高考数学数列题型综合题

高考数学数列题型综合题 二、点列综合题 2P(x,y),c:y,x(x,0)例15 设曲线上的点为过P作曲线c的切线与x轴交于Q，01000 P(x,y)过Q作平行于y轴的直线与曲线c交于，然后再过P作曲线c的切线交x轴于11111 P(x,y)Q，过Q作平行于y轴的直线与曲线c交于，依此类推，作出以下各点:P，220222 x,2P(x,y)(n,N)，Q，P，Q，…P，Q…，已知，设 Q，P11223nn+10nnn(1)求出过点P的切线方程; 0 x,f(n),f(n)(2)设求的表达式; n S,x，x，？，x,S(3)设求 n01nn 解:(1) ?过点P的切线段为即 y,4,4(x,2)4x,y,4,0？k,2x,4000 2 (2) ?过点P的切线方程为 ？k,2xy,x,2x(x,x)nnnnnn 2 将的坐标代入方程得: Q(x,0),x,2x(x,x)n，1n，1nnn，1n xx1nn，1 ？,,,xn，12x2n 1 故数列是首项为的等比数列 {x}2,x,公比为n02 11nn,1 ？x,f(n),2,()即f(n),()n22 12(1,)n，11 (3) 2？S,,S,4(1,)nnn，1121,2 bn?，， Pab，例16 已知点满足:，且已知aabb,,nN,，，nnnnnnn，，，11121 ,an12,,P， ,,0,,33 l (1)求过点PP，的直线的方程; 01 lPn,2 (2)判断点与直线的位置关系，并证明你的结论; ，，n P(3)求点的极限位置。 n 12解:(1)由，得: ab00,,， 33 2 ba 31311123,,,，,， 43441,, 1,,, ,,3 显然直线l的方程为 xy，,1 13 (2)由，得: ab11,,， 44 3 ba 41412224,,,，,， 54551,, 1,,, ,,l ?点，猜想点在直线上，以下用数学归纳法证明: Pl,Pn,24，，2n 当n,2时，点 Pl,2 假设当时，点，即 Pl,ab，,1nkk,,()2kkk nk,，1 当时， ababb，,，?kkkkk，，，，1111 ,，1ab，，kk，1 bbkk ，，,，1a,k21,a1,akk ,1 ?点Pl, k，1 综上，点 Pln,,2，，nb?，，1n (3)由，得: aabb,,ab，,nnnn，，，111nn211 b,aannn??0,anaa,,a,a,，，nn，1nn22111 ，a,a,annn 11 1,,11？,， ?数列是以为首项，公差为31的等差数列 ,,,aan0,,aann，1 11？,，,3，nanan，3n 1n，2ba,,,,11,nnn，3n，3 1 ？limlima,,0nnn,,,,n，3 21，n，2nlimlimlimb,,,1nnnn,,,,,,3n，31，n ？,,PP,01，，，n 的极限位置为点P(0，1) 即点Pn kA(x,y)例17已知曲线，过C上一点作斜率的直线，交曲线于另一点C:xy,1C1111 kA(x,y)A(x,y)A(x,y)，再过作斜率为的直线，交曲线C于另一点，…，3332222222A(x,y)kA(x,y)x,1过作斜率为的直线，交曲线C于另一点…，其中，nnnnn，1n，1n，11 x，1*n k,,(x,N)n2x，4xnn xx (1)求与的关系式; n，1n x (2)判断与2的大小关系，并证明你的结论; n |x,2|，|x,2|，...，|x,2|,2 (3)求证:. 12n x，1nA(x,y)解:(1)由已知过斜率为的直线为 ,nnn2x，4xnn x，1ny,y,(x,x) ， ,nn2x，4xnn A(x,y) 直线交曲线C于另一点 n，1n，1n，1 x，1ny,y(x,x) 所以= ,n，1nn，1n2x，4xnn x，111n(x,x)x,x,, 即，?0， ,n，1nn，1n2xxx，4xn，1nnn x，4*n 所以 x,(n,N)n，1x，1n nx,2x,2 (2)解:当为奇数时，;当n为偶数时， nn x，4x,2n,1n,1x,2,,2, 因为， nx，1x，1n,1n,1 x,0x,2x,2 注意到，所以与异号 nnn,1 x,2 由于x,1,2，所以，以此类推， 12 *x,2n,2k,1(k,N) 当时，; n *x,2n,2k(k,N) 当时， n x，43nx,0x,,1， (3)由于，， nn，1x，1x，1nnx 所以?1(n,1,2,3，…) n x,2|x,2|1nn|x,2|,||, 所以?|x,2| n，1nx，1x，12nn 1111|x,2||2| 所以|x,2||x,2|x,,???…? nn,1n,212n,1n,12222 1112n,1|x,2|，|x，2|，...，|x,2| 所以?1，，()，...，() 12n222 1n,1 ,2,(),2 2 PxyPxyPxyyyy(,),(,),,(,),(0),,,,例18 如图，是曲线 11122212nnnn2Aain(,0)(1,2,3,,),上的个点，点在轴的正半轴上，nx,AAPCyxy:3(0),,iiiii,1 是正三角形(A是坐标原点) .(?) 写出; aaa,,0123(?)求出点A的横坐标a关于n的表达式; (,0)(*)anN,nnn 1111b,，，，，(?)设，若对任意正整数，当时，不等nm,,1,1,,naaaannnn，，，1232 12tmtb,，,2恒成立，求实数的取值范围. 式tn6 (?) . . 解:aaa,,,2,6,12123 (?)依题意，则 AaAa(,0),(,0)nnnn,,11 y aa，aa，,,nn,1nn,1x,y,3，… 3分 nn,, P322,, P2 P1在正三角形中，有 PAAnnn,1 A 0 33 AA A 31O x 2yAAaa,,,||() . nnnnn,,1122 aa，3,,nn,1. ？,,3()aann,1,,22,, ， ？,,，aaaa2()nnnn,,11 22？,，,，,,aaaaaannN22()(2,*) ， ? nnnnnn,,,111 22aaaaaanN,，,，,22()(*)同理可得 . ? nnnnnn，，，111 ?-?并变形得 ()(22)0(2,*)aaaaannN,，,,,,, nnnnn，,，,1111 ， aa,nn，,11 ？，,,,aaa220 ， nnn，,11 ？,,,,,,()()2(2,*)aaaannN . nnnn，,11 2?数列是以为首项，公差为的等差数列. aa,aa,,4,,nn，121？,,，,aannN2(1),(*) ， …………………………………… 7分 nn，1 ,，,，,，,，，,aaaaaaaaa()()()()， ？a12132431nn,n 2,，，，，2(123)n,，nn. ？,，,annnN(1)(*). n 1111(?)解法1 :?bnN,，，，，,， (*)naaaa，，，1232nnnn 1111?bnN,，，，，,. (*)n，1aaaannnn，，，，23422 111？,,，,bb nn，1aaa21221nnn，，， 111,，, (21)(22)(22)(23)(1)(2)nnnnnn，，，，，， 2,，,2(221)nn,. (21)(22)(23)(2)nnnn，，，， ?当时，上式恒为负值， nN,* ?当时，， nN,*bb,nn，1 ?数列b是递减数列. ,,n 11的最大值为. ？bb,,n1a62 12tmtb,，,2若对任意正整数，当时，不等式恒成立，则不等式nm,,1,1,,n6 1122tmt,，,2tmt,,20在时恒成立，即不等式在时恒成立. m,,1,1m,,1,1,,,,66 2f(1)0,f(1)0,, 设，则且， fmtmt()2,, 2,tt,,20,? ,2tt，,20,, 解之，得 t,,2或t,2， (,2)(2,),,,,，,t即的取值范围是. ,,12BPAB例19 ?ABC中，|AB|=|AC|=1，ABAC?,，P为AB边上的一点，，1?1 32从P向BC作垂线，垂足是Q;从Q向CA作垂线，垂足是R;从R向AB作垂线，垂11111足是P，再由P开始重复上述作法，依次得Q，R，P;Q，R，2222333P…… 4 (1)令BP为x，寻求BP与(即)之间的关系。 BPxx与nnnn，1nn，1 (2)点列是否一定趋向于某一个定点P,说明理由; PPPPP，，，……01234n 1 (3)若，则是否存在正整数m，使点P与P之间的距离小于||||ABBP,,1，0m1,, 310.001,若存在，求m的最小值。 解:(1)由|AB|=|AC|=1， ABACBAC?，???,,60 从而?ABC为边长为1的正三角形 1 2 则，于是 BPxBPx,,，则BQBPx,,??cos60nnnn，，11nnn 12 ? CQx,,1nn112 同样 CRCQx,,,??cos()601nnn1111 ARxx,,,,，1()122nnn111 2224 又 APARx,,，??cos()60nnn，111131 BPxx,,，,,1()224nnn，1 3122448 即xx,, nn，1 482221212 (2)由(1)可得: xx,,,,nn，1() 383 ?的等比数列 {}xxx,,,，当?时，是以为首项，公比为n11 n1221, ?xx,，,,()() n1 23338 当 nx,，,,时，338n 32, ?点P趋向点P，其中P在AB上，且BP n000mm113 22111,,mm1111000 (3) PPxx||||()()01mm ,,,,,,, 由 ||.().PP,,,0001得，?000380m 1000 m,133838 当m,,48时， 83 3 mm,4，?的最小值为4 22Cxnxyn:20(1,2,),，,,例20 已知曲线(从点向曲线引斜率为P(1,0),Cnn kk(0),Pxy(,)的切线，切点为( lnnnnnn {}{}xy与(1)求数列的通项 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ; nn 1,xxnn(2)证明:. xxxx,,,,,,2sin13521,n1，xynn 22y,k(x，1)x,2nx，y,0解:(1)设直线:，联立得lnn 22222222(1，k)x，(2k,2n)x，k,0,,(2k,2n),4(1，k)k,0，则，?nnnnnnnnk,(舍去) ,n2n，12n，1 22kn2n，1nn2ny,k(x，1),x,，即，? x,,nnnnn22n，1n，11，k(n，1)n n1,1,x1n，1n,,(2)证明:? n1，x2n，1n1，n，1 132n,1132n,11x,x,x,,,,,x,，，,,,，,，，,,,，, 1352n,1242n352n，12n，1 1,xn? x,x,x,,,,,x,n1352,11，xn x1,x1'nn由于,,，可令 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数，则，f(x),x,2sinxf(x),1,2cosxy2n，11，xnn 2,,''f(x),0f(x),0f(x)令，得，给定区间，则有，则函数在上cosx,(0,)(0,)244 ,f(x),f(0),0x,2sinx单调递减，?，即在恒成立，又(0,)4 11,0,,,， 2134n， 1,xx11nn,2sin,2sin则有，即.2n，12n，11，xynn 例21 数轴上有一列点P，P，P，…，P，…，已知当时，点P是把线段P Pn,2123nnn – 1n+1 作n等分的分点中最靠近P的点，设线段PP，PP，…，P P的长度分别为a，a，n+11223nn + 112 a，…，a，其中a = 1( 3n1 *(1)写出a，a和a(，)的表达式; nN,n,223n*(2)证明a+ a + a+…+a < 3(); nN,1 23 n*(3)设点M( n，a)(n > 2，)，在这些点中是否存在两个点同时在函数nN,nn kyk,,(0)的图像上，如果存在，请求出点的坐标;如果不存在，请说明理由( 2(1)x, PPnPP,,(1).解:(1) 由已知， nnnn,，11 令n = 2，PP = PP，所以a = 1， 12232 1a,令n = 3，PP = 2PP，所以， 233432 a1n,同理，( ,an1,1n 1111111所以 aaan,,,,,,1(2)nnn,,12nnnnnn,,,,,,112122(1)! 1111(2) 因为 ,,,,n(2)n,2nn,，，，，，,(1)!1234(1)22222 111111所以 aaaa，，，，,，，，，,，，，，，111123n22n,n,1!2!(1)!222 1n,1,1()1n,22( n,，,,,,13()3(2)12,12 *aaaanN，，，，,,3()而n = 1时，易知a = 1 < 3成立，所以 1n123 *(22)pqpqNpq,,,,，、，且，(3) 假设有两个点A(p，a)，B(q，a)，都pq ky,在函数 2(1)x, 22(1)(1)pq,,kk,,kk，即(所以( aa,,，pq22(1)!(1)!pq,,(1)(1)pq,, 22(1)(1)pq,,,消去k得，……? (1)!(1)!pq,, 2nb,以下考查数列{b}，的增减情况， nnn! 2222nnnnnn(1)(1)31,,,,，， bb,,,,,,nn,1nnnn!(1)!(1)!(1)!,,, 2 当n > 2时，n– 3n + 1 > 0，所以对于函数{b}有b > b > b > … > b > … n234n 所以?式不能成立， ky,所以，不可能有两个点同时在函数图像上( 2(1)x, 例22 在直角坐标系中，有一点列P(a，b)，P(a，b)，…，P(a，b)，…对每一个111222nnn 正整数n，点P在给定的函数y,log(2x)的图像上.而在递增数列{a}中，a与a是n3nnn+122关于x的方程4x,8nx，4n,1,0(n?N*)的两个根( (?)求点P的纵坐标b的表达式; nn ccc12nbn(?)记c,3，n?N*.证明，…，,3; ，2nn 222 1122解:(?)解方程4x,8nx，4n,1,0，得x,n,，x,n,， 1222 111}是递增数列，?a,n,，a,n,，即a,n,( n?N*)， ?{annn+1n222 又因为P(a，b)在函数y,log(2x)的图像上，所以b,log(2n,1). nnn3n3 bn(?)因为c,3，n?N*，所以c,2n,1 nn 2n,1ccc1312n设D,，…，，即D,，，…，， ? ，2n2nnn222222 2n,32n,1113所以D,，，…，，， ? 23nn+1n22222 2n,111111由?,?得D,，，，…，,，则 2n+1n,1n222222 1n,11,()22n,12n,1111所以D,1，1，，，…,,1， ,2nnn,2n2221221,2 2n,11,3,,,3， nn,222 11y,x，例23 已知点列B(1,y)、B(2,y)、…、B(n,y)(n?N)顺次为一次函数图像1122nn412 上的点，点列A(x,0)、A(x,0)、…、A(x,0)(n?N)顺次为x轴正半轴上的点，其中1122nn x=a(0,a,1)，对于任意n?N，点A、B、A构成一个顶角的顶点为B的等腰三角形。 1nnn+1n?求数列{y}的通项公式，并证明{y}是等差数列; nn ?证明x-x为常数，并求出数列{x}的通项公式; n+2nn ?在上述等腰三角形ABA中，是否存在直角三角形,若有，求出此时a值;若不存在，nnn+1 请说明理由。 111y,n，解:(1)(n,N),?y-y=,?{y}为等差数列 n+1nnn4124 ,ABA,ABA (2)因为与为等腰三角形. nnn，1n，1n，1n，2 xx，,nn，1,n,,2x,x,2所以，两式相减得 。 ,n，2nxx，nn，，12,,，n1,,2 x,x,2注:判断得2分，证明得1分 n，2n ?x,x,x,…,x及x,x,x，…，x都是公差为2的等差数列，2n-1246 2n 135 na1 (，,当n为奇数), ? x,,n(n-a 当n为偶数), 11nn (3)要使ABA为直角三形，则 |AA|=2=2(),x-x=2() y，，nnn+1nn+1n+1nB412412n 当n为奇数时，x=n+1-a，x=n+a-1,?x-x=2(1-a). n+1nn+1n n111n ,2(1-a)=2() ,a=(n为奇数，0,a,1) (*) ，,412124 12 取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n?5，则(*)无解; 63 当偶数时，x=n+a，x=n-a，?x-x=2a. n+1nn+1n 11nn ?2a=2(),a=(n为偶数，0,a,1) (*,)， ，，412412 7取n=2，得a=,若n?4，则(*,)无解. 12 712 综上可知，存在直角三形，此时a的值为、、. 6312