人教版八年级数学(上)
12.3.1角平分线的性质
1、角平分线的概念
一条射线
把一个角
分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
2、点到直线距离:
从直线外一点
到这条直线的垂线段
的长度，
叫做点到直线的距离。
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3.下图中能表示点P到直线l的距离的是
线段PC的长
1. 会利用三角形全等知识探索、猜想、证明角平分线的性质 .
2. 会用尺规作已知角的平分线及运用角平分线的性质解决相关问题.
重点与难点
重点: 角平分线画法和性质及应用.
难点: 文字证明题的一般步骤.
学习目标：
1 、 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？
2 、打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
（对折）
1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。
将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?
A
D
B
C
E
如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
在平分角的仪器中, 相等的线段
是 _______ 和 _______.
自主学习
C
E
1
2
AB=AD
CB=CD
2. △ABC≌△ADC 的依据
是 _____ .
SSS
3. 由全等的性质, 进而推出
_______ . 即AE平分∠BAD.
∠1=∠2
你能根据上述平分角的仪器得出尺规作图: 作一个角的角平分线的方法吗？
作法: (1) 以O为圆心, 适当长为半径作弧, 交OA于M, 交OB于N;
已知: ∠AOB
求作: ∠AOB的平分线
A
O
B
●
M
N
(2) 分别以M、N为圆心, 大于 MN的长为半径作弧, 两弧在∠AOB的内部交于点C.
●
●
C
(3) 作射线OC. 则射线OC即为所求的角平分线.
理由: 由作法(1)和(2)得 _______, _______.
OM=ON
CM=CN
∴△OMC≌△ONC ( )
SSS
∴∠AOC=∠BOC ( )
全等三角形对应角相等
1〉平分平角∠AOB
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？
3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。
1. 将纸片上的角按下列的要求进行折叠
(1) 将∠AOB对折, 使OA与OB重合, 则折痕OC
就是它的________.
你能说明其中的道理吗？
角平分线
(2) 再折出一个直角三角形, 打开完原后折痕为
PD和PE, 则它们的大小关系是_______.
PD=PE
猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。
求证：PD=PE
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP
∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线的性质
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
A
O
B
P
1
2
∵ ∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
定理应用所具备的条件：
定理的作用：
证明线段相等。
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证明几何命题的一般步骤：
1、明确命题的已知和求证
2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
1.如图，OC是∠AOB的平分线， ∵
∴PD=PE
PD⊥OA，PE⊥OB
2.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC.
◆证明： ∵AD平分∠CAB
DE⊥AB ，DF⊥AC(已知)
∴DE=DF (角平分线的性质)
在Ｒt△BED和Rt△CFD中,
BD=CD （已证）
DE=DF （已知）
∴ Rt△ BED ≌Rt△CFD (HL)
∴ BE=CF（全等三角形对应边相等）
课堂小结
(3) 经过分析, 找出由已知推出要证的结论的
途径, 写出证明过程.
(2) 根据题意, 画出图形, 并用数学符号写出
的已知和求证.
2. 文字证明题的一般步骤:
1. 角平分线画法和性质及应用.
(1) 明确命题中的已知和求证
◆已知一个角∠AOB，你能否只用一块三角板画出∠AOB的角平分线？说出画法和理由.
思考：
P50 练习 第1题
P51 复习巩固 第3题
作业：
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