电路基础(电子版)

第1章电路模型及电路定律教学目标(1)理解电路模型，理解电压、电流、参考方向、电功率和额定值的意义。(2)掌握理想电路元件(如电阻、电容、电感、电压源和电流源)的电压电流关系。(3)掌握基尔霍夫定律、电位的概念及计算。1.1电路及电路模型1.1.1电路的作用电路指电流所通过的路径，也称回路或网络，是由电气设备和元器件按一定方式连接起来，以实现特定功能的电气装置。在电力、通信、计算机、信号处理、控制等各个电气工程技术领域中，都使用大量的电路来完成各种各样的任务。电路的作用大致可分为以下两方面。(1)电能的传输和转换。例如电力供电系统、照明设备、电动机等。此类电路主要利用电的能量，其电压、电流、功率相对较大，频率较低，也称为强电系统。(2)信号的传递和处理。例如电话、扩音机电路用来传送和处理音频信号，万用 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 用来测量电压、电流和电阻，计算机的存储器用来存放数据和程序。此类电路主要用于处理电信号，其电压、电流、功率相对较小，频率较高，也称为弱电系统。实际电路虽然多种多样，功能也各不相同，但它们都受共同的基本规律支配。正是在这种共同规律的基础上，形成了“电路理论”这一学科。通过对“电路”课程的学习，可掌握电路的基本理论和基本分析方法，为进一步学习电路理论及电气类相关课程打下基础。1.1.2电气图及电路模型实际电路要工作，首先要由电源或信号源提供电能或电信号，向电路输入电压、电流后，推动用电设备(也称负载)工作以实现特定的功能。电源或信号源又称为激励，由激励在电路中各部分引起的电压和电流输出称为响应。人们日常生活中所用的手电筒电路就是一个最简单的电路，它由干电池、灯泡、手电筒壳(连接导体)组成，如图1-1(a)所示。干电池是将非电能(此处为化学能)转换为电能的设备，称为电源；灯泡是将电能转换成非电能(此处为光能)的设备，称为负载；开关是接通或断开电路，起控制电路作用的元件；连接导体负责把电源与负载连接起来。一个完整的电路是由电源(或信号源)、负载和中间环节(如开关、导线等)三个基本部分组成的。各种实际电路的种类和作用不同，规模也相差很大，小到硅片上的集成电路，大到高低压输电网，但都可以分解成以上三大部分。各种电路中随着电流的流动，都在进行着不同形式能量之间的转换。在实际应用中，为了便于分析，通常用电路图来表示电路。在电路图中，各种电气元件都不需要画出原有的形状，而是采用统一 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 的图形符号来表示。图1-1(b)所示就是图1-1(a)所示手电筒的电路原理图。 (a)手电筒实际电路 (b)手电筒电路原理图 (c)手电筒电路模型图1-1电路模型为便于理论研究，常用与实际电气设备和元器件相对应的理想化元器件构成电路，并用统一规定的符号表示作为实际电路的“电路模型”，如图1-1(c)所示。本 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 在进行理论分析时所指的电路，均指这种电路模型。人们设计制作某种元器件是要利用它的某种物理性质，譬如说，制作一个电阻器是要利用它的电阻，即对电流呈现阻力的性质；制作一个电源是要利用它的两极间能保持有一定电压的性质；制作连接导体是要利用它的优良导电性能，使电流顺利流过。但是，事实上不可能制造出只表现出某一性质的器件，也就是说，不可能制造出完全理想的器件，例如：(1)一个实际的电阻器在有电流流过的同时还会产生磁场，因而还兼有电感的性质。(2)一个实际电源总有内阻，因而在使用时不可能总保持一定的端电压。(3)连接导体总有一点电阻，甚至还有电感。这样往往给分析电路带来了困难，因此，必须在一定条件下对实际器件加以理想化，忽略它的次要性质，用一个足以表征其主要性能的模型来表示。例如：(1)灯泡的电感是极其微小的，把它看作一个理想的电阻元件是完全可以的。(2)一个新的干电池，其内阻与灯泡的电阻相比可以忽略不计，把它看作一个电压恒定的理想电压源也是完全可以的。(3)在连接导体很短的情况下，导体的电阻完全可以忽略不计，可看作理想导体。于是这个理想电阻元件就构成了灯泡的模型，理想电压源就构成了电池的模型，而理想导体则构成了连接导体的模型。各种实际元器件都可以用理想模型来近似地表征它的性质，只有对这样用理想模型表征的元器件所构成的电路模型，人们才有可能进行定性和定量的研究分析。电路理论分析的对象是电路模型，而非实际电路。1.1.3集总元件与集总假设1.电路研究的理想化假设实际的电路元器件在工作时，其电和磁现象同时存在，且发生在整个元器件中，复杂地交织在一起。为了方便分析，在一定的条件下，假定电路中的电磁现象可以分别研究，用“集总参数元件”(简称集总元件)来构成模型，每一种集总元件均只表现一种基本现象，且可以用数学方法精确定义。如电阻表示只消耗电能的元件，电容表示只存储电场能量的元件，电感表示只存储磁场能量的元件，电压源和电流源均表示只提供电能的元件，等等。上述元件的一个共同特点是都只有两个端钮，故称为二端元件(或称单口元件)。除二端元件外，往往还需要四端元件(或称双口元件)，如受控源、理想变压器、耦合电感等。2.集总假设的适用条件上述“集总”的含义是：元器件中的电场和磁场可以分隔，并分别加以表征和研究，即元器件中交织存在的电场和磁场之间不存在相互作用。但实际上，若电场与磁场间存在相互作用时将产生电磁波，这样电路中的一部分能量将通过辐射而损失掉。由此可见，上述集总假设的使用是有条件的，只有在辐射能量可以忽略不计的情况下才能采用集总假设，即当实际电路元件或部件的外形尺寸远比通过它的电磁波信号的波长小得多，可以忽略不计时，方可采用集总假设。这种元件和部件称为集总元件，是抽象的理想元件模型，由集总元件构成的电路模型，称为集总电路。例如，我国电力用电的频率为50Hz，对应的波长为6000km。对一般的用电设备和其中的元器件而言，其尺寸与这一波长相比完全可以忽略不计，因此集总假设的概念是完全适用的。但对远距离输电线来说，就必须考虑到电场、磁场沿电路分布的现象，不能用集总参数而要用分布参数来表征。1.2电路变量电路的电性能可以用一组表示为时间函数的变量来描述，最常用到的是电流、电压和电功率。本书中各电量单位都采用国际单位制。1.2.1电流自然界中存在正、负两种电荷，在电源的作用下，电路中形成了电场，在电场力的作用下，处于电场内的电荷发生定向移动，形成电流，习惯上把正电荷运动的方向规定为电流的方向。电流的大小称为电流强度(简称电流)，是指单位时间内通过导体横截面的电荷量，即(1-1)式中，电荷q的单位为库[仑](C)；时间的单位为秒(s)；电流的单位为安[培](A)。除了A外，常用的单位有毫安(mA)、微安(μA)，它们之间的换算关系如下：1A=103mA1mA=103μA如果电流的大小和方向不随时间变化，这种电流称为恒定电流，简称直流，一般用大写字母I表示。如果电流的大小和方向都随时间变化，则称为交变电流，简称交流，一般用小写字母表示。本书中的小写字母也可能表示恒定量，读者要根据上下文确定。1.2.2电压电压是指电场中两点间的电位差(电势差)，电压的实际方向规定为从高电位指向低电位，a、b两点之间的电压在数值上等于电场力驱使单位正电荷从a点移至b点所做的功，即(1-2)式中，dq为由a点转移到b点的正电荷量，单位为库[仑](C)；dW为转移过程中电场力对电荷dq所做的功，单位为焦[耳](J)；电压u(t)的单位为伏[特](V)。如果正电荷由a点转移到b点，电场力做了正功，则a点为高电位，即正极，b点为低电位，即负极；如果正电荷由a点转移到b点，电场力做了负功，则a点为低电位，即负极，b点为高电位，即正极。如果正电荷量及电路极性都随时间变化，则称为交变电压或交流电压，一般用小写字母u表示；若电压大小和方向都不变，称为直流(恒定)电压，一般用大写字母U表示。1.2.3参考方向在实际问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 中，电流和电压的实际方向事先可能是未知的，或难以在电路图中标出，例如交流电流，就不可能用一个固定的箭头来表示其实际方向，所以引入参考方向的概念。参考方向可以任意选定，在电路图中，电流的参考方向用箭头表示；电压的参考方向(也称参考极性)则在元件或电路的两端用“+”、“-”符号来表示，“+”号表示高电位端，“-”号表示低电位端；有时也用双下标表示，如uAB表示电压参考方向由A指向B。如果电流或电压的实际方向(虚线箭头)与参考方向(实线箭头或“+”、“-”)一致，则用正值表示；如果两者相反，则为负值，如图1-2所示。这样，可利用电流或电压的正负值结合参考方向来表明实际方向。(a)i>0(b)i<0(c)u>0(d)u<0图1-2参考方向在分析电路时，应先设定好合适的参考方向，在分析与计算的过程中不再任意改变，最后由计算结果的正、负值来确定电流和电压的实际方向。如果指定流过某元件(或电路)的电流参考方向是从标以电压的正极性的一端指向负极性的一端，即两者的参考方向一致，则把电流和电压的这种参考方向称为关联参考方向；当两者不一致时，称为非关联参考方向，如图1-3所示。(a)关联参考方向(b)非关联参考方向图1-3关联参考方向在分析计算电路时，对无源元件常取关联参考方向，对有源元件则常取非关联参考方向。1.2.4电功率电功率表示电路或元件中消耗电能快慢的物理量，定义为电流在单位时间内所做的功，即(1-3)当时间t的单位为秒(s)，功W的单位为焦[耳](J)时，功率p的单位为瓦[特](W)。设定电流和电压为关联参考方向时，由式(1-2)，有，再结合式(1-1)，有(1-4)此时把能量传输(流动)的方向称为功率的方向，若p(t)>0，表示此电路(或元件)吸收能量，此时的p(t)称为吸收功率；若p(t)<0，表示此电路(或元件)发出能量，此时的p(t)称为发出功率。对于，当设定电流和电压为非关联参考方向时，若p(t)>0，表示此电路(或元件)发出能量，此时的p(t)称为发出功率；若p(t)<0，此电路(或元件)吸收能量，此时的p(t)称为吸收功率。根据能量守恒定律，对于一个完整的电路来说，在任一时刻各元件吸收的电功率的总和应等于发出电功率的总和，或电功率的总代数和为零。【例1-1】图1-4所示电路中已标出各元件上电流、电压参考方向，已知i=2A，u1=3V，u2=-8V，u3=5V，试求各元件吸收或发出的功率，并验证整个电路的电功率是否平衡。解：对元件1和元件2，其上的电压和电流为关联参考方向，有(吸收功率)(发出功率)对元件3，其上的电压和电流为非关联参考方向，有(吸收功率)电路吸收的总功率为电路发出的总功率为可见，总功率平衡。功率平衡的规律可用于电路设计或求解电路的结果验证。在电压、电流选定关联参考方向时，电路从t0到t时间内所吸收的电能W为(1-5)电能的单位是焦[耳](J)，在电力系统中，电能的单位通常用千瓦时(kW·h)来表示，也称为度(电)，它们之间的换算关系为1度(电)=1kW·h=3.6×106J注意，实际的电气设备都有额定的电压、电流和功率限制，使用时不要超过规定的额定值，否则易使设备损坏。超过额定功率称为超载，低于额定功率称为欠载。1.3电路元件在电路理论中，实际的元件是用理想化的电路元件的组合来表示的。理想的电路元件有二端元件和多端元件之分，又有有源、无源的区别。本书所涉及的无源理想二端元件有电阻、电感和电容，无源理想多端元件有晶体管、运算放大器、变压器等；有源元件有理想电压源和理想电流源。每一个理想电路元件的电压u或电流i，或者电压与电流之间的关系都有着确定的规定，例如电阻元件上的电压与电流关系为u=f(i)。这种规定充分地表征了此电路元件的特性，称为元件的约束。有时，在元件约束里也用到电荷q和磁通Ф(或磁通链()等，如电容元件上电荷与电压的关系为q=f(u)，电感元件上磁通链与电流的关系为(=f(i)。如果表征元件特性的代数关系为线性关系，对应的元件称为线性元件；否则称为非线性元件。如果元件参数是时间t的函数，对应的元件称为时变元件；否则称为时不变元件，元件参数为常数。本书所涉及的元件大部分为线性时不变元件，且大多为二端元件。1.3.1电阻元件电阻元件是从实际物体中抽象出来的理想模型，表示物体对电流的阻碍和将电能转化为热能的作用，如模拟灯泡、电热炉等电器。1.电阻元件的伏安特性任何一个二端元件，如果在任意时刻的电压和电流之间存在代数关系(即伏安关系，VoltageCurrentRelation，VCR)，不论电压和电流的波形如何，它们之间的关系总可以由u-i平面上的一条曲线(伏安特性曲线)所决定，则此二端元件称为电阻元件，简称电阻。伏安特性曲线过原点且为直线的电阻元件称为线性电阻元件，如图1-5所示。设电流和电压参考方向相关联，电阻元件两端的电压和电流遵守欧姆定律：(1-6)式中，u为电阻元件两端的电压，单位为伏[特](V)；i为流过电阻元件的电流，单位为安[培](A)；电阻R是电阻元件的参数，为正实常数，单位为欧[姆](()，电阻R的大小与直线的斜率成正比，R不随电流和电压大小而改变；u、i可以是时间t的函数，也可以是常量(直流)。(a)符号(b)伏安特性曲线图1-5线性电阻元件定义电阻的倒数为电导G，即，式(1-6)可写为(1-7)电导的单位是S(西[门子])。如果电流和电压参考方向非关联，则有或电阻元件还可分为非线性、时不变、时变等几类。非线性电阻元件符号及各类电阻伏安特性曲线如图1-6所示。(a)非线性电阻元件符号(b)线性时变电阻(c)非线性时不变电阻(d)非线性时变电阻图1-6非线性电阻元件符号及各类电阻伏安特性曲线根据电阻元件的一般定义，在u-i平面上用一条斜率为负的特性曲线来表征的元件也属电阻元件，这种元件称为负电阻元件或负电阻，即R<0。在本书中，除非专门说明，电阻均指线性时不变的正值电阻。2.电阻元件的功率对于任意线性时不变的正值电阻，即，因此，也就是说，这种电阻元件始终吸收(消耗)功率，为耗能元件，也称无源元件。电阻元件从到时间内产生的热量即为这段时间内消耗的电能，有1.3.2电容元件电容元件是一种表征电路元件储存电荷特性的理想元件，简称电容。电容的原始模型为由两块金属极板中间用绝缘介质隔开的平板电容器，当在两极板上加上电压后，极板上分别积聚了等量的正、负电荷，在两极板之间产生电场。积聚的电荷越多，所形成的电场就越强，电容元件所储存的电场能也就越大。电容(或称电容量)是表示电容元件容纳电荷能力的物理量，人们把电容器的两极板间的电势差增加1V所需的电荷量，称为电容器的电容，记为C。C是一个正实常数，单位是法[拉](F)，其定义为(1-8)除了F外，电容常用的单位还有微法(μF)、皮法(pF)，它们之间的换算关系如下：1F=106μF1μF=106pF电容元件也有线性、非线性、时不变和时变的区分，本书只讨论线性时不变二端电容元件。任何一个二端元件，如果在任意时刻的电荷量和电压之间的关系总可以由q-u平面上一条过原点的直线所决定，则此二端元件称为线性时不变电容元件，如图1-7所示。(a)符号(b)库伏特性曲线图1-7线性电容元件线性电容C不随其上的q或u情况变化。对于极板电容而言，其大小只取决于极板间介质的介电常数(、电容极板的正对面积S及极板间距d，即1.电容元件的伏安特性由于，而，所以电容的伏安(u-i)关系为微分关系，即(1-9)由此可见，电路中流过电容的电流大小与其两端的电压变化率成正比，电压变化越快，电流越大，而当电压不变时，电流为零。所以，电容元件有隔断直流的作用。而其(u-i)关系为积分关系，即两边同时除以C，有如果取初始时刻，则有(1-10)由此可见，电容元件某一时刻的电压不仅与该时刻流过电容的电流有关，还与初始时刻的电压大小有关。可见，电容是一种电压“记忆”元件。2.电容元件的功率对于任意线性时不变的正值电容，其功率为(1-11)那么从到时间内，电容元件吸收的电能为则从到时间内，电容元件吸收的电能为(1-12)式(1-12)表明，当时，电容从外部电路吸收能量，为充电过程；反之，当时，电容向外部电路释放能量，为放电过程。电容可以储存电能，但并没有消耗掉，所以称为储能元件。而电容释放的电能也是取之于电路，它本身并不产生能量，所以它是一种无源元件。【例1-2】图1-8(a)所示电容C=1F，电容电压的波形图如图1-8(b)所示，试求电容电流的表达式，并绘出对应波形图。(a)(b)(c)图1-8例1-2图解：由图1-8(b)先列出对应的电压表达式为根据EMBEDEquation.3求，即时，，时，，所以，电容电流为电容电流对应波形图如图1-8(c)所示。1.3.3电感元件电感元件的原始模型为由绝缘导线(如漆包线、纱包线等)绕制而成的圆柱线圈。当线圈中通以电流i时，在线圈中就会产生磁通量(，并储存能量。线圈中变化的电流和磁场可使线圈自身产生感应电压。磁通量(与线圈的匝数N的乘积称为磁通链，磁通链的单位是韦[伯](Wb)。表征电感元件(简称电感)产生磁通、存储磁场能力的参数称为电感，用L表示。它在数值上等于单位电流产生的磁通链，即(1-13)电感L也称自感系数，基本单位是亨[利](H)。1H=1Wb/A，常用的单位还有毫亨(mH)和微亨(μH)，它们之间的换算关系如下：1H=103mH　　1mH=103μH本书只讨论线性时不变二端电感元件。任何一个二端元件，如果在任意时刻的磁通链和电流之间的关系总可以由((-i)平面上一条过原点的直线所决定，则此二端元件称为线性电感元件，如图1-9所示。 (a)符号 (b)特性曲线图1-9线性电感元件线性电感L不随电路的(或i变化。对于密绕长线圈而言，其L的大小只取决于磁导率μ、线圈匝数N、线圈截面积S及长度l。1.电感元件的伏安特性由楞次定理可得，而，所以电感的伏安(u-i)关系为(1-14)由此可见，电路中电感两端的电压大小与流过它的电流变化率成正比，电流变化越快，电压越高，而当电流不变时，电压为零，电感相当于短路。而其(u-i)关系即为积分关系，即如果取初始时刻，则有(1-15)由此可见，电感元件某一时刻流过的电流不仅与该时刻电感两端的电压有关，还与初始时刻的电流大小有关。可见，电感是一种电流“记忆”元件。2.电感元件的功率对于任意线性时不变的正值电感，其功率为(1-16)那么从到时间内，电感元件吸收的电能为则从到时间内，电感元件吸收的电能为(1-17)可见，当时，电感从外部电路吸收能量，以磁场的形式储存起来，为充电过程；当时，电感向外部电路释放能量，为放电过程。和电容一样，电感可以储存电能，也是储能元件。电感释放的电能来自于电路，它也是一种无源元件。【例1-3】图1-10(a)所示电感L=2H，电感电压的波形图如图1-10(b)所示，，试求电感电流的表达式，并绘出对应波形图。解：由电压波形图先列出对应的各时段电压表达式为电感电压与电流的关系式为所以，当时，有，当时，有，当时，有，所以，电感电流函数为电感电流对应波形图如图1-10(c)所示。(a)(b)(c)图1-10例1-3图1.3.4独立电压源电源是一种把其他形式的能转换成电能的装置。任何电路工作时都首先要由电源提供能量，实际的电源种类多样，有电池、发电机、信号源等，电池能把化学能转换成电能，发电机能把机械能转换成电能，信号源是指能提供信号的电子设备。近年来，新能源的应用发展很快，如太阳能和风力发电等。独立源是从实际电源中抽象出来的一种电路模型，分为独立电压源(也称为理想电压源，简称电压源)和独立电流源(也称为理想电流源，简称电流源)。电压源的电压或电流源的电流一定，不受外电路的控制而独立存在。电压源的端电压为定值Us或者是一定的时间函数us(t)，与流过它的电流或其他支路的电流无关。当电流为零时，其两端仍有电压Us或us(t)。独立电压源的符号及特性曲线如图1-11所示。 (a)一般符号 (b)电池符号 (c)特性曲线图1-11独立电压源符号及特性曲线端电压为定值Us的电压源，称为直流(恒定)电压源；端电压是一定的时间函数us(t)的电压源，称为交变电压源；端电压随时间做周期性变化且在一个周期内的平均值为零的电压源，称为交流电压源。在u-i平面上，电压源在t1时刻的伏安特性曲线是一条平行于i轴且纵坐标为us(t1)的直线，如图1-11(c)所示。特性曲线表明了电压源端电压与电流大小无关。电压源两端的电压由其本身独立确定，而流过它的电流并不是由电压源本身所能确定的，而是和与之相连接的外电路有关。电流可以从不同的方向流过电压源，因而电压源既可以对外电路提供能量，也可以从外电路接收能量，视电流的方向而定。因此，电压源是一种有源元件。理想电压源实际上不存在，但通常的电池、发电机等实际电源在一定的电流范围内可近似地看成是一个理想电压源。也可以用电压源与电阻元件来构成实际电源的模型，本书在后面再讨论这个问题。此外，电压源也可用电子电路来辅助实现，如晶体管稳压电源。1.3.5独立电流源独立电流源也是一种电路模型。电流源是一种能产生电流的装置。例如光电池在一定条件下，在一定照度的光线照射时就被激发产生一定值的电流，该电流与照度成正比，该光电池可视为电流源。流过电流源的电流为定值Is或者是一定时间的函数is(t)，与其两端的电压无关。当电压为零时，其发出的电流仍为Is或is(t)。独立电流源的元件符号如图1-12(a)所示，在表示直流(恒定)电流源时，is(t)=Is，箭头表示电流的参考方向，对已知的直流电流源，常使参考方向与实际方向一致。 (a)一般符号 (b)特性曲线图1-12独立电压源符号及特性曲线电流是一定时间函数is(t)的电流源，称为交变电流源；电流随时间做周期性变化且在一个周期内的平均值为零的电流源，称为交流电流源。在u-i平面上，电流源在t1时刻的伏安特性曲线是一条平行于u轴且横坐标为is(t1)的直线，如图1-12(b)所示。特性曲线表明了电流源端电压与电流大小无关。电流源的电流由其本身独立确定，而其两端的电压并不是由电流源本身所能确定的，而是和与之相连接的外电路有关。电流源两端电压可以有不同的极性，因而电流源既可以对外电路提供能量，也可以从外电路接收能量，视电压的极性而定。因此，电流源是一种有源元件。理想电流源实际上不存在，但光电池等实际电源在一定的电压范围内可近似地看成是一个理想电流源。也可以用电流源与电阻元件来构成实际电源的模型，本书将在后面再讨论这个问题。此外，电流源也可用电子电路来辅助实现。1.3.6受控源受控源又称非独立源，也是一种理想电路元件，具有与独立源完全不同的特点。以受控电压源为例，它的电压是受同一电路中其他支路的电压或电流控制的。受控源原本是从电子器件中抽象而来的。例如，晶体管的集电极电流受基极电流控制，运算放大器的输出电压受输入电压控制，场效应管的漏极电流受栅极电压控制等。受控源是一种四端元件，它含有两条支路，一条是控制支路，另一条是受控支路。受控支路为一个电压源或一个电流源，它的输出电压或输出电流(称为受控量)受另外一条支路的电压或电流(称为控制量)的控制，该电压源、电流源分别称为受控电压源和受控电流源，统称为受控源。1.受控源的四种形式根据控制支路的控制量的不同，受控源分为四种形式：电压控制电压源(VoltageControlledVoltageSource，VCVS)、电流控制电流源(CurrentControlVoltageSource，CCVS)、电压控制电流源(VoltageControlCurrentSource，VCCS)和电流控制电流源(CurrentControlCurrentSource，CCCS)。这四种受控源的符号如图1-13所示。 (a)  VCVS (b)  CCVS (c)  VCCS (d)  CCCS图1-13四种受控源符号独立源与受控源在电路中的作用完全不同，故用不同的符号表示，前者用圆圈符号，后者用菱形符号。独立源通常作为电路的输入，代表着外界对电路的作用，如电子电路中的信号源。受控源则是用来表示在电子器件中所发生的物理现象的一种模型，它反映了电路中某处的电压或电流能控制另一处的电压或电流的关系，在电路中不能作为“激励”作用。2.受控源的伏安关系每一种线性受控源都由两个线性方程式来表征。(1)对于VCVS有，，其中μ称为转移电压比，无量纲。(2)对于CCVS有，，其中r称为转移电阻，量纲为((欧[姆])。(3)对于VCCS有，，其中g称为转移电导，量纲为S(西[门子])。(4)对于CCCS有，，其中( 称为转移电流比，无量纲。这些方程是以电压和电流为变量的代数方程式，只是电压和电流不在同一端口，方程式表明的是一种“转移”关系。由此可见，若方程式的系数(即μ、r、g、( )为常数，则受控源是一种线性、非时变、双口电阻元件。我们所称的电阻电路包含受控源在内。注意：在具体的电路中，受控源的控制量和受控量的两条支路一般并不像图中画得那么近，控制量(电流或电压)就是某支路的电流或某元件上的电压。【例1-4】图1-14所示为一晶体管放大器的简单电路模型，设晶体管的输入电阻，电流放大系数，试求输出电压uo与输入电压ui的比值(也称为电压的增益)。解：根据欧姆定律，有，而，所以有1.4基尔霍夫定律电路的基本规律包含两方面的内容。一是将电路作为一个整体来看，应服从什么规律？二是电路的各个组成部分(电路元件)各有什么表现？也就是其特性如何？这两方面都必不可少。因为电路是由元件组成的，整个电路表现如何，既要看这些元件是怎样连接而构成一个整体的，又要看每个元件各具有什么特性。这两个方面体现了电路的元件约束和拓扑约束。其中元件约束是指元件应满足的伏安关系(VoltageCurrentRelation，VCR)，拓扑约束是指取决于互连方式的约束(即KCL、KVL定律)，它们是电路分析中解决集总问题的基本依据。本节首先学习电路整体的规律，即基尔霍夫定律。基尔霍夫定律(Kirchhoff’slaws)由德国物理学家基尔霍夫于1847年提出，是分析和计算较为复杂电路的基础，它既可以用于直流电路的分析，也可以用于交流电路的分析，还可以用于含有电子元件的非线性电路的分析。运用基尔霍夫定律进行电路分析时，仅与电路的连接方式有关，而与构成该电路的元器件具有的性质无关，即不论元件是线性还是非线性的，是时变还是时不变的都成立。基尔霍夫定律包括基尔霍夫电流定律(KCL)和基尔霍夫电压定律(KVL)。下面首先介绍几个基本概念，以图1-15所示电路为例。1.支路电路中只通过同一电流的每个分支(branch)称为支路，由一个或多个二端元件串联组成。流经支路的电流称为支路电流。图1-15所示电路中共有ac、ab、bc、ad、bd、cd六条支路，其中ad和cd支路是由两个元件串联组成的(注意有些书中是把每一个二端元件看成一条支路)。2.节点三条或三条以上支路的连接点称为节点(node)。在图1-15所示电路中，a、b、c、d均为节点，共四个节点。3.回路电路中的任一闭合路径称为回路(loop)。在图1-15所示电路中，abda、bcdb、acba、acda、abcda等都是回路，共有七个回路。4.网孔在回路内部不另含有支路的回路称为网孔(mesh)。在图1-15所示电路中，共有abda、bcdb、acba三个网孔。图1-15支路与节点1.4.1KCL定律电荷守恒和电流连续性原理指出，在电路中任一点上，任何时刻都不会产生电荷的堆积或减少现象，由此可得基尔霍夫电流定律(KCL)。对于任一集总电路中的任一节点，在任一时刻，流进该节点的所有支路电流的和等于流出该节点的所有支路电流的和，即(1-18)如图1-16所示电路中节点a，对其列出KCL方程为对上式适当移项，若规定流入该节点的支路电流取正号，流出节点的支路电流取负号，可改写为因而KCL也可描述为：对任一集总电路中的任一节点，在任一时刻，流入(或流出)该节点的所有支路电流的代数和为零。KCL的数学表达式为(1-19)式中，为流出(或流入)节点的第k条支路的支路电流；K为节点处的支路数。注意，电流“流入”或“流出”节点指的是电流参考方向。若规定流出节点的电流取正号，流入节点的电流取负号，式(1-19)也成立。图1-16KCL与KVL例图关于基尔霍夫电流定律(KCL)的说明如下。(1)  KCL定律适用于集总电路，表征电路中各个支路电流的约束关系，与元件特性无关。(2)使用KCL定律时，必须先设定各支路电流的参考方向，再依据参考方向列写方程。(3)可将KCL推广到电路中的任一闭合面或闭合曲线(广义节点)。例如，对图1-16中电路上部虚线所围的包含电阻R2、R3、R4和节点a、b、c的封闭区域，i1和is流入，i5流出，其KCL方程为证明过程如下。图1-16中上部虚线所围区域内的节点a、b、c对应的KCL方程分别是将上面三式相加后，即得到上述结论。【例1-5】如图1-17所示的部分电路中，已知ia=2A，i1=-4A，i2=5A，求i3、ib和ic。解：应用基尔霍夫电流定律，依据图1-17中标出的各电流参考方向，分别由节点a、b、c的KCL方程，求得或者在求得ib后，把三个电阻看成广义节点，也可求得ic，有1.4.2KVL定律由于电路中任意一点的瞬时电位具有单值性，若沿着任一路径，回到原来的出发点时，该点的电位是不会变化的，因此可得基尔霍夫电压定律(KVL)。对于任一集总电路，在任一时刻，沿任一回路循环一周，该回路所有支路电压降的和等于所有支路电压升的和，即(1-20)如图1-16中电路左下虚线所示回路abda，选顺时针为绕行方向，所列出的KVL方程为对上式适当移项，规定参考方向与绕行方向相同的电压取正号，参考方向与绕行方向相反的电压取负号，可改写为因而KVL也可描述为：对于任一集总电路中的任一回路，在任一时刻沿着该回路的所有支路电压的代数和为零。KVL的数学表达式为(1-21)式中，表示回路中第k条支路的支路电压；K为回路中的支路数。应用式(1-21)时，首先应选定回路的循环方向(沿回路顺时针或逆时针均可)，然后自回路中任一点开始沿所选方向绕行一周，凡经过的支路电压的参考方向与回路绕行方向一致者，在该电压前取正号；反之取负号。关于基尔霍夫电压定律(KVL)的说明如下。(1)  KVL定律适用于集总电路，表征电路中各个支路电压的约束关系，与元件特性无关。(2)使用KVL定律时，必须先设定各支路电压的参考方向，再依据参考方向和选定的绕行方向列写方程。(3)由KVL定律可知，任何两点间的电压与这两点间所经路径无关。例如，对图1-16中左下虚线所示回路abda，沿顺时针绕行，所列出的KVL方程为上式表明，us两端电压是唯一的，由其正极出发，即可经电压源本身到负极，也可沿u1、u2、u5到负极的路径来求，结果是一样的，与所经路径无关。(4)KVL定律可推广到电路中的任一假想的闭合回路上。【例1-6】如图1-18所示电路中，已知u1=4V，u2=−1V，u3=2V，u4=3V，R1=R2=20(，求电流i和电压ucd。解：沿回路abefa，由KVL定律，可列方程为所以有虽然cd点并不闭合，但对回路cbedc，也可以列KVL方程为1.4.3电路中KCL、KVL方程的独立性在电路分析中，当电路中有多个未知的支路电压和电流时，常要运用KCL、KVL定律列写多个方程，组成线性方程组求解。那么，对于给定的电路，可以列出多少个独立有效的KCL和KVL方程呢？图1-19所示电路中有四个节点(n=4)，可列出四个KCL方程，即图1-19KCL、KVL方程独立性例图每一支路接在两个节点之间，因而每一支路电流对一个节点为流出，则对另一个节点为流入。因此，如对所有的节点写KCL方程，每一支路电流将出现两次，一次为正，一次为负。若把以上四个方程相加，必然得到等号两边为零的结果，即这四个方程不是相互独立的。若从这四个方程中去掉任意一个，余下的三个方程一定是互相独立的。可以证明，对于具有n个节点的电路，在任意(n-1)个节点上可以得出(n-1)个独立的KCL方程，相应的(n-1)个节点称为独立节点。在图1-19所示电路中，如果对回路abda、回路bcdb和回路abcda列KVL方程，可得观察发现，前两个方程两边相加即可得到第三式。即这三个回路电压方程相互是不独立的，其中任一个方程可以由另外两个方程导出，所以这三个KVL方程中只有两个是独立的。可以证明，在平面电路中，其独立回路对应的KVL方程数等于其网孔数m，而网孔数，其中b为支路数，n为节点数。除了KCL、KVL方程外，还可以依据电路中元件的特性(VCR关系)列方程，如因此，对一个具有b条支路的电路，可以列出联系b个支路电流变量和b个支路电压变量所需的2b个独立方程式。列写这些方程的基本依据是只取决于电路互连形式的拓扑约束(topologicalconstraints)和取决于元件性质的元件约束(elementconstraints)，分别由电路的KCL、KVL定律和元件的VCR关系描述。根据两类约束列出支路电压变量、支路电流变量的联立方程组从而求得所需未知电压、电流的方法常称为2b法。2b法往往涉及求解大量联立方程式的问题，因此需要寻求减少联立方程式的电路分析方法。但是，从概念上说，2b法是很重要的，它是所有其他电路分析方法的基础。在计算机辅助电路分析中，这一方法具有易于形成方程式的优点，受到重视。1.5电路中电位的计算电位也称为电势，是表示电场中某点所具有能量的物理量，用符号V表示，如a点的电位记为Va，单位是V。电场中每一点都有电位，可以直接比较各点电位的高低，而电压就是两点间的电位差，如a、b两点间电压，只能在两点间相互比较。在电子技术中，常用电位的概念来分析电路中元件的工作状态，应用电位的概念还可以简化电路图的画法，便于分析计算。1.5.1电位在电路中，电位指某点到参考点间的电压，通常设参考点的电位为零，用图符“ |”表示。例如图1-20所示电路，若取c点为参考点，则Vc=0V，电路中电流，有b点的电位：d点的电位：b点电位为正，说明该点的电位比参考点高；d点电位为负，说明该点的电位比参考点低。若取d点为参考点，则Vd=0V，此时c点的电位为b点的电位为由上可知，在参考点不同的情况下，电路中同一点的电位也不相同。可见，电位是相对的，电路中某点电位的大小与参考点(即零电位点)的选择有关。零电位点可选电路上的任意点，习惯上规定大地为零电位点，对于机壳需要接地的设备，就可以把机壳作为参考点；在不接地的电子设备中，常把多个元器件汇聚的公共点设为零电位，也称之为地。而在图1-20所示电路中，a、b间的电压，a、d间的电压，在以上参考点不同的两种情况下都始终不变。可见，电路中两点间的电压值是固定的，不会因参考点的不同而改变，即与零电位参考点的选取无关。综上所述，计算电位的基本方法可归纳为如下几点。(1)选定电路中某一点为参考点，设其电位为零。(2)标出各电流参考方向及各元件两端电压的参考正、负极性。(3)计算各点至参考点间的电压，即得到各点的电位。从被求点开始通过一定的路径绕行到零电位参考点，则该点的电位等于此路径上所有电压降的代数和：电阻元件电压降写成±iR的形式，当电流i的参考方向与路径绕行方向一致时，取“+”号；反之，则取“-”号。电源电动势写成±us形式，当电动势的方向与路径绕行方向一致时，取“+”号；反之，则选取“-”号。【例1-7】如图1-20所示电路，试通过路径abc和adc分别计算a点的电位。解：由路径abc，有由路径adc，有在上式中，由于R3上电流参考方向与绕行方向相反，故R3上电压取“-”号。上两式求出的a点电位是一样的，可见，只要参考点确定，电路中各点电位就确定了，与分析时所取的路径无关。1.5.2简化电路为了方便绘制电路图及简化计算过程，借助电位的概念，常采用简化电路图。如图1-21(a)所示电路，可简化为图1-21(b)或图1-21(c)所示的形式，一般将电路参考点(地)选取在与电源直接相连处，把与地相连的电源及其与地的连线去掉，并用带有“+”、“-”符号及大小的标注代替。电路的其他所有部分则保留。 (a) (b) (c)图1-21简化电路图1.5.3简化电路的分析方法【例1-8】如图1-22(a)所示电路，求在开关S断开和闭合两种情况下，B点的电位VB。解：开关S断开时，电路没有构成电流通路，电流i=0，R1上无压降，有开关S闭合时，电路电流，有若不熟悉简化电路，也可将其改画成完整画法后再计算。即在标有电位的悬空端与参考点(地)间补画出理想电压源，注意理想电压源的极性和大小应与原来标的电位一样，如图1-22(b)所示。 (a) (b)图1-22简化电路的分析本章小结实际电路及元件理想化后，用对应符号构成的抽象电路称为电路模型，以利于分析。分析电路时，必须先设定电压、电流等电量的参考方向，元件或电路上电压、电流参考方向取一致(不一致)时称为关联(非关联)参考方向。常见电路元件：电阻，当u和i取关联参考方向时，u=Ri，，为耗能元件；电容，当u和i取关联参考方向时，，可以存储电场能，，为储能元件，不消耗电能；电感，当u和i取关联参考方向时，，可以存储磁场能，，为储能元件，不消耗电能。独立电压源的端电压为定值Us或者是一定的时间函数us(t)，不受外电路的控制而独立存在，与流过的电流大小、方向无关；独立电流源的电流为定值Is或者是一定的时间函数is(t)，也独立存在，与外电路或其两端的电压无关。电压源、电流源既可以向外电路提供能量，也可以从外电路吸收能量。受控源是非独立的，其输出的电压或电流是受电路中其他位置的电压或电流控制的，所以受控源对电路不起激励作用。受控源分为四种形式：电压控制电压源(VCVS)、电流控制电压源(CCVS)、电压控制电流源(VCCS)、电流控制电流源(CCCS)。基尔霍夫电流定律(KCL)：对任一集总电路中的任一节点，在任一时刻，流入(或流出)该节点的所有支路电流的代数和为零。KCL的数学表达式为。基尔霍夫电压定律(KVL)：对任一集总电路中的任一回路，在任一时刻沿着该回路的所有支路电压的代数和为零。KVL的数学表达式为。对于具有n个节点、b条支路、m个网孔的平面电路，其独立的KCL方程为()个，独立的KVL方程为m个，其中。基尔霍夫定律表明了支路电流和支路电压之间与电路元件连接方式有关的约束关系，这种约束与元件特性无关，称为拓扑约束。而电路中的电压和电流还要受到元件特性(例如欧姆定律u=Ri)的约束，这类约束只与元件的伏安关系(VCR)有关，与元件连接方式无关，称为元件约束。这两种约束是集总电路中分析问题的基本依据。电路中某点到参考点间的电压称为该点的电位，通常设参考点的电位为零，电压就是两点间的电位差，应用电位的概念可以简化电路分析。习题1.已知图1-23(a)、(b)所示两电路中的电流及其参考方向，标出其实际方向，如果参考方向改变，再写出两电流。2.已知图1-24所示电路中电池电动势大小为5V，求Uab和Uba。3.已知图1-25所示电路中电压表读数为−6V，求Uab和Uba。 (a) (b) 图1-23习题1图 图1-24习题2图 图1-25习题3图4.指出图1-26所示电路中各元件端电压u与电流i是否为关联参考方向，写出各元件功率的表达式，计算各元件的功率，说出它们是吸收还是发出功率。(a)(b)(c)(d)图1-26习题4图5.标出图1-27所示电路中各元件端电压的实际极性和各电流的实际方向，计算各元件吸收或发出的功率，并验证整个电路的功率是否平衡。图1-27习题5图6.写出图1-28中各元件两端的电压u和电流i的约束方程(即伏安关系VCR)。 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)图1-28习题6图7.图1-29(a)中2μF电容上所加电压的波形如图1-29(b)所示，求：(1)电流i。(2)功率p。8.已知图1-30中电感L=0.2H，若其上电流i(t)=4sin(100t)A，t≥0，求其端电压u(t)。 (a) (b) 图1-29习题7图 图1-30习题8图9.求图1-31所示各电路中的未知量。 (a) (b) (c)图1-31习题9图10.求图1-32所示各电路中的未知量(设电压表、电流表对电路无影响)。 (a) (b)图1-32习题10图11.求图1-33所示电路中的电流I和电压U。12.写出图1-34所示电路的端电压和总电流的关系式U=f(I)。(a)(b)(a)(b)图1-33习题11图图1-34习题12图13.图1-35所示电路中有几个节点？几条支路？几个网孔和回路？依据已知量求电路中各元件的未知电流或电压。图1-35习题13图14.求图1-36所示电路中的电压u和电流i。15.求图1-37所示电路中电阻R1上的电流i及恒流源Is两端的电压U，已知R1=5k(，R2=2k(，Is=1mA。16.应用基尔霍夫定律求出图1-38所示电路中各元件的未知电流或电压。17.根据图1-38(a)、(b)所示的电路结构，判断可分别列写相互独立的KCL方程、相互独立的KVL方程各有多少个。 图1-36习题14图 图1-37习题15图 (a) (b)图1-38习题16图18.求图1-39所示电路中的电压U和U1。19.求图1-40所示电路中的电流I和电压U。 图1-39习题18图 图1-40习题19图20.图1-41所示电路中，c点接地，计算开关S断开和闭合时，a、b、c各点的电位；当改为a点接地时，重新计算各点电位。21.图1-42所示电路中，当中间电位器的滑动端上下移动时，求与之相连的B点电位的最大变化范围。 图1-41习题20图 图1-42习题21图第2章电阻电路的等效变换教学目标(1)理解电路等效变换的概念。(2)熟练掌握电阻的串联、并联与混联的等效变换，初步掌握电阻Y连接与△连接的等效变换。(3)掌握电源的串联、并联，实际电源的两种模型及等效变换。(4)掌握一端口电路输入电阻的计算。2.1概述线性电路是指由时不变线性无源元件、线性受控源和独立源组成的电路。若无源元件为电阻元件，则为线性电阻电路，简称电阻电路。从本章开始一直到第4章将研究电阻电路的分析。这种电路的电源可以是直流的(不随时间变化)，也可以是交流的(随时间变化)。若所有的独立源都是直流的，则简称为直流电路。本章讲述较简单的电阻电路的分析。在分析计算电路的过程中，常常用到等效的概念。电路的等效变换原理是分析电路的一种重要方法。结构、元件参数不相同的两部分电路N1、N2如图2-1所示，若N1、N2具有相同的电压、电流关系，即相同的VCR，则称它们彼此等效。这就是等效电路的一般定义。图2-1电路的等效相互等效的两部分电路N1与N2在电路中可以相互代换，代换前的电路和代换后的电路对任意外电路N3中的电压、电流和功率是等效的，如图2-2所示。也就是说，用图2-2(a)求解N3的电流、电压和功率所得到的结果与用图2-2(b)求解N3的电流、电压和功率所得到的结果是相等的。这种计算电路的方法称为电路的等效变换。用简单电路等效代替复杂电路可简化整个电路的计算。需要明确的是：当用等效电路的方法求解电路时，电压、电流和功率保持不变的部分仅限于等效电路以外的部分(N3)，这就是“对外等效”的概念。等效电路是被代替部分的简化或变形，因此，内部并不等效。例如，在求解N1电路内部的电压、电流或功率时，不能直接用图2-2(b)所示电路来求解。而是由图2-2(b)所示电路得出N2与N3连接处的电压、电流，以此为图2-2(a)所示电路中N1与N3连接处的电压、电流后，必须再回到图2-2(a)所示电路中去求解N1电路中要求的电压、电流或功率。(a)(b)图2-2电路的等效变换根据等效电路的定义，等效变换和化简电路的规律和公式在后面章节进行介绍。2.2电阻的串联和并联电路中，电阻的连接形式多种多样，其中最简单的形式是串联和并联。通过等效变换的方法，可以将任一电阻连接电路等效为具有某个阻值的电阻。2.2.1电阻的串联及分压公式如果电路中有两个或两个以上的电阻一个接一个地顺序相连，并且流过同一电流，则称这些电阻为串联。图2-3(a)所示为n个电阻的串联，设电压、电流参考方向关联，根据KVL，电路的总电压等于各串联电阻的电压之和，即(2-1)由于各电阻的电流均为i，根据欧姆定律有，，…，，…，，代入式(2-1)，得(2-2)式(2-2)说明图2-3(a)所示多个电阻的串联电路与图2-3(b)所示单个电阻的电路具有相同的VCR，是互为等效的电路。其中等效电阻为(2-3)即串联电路的总电阻等于各分电阻之和。 (a) (b)图2-3电阻的串联等效显然，等效电阻必大于任何一个串联的分电阻。若已知串联电阻两端的总电压，求各分电阻上的电压，称为分压。由图2-3可知(2-4)满足。可见，电阻串联时，各分电阻上的电压与电阻成正比，电阻值大者分得的电压大。因此，串联电阻电路可作分压电路。式(2-4)称为分压公式。两个电阻R1、R2串联时，等效电阻R=R1(R2，则有分压公式为电阻串联是电路中的常见形式。例如，为了限制负载中过大的电流，常将负载与一个限流电阻串联；当负载需要变化的电流时，通常串联一个电位器。此外，用电流表测量电路中的电流时，需将电流表串联在所要测量的支路里。【例2-1】有一盏额定电压U1=40V、额定电流I=5A的电灯，应该怎样把它接入电压U=220V的照明电路中？解：将电灯(设电阻为R1)与一个分压电阻R2串联后，接到U=220V的电源上，如图2-4所示。解法一：分压电阻R2上的电压为U2=U-U1=220-40=180V，且U2=R2I，则有解法二：利用两个电阻串联的分压公式，可得即将电灯与一个36(分压电阻串联后，接到U=220V的电源上即可。【例2-2】有一只电流表，内阻Rg=1k(，满偏电流Ig=100(A，要把它改成量程Un=3V的电压表，应该串联一个多大的分压电阻R？解：如图2-5所示，该电流表的电压量程为Ug=RgIg=0.1V，与分压电阻R串联后的总电压Un=3V，即将电压量程扩大到n=Un/Ug=30倍。利用两个电阻串联的分压公式，可得，则有例2-2表明，将一只量程为Ug、内阻为Rg的表头扩大到量程为Un，所需要的分压电阻为R=(n(1)Rg，其中n=Un/Ug称为电压扩大倍数。2.2.2电阻的并联及分流公式如果电路中有两个或两个以上的电阻连接在两个公共节点之间，并且通过同一电压，则称这些电阻为并联。图2-6(a)所示为n个电阻的并联，设电压、电流参考方向关联，根据KCL，电路的总电流等于流过各并联电阻的电流之和，即EMBEDEquation.3(2-5)式中，、、、、、为电阻、、、、、的电导。 (a) (b)图2-6电阻的并联等效式(2-5)说明图2-6(a)所示多个电阻的并联电路与图2-6(b)所示电阻的电路具有相同的VCR，是互为等效的电路。其中等效电导为(2-6)可见，电阻并联时，其等效电导等于各电导之和且大于分电导。或根据式(2-6)有，即，得等效电阻之倒数等于各分电阻倒数之和，等效电阻小于任意一个并联的分电阻。若已知并联电阻电路的总电流，求各分电阻上的电流，称为分流。由图2-6可知即(2-7)满足。可见，电阻并联时，各分电阻上的电流与电阻成反比，电阻值大者分得的电流小。因此，并联电阻电路可作分流电路。式(2-7)称为分流公式。当两个电阻R1、R2并联时，如图2-7所示，等效电阻为则有分流公式为并联电路也有广泛的应用。例如，工厂里的动力负载、家用电器和照明电器等都以并联的方式连接在电网上，以保证负载在额定电压下正常工作。此外，用电压表测量电路中某两点间的电压时，需将电压表并联在要测量的两点间。【例2-3】如图2-8所示，电源供电电压U=220V，每根输电导线的电阻均为R1=1(，电路中一共并联100盏额定电压220V、功率40W的电灯。假设电灯在工作(发光)时电阻值为常数。试求：(1)当只有10盏电灯工作时，每盏电灯的电压UL和功率PL。(2)当100盏电灯全部工作时，每盏电灯的电压UL和功率PL。解：每盏电灯的电阻为R=U2/P=1210(，n盏电灯并联后的等效电阻为Rn=R/n。根据分压公式，可得每盏电灯的电压、功率分别为(1)当只有10盏电灯工作时，即n=10，则R10=R/10=121(，因此有(2)当100盏电灯全部工作时，即n=100，则R100=R/100=12.1(，因此有【例2-4】有一只微安表，满偏电流Ig=100(A、内阻Rg=1k(，要改装成量程为In=100mA的电流表，试求所需的分流电阻R。解：如图2-9所示，设n=In/Ig，根据分流公式可得In则有本题中n=In/Ig=1000，所以有例2-4表明，将一只量程为Ig、内阻为Rg的表头扩大到量程为In，所需要的分流电阻为R=Rg/(n(1)，其中n=In/Ig称为电流扩大倍数。2.2.3电阻的串并联电路中既有电阻串联又有电阻并联的电路称为电阻的串并联电路，简称混联电路，如图2-10所示。电阻相串联的部分具有电阻串联电路的特点；电阻相并联的部分具有电阻并联电路的特点。混联电路要解决的问题仍然是求电路的等效电阻，以及电路中各部分的电压、电流等问题。解决这类问题的方法之一就是运用线性电阻串联和并联的规律，围绕指定的端口逐步化简原电路。在图2-10所示电路中，R3与R4串联后与R5并联，再与R2串联，最后与R1并联，故有1-间的等效电阻。图2-10混联电路【例2-5】求图2-11所示电路的i1、i4和u4。图2-11例2-5图解：(1)利用分流方法有(2)利用分压方法有从以上例题可得求解串并联电路的一般步骤如下。(1)求出等效电阻或等效电导。(2)应用欧姆定律求出总电压或总电流。(3)应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电流和电压。因此，分析串并联电路的关键问题是判别电路的串并联关系。判别电路的串并联关系一般应掌握下述四点。(1)看电路的结构特点。若电阻是首尾相连就是串联，若电阻是首首相连和尾尾相连就是并联。(2)看电压电流关系。若流经电阻的电流是同一个电流，那就是串联；若电阻上承受的是同一个电压，那就是并联。(3)对电路作变形等效。如将左边的支路扭到右边，将上面的支路翻到下面，将弯曲的支路拉直，将短线路任意压缩或者伸长，将多点接地用短路线相连等。一般情况下，都可以判别出电路的串并联关系。(4)找出等电位点。对于具有对称特点的电路，若能判断某两点是等电位点，则根据电路等效的概念，一是可以用短接线把等电位点连起来，二是可以把连接等电位点的支路断开(因支路中无电流)，从而得到电阻的串并联关系。2.3电阻的Y连接和△连接的等效变换当遇到结构较为复杂的电路时，就难以用简单的串并联来化简。如图2-12(a)所示为一桥式电路，电阻之间既非串联，也非并联，而是△-Y连接结构，其中R1、R3和R5及R2、R4和R5都构成如图2-12(b)所示的△结构(也称三角形连接)，而R1、R2和R5及R3、R4和R5都构成如图2-12(c)所示的Y结构(也称星形连接)。 (a)桥式电路 (b)  △网络 (c)  Y网络图2-12复杂电路的连接图2-12(b)、(c)中的端子与电路的其他部分相连，图中没有画出电路的其他部分。在这两个电路中，当它们的电阻满足一定的关系时，它们在端子1、2、3上及端子以外的特性可以相同，即能够相互等效。根据电路的等效条件，当图2-12(b)和图2-12(c)中的端子1、2、3之间的电压u12△=u12Y、u23△=u23Y、u31△=u31Y，端子电流i1△=i1Y、i2△=i2Y、i3△=i3Y时，△电路和Y电路可相互等效。对于△电路，若用电压表示电流，根据KCL可得如下关系式：(2-8)对于Y电路，若用电流表示电压，根据KCL和KVL可得如下关系式：(2-9)由式(2-9)解得(2-10)根据等效条件，比较式(2-10)与式(2-8)的系数，得(2-11)这就是Y连接电路等效变换为△连接电路的条件。式(2-11)可概括为类似可得到△连接电路等效变换为Y连接电路的条件，即(2-12)式(2-12)可概括为若Y电路中三个电阻相等，即，则等效△电路中的三个电阻也相等，即。同样，若△电路中，则等效Y电路中。利用等效变换分析电路时，应注意以下几点。(1)  △-Y电路的等效变换属于多端子电路的等效，在应用中，除了正确使用电阻变换公式计算各电阻值外，还必须正确连接各对应端子。(2)等效是对外部(端钮以外)电路有效，对内不成立。(3)等效电路与外部电路无关。(4)等效变换用于简化电路，因此不要把本是串并联的问题看作△、Y结构进行等效变换，那样会使问题的计算更复杂。另外，如图2-13所示的电阻连接，也属于电阻的Y连接和△连接，又分别称为电阻的T连接和П连接。(a)电阻的T连接(b)电阻的П连接图2-13电阻的T连接和П连接【例2-6】电路如图2-14(a)所示，求电路中a、b间的等效电阻Req和电流i。解：将图2-14(a)所示电路中的R1、R2、R5组成的三角形电路等效转换成由Ra、Rc、Rd组成的星形电路，如图2-14(b)所示。由式(2-12)，得利用电阻的串并联等效变换可得a、b间的等效电阻为则由图2-14(b)得(a)(b)(c)图2-14例2-6图也可将图2-14(a)所示电路中由R2、R5、R4组成的星形电路等效转换成由Rac、Rcb、Rba组成的三角形电路，如图2-14(c)所示。由式(2-11)，得则也可得到a、b间的等效电阻为。2.4电源的等效变换2.4.1电源的串并联电压源、电流源的串联和并联问题的分析，是以电压源和电流源的定义及外特性为基础，结合电路等效的概念进行的。1.理想电压源的串联和并联1)理想电压源的串联图2-15(a)所示为个电压源的串联，根据KVL，可得总电压为(2-13)可见，原电路可用一个电压源等效替代，如图2-15(b)所示。等效电压源的电压为串联电压源的代数和。注意，式(2-13)中usk的参考方向与us的参考方向一致时，usk在式中取“+”号，不一致时取“-”号。(a)(b)图2-15理想电压源的串联等效2)理想电压源的并联只有电压相等且极性一致的电压源才能并联，如图2-16(a)所示，否则就违背了KVL。此时等效电压源为并联电压源中的一个，即。等效电路如图2-16(b)所示。注意，电压源并联时，每个电压源中的电流是不确定的。(a)(b)图2-16理想电压源的并联等效2.电压源与支路的串、并联等效1)电压源与支路的串联等效图2-17(a)所示为n个电压源和电阻支路的串联，根据KVL，可得端口电压、电流关系为根据电路等效的概念，图2-17(a)所示电路可以用图2-17(b)所示电压为us的单个电压源和电阻为R的单个电阻的串联组合等效替代，其中，(a)(b)图2-17电压源与支路的串联等效2)电压源与支路的并联等效图2-18(a)所示为电压源和任意元件的并联，设外电路接电阻R，根据KVL和欧姆定律，可得端口电压，电流。(a)(b)图2-18电压源与支路的并联等效可见，端口电压、电流只由电压源和外电路决定，与并联的元件无关，对外特性与图2-18(b)所示电压为us的单个电压源一样。因此，电压源和任意元件并联就等效为电压源。3.理想电流源的串联和并联1)理想电流源的串联只有电流相等且输出电流方向一致的电流源才能串联，如图2-19(a)所示，否则就违背了KCL。此时等效电流源为串联电流源中的一个，即。等效电路如图2-19(b)所示。(a)(b)图2-19理想电流源的串联等效注意，电流源串联时，每个电流源上的电压是不确定的。2)理想电流源的并联图2-20(a)所示为n个电流源的并联，根据KCL，可得总电流为(2-14)可见，原电路可用一个电流源等效替代，如图2-19(b)所示。等效电流源的电流为并联电流源的代数和。注意，式(2-14)中isk与is的参考方向一致时，isk在式中取“+”号，不一致时取“-”号。(a)(b)图2-20理想电流源的并联等效4.电流源与支路的串、并联等效1)电流源与支路的串联等效图2-21(a)所示为电流源和任意元件的串联，设外电路接电阻R，根据KCL和欧姆定律，可得流过R的电流，端口电压。(a)(b)图2-21电流源与支路的串联等效可见，端口电压、电流只由电流源和外电路决定，与串联的元件无关，对外特性与图2-21(b)所示电流为is的单个电流源一样。因此，电流源和任意元件串联就等效为电流源。2)电流源与支路的并联等效图2-22(a)所示为n个电流源和电阻支路的并联，根据KCL，可得端口电压、电流关系为上式说明，图2-22(a)所示电路的对外特性与图2-22(b)所示电流为is的单个电流源和电阻为R的单个电阻的并联组合一样，因此，图2-22(a)所示电路可以用图2-21(b)所示电路等效替代，其中，(a)(b)图2-22电流源与支路的并联等效【例2-7】将图2-23(a)所示电路等效简化为一个电压源或电流源。解：在图2-23(a)所示电路中，us和R2、is1支路并联，故可以等效为电压源us；is2和is3并联，故可以简化为电流源is23=3A-1A=2A；is4和R1串联，故可以等效为is4，如图2-23(b)所示。在图2-23(b)所示电路中，is23和us串联，可以等效为is23，如图2-23(c)所示。在图2-23(c)所示电路中，is23和is4并联，可以简化等效为如图2-23(d)所示的一个电流源，即iseq=6A-2A=4A。(a)(b)(c)(d)图2-23例2-7图2.4.2两种电源模型的等效变换事实上，一个实际电源(如一个电池)接入电路时，电源自身总会有损耗。因此，实际电源可以用两种不同的电路模型表示，一种是实际电压源模型；另一种是实际电流源模型。1.实际电压源模型实际电源可以用一个理想电压源us和一个表征电源损耗的电阻Rs的串联电路来模拟，称为实际电压源模型，如图2-24(a)所示。其中Rs为实际电源的内阻，又称电源的输出电阻。在图2-24(a)所示参考方向下，可得端子1-1' 处电压u和电流i的关系为或(2-15)(a)(b)图2-24实际电压源的模型和伏安特性曲线由式(2-15)可见，当i=0，即电源输出端1-1' 处开路时，电源的输出电压为开路电压uoc，有；当u=0，即电源输出端1-1' 处短路时，电源的输出电流为短路电流isc，有。电路对应的伏安特性曲线如图2-24(b)所示，它是一条斜率为-Rs的直线，电源的内阻Rs越小，特性曲线就越平坦，isc越大。理想情况下，当Rs＝0时，就变为理想电压源特性曲线，如图2-24(b)中虚线所示。2.实际电流源模型实际电源也可以用一个理想电流源is和内阻Rs的并联电路来模拟，称为实际电流源模型，如图2-25(a)所示。在图2-25(a)所示参考方向下，可得端子1-1' 处电压u和电流i的关系为(2-16)由式(2-16)可见，当电源输出端1-1' 处开路时，i=0，电源的输出电压为；当电源输出端1-1' 处短路时，u=0，电源的输出电流为。电路对应的伏安特性曲线如图2-25(b)所示，它是一条斜率为-Rs的直线，电源的内阻Rs越大，分流作用就越小，特性曲线就越陡峭。理想情况下，当Rs→(时，就变为理想电流源特性曲线，如图2-25(b)中虚线所示。(a)(b)图2-25实际电流源的模型和伏安特性曲线3.两种电源的等效变换根据等效的概念，如果实际电压源与实际电流源两种模型的外特性完全相同，则它们可以进行等效变换。在等效变换过程中，应使两者端口的电压、电流保持不变。比较式(2-15)和式(2-16)，可以得出等效变换的条件为或(2-17)若已知电流源模型，可用式(2-17)求得其等效电压源模型的us，并把Rs和us串联即可。若已知电压源模型，可用式(2-17)求得其等效电流源模型的is，并把Rs和is并联即可。要注意的是电压源的极性us和电流源is的方向，如图2-26所示。图2-26两种电源的等效变换应该指出，上述两种电路的等效变换只是对外电路而言，对其内部并不等效。由图2-24(b)和图2-25(b)中的虚线可知，理想电压源和理想电流源的伏安特性曲线完全不同，因此两者不能进行等效变换。实际电源的等效变换可推广为含源支路的等效变换，把其中的电源内阻视为一般的电阻，即电压源与电阻串联等效为电流源与电阻并联。利用实际电源的两种等效变换和电压源、电流源的串并联等效变换的方法，可以化简或计算多种复杂电路。【例2-8】电路如图2-27(a)所示，试用等效化简电路的方法，求5(电阻元件支路的电流和电压。解：等效变换过程如图2-27(b)～(i)所示。根据图2-27(i)所示的等效电路，回路电流为电压为EMBEDVisio.Drawing.11(a)(b)图2-27例2-8图EMBEDVisio.Drawing.11(c)(d)EMBEDVisio.Drawing.11(e)(f)EMBEDVisio.Drawing.11EMBEDVisio.Drawing.11(g)(h)(i)图2-27例2-8图(续)受控电压源、电阻的串联组合和受控电流源、电阻的并联组合也可以用上述方法进行变换。此时，可把受控源当作独立源处理，但需特别注意在转换过程中要保存控制量所在的支路，而不要消除掉。【例2-9】含受控源电路等效化简分析计算。电路如图2-28(a)所示，应用等效化简方法，求ab支路的电流I0和电压U0。(a)(b)(c)图2-28例2-9图EMBEDVisio.Drawing.11(d)(e)(f)图2-28例2-9图(续)解：等效变换过程如图2-28所示。根据图2-28(f)所示的等效电路，列回路KVL方程为所以有2.5输入电阻和等效电阻2.5.1一端口(二端)网络如果一个网络N具有两个引出端子与外电路相连，不管其内部结构如何复杂，这样的网络都称为一端口(网络)或二端网络，如图2-29所示。对于一端口网络来说，从它一个端子流入的电流一定等于从另一个端子流出的电流。若一端口网络含有独立源，称为有源一端口网络NS；否则，称为无源一端口网络NO。2.5.2输入电阻对于一个不含独立源的一端口电路NO，不论其内部如何复杂，其端口电压和端口电流成正比，定义这个比值为一端口电路的输入电阻Rin，如图2-30所示。在电压u和电流i关联参考方向下，有(2-18)端口的输入电阻也就是端口的等效电阻Req。图2-30无源一端口网络的等效如果一个无源一端口内部仅含有电阻，则应用电阻的串并联和Y-△变换的方法，求得它的等效电阻，即为输入电阻。如果无源一端口内部除电阻以外还包含有受控源，应用在端口加电源的方法求输入电阻。做法是加电压源us求电流i，或加电流源is求电压u，再求出电压和电流的比值就是输入电阻。这种计算方法称为外加电源法，如图2-31所示。图2-31外加电源法需要指出的有以下两点。(1)应用外加电源法时，端口电压、电流的参考方向对两端电路来说是关联的。(2)对含有独立源的一端口电路NS，求输入电阻时，要先把独立源置零，即电压源短路、电流源断路。【例2-10】求图2-32所示电路的输入电阻Rin。图2-32例2-10图解：可列KVL方程为则有本章小结本章主要介绍了等效电路的定义、等效变换和化简电路的规律和公式。1.等效的定义两部分电路N1与N2，若对任意外电路N3，两者相互代换能使外电路N3中有相同的电压、电流和功率，则称电路N1与电路N2是相互等效的。2.等效的条件N1与N2电路具有相同的VCR。3.等效的对象任意外电路N3中的电压、电流和功率。4.等效的目的简化电路，方便分析计算。等效变换法的归纳如表2-1所示。表2-1等效变换法的归纳 电阻(电导)的串并联 类别 等效形式 重要公式 串联 续表 电阻(电导)的串并联 类别 等效形式 重要公式 并联 等效形式 重要公式 电阻Y-连接等效变换 理想电源的串联与并联 类别 等效形式 重要公式 理想电压源的串联 续表 理想电源的串联与并联 类别 等效形式 重要公式 理想电流源的并联 任意元件与理想电压源并联 任意元件与理想电流源串联 电源的等效变换 等效形式 重要公式 习题1.电路如图2-33所示，已知us=100V，R1=2k(，R2=8k(，试求以下三种情况下的电压u2和电流i2、i3。(1)  R3=8k(。(2)  R3=((R3处开路)。(3)  R3=0(R3处短路)。2.在图2-34所示电路中，已知滑线电阻器的电阻R=100(，额定电流IN=2A，电源电压U=110V，当a、b两点开路时，试求下述情况下的电压Uo。(1)  R1=0。(2)  R1=0.5R。(3)  R1=0.9R。3.习题2中，在a、b两端接入负载RL=50(后，重新计算Uo，并分析第(3)种情况下使用滑线电阻器的安全问题。4.在图2-35所示电路中，电阻为R1的灯泡的额定功率为40W，电阻为R2的灯泡的额定功率为15W，两盏灯泡的额定电压都为110V，现将两盏灯泡并联在110V的直流电源上，问：(1)每盏灯泡的电阻和额定电流是多少？(2)能否将它们串联在220V的电源上使用？为什么？ 图2-33习题1图 图2-34习题2图 图2-35习题4图5.求图2-36所示各电路a、b间的等效电阻Rab。(a)(b)(c)(d)(e)(f)图2-36习题5图6.利用△-Y电路的等效变换求图2-37所示电路c、b两点间的电压ucb。7.应用△-Y等效变换求图2-38所示电路中的电压U1。 图2-37习题6图 图2-38习题7图8.应用△-Y等效变换求图2-39所示电路中的电压Uab和对角线电压U。图2-39习题8图9.求图2-40所示各电路的最简等效电路。(a)(b)(c)图2-40习题9图10.应用电路的等效变换化简图2-41所示的各电路，并求电压U。(a)(b)图2-41习题10图11．试用电压源与电流源等效变换的方法计算图2-42所示电路中1(电阻中的电流I。12.已知如图2-43所示电路中，U1=10V，Is=2A，R1=1(，R2=2(，R3=5(，R=1(。求：(1)电阻R中的电流I。(2)恒压源的电流IU1，恒流源的电压UIs。(3)验证功率平衡。 图2-42习题11图 图2-43习题12图13.试用电源等效变换的方法求如图2-44所示各电路中的电流i和电压u。(a)(b)(c)(d)图2-44习题13图14.在图2-45所示电路中，R1=R3=R4，R2=2R1，CCVS的电压uC=4i1R1，试用电源等效变换的方法求电压u10。图2-45习题14图15.求如图2-46所示各电路的输入电阻Rin。(a)(b)(c)图2-46习题15图�EMBEDVisio.Drawing.11���图1-4例1-1图�EMBEDVisio.Drawing.11���图1-14例1-4图�EMBEDVisio.Drawing.11���图1-17例1-5图�EMBEDVisio.Drawing.11���图1-18例1-6图�EMBEDVisio.Drawing.11���图1-20电位的计算�EMBEDVisio.Drawing.11���图2-4例2-1图�EMBEDVisio.Drawing.11���图2-5例2-2图�EMBEDVisio.Drawing.11���图2-7电阻并联电路�EMBEDVisio.Drawing.11���图2-8例2-3图�EMBEDVisio.Drawing.11���图2-9例2-4图�EMBEDVisio.Drawing.11����EMBEDVisio.Drawing.11���图2-29一端口网络_1404557507.unknown_1409576083.vsd_1409582268.vsdUc/Vt/s4_1410370799.unknown_1410371377.vsd�＋－�iRac1.4Ω3ΩRcbRbaabc2.5Ω5V_1410371797.vsdiuSuusiscuoc_1412497534.unknown_1412497539.unknown_1412497654.vsd�ab_1412497693.vsd�＋－��R2R1ab_1412497583.unknown_1412497537.unknown_1410372040.vsd��6Ω3Ω6Ω10Ωab_1410372127.vsd�＋－��IU1US9Ω9Ω9Ω9Ω3ΩUs21Vab_1410372217.vsd�＋－��U16Ωab4Ω5Ω10Ω10ΩUabU5A_1412497531.unknown_1410372216.vsd�＋－R1R2i1�R3①0R1R2R3R4uCUsu10_1410372111.vsd�3Ω3Ω2Ω6Ω4Ω12A3A9Aabc_1410371980.vsd�＋－uiG1R1R2u1u2Req(Geq)=_1410372011.vsd�＋－i2�i3usR1R2R3u2_1410371952.vsd�＋－uiG1R1R2u1u2Req(Geq)=_1410371631.vsd＋－�11'u21'us2us1_1410371727.vsdi1�1is1is2isnis1'1'_1410371790.unknown_1410371642.unknown_1410371552.unknown_1410371617.vsd＋－�11'u21'us_1410371457.vsd＋－�11'u2_1410371478.vsd＋－�11'u2_1410371136.unknown_1410371233.vsd���＋�－i1u12R2R2R2RRR12Vi2i3i4u2u3u4_1410371365.vsd�＋－�i5V1Ω1.4ΩRcRdRaabcd2.5Ωe_1410371177.unknown_1410370961.vsd_1410370977.unknown_1410371073.vsd�abc_1410370863.vsd0i/A-14t/s212_1409584164.vsd�＋－�abcdi5V1Ω1.4Ω3Ω5Ω2Ω2.5ΩR1R2R3R4R5_1409584714.unknown_1409638978.vsd�i111'＋－NuS＋－�isui11'NOUsuiNO11'_1409639569.vsd＋－�_1409639915.vsd�＋－i�2W2Wu3i6V_1409639955.vsd�＋－�iu10A20W2W5W1W4i_1409640232.vsd�＋－�i1ab3W5i12W2W_1409640233.vsd�＋－�ab10W5u2W3Wu_1409639972.vsd�＋－i�8V0.5i14Wi110W10W5Wu_1409640231.vsd�＋－�u1ab2u12W3Wu1_1409639941.vsd�＋－i�i0.5i2V1W1W1W_1409639780.vsd�＋－��I6V3W2A6W2W4V4W1W2A_1409639848.vsd�＋－R1R2��II1U1R3RIsUIsIU1_1409639704.vsd��4Ω12Ω6Ω3Ωab_1409639078.unknown_1409639293.unknown_1409639068.vsd＋－uS＋－��i6Ωi12i2Ω2ΩUs_1409638506.vsd�＋－��U1I10V2Ω6Ω3Ω2A2Ω4Ω5Ω4VU_1409638581.vsd��＋－�ab���5A36Ω1.8Ω0.9Ω8.1I08.1ΩI0U036Ω1A1A_1409638608.unknown_1409638556.vsd�＋－�ab���5A4V36Ω1.8Ω0.9Ω9I08.1Ω36ΩI0U036V1A_1409638306.vsdiuSui1isiscuoc_1409638481.vsd�＋－��U1I10V2Ω3Ω2A2Ω4Ω5Ω4VU_1409584883.vsd��－＋ab_1409584460.unknown_1409584602.vsd＋－11'�u�i1is1'is1is2isnis1'_1409584639.vsd�＋－i�ui1isRR任意元件is_1409584502.unknown_1409584383.vsd�＋－i�uS1R1uusR_1409584422.unknown_1409584209.unknown_1409583789.unknown_1409583994.unknown_1409584028.unknown_1409584054.unknown_1409583999.unknown_1409583905.unknown_1409583961.unknown_1409583847.unknown_1409582382.vsd�_1409582505.vsd�_1409582711.unknown_1409583694.vsd�＋－U1�WPmax�AIsin�VUd����RUnRgUgIg_1409582504.vsd_1409582338.vsd��_1409582356.vsd_1409582317.vsd��_1409579376.vsdψLiO所有t_1409581928.vsd�R18kWR28kWACBiS10V＋－6V＋－_1409582136.vsd�ab_1409582208.vsd_1409582227.vsd5kW_1409582184.vsd_1409581984.unknown_1409582121.vsd_1409581972.unknown_1409579568.vsduiOus(t1)_1409579954.unknown_1409581903.vsd�8kWAC＋10V－6VBiSR1R28kW_1409580154.vsd��_1409579871.vsd��_1409579777.vsd�uiib_1409579496.unknown_1409579518.vsd20u/V-24t/s31_1409579435.unknown_1409577094.vsduiOt1t2_1409578312.vsdu/V30-114t/s2_1409578427.vsd_1409579366.vsd��_1409578426.vsd3i/A-24t/s10_1409577206.unknown_1409578190.unknown_1409577124.unknown_1409576173.unknown_1409576632.unknown_1409576640.unknown_1409576624.unknown_1409576130.vsd_1409576139.vsd_1409576118.vsd_1404564508.unknown_1404566396.vsd�＋－�U1I5A2Ω3A2Ω4Ω5Ω4VU_1404568212.unknown_1404568868.unknown_1404569586.vsd��6Ω2Ω3Ω1Ωab_1404569940.vsd＋－���10V1A1V2A5V�6Vab3A_1405348405.unknown_1405533412.unknown_1404570083.vsd�＋－��U12A30V3Ω30VU6Ω5Ω2A_1404570132.vsd＋－���2V1A3V2Aab_1404569966.vsd��＋－��U110V10VU10A1Ω10V1Ω10V1Ω1Ω1Ω10V10V_1404569665.vsd��10Ωab10Ω10Ω10Ω10Ω_1404569894.vsd＋－���10V2V1V1A3Aab_1404569661.vsd��12Ω12Ω12Ω4Ω4Ωab_1404568913.unknown_1404569365.vsd�＋－�U}R1UoabR}_1404569563.vsd��10Ω10Ω10Ω10Ω10Ωabc_1404568934.unknown_1404568883.unknown_1404568901.unknown_1404568878.unknown_1404568669.vsd＋－�_1404568757.vsd＋－�_1404568838.unknown_1404568849.unknown_1404568802.vsd�＋－��_1404568717.vsd＋－�_1404568553.vsd＋－�_1404568589.vsd＋－�_1404568226.unknown_1404566806.vsd��ab��5A1.8ΩI0U06Ω2A0.9I0_1404567158.unknown_1404568026.unknown_1404568070.unknown_1404567410.unknown_1404567044.unknown_1404567082.vsdN＋－11'�NO1'uuiiRin1Req11'_1404566832.vsd�＋－�ab��4V6Ω1.8ΩI0U012V5.4I0_1404566517.vsd�＋－�U1I4V1Ω4Ω5ΩU5V_1404566761.vsd�＋－�ab��5A1.8Ω8.1I09ΩI0U018Ω2A_1404566785.vsd��ab��5A1.8Ω0.9I09ΩI0U018Ω2A_1404566546.vsd�＋－�U1I4V5Ω5ΩU5V_1404566461.vsd�＋－�U1I4V2Ω2Ω4Ω5ΩU10V_1404566491.vsd�＋－�U1I5A2Ω4Ω5Ω2Ω5AU_1404566432.vsd�＋－��U1I4V2Ω2Ω4Ω5Ω4VU6V_1404565876.unknown_1404566085.unknown_1404566174.unknown_1404566300.vsd�＋－�U1I5A2Ω5A2A2Ω4Ω5Ω4VU_1404566142.vsd�＋－�i11'�uSR2ui1is1'usRs(R)Gs(G)1'_1404565941.unknown_1404566069.unknown_1404565905.unknown_14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