A的任一元)是一个A到的同态映射，φ1是一个A到的映射，显然对于的任意两个整数a和b来说，有a1,b1,a+b1=1×1例2：φ2：a1若a是偶数a-1若a是奇数φ2是一个A到的满射的同态映射例3：φ3：a-1(a是A的任一元)固然是一个A到的映射，但不是同态映射定义：假如对于代数运算来说，有一个到的满射的同态映射存在，则称这个映射是一个是同态满射。在近世代数中，同态满射是尤其重要的。定理1：假设对于代数运算和来说，A与同态，那么Ⅰ）若适合结合律，也适合结合律Ⅱ）若适合交换律，也适合交换律。证明：（1）任取是满射，又因为中的满足结合律即，但是是同态映射。所以同理可以证明（2）定理2：假定，，都是集合A的代数运算，，都是集合的代数运算，并且存在一个A到的满射φ，使得A与对于代数运算，来说同态。对于代数运算，来说也是同态，那么Ⅰ）若，适合第一分配律，，也适合第一分配律Ⅱ）若，适合第一交换律，，也适合第一交换律证明：（1）是满射.又因为是关于及的同态映射即.同理可证明（2）。§9同构、自同构定义：一个到的一一映射是一个对于代数运算来说的，到的同构映射，假如，在之下，不管a和b是A的那两个元，只要就有。假如在一个与之间，对于代数运算来说，存在一个到的同构映射，则称对于代数运算来说，与同构，记为。例1：A={1，2，3}.={4，5，6}.123456133346662333566633336666各是A与的代数运算与的表，那么14，25，36，是一个A与之间的同构映射。定义：对于代数运算来说的一个到的一个同构映射叫做的一个对于来说的A的自同构。例2：A={1，2，3}代数运算由下表给定：123133323333333那么φ：12，21，33是一个对于来说的A的自同构。§10等价关系与集合的分类定义：设为集合，{对，错}，那么一个到的映射就叫做的一个关系.（也称为二元关系）若，就称与符合关系，记为若，就称与不符合关系，记为由上述定义知，中任一对元，都可以判定与是否符合这个关系。例1：A={所有实数}R:(a,b)对，若是b-a是正的(a,b)错，若是b-a不是正的是A的元间的一个关系。定义：设是集合的元间的一个关系～叫做一个等价关系，如果～满足以下规律：（1）反射律（反身性）：～（2）对称律（对称性）：当～时必有～；（3）推移律（传递性）：当～且～时，必有～。当～时，习惯称与等价。定义：若把一个集合A分成若干个叫做类的子集，使得A的每一个元属于而且只属于一个类，那么这些类的全体叫做集合A的一个分类。定理1：集合的每个分类都决定了的元间的一个等价关系。证明：设是的一个分类，用我们可以规定上的一个二元关系：～在同一类里，显然～是的一个关系，须证～是等价关系。（1）反身性：～。（2）对称性：若～～.（3）传递性：若～～，～。定理2：集合的一个等价关系～决定的一个分类。证明：，令～，如此确定的这些子集具有：（1）：由～；（2），当与不等价时：若～～，由～的对称性和传递性知～，推出矛盾，所以。（3）：。的一个分类。注意：（1）～“”～EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3～，“”～（2）若EMBEDEquation.3因为设～～，由传递性推出～再由（1）知。定义：假定我们有一个集合的分类，那么，一个类里的任何一个元叫做这个类的一个代表。刚好由每一类的一个代表组成的集合叫做一个全体代表团。注：由于，那么～，这表明对等价类来说，中任何元素均可作为的代表，即等价类与其代表元素的选取无关。一种重要的等价关系——同余关系定义.任取，可以在中确定一种等价关系则称为模的同余关系，并将记为由同余关系确定的分类中的等价关系为模的剩余类。而由同余关系引导出来的商集习惯上记为.模的同余关系为：，其中第二章群论教学目的与教学要求：理解群的定义，掌握群定义中的四个等价条件，和群的判定方法;理解单位元、逆元、元的阶的定义，初步地掌握利用单位元、逆元、元阶的定义证明有关的性质和定理;理解群同态思想，理解若群G同态G'则群G的许多代数性质可以传递给它的同态象;理解变换群的定义应用几何上的实际问题，并且理解变换群在群论上的重要性，同群论中具有的普遍性，弄清楚变换群和变换群的区别;理解置换群，n次对称群，循环置换的定义，搞清楚置换乘法的先后顺序是从右到左，并且搞清楚置换的循环分解，多做练习;理解循环群的思想，理解循环群结构中的主要的结果（i）数量问题，(ii)构造问题，（iii）循环群的生成元;理解子群的判定方法和构造群的子群的方法;理解左（右）陪集的思想，理解陪集定义的最基本的两种出发点;教学重点：群的定义，基本特点，群的思想方法，群的判定常用的方法;单位元、逆元、消去律、元的阶，并且利用这些概念;有限群的定义，利用有限群的思想，利用定义证明有关定理和例子;群的同态定义，利用群的同态定义证明由G是群可以推出G'也是群（G~G'条件下）;变换群的定义，Cayley定理，变换群的判定常用的方法;置换，转换群，n次对称群，循环置换的定义，利用这些概念的定义证明每一个有限群都一个置换群同构;G=<a>的定义，利用G=<a>的定义，证明有关的定理和命题，（如：循环群，乘余类加群）;子群定义，利用子群定义证明有关的问题，群的一个非空集组成子群的充要条件;左、右陪集的定义，群G的子群H的阶，H在G里的指数；任两个左（右）陪集间存在双射的概念;教学难点：群的定义，群的判定常用的方法，利用群的定义证明性质和判定;群的判定常用的方法。且半群中消去律与元的可逆性之间的关系和定理的证明;掌握群同态定义中的同态映射的要求;变换群的定义，利用变换群在几何上的实际应用和群的理论上的重要性;置换群中元素是n次置换非常具体，所以n次置换，及置换乘积是本节中较难的概念;G=（a）的构选问题，利用G=（a）的定义证明<i>若a为无限阶的，则<a>≌{Z,+}；<ii>若a的阶为n，则<a>≌{Zn，+};作成子群的充分必要条件的证明过程，子群的判定方法;左（右）陪集的定义，利用左（右）陪集的定义掌握左（右）陪集的判别条件;教学措施：黑板板书与口授教学法。教学时数：20学时.教学过程：§1群的定义群的第一定义：一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群，假如:Ⅰ。G对于这个乘法来说是闭的；Ⅱ。结合律成立：a(bc)=(ab)c对G的任意三个元都对；Ⅲ。对于G的任意两个元a,b来说，方程ax=b和ya=b在G中都有解，是一个有限整数。例1：证明若G包含一个元g，且乘法是gg=g，则G对于这个第六法来说作成一个群。例2：设G是一个全体整数的集合，证明G对于普通加法来说作成一个群。例3：设G是所有不等于零的整数集合，证明G对于普通乘法来说不作成一个群。群G有以下性质：Ⅳ。G里至少有一个元e,叫做G的一个左单位元，能让ea=a对于G的任何元a都成立。Ⅴ。对于G的每一个元a,在G里至少存在一个元，叫做a的一个左逆元，能让a=e成立。这里e是一个固定的左单位元。证明：略。群的第二定义：一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群，假如:Ⅰ。G对于这个乘法来说是闭的；Ⅱ。结合律成立：a(bc)=(ab)c对G的任意三个元都对Ⅳ。G里至少有一个元e,叫做G的一个左单位元，能让ea=a对于G的任何元a都成立；Ⅴ。对于G的每一个元a,在G里至少存在一个左逆元，能让a=e。证明思路：1。一个左逆元也一定是一个右逆元；2．一个左单位元也一定是一个右单位元；3．最终结论。定义：一个群叫做有限群，假如这个群的元的个数是一个有限整数。否则这个群叫做无限群。一个有限群元的个数叫做这个群的阶。定义：一个群叫做交换群，假如ab=ba对于G的任何两个元a,b都成立。§2单位元、逆元、消去律定理1：在一群G里存在一个并且只存在一个元e，能使ea-ae=a对于G的任意元a都对。提示：只须用反证法证唯一性。定义：一个群G的唯一的能使ea=ae=a（a是G的任一元）的元e叫做群G的单位元。定理2：对于群G的每一个元a来说，在G里存在一个而且只存在一个元，能使a=a=e提示：只须用反证法证唯一性。定义：唯一的能使a=a=e的元叫做元a的逆元（有时简称逆）例1：全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是零，元a的逆元是-a。例2．全体整数对于普通加法来说作成一个群。这个群的单位元是零，a的逆元是-a.定义：群G的一个元a，能够使得=e的最小的正整数m叫做a的阶。若是这样一个m不存在，我们说，a是无限阶的。例3：G刚好包含=1的三个根：1，,对于普通乘法来说成一个群。Ⅰ，Ⅱ显然；Ⅳ。1是G的单位元；Ⅴ。1的逆元是1，的逆元是，的逆元是。定理3：一个群的乘法适合III'消去律：若ax=ax',那么x=x'；若ya=y'a，那么y=y'证明：略。推论：在一个群里，方程ax=b和ya=b各有唯一的解。§3有限群的另一定义若是群，则必满足（1）封闭性（2）结合律（3）消去律。但如果代数体系能满足（1）（2）和（3），是否可断定就是群呢？先看下面的例子：例：G={所有不等于零的整数}对于普通乘法来说这个G适合I，II，III'，可是不适合III。如果是有限集，那情形就不一样了。定理：一个有乘法的有限集合G，若是适合I，II和III'，那么它也适合III。有限群的另一定义：一个有乘法的有限不空集合G作成一个群，假如I，III，III'能被满足。证明：（只需证明方程和在中有解）先证在中有解，.因为是有限集，不妨设，即，现用左乘中的每个元素，得到.由（1）EMBEDEquation.3中每个，所以又由于（3）只要，则中也含有个元素，于是又由于，即使的解.同理可以证明有解.§4群的同态设和都是群，如果存在映射使都有，则称是群同构态映射；如果是满射，则必为群满同态映射，（注：这是重要的一种同态，要特别关注）简称与同态,并记为~,此时也称是的同态像.我们已多次谈到“满同态”的重要性质​​​​--------具有“传递”作用.那么在群的满同态映射里,它能传递一些什么呢?定理1：假设G与对于它们的乘法来说同态，那么也是一个群。证明:对而言,“”满足封闭性是显而易见的,而由于中的“”满足集合律.也满足结合律.下面须证有单位元和有逆元.<i>EMBEDEquation.3是群,设e是单位元并设,须证是的单元.事实上,EMBEDEquation.3是满射，使,那么,同理,由的任意性是单位元.<ii>为满射,则使，而是群,故有逆元,设，须证是的逆元。事实上,同理是的逆元,即=.由上可知,是个群.例1：设A={a,b,c},A的乘法由下表夫定：abcaabcbbcaccab的集合，G是全体整数对普加法来说作成的一个群，找出它们之间的一个同态映射？且判断A是不是一个群。例2：={所有奇数}。对于普通乘法不是一个群。G={e}，G对于乘法ee=e显然作成群。但显然是到G的一个同态满射。由定理1的证明可以直接得出定理2：假定G和是两个群，在G到的一个同态满射之下，G的单位元e的象是的单位元，G的元a的逆元的象是a的象的逆元。§5变换群本讲的教材在对映射的表示形式上有所改变：将改成:也就是说,过去我们的记法“”将变为“”于是要当心：用教材的话是说：当是映射时，用“”.当是变换时，使用“”例1．设｛１，２｝．现取出的几个变换　　　（即　）　　　（即　）　　　（即　）　　　（即　）可以看出．是的全部变换．其中和是双射．并且是恒等变换．习惯上记　　（或　）。把A的全体变换作成一个集合S=例2.利用例１．可以换算一下它们的合成（乘积）：EMBEDEquation.3２；２２．　即　EMBEDEquation.3这表明　　·同理知．利用是恒等变换．则　（．这是因为　EMBEDEquation.3　并且又有．定义．对于这个乘法，S有一个单位元，就是的恒等映射对的任一个变换，都有例3.事实上，就没有逆元.因为如果有逆元.那么必有且.但我们会发现：而这说明即不能成为群。（同理可知，也没有逆元）上面的所以不能成为群，主要是和不是双射（它们没有逆元）因此，我们有:定理1：假定G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换ε，若是对于变换的乘法来说作成一个群，则G只包含A的--变换。证明：任取.经证是满射又是单射.首先，因为.由于群中的单位元唯一.由定义2EMBEDEquation.3必是中的单位元.是满射：EMBEDEquation.3于是.这说明是的原象.是满射.是单射：设.如果，那么是单射由上 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知.是个双射.定义1：一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换群。定理2：一个集合A的所有的--变换成一个变换群。证明:设,须证满足群第0定义.(1)EMBEDEquation.3.因为都是双射.由第一章知必是也是双射.即.(封闭性)(2)凡是映射都满足结合律EMBEDEquation.3中的元素必也满足结合律.(3)因为恒等变换EMBEDEquation.3就是的单位元.(由结论)(4)是双射,由第一章知必有逆映射使.故逆映射就是在群中的逆元.由(1)-(4)是一个变换群.定理3：任何一个群都同一个变换群同构。证明:设是任意一个群,，利用,我们规定EMBEDEquation.3的一个变换,其中,这种变换是一个一一变换,事实上:那么EMBEDEquation.3是满射.若EMBEDEquation.3且是单射.综合上述知.我们得到由中元素确定的的变换集合其中每个这种变换都为一一变换.其次作,其中现须证是同构映射.是满射:则，是的原象是满射.是单射:如果那么有，由消去律知是单射保运算:由于.我们有:这说明保运算于是知，而是群EMBEDEquation.3必是群.§6置换群定义：一个有限集合的一个--变换叫做一个置换。一个有限集合的若干个置换作成的群叫做置换群。定义：一个包含n个元的集合的全部置换作成的群叫做n次对称群，记作Sn。定理1：n次对称群Sn的阶是n！由于映射中只关心元素之间的对称关系.而不在乎元素的具体内容.故可证.故此.:EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3,EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3,EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3.稍做修改:：=.用=来描述的一个置换的方便之处是显而易见的.当然,上述的置换可记为，…,但习惯上都将第一行按自然序列排写这就可以让我们都统一在一种表示置换的方法内进行研究工作了.例1.计算下列置换的乘积:(1)EMBEDEquation.3,(2),(3).解:注意:置换乘积中,是从左到右求变换值,这是与过去的习惯方法不同的.例2.设,那么的全部一一变换构成的三次对称群为.其中,,,,所以.其中是恒等变换.即是的单位元.由于置换群也是变换群,故必蕴含着变换群的一切特征.譬如,不可交换性:定义：Sn的一个把ai1变到ai2,ai2变到ai3,....aiκ变到ai1，而使得其余的元，假如还有的话，不变的置换，叫做一个κ-循环置换，用符号：（i1i2.....iκ），（i2i3....iκi1），.....或（iκi1....iκ-1）来表示。注意:①循环置换是置换的另一种表达形式,它以发生变化的文字的变化次序为序,表达成轮换的形式.虽然表达形式简捷,但所含置换的原有文字的数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如.“8元置换”②.一般地,每个循环的表达方法不唯一,例如.这是因为,每个循环置换都可视为一个首尾相接的圆环:所以,循环中的每个文字都可以置于首位.一旦首位确定后,整个循环置换的表达形式也就确定了.例3．在中.叫作3—循环置换.叫作5—循环置换.叫作1—循环置换定理2：每一个n个元的置换π都可以写成若干个互相没有共同数字的（不相连的）循环置换的乘积。证明：设是中任一个元置换，下面对中改变文字的个数用数学归纳法。如果使中每个文字都不发生改变，则是恒等置换.即，定理2成立.假设最多变动个文字时，定理成立。现考察变动了个元的情形：首先在被变动的文字中随意取一个文字，从出发找到在下的象,再找的象,…,直到找到，其中：.于是因为只变动了EMBEDEquation.3个文字，故.如果，则本身就是一个—循环置换:定理证毕。如果，模仿的做法。由于中只变动了个文字，中只能变动个文字.由归纳假设，必可以写成若干个不相连的循环置换之积:还需特别说明:中的所有循环置换中不可能再出现,否则,当因为是互不相连,只在中出现.将，但前面已有即将使保持不动，这样就导出了矛盾.这恰说明：是互不相连的循环置换之积.定理3：每一个有限群都有与一个置换群同构。§7循环群例1整数加群中，每个元素都是的倍数（因为此群是加法运算，所以用“倍数”这个词）事实上，是的零倍：；正数是的的倍：，负数是的倍:定义：若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群；G由元a所生成的，且用符号G=（a）来表示，a叫做G的一个生成元。例2模剩余类加群.中的运算是“钟表加法”，易知中每个元素都是的倍数定理：假定G是一个由元a所生成的循环群，那么G的构造完全可以由a的阶来决定。a的阶若是无限，那么G与整数加群同构；a的阶若是一个有限整数n，那么G与模n乘余类加群同构。证明：(1)当时，作.由上述的对应关系易知,是双射.而EMBEDEquation.3（2）当时，作,由上述对应关系也易知,是双射.而且.即§8子群定义：一个群G的一个集H叫做G的一个子群，假如H对于G的乘法来说作成一个群，记作：H≤G。例1设为任意一个群，那么由的单位元组成子集，自然有，另外本身也有，所以一般有两个子群，统称它们为的平凡子群。如果除了平凡子群外还有其他子群，那就称为的真子群，记为。例2设为三次对称群，令和三次交错群。易知定理1：一个群G的一个不空集H作成G的一个子群的充分且必要条件是（i）a,b∈H=>ab∈H（ii）a∈H=>∈H。证明：若，（1）显然成立，而上述性质2恰说明（2）成立.因为（1）成立中元素乘法封闭。结合律在中成立，自然在中也成立。由（2），再由（1）知。由（2）于是可知推论：假定H是群G的一个子群，那么H的单位元就是G的单位元，H的任一元a在H里的逆元就是a在G里的元。定理2：一个群G的一个不空子集H作成G的子群的充分必要条件是：（iii）a,b∈H=>ab-1∈H。证明：.由定理1中（2），再由（1）知（往证（1）和（2）成立）.由条件知，即，那么，并且，所以（1）和（2）都成立，由定理1。定理3：一个群G的一个非空有限子集H作成G的一个子集的充要条件是：a,b∈H=>ab∈H。证明：必要性：显然。充分性：（1）条件表明满足封闭.（2）中满足结合律也满足结合律.（3）因为中满足消去律中也满足消去律.由（1）、（2）和（3）（注是有限集）定义：S生成的子群的定义结构过程教材上P64页中。§9子群的陪集子群的陪集思想是：实质上是用子群对群进行分类的问题，关于陪集的定义，有两种最基本的出发点，一种是利用子集的乘积的概念，另一种是等价关系的概念。记群G和G的一个子群H。规定一个G的元中的关系～：a～b,当且仅当的时候。因为：1．，所以a～b2.，所以a～bb～a3.，，所以a～b，b～ca～c所以～是一个等价关系。定义：由上面的等价关系～所决定的类叫做子群H的右陪集，包含元a的右陪集用符号Ha来表示。例1．G=,H=。那么H（1）=H（13）=H（23）=右陪集是从等价关系～：a～b,当且仅当的时候出发得到的。假如规定一个G的元中的关系～’：a～’b,当且仅当的时候同理可证～’是一个等价关系。定义：由等价关系～’所决定的类叫做子群H的左陪集，包含元a的左陪集用符号aH来表示。例2.例1里H的左陪集是（1）H=（13）H=（23）H=这和H的右陪集并不相同。定理1：一个子群H的右、左陪集的个数相等。它们或者都为无限大，或者都有限并且相等。证明：设,.作,其中.(ⅰ)(必是映射),如果,利用明示4的对称性得,故有,即,这说明是个映射.(ⅱ)(必是满射),则存在使EMBEDEquation.3是满射.(ⅲ)(是单射)设,.如果,即(由明示4)是单射.由(ⅰ)(ⅱ)和(ⅲ)知,必是一一映射，命题得证.定义：一个群G的一个子群H的右陪集（左陪集）的个数叫做H在G里的指数。引理：一个子群H与H的每一个右陪集Ha之间都存在一个映射。证明:设,其中.(ⅰ),作为在下的象是唯一确定的,是映射.(ⅱ),则显然有原象,是满射.(ⅲ)设,如果则必有(群的消去律)必是单射.由(ⅰ),(ⅱ)和(ⅲ)知是双射.定理2：设H是一个有限群G的子群，那么H的阶n和它在G里的指数j都能整除G的阶N，并且N=nj证明:EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3,这表明在中的右陪集只有个,从而有的右陪集分解:（其中）由引理知,所以.由上等式“”知子群的阶是的阶的因子，于是可得到下面定理3：一个有限群G的任一个元a的阶n都整除G的阶。证明：由元素生成的一个循环子群.由Lagrange定理知,但故.例3：设置换群S3，其子群为H={（1），（12）}，分析H的右（左）倍集。§10不变子群定义：设，如果对于中任一个元，都有,那么称为的一个不变子群，记为.如果是不变子群，那么N的左（右）陪集统一叫做N的一个陪集。例1群的平凡子群和都是不变子群。例2设为群，而叫做的中心(centreofG)，不仅，而且有例3如果是一个交换群，那么的任一个子群都是不变子群。因为.例4设，其中，易知.定义.假定是一个群G的m个子集。那么由所有可以写成形式的G的集合叫做的乘积。这个乘积用表示。定理1：一个群G的一个子群N是一个不变子群的充要条件是：对于G的任意一个元a都成立。证明：假若N是不变子群，则对于G的任意一个元a来说，aN=Na这样假若对于G的任意一个元a来说那么故N是G的一个不变子群。定理2：一个群G的一个子群N是一个不变子群的充要条件是：证明：必要性由定理1显然。下证充分性：假定这个条件成立，那么对于G的任意一个元a来说这样，因为也是G的元，故有故由定理1，N是G的一个不变子群。证完。设，规定其陪集的运算法则：欲使成为一个群，我们还需对它的代数运算进一步核实——子集之积是否与代表元有关。设，那么中定义的运算是一个代数运算。证明：且.如果又有使.且.须证.事实上，,即.,即∴.∴.即这说明，尽管可能，或，但只要且，即运算与代表元的选择无关。定理3：设，那么关于运算做成一个群。证明：.由明示1和引理知满足封闭性和结合律.而是单位元，最后有逆元。定义：一个群G的一个不变子群N的陪集所作成的群叫做一个商群。并记为。若，那当时，则§11同态于不变子群定理1：一个群G同它的每一个商群同态.证明：显然（这里与教材一致，用左陪集的形式出现）是一个映射，（因为以为代表元的做陪集的唯一确定的）又因为，那么是满射最后,∴即一个群同态满射，即，或者说，是的同态象，及与同态。定义：设是一个群同态满射，那么的单位元的全部原逆象作成的G的子集叫做同态满射的核，记为。即.定理2：设与是两个群，并且G与同态，那么这个同态满射的核N是群G的一个不变子群，并且。证明：设是群同态映射，那么.设..∴..故.∴...∴.由上知..∴由上知现定义，其中（ⅰ）是映射:如果且.∴.但.即∴的对应关系与陪集的代表元选取无关是映射.（ⅱ）是满射:,是满射.使.故取,有.∴是满射.（ⅲ）是单射,若∴是单射.（ⅳ），∴即为群同态映射由（ⅰ）——（ⅳ）知，是群同构映射，即。定义.设是群同态映射，若，那么由子群中的元素在内的全部逆象构成的集合叫做的完全原象‘定理3：设与是两个群，并且G与同态，那么在这个同态满射之下的（1）若,那么；（2）若,那么.证明:(1)表示在下的象.于是使,进而,,因为.由上知.(2)EMBEDEquation.3,由(1),另外,,于是，因为即定理4：设与是两个群，并且G与同态，那么在这个同态满射之下的（1）若,并ker；（2）若。证明：(3),那么于是另外,由上知，且（4）由（3），.则EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3,,.第三章环与域教学目的与教学要求：理解环的概念及相关性质；掌握交换环，有单位元的环,没有零因子的环和整环的概念；掌握整环与除环的区别和联系，整环的几种判定，域的运算规则和域的判定法则；理解环的特征的定义及特性；掌握子环等的定义，理解环同态的相关性质；明确未定元一元多项式的定义及性质；掌握理想和主理想的定义及表示；理解剩余类环的定义及环同态的相关性质；掌握极大理想的概念和判断极大理想的方法，理解极大理想而获得域的方法；理解商域的概念及属性。教学重点：理解环这种代数体系中二种运算中的谐调关系；零因子的概念；除环的判定，域的运算法则的证明；无零因子环的特征的定义及特性；环与子环之间的性质“变异”问题，环同态的保性质问题；存在性定理；了解理想的基本概念和性质,还有理想的各种表现形式；环的同态定理，性质与剩余类的联系；极大理想的概念，极大理想与域关系；商域的构造。教学难点：零因子与消去律的关系；无零因子环的特征的定义及特性；环与子环之间的性质“变异”问题，环同态的保性质问题；区别高等代数中多项式环的多项式新内容；了解生成理想的结构问题和传递问题；环的同态定理；由极大理想构造域；商域的结构及性质。教学措施：黑板板书与口授教学法。教学时数：18学时。教学过程：§1加群，环的定义定义：一个交换群叫做一个加群，假如把这个群的代数运算叫做加法，并用符号“+”来表示。一个加群唯一的单位元用“0”表示，并把它叫做零元。1.0+a=a+0=a元a的唯一逆元用-a表示，并把它叫做a的负元。2.–a+a=a-a=03.–(-a)=a4.a+c=bc=b-a5.–(a+b)=-a-b-(a-b)=-a+b定义:一个集合R叫做一个环，假如(1)是一个加群；(2)对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的；(3)这个乘法适合结合律；(4)的乘法”·”对加法”+”满足左右分配律,即且.例1.中设为整数集,”+”和”·”为中通常的整数加法和乘法.易知是一个环.——习惯上称它为整数环，记为.同理还有有理数环，实数环，复数环。上述的四个环都是由数组成。故称为数环.例2.偶数集对于整数通常的加法和乘法也是一个环.例3.设,按数的通常的加法也构成一个环,叫做高斯数环.例4.任取定一个数域.由上一切一付元多项式组成的集合关于多项式通常的加法与乘法.也可构成一个环.这个环称为关于的多项式,或一元多项式环.设R是一个环,那么有如下性质.性质1:且性质2:性质3:性质4:性质5:若,那么性质6:,也就是说性质7:∴性质8:,,性质9:,,§2交换律，单位元，零因子，整环1．交换环设为环,已知关于加法”+”而言,已可以交换,至于对于乘法”·”,也有满足交换律的可能(比如数环,多项式环等),所以我们有定义：一个环R叫做一个交换环，假如,不管a,b是R的那两个元.易知,在§1中所介绍的所有数环,一元多项式,和剩余类环都分别是交换环.但价矩阵环不是交换环.二．有单元元的环设为环,就加法”+”而言.加法群中自然有单位元,习惯上换为群的零元,并记为0.对乘法”·”而言,中是会有单位元呢?定义：一个环R的一个元叫做一个单位元,假如对于R的任意元a来说，都有。例1．偶数环没有单位元。定义：一个有单位元环的一个元b叫做元a的一个逆元，假如。①因为偶数环中没有单位元,故中没有谈论逆元的“资格”.②整数环中有单位元(整数).但除了外,,其余元都不可逆.③在中.单位元是.而可逆.三．无零因子环在§1中已知：“”但反之,“”这样一条普通的计算规则,在一般的环中未必成立譬如,在剩余类环中.但譬如在二阶中,,,但,为什么会发生这种现象?定义.若是在一个环里,但,那么称是的一个左零因子,是的一个右零因子.(∴上例中[2],都是左零因子,[3],都是右零因子)在环中,关于零因子的概念要做如下解释:若是的左零因子,一般未必同时是的右零因子.(比如,在中,只是右零因子,不是左零因子,其中,).显然,若环是变换环时,的每个左(右)零因子都是零因子.(中,和都是零因子)一个环是否为无零因子环,与环中乘法的一个重要运算规则—消去律有着密切的联系.复习消去律的概念:设.左消去律:右消去律:定理：在一个没有零因子的环里两个消去律都成立：(1)a.(2)a.反过来，在一个环里如果有一个消去律成立，则这个环没有零因子。证明:(1),如果且那么.因为且中没有左零因子.(否则就成了左零因子)即由的任意性中满足左消去律.设,如果显然,∵由左消去律,这说明不是左零因子.由的任意性中没有左零因子.推论：在一个环里如果有一个消去律成立，则另一个消去律也成立。4．整环定义.一个叫作整环，假如(1)是交换环,(2)有单位元,(3)是无零因子环.整数环是整环.而不是整环的有:偶数环(无).矩阵环(不变换且有零因子),(为合数,有零因子)。§3除环，域例1．R只包含一个元a,加法和乘法是：a+a=a,aa=a.R唯一的元有一个逆元。例2．全体有理数作成的集合对于普通加法和乘法来说是环，这个环的任意元,有逆元。定义：一个环叫做一个除环，假如①至少包括一个非零元(至少含有两个元)；②R有一个单位元；③中每个不等于零的元都有一个逆元.定义:一个交换除环叫做一个域。性质a:除环没有零因子。性质b:对除环而言,一切非零元构成的集合是一个乘法群.设是所有的复数对（事实上，）在中定义加法和乘法：其中和表示和的共轭复数.可以证明:是一个环.(略)又易知是的单位元EMBEDEquation.3是一个幺环.任取的一个非零元由于EMBEDEquation.3不全为零（EMBEDEquation.3不全为零）于是有EMBEDEquation.3，使（）==.由的任意性中每个零元都可逆是一个除环.另外,显然,而EMBEDEquation.3,这说明即不是域.所以是一个非域的除环。我们将上述除环称为哈米尔顿（Hamiltom）四元数除环，也简称为四元数除环。§4无零因子环的特征例1．我们看一个模p(p是素数)的剩余类环F。我们说，F是一个域。证明：利用群的第三定义。例2．设是两个循环加群,又设而.所以EMBEDEquation.3.现令并规定中加法“+”:乘法“·”：。可以验证是一个环，但在加群中，而.定理1：在一个没有零因子的环R里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。证明：说明:(ⅰ)若每个非零元的阶都是无限它的阶都相同.(ⅱ)若EMBEDEquation.3,EMBEDEquation.3且中无零因子.若则,重复上述的证明,同理EMBEDEquation.3.即.由的任意性它们的阶都相同.定义.一个无零因子的环R的非零元的相同的（对加法来说的）阶叫做环R的特征。定理2：如果无零因子环的特征是有限整数n,那么是一个素数.证明：若中每个非零元的阶都是.如果是合数。记其中.EMBEDEquation.3,但由于且,进而知是左零因子,而是右零因子.这与R无零因子矛盾。EMBEDEquation.3不是合数,又EMBEDEquation.3即为素数.推论:整环,除环和域的特征或是无限大,或是一个素数.若环的特征为素数,且可变换,则有.§5子环。环的同态定义：一个环R的一个子集S叫做的一个子环,假如S本身对于的代数运算来说做成一个环。一个环R的一个子集S叫做的一个子除环,假如S本身对于的代数运算来说做成一个除环。设,也可以定义的子整环,子域:1、是的子整环(ⅰ).(ⅱ)是可变换的且（ⅲ）中没有零因子.2、是的子除环(ⅰ).(ⅱ),且(或说)3、是的子域EMBEDEquation.3既是的子整环也是的子除环例1.对于环而言,零环和必是的子环——的平凡子环例2.设为任意环,令则必是一个子环,叫做环的中心。定理1.若存在一个R到的满射，使得R与对于一对加法和乘法来说都同态，那么也必是一个环.定理2.设EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3是环同态满射,那么:①若是中的零元必是的零元.即②若是的单位元必是的单位元即.,③一个负元的象必是象的负元,即4若可变换也可变换.例3．设是环同态满射,其中:.显然是整环.中没有零因子,但在n不是素数时，有零因子。这告诉我们:非零因子的象可能会是零因子.例4.设.在中定义运算:可以验证:R是一个环.现作一个对应:,其中,可以验证,是一个环同态满射.由于是中的零元,当且时.有中有零因子.而显然中没有零因子.这表明:零因子的象可能不是零因子.由上知,环同态满射尚不能保证传递分部的代数性质.如果是环同构时,其结果则不同了.定理3.假定和都是环,且,那么是整环(除环,域)当且仅当是整环(除环,域).引理：假定在集合A与之间存在一个一一映射,并且有加法和乘法,那么我们可以替规定加法和乘法，使得A与对于一对加法和乘法都同构。证明:任取.定义:EMBEDEquation.3其中所以EMBEDEquation.3又已知是双射.由的任意性.因为环,由定理1也是环成了环同构.定理4：设是环的一个子环,S在R里的补足集合与另一环没有共同元，并且,那么必存在另一个与R同构的环,而且是的子环.证明:为了方便,令.而因,则设.又令今令,显然作其中(也就是说,对于中的元,是恒等映射,对于中元,是)显然,是满射.另一方面,,可分为三种情形逐一考虑(其中,).(ⅰ)若那么(ⅱ)若是同构映射.当时必有(ⅲ)若，而时,但.因为.总之,当时,,EMBEDEquation.3是单射.综合上述为双射.由引理,因为为环,则必可为定义加法和乘法,使为环且.①成立.下面得证②也成立,(即是的子环)现设中的加法和乘法分别记为“”和“”,又设与中的加法和乘法分别记为“+”和“·”.以下将证明若局限在内,“”与“+”,与·是一致的于是，则有和使，EMBEDEquation.3，于是，。这表明在中，加法“”与“+”是一致的。同理可证在中“”与“·”也是一致的。所以是的子环，②成立。§6多项式环一、多项式环的定义。设是一个含有单位元的可变换环。又设是的子环且，现考察中含及任取定元素的最小子环：显然每个.定义.一个可以写成n是≥0的整数）形式的的元都叫做上的一个多项式,叫做该多项式的系数.下面我们希望能将做成一个环.事实上(是的一个子环),定义规则如下:(当),必定假设.其中又可知确定是一个环.(是含和的最小的子环)定义.如果上方得到的环叫做上的的多项式环.显然是的一个子环,但中每个多项式的表达形式未必唯一.譬如,设,而.那么中的零元.的表达式不唯一.换句话说:上述定义的多项式环中会出一种现象:,但系数不全为零.这显然与高等代数中多项式的零多项式的定义相矛盾.于是,我们有必要对做如下的讨论。定义.的一个元叫做的一个未定元(超越元),假如在中找不到不全为零的元素使(即).否则称为上的代数元.习惯上,记上的未定元为.有上述的理论做“底子”,现可以定义多项式的问题.定义.令为环上的一元多项式.那么非负整数叫做多项式的次数.若,记为没有没有次数。由上，我们已看到未定元的重要性，但对给定的环里未定元是否一定存在？例：设，则知是可换的幺环，而为的子环,但的未定元不存在。事实上，若是未定元，则发现有这与是未定元矛盾。由的任意性没有的未定元。定理1：给了一个有单位元的交换环，一定有R上的未定元x存在，因此也就有R上的多项式R{x}存在。证明:(1)利用题设的构造一个表示环.设规定:现在中定义加法和乘法:加法:乘法:其中可以验证:做成一个环,其中.(ⅰ)中的零元为(这理)(ⅱ)是变换环(是可换的)(ⅲ)中有单位元()(2)利用,构造一个能包含的扩环.设EMBEDEquation.3,显然EMBEDEquation.3是的一个子环.现令:其中可知,是一个环同构,即显然.由“挖补定理”知，我们可得到一个新的环，其中且，中的单位元就是中单位元.(3)须证含有上的未定元令.因为又注意到,(证略)下面证明:就是的未定元.令……(*)在环同构中之下:由(*)利用中元素乘法的定义和的特点上式变为:是的上的未定义。三、多元多项式环设是可变换的幺环,而是的子环且.现任取中个元素,我们可以依次做如下工作:首先作上的的多项式环.再作上的的多项式环最后作上的的多项式环其中,其中,系数只有有限个.定义.上述描述的每个称为上的的多元多项式,而每个叫作的系数.习惯上,上的的多项式环写成对于多元多环中加法和乘法的运算为:()()()其中,同样,上多元多项式环中元素仍存在着表示不唯一的问题.所以与一元多项式环一样,要定义无关未定元.定义.中个元叫做上的无关未定元,假如任何一个上的的多项式都不会等于零，除非这个多项式的系数全为零.定理2：给了一个有单位元的交换环同一个正整数n，一定有R上的未定元存在，因此也就有R上的多项式存在。证明:(数学归纳法)当,由定理直接可得,假设时定理成立,即有可变换环其中为上的无关未定元.对的情形:首先可知,由定理1有环上的未定元,使为环.下面说明:是上的无关未定元.是上的未定元但又是上的无关未定元是上的无关未定元.定理3：假定和都是有单位元的交换环上的多项式环,是上的无关未定元,而是上的任意元,那么与同态。证明(略)由上结论可知:在中若干个多项式通过加法和乘法做成的某等式.当用换成中任一个元素后,该等式仍成立.于是有相应的§7理想定义.环R的一个非空子集叫做一个理想子环,简称理想，假如①②任一个环至少都有如下二个理想:—零理想,—单位理想.而习惯上将零理想和单位理想统称为平凡理想,而其它理想(若存在)叫作真理想。定理1：一个除环只有两个理想，就是零理想和单位理想。证明：设是除环的非零理想,那么∵必可逆,由理想的定义.EMBEDEquation.3.于是,由的任意性.这表明只有平凡理想。例1．整数环的任意非零整数n的所有倍数rn(r∈R)是整数环的理想。例2．无常数项的所有多项式是多项式环R[x]的一个理想。利用环中一个元素作以下集合：由于.那么和都应在中,(∵吸收律和加法封闭性).再用加法封闭性EMBEDEquation.3(其中为有限个之和).另一方面,设,那么和都应是中元素的形式:那么EMBEDEquation.3是的理想,且显然.由的最小性.定义.由环中一个元素生成的理想叫做主理想.由上可知,一般情况下,环中一个元素生成的理想中元素是比较复杂的,但当具有某些特殊性质时,那么便得到相应的简化.例如原来①当环可交换时,;②当环中有单位元时,③当有单位元且可交换(3)有限个元素生成的理想设,那么由子集生成的理想中的结构是怎样的呢?事实上,.可知是的理想.且每个生成元但是含中最小的理想.例3.设为整数环,而自然也是整环.取那由与生成的理想为.下面证明不是理想.如果是主理想,则但是零次多项式和都是零次多项式(是非零常数)即.EMBEDEquation.3.EMBEDEquation.3可是不可能表成的形式矛盾§8剩余类环在前一讲中已知,当是环的理想时,仅加法而言知,得到加法商群,其中群中运算为且.今将说明商加群中可以合理地引入一个乘法并使做成一环.这个乘法定义为(或)定义的合理性:设且且,,且,EMBEDEquation.3∴定义是合理的.很容易验证是一个半群.同时可以验证乘法对加法的左右分配律.故此,是一个环.定理1.设假定R是一个环，是它的一个理想，是所有模的剩余类作成的集合。则本身也是一个环，并且R与同态。证明:略。定义：叫做环R的模的剩余类环。记做。例设为整数环,而使那么,就是我们已经熟悉的“模剩余类环”—这是整数的剩余类环.定理2.假定R同是两个环，并且R与同态,那么这个同态满射的核是R的一个理想，并且。证明:(ⅰ)对加法而言,显然是一个加群满同态,由第二章知EMBEDEquation.3.(即是的不变子群).那么同理.核是R的一个理想(ⅱ)由第二章知,存在.作为群同构,其中下面只需证明:,.是环同构.即.与群同态类似,我们可以和到一些与第二章中平行的结果.定理3.在环R到环的一个是同态满射之下，(ⅰ)若是的子环是的子环(ⅱ)若是的理想且为满射是的理想(ⅲ)若是的子环是的子环(ⅳ)若是的理想是的理想证明:(ⅰ)使所以,于是.(子群)另外EMBEDEquation.3是的子环.(ⅱ)EMBEDEquation.3,EMBEDEquation.3是的子环是的子环.是满射(ⅲ)∴,而知EMBEDEquation.3是的一个子环.(ⅳ)EMBEDEquation.3,∴.于是又由(ⅲ)是的子环.于是.注意2.从定理3的证明中可知:除了(ⅱ)需要是满环同态外,其余情况都不需要是满射这个条件.§9最大理想定义.一个环的一个不等于R的理想叫做一个极大理想.,假如除了和以外,没有能包含的理想。例1.设素数,那么由生成的理想必是极大理想.①因为（不整除1）②设EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3,且EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3,那么说明存在但换句话说不整除,由的性质使.,且引理1：假定是环R的理想。剩余类环除了零理想同单位理想以外不在有理想，当且只当是的极大理想.证明:()已知是的极大理想,须证只有平凡理想.设是的一个理想,而EMBEDEquation.3为自然同态映射,EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3.那么由§8知也是的理想,即EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3.又注意到,,则,但且,使,这说明EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3但是极大理想EMBEDEquation.3,于是利用是满同态映射即.是个单环.已知是单环,(即只有平凡理想)今设EMBEDEquation.3,且,须证:做同态:EMBEDEquation.3,且由§8定理3EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3.由EMBEDEquation.3且,()而仅且这说明中有非零元,但是单环.使由的任意性是极大理想.引理2.若有单位元的交换环除了零理想同单位理想以外不在有其他理想，那么一定为域。证明:显然需要证明是除环即可,也就是说:只要证明中每个元都可逆.EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3,由生成的一个主理想,但是单环又为可换幺环可逆,由的任意性是除环即是域。定理.设假定R是一个有单位元的交换环，是环R的一个理想。为域当且仅当是的一个极大理想.证明:为域EMBEDEquation.3为只有零理想同单位理想，则为的极大理想.为的极大理想EMBEDEquation.3为单环……(1)又为极大理想(2)可变换且可变换且单位元为…(3)由(1),(2),(3)EMBEDEquation.3为域.例3.设是一个素数,则是的一个理想。§10商域定理1.每一个没有零因子的交换环都是一个喻域,使成为的子环。证:情形1.若是零环,则任取一个域且令是的零理想,那么必有,由挖补定理知必存在为环使且为域.情形2.若.构造一个集合,EMBEDEquation.3.在中定义关系“～”：～可以验证“～”是的一个等价关系，事实上，(ⅰ)(可变换)～(ⅱ)若～～.(ⅲ)若～且～且但中无零因子有消去律～,由(ⅰ)、(ⅱ)和(ⅲ)知“～”是一个等价关系.利用上的等价关系“～”,可在中进行分类则所在的类记为.(仅是记号)则可作集合,现在中定义运算加法:EMBEDEquation.3,乘法:,须证上述定义的合理性:(ⅰ)当,且,而无零因子,EMBEDEquation.3且,于是且(ⅱ)运算与类的代表元无关.事实上,若,EMBEDEquation.3首先,且～即其次,即～.所以由上分析知,其定义的加法和乘法是合理的.所以得到一个代数系统构成一个域,事实上,首先,构成一个加法变换群①由上(ⅰ)对“+”封闭且②③中的零元为,注意:则～,这说明中零元只有一个,但代表元不唯一.④,那么有负元.其次,构成一个半群.①关于“·”封闭可由知(ⅰ).②再其次,中满足“·”对“+”的分配律.①注意2.在“*”处,用到了性质:～由上可知构成了一个环.最后,是一个域,即作成一个变换群,事实上①已是半群.,若,且由此知,是半群.②则是单位元:=③,则所以是一个群.综合上述四个方面讨论知构成一个域.任取定那么现作一个的子集:,并构成对应关系:其中显然是映射,且是满射.如果,则～(中有消去律)是单射.是双射,且是同态映射.事实上是环同构,即,显然.利用挖补定理,必存在域,有且明示:事实上,有理数域就是通过上述方法,由而做出的.由上定理的证明过程可知,中元素的形式较为复杂,即,其是如此复杂吗?上述讨论恰好证明了下列定理定理2.包含环的域,恰好是所有形如的元组成,即证明：,则在必有逆元(未必在中)若,那么,这表明:有可能是由“”的形式组成的..事实上,.设,显然,现,其中,必是满射对于,则使然而,由的任意性EMBEDEquation.3.定义：设为环而是包含的一个域,如果,则称为的商域.定理3：假定R是一个有两个元的环，为包含的域。那么包含的一个商域.证明:设,则,用一切这样的元素构成一个集:(其中)且知为的商域.又.定理4：同构的环的商域也同构。证明：略。PAGE精选 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