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    11.1 半群与独异点

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    11.1 半群与独异点11.1 半群与独异点 11.1 半群与独异点 一、半群与独异点的定义 定义11.1 (1)设V=是代数系统,为二元运算,如果运算是可结合的,则称V为半群。 (2)设V=是半群,若e?S是关于运算的单位元,则称V是含幺半群,也叫做独异点。有时也将独异点V记作V=. +例11.1 (1),,,,都是半群,+是普通加法。这些半群中除+外都是独异点。 (2)设n是大于1的正整数,和都是半群,也都是独异点,其中+和?分别表示矩阵加法和矩阵乘法。 (3)为半群,也是独异点,其中为集合的对乘差运算。 ...

    11.1 半群与独异点
    11.1 半群与独异点 11.1 半群与独异点 一、半群与独异点的定义 定义11.1 (1)设V=是代数系统,为二元运算,如果运算是可结合的,则称V为半群。 (2)设V=是半群,若e?S是关于运算的单位元,则称V是含幺半群,也叫做独异点。有时也将独异点V记作V=. +例11.1 (1),,,,都是半群,+是普通加法。这些半群中除+外都是独异点。 (2)设n是大于1的正整数,和都是半群,也都是独异点,其中+和?分别表示矩阵加法和矩阵乘法。 (3)为半群,也是独异点,其中为集合的对乘差运算。 (4)为半群,也是独异点,其中Zn={0,1,…,n-1},为模n加法。 A (5)为半群,也是独异点,其中为函数的复合运算。 *** (6)为半群,其中R为非零实数集合,运算定义如下:x,y?R,xy=y 二(半群与独异点的性质 1(半群中的幂 由于半群V=中的运算是可结合的,可以定义元素的幂,对任意x?S,规定: 1 x=x n+1n+ x=xx, n?Z 用数学归纳法不难证明x的幂遵从以下运算规则: nmn+m xx=x +nmnm (x)= x m,n?Z 普通乘法的幂、关系的幂、矩阵乘法的幂等都遵从这个幂运算规则。 2(独异点中的幂 独异点是特殊的半群,可以把半群的幂运算推广到独异点中去。由于独异点V中含有单位元e,对于任意的x?S,可以定义x的零次幂,即 0 x=e n+1n x=xx n?N 不难证明,独异点的幂运算也遵从半群的幂运算规则,只不过m和n不一定限于正整数,只要是自然数就成立。 三(子半群与子独异点 半群的子代数叫做子半群,独异点的子代数叫做子独异点。根据子代数的定义不难看出,如果V=是半群,TS,只要T对V中的运算封闭,那么就是V的子半群。而对独异点V=来说,TS,不仅T要对V中的运算封闭,而且e?T,这时才构成V的子独异点。 例11.2 设半群V1=,独异点V2=.其中?为矩阵乘法,e为2阶单位矩阵, 令 则TS,且T对矩阵乘法?是封闭的,所以是V1=的子半群。易见在中存在着自己的单位元 ,所以也构成一个独异点。但它不是V2=的子独异点,因为V2中的单位元e=T. 四(半群与独异点的直积 定义11.2 设V=,V=是半群(或独异点),令S=S×S,定义S上的?运算112212如下:,?S, ?= 称为V和V的直积,记作V×V。 1212 不难证明V×V是半群。 12 若V和V是独异点,其单位元分别为e和e,则是V×V中的单位元,因此12121212 V×V也是独异点。 12 五(半群与独异点的同态映射 定义11.3 (1)设V=,V=是半群,: S?S.若对任意的x,y?S有 1122121 (xy)=(x)*(y) 则称为半群V到V的同态映射,简称同态。 12 (2)设V=,V2=是独异点,: S?S.若对任意的x,y?S有 11122121 (xy)=(x)*(y) 且(e)= e, 12 则称为独异点V到V的同态映射,简称同态。 12 为了书写的简便,有时经常省略上述表达式中的算符和*,而简记为 (xy)=(x)(y) 但应该记住,该表达式中左边的xy是在V中的运算,而右边的 (x)(y)是在V中的运12算。 对于例11.2的半群和独异点,令 : S ? S, , 则是半群V的自同态,但不是独异点V的自同态,因为它没有将V的单位元映到V1222的单位元。 主要 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 1. 集合S和运算构成半群的条件(封闭性、结合律);集合S和运算构成独异点的条 件(封闭性、结合律、单位元)。 n mn+m nmnm2. 半群与独异点的两条幂运算规则:xx=x，(x)= x 3. 半群S的非空子集A构成子半群的条件(A对于S中运算封闭);独异点S的非空 子集A构成子独异点的条件(A对于S中运算封闭，单位元属于A) 4. 通过笛卡尔积构造直积 5. 同态映射的判别:(xy)=(x)(y) (对于独异点要加上(e)=e) 学习要求 1. 判断给定集合和运算是否构成半群和独异点。 2. 了解半群及独异点中的幂运算规则。 3. 判断半群或独异点的子集是否构成子半群或子独异点。 4. 了解半群及独异点的直积概念。 5. 了解半群或独异点的同态映射的概念。 典型习题 1. 判断下列集合和运算是否构成半群和独异点。 2. 设V=, V=,其中Z为整数集合，+和?分别代表普通加法和乘法。判断下12 述集合S是否构成V和V的子半群和子独异点。 12 3. 下列集合S和运算是否构成代数系统,构成哪一类代数系统, 11.2 群的定义与性质 一、群的定义、实例与术语 1(群的定义与实例 定义11.4 设是代数系统,为二元运算。如果运算是可结合的,存在单位 -1元e?G,并且对G中的任何元素x都有x?G,则称G为群。 + 考虑例11.1，(1)中的,,都是群,而和不是群。(2)中的 是群,而不是群。因为并非所有的n阶实矩阵都有逆阵。(3)中的nn 是群,因为对任何B的子集A,A的逆元就是A自身。(4)中的也是群.0n是Z中的单位元。x?Z,若x=0,x的逆元就是0;若x?0,则n-x是x的逆元。当|A|?2nn 时(5)和(6)中的代数系统不是群。 例11.3 设G={a,b,c,d},?为G上的二元运算,它由表11.1给出,不难证明G是一个群。由表中可以看出G的运算具有以下的特点:e为G中的单位元;运算是可交换的;G中任何元素的逆元就是它自己;在a,b,c三个元素中,任何两个元素运算的结果都等于另一个元素。称这个群为Klein四元群,简称四元群。 表11.1 2(群的术语 定义11.5 (1)若群G是有穷集,则称G是有限群,否则称为无限群。群G的基数称为群G的阶,有限群G的阶记作|G|. (2)只含单位元的群称为平凡群。 (3)若群G中的二元运算是可交换的,则称G为交换群或阿贝尔(Abel)群。 ,是无限群,是有限群,也是n阶群。Klein四元群是4阶群。n <{0},+>是平凡群。上述所有的群都是交换群,但n阶(n?2)实可逆矩阵的集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群,因为矩阵乘法不满足交换律。 定义11.6 设G是群,a?G,n?Z,则a的n次幂。 与半群和独异点不同的是:群中元素可以定义负整数次幂。例如在中有 3 -3-133 2=(2)=1=111=0, 而在中有 -5-155 3=(3)=(-3)=(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-15. k定义11.7 设G是群,a?G,使得等式 a=e成立的最小正整数k称为a的阶,记作|a|=k,这时也称a为k阶元。若不存在这样的正整数k,则称a为无限阶元。 例如中,2和4是3阶元,3是2阶元,而1和5是6阶元,0是1阶元。而在6 中,0是1阶元,其它的整数都是无限阶元。在Klein四元群中e为1阶元,其它元素都是2阶元。 二(群的性质 1(群的幂运算规则 定理11.1 设G为群,则G中的幂运算满足: -1-1 (1) a?G,(a)=a. -1-1-1 (2) a,b?G,(ab)=ba. nmn+m (3) a?G,aa=a,n,m?Z. nmnm (4) a?G,(a)=a,n,m?Z. nnn (5)若G为交换群,则(ab)=ab. -1-1-1-1 证 (1)(a)是a的逆元,a也是a的逆元。根据逆元的唯一性,等式得证。 -1-1-1-1-1-1-1-1-1 (2)(ba)(ab) = b(aa)b = bb = e, 同理 (ab)(ba) = e,故ba是ab的逆元。根据逆元的唯一性等式得证。 关于(3),(4),(5)中的等式,先利用数学归纳法对于自然数n和m证出相应的结果,然后讨论n或m为负数的情况。证明留作思考题。 定理11.1(2)中的结果可以推广到有限多个元素的情况,即 注意上述定理中的最后一个等式只对交换群成立。如果G是非交换群,那么只有 2(群方程存在唯一解 定理11.2 G为群,a,b?G,方程ax=b和ya=b在G中有解且仅有唯一解。 -1-1 证 先证ab是方程ax=b的解。将ab代入方程左边的x得 -1-1 a(ab)=(aa)b=eb=b -1所以ab是该方程的解。下面证明唯一性。 假设c是方程ax=b的解,必有ac=b,从而有 -1-1-1 c=ec=(aa)c=a(ac)= ab -1 同理可证ba是方程ya=b的唯一解。 例11.4 设群G=,其中为集合的对称差运算。解下列群方程: {a}X=,Y{a,b}={b} -1 解 X={a}={a}={a} -1 Y={b}{a,b}={b}{a,b}={a} 3(消去律 定理11.3 G为群,则G中适合消去律,即对任意a,b,c?G 有 (1)若ab=ac,则b=c. (2)若ba=ca,则b=c. 证明留作练习。 222 例11.5 设G为群,a,b?G,且 (ab)=ab证明 ab=ba. 222 证 由(ab)=ab得 abab=aabb 根据群中的消去律得ba=ab,即ab=ba. 例11.6 设G={a,a,…,a}是n阶群,令 aG={aa|j=1,2,…,n} 证明 aG=G。 12niiji 证 由群中运算的封闭性有 aGG。假设aGG,即|aG|1,由此得 j-i-1j-i-1 aa=e 和 aa=e -1j-i-1从而证明了a=a?H. 三(典型子群的实例:生成子群、群的中心等 k例11.10 设G为群,a?G,令 H={a|k?Z}，即a的所有的幂构成的集合,则H是G的子群,称为由a生成的子群,记作。 ml 证明:首先由a?知道?.任取a,a?,则 ml-1m-lm-l a(a)=aa=a? 根据判定定理二可知?G。 例如整数加群,由2生成的子群是 <2>={2k|k?Z}=2Z 0123 群中,由2生成的子群由2=0,2=2,2=4,2=0,…构成,即 <2>={0,2,4} 6 Klein四元群G={e,a,b,c}的所有生成子群是:={e},={e,a},={e,b},={e,c}. 例11.11 设G为群,令C是与G中所有的元素都可交换的元素构成的集合,即 C={a|a?G?x?G(ax=xa)} 则C是G的子群,称为G的中心。 证明:首先,由e与G中所有元素的交换性可知e?C.C是G的非空子集。 -1-1 任取a,b?C,为证明ab?G,只需证明ab与G中所有的元素都可交换。x?G,有 -1-1-1-1-1-1-1-1-1 (ab)x=abx=ab(x)=a(xb)=a(bx) -1-1-1-1 =a(xb)=(ax)b=(xa)b=x(ab) 由判定定理二可知C?G. 对于阿贝尔群G,因为G中所有的元素互相都可交换,G的中心就等于G.但是对某些非交换群G,它的中心是{e}. 例11.12 设G是群,H,K是G的子群。证明 (1) H?K也是G的子群。 (2) H?K是G的子群当且仅当HK或KH。 证 (1) 由e?H?K 知 H?K非空。 -1 任取a,b?H?K,则a?H,a?K,b?H,b?K。由于H和K是G的子群,必有ab?H -1-1和ab?K，从而推出ab?H?K。根据判定定理二,命题得证。 (2) 充分性是显然的。只证必要性，用反证法。假设HK且KH,那么存在h和k使得 h?H?hK, k?K?kH -1-1这就推出hkH。若不然,由h?H可得 k=h(hk)?H，与假设矛盾。同理可证,hkK。从而得到hkH?K。这与H?K是子群矛盾。 主要内容 1( 子群的定义。 2. 子群的三个判定定理及其应用。 3. 典型子群:由元素生成的子群,群G的中心C，若干个子群的交集。 学习要求 1. 会证明群的子集是子群。 2. 了解几个典型子群的定义。 典型习题 1. 设G为群，a是G中的2 阶元，证明G中与a可交换的元素构成G的子群。 11.4 群的分解 一、陪集及其性质 1(陪集定义及实例 定义11.9 设H是G的子群,a?G.令 Ha={ha|h?H} 称Ha是子群H在G中的右陪集。称a为Ha的代表元素。 例11.13 (1)设G={e,a,b,c}是Klein四元群,H=是G的子群。H所有的右陪集是: He={e,a}=H, Ha={a,e}=H, Hb={b,c}, Hc={c,b} 不同的右陪集只有两个,即H和{b,c}. (2)设A={1,2,3},f,f,…,f是A上的双射函数。其中 126 f={<1,1>,<2,2>,<3,3>} 1 f={<1,2>,<2,1>,<3,3>} 2 f={<1,3>,<2,2>,<3,1>} 3 f={<1,1>,<2,3>,<3,2>} 4 f={<1,2>,<2,3>,<3,1>} 5 f={<1,3>,<2,1>,<3,2>} 6 令G={f,f,…,f},则G关于函数的复合运算构成群。考虑G的子群H={f,f}。做出H的12612全体右陪集如下: Hf={ff,ff}={f,f}=H 1112112 Hf={ff,ff}={f,f}=H 2122221 Hf={ff,ff}={f,f} 3132335 Hf={ff,ff}={f,f} 4142446 Hf={ff,ff}={f,f} 5152553 Hf6={ff,ff}={f,f} 162664 易见Hf=Hf,Hf=Hf,Hf=Hf,不同的右陪集只有三个,每个右陪集都是G的子集。 123546 2(陪集的基本性质 定理11.8 设H是群G的子群,则 (1) He=H (2) a?G有a?Ha。 证 (1)He={he|h?H|={h|h?H}=H (2)任取a?G,由a=ea和ea?Ha得a?Ha。 定理11.9 设H是群G的子群,则a,b?G有 -1 a?Hbab?HHa=Hb -1 证 先证a?Hbab?H. -1-1 a?Hbh(h?H?a=hb)h(h?H?ab=h)ab?H 再证a?HbHa=Hb. 充分性。若Ha=Hb,由a?Ha可知必有a?Hb. -1 必要性。由a?Hb可知存在h?H使得a=,b,即b=,a。任取ha?Ha,则有 1 ha=h(hb)=(hh)b?Hb 111 从而得到HaHb. 反之,任取hb?Hb,则有 1 -1-1 hb=h(,a)=(h,)a?Ha 111 从而得到HbHa. 综合上述,Ha=Hb得证。 定理11.9给出了两个右陪集相等的充分必要条件,并且说明在右陪集中的任何元素 都可以作为它的代表元素。在上面的例子中的f?Hf,所以Hf=Hf.同时有 3535 -1 ff=ff=f?H 35362 定理11.10 设H是群G的子群,在G上定义二元关系R:a,b?G, -1 ?Rab?H 则R是G上的等价关系,且[a]=Ha. R 证 先证明R为G上的等价关系。任取a?G,由 -1 aa=e?H?R 可知R在G上是自反的。任取a,b?G,则 -1-1-1-1 ?Rab?H(ab)?Hba?H?R 所以R是对称的。任取a,b,c?G,则 -1-1-1 ?R??Rab?H?bc?Hac?R?R 所以R是传递的。综上所述,R是G上的等价关系。 下面证明:a?G,[a]=Ha.任取b?G,则有 R -1 b?[a]?Rab?H R 根据定理11.9有 -1 ab?HHa=Hbb?Ha 这就推出b?[a]b?Ha,从而证明了[a]=Ha。 RR 推论 设H是群G的子群,则 (1)a,b?G,Ha=Hb 或 Ha?Hb= (2)?{Ha|a?G|=G 证 由定理11.10和7.14可得。 根据以上定理和推论可以知道,给定群G的一个子群H,H的所有右陪集的集合{Ha|a?G}恰好构成G的一个划分。考虑例11.13中的Klein四元群G={e,a,b,c},H={e,a}是G的子群。H在G中的右陪集是H和Hb,其中Hb={b,c}。那么{H,Hb}构成了G的一个划分。 定理11.11 设H是群G的子群,则 a?G,H?Ha 证明留作练习。 以上已经对子群H的右陪集及其性质进行了讨论,类似地,也可以定义H的左陪集,即 aH={ah|h?H},a?G 并证明关于左陪集的下述性质: 1(eH=H 2(a?G,a?aH -1 3(a,b?G,a?bHba?HaH=bH 4(若在G上定义二元关系R, -1 a,b?G,?Rba?H 则R是G上的等价关系,且[a]=aH. R 5(a?G,H?aH 回顾例11.13的群G={f,f,…,f}.令H={f,f}。则和H的右陪集相比较,不难看出有 12612 Hf=fH, Hf=fH 1122 Hf?fH, Hf?fH, Hf?fH, Hf?fH 33445566 一般来说,对于群G的每个子群H不能保证有Ha=aH.但是对某些特殊的子群H,a?G都有Ha=aH,称这些子群为G的正规子群。关于这一点,我们将在下一节做进一步讨论。 二(拉格朗日定理及其应用 1(拉格朗日定理及其推论 前面已经看到,对于子群H和元素a,它的左陪集aH与右陪集Ha一般说来是不等的。 -1但是H的左陪集个数与右陪集个数是相等的,因为不难证明 f(Ha)=aH 在H的右陪集和左陪集之间建立了一一对应。今后我们不必区分H的右陪集数还是左陪集数,统称为H在G中的陪集数,也叫做H在G中的指数,记作[G:H]。 对于有限群G,H在G中的指数[G:H]和|G|,|H|有密切的关系,这就是著名的拉格朗日定理。 定理11.12 (拉格朗日定理)设G是有限群,H是G的子群,则 |G|=|H|?[G:H] 证 设[G:H]=r,a,a,…,a分别是H的r个右陪集的代表元素。根据定理11.10的推论12r 有 G=Ha?Ha?…?Ha 12r 由于这r个右陪集是两两不交的,所以有 |G|=|Ha|+|Ha|+…+|Ha| 12r 由定理11.11可知,|Ha|=|H|,i=1,2,…,r。将这些等式代入上式得 i |G|=|H|?r=|H|?[G:H] n推论1 设G是n阶群,则a?G,|a|是n的因子,且有a=e。 证 任取a?G,则是G的子群。由拉格朗日定理知的阶是n的因子。另一方 面,是由a生成的子群,若|a|=r,则 012r-1 ={a=e,a,a,…,a} 这说明的阶与|a|相等,所以|a|是n的因子。 n 根据定理11.4(1)必有a=e。 推论2 对阶为素数的群G,必存在a?G使得G=. 证 设|G|=p,p是素数。由p?2知G中必存在非单位元。任取a?G,a?e,则是G的子群。根据拉格朗日定理,的阶是p的因子,即的阶是p或1.显然的阶不是1，这就推出G=. n推论1 设G是n阶群,则a?G,|a|是n的因子,且有a=e。 证 任取a?G,则是G的子群。由拉格朗日定理知的阶是n的因子。另一方面,是由a生成的子群,若|a|=r,则 012r-1 ={a=e,a,a,…,a} 这说明的阶与|a|相等,所以|a|是n的因子。 n 根据定理11.4(1)必有a=e。 推论2 对阶为素数的群G,必存在a?G使得G=. 证 设|G|=p,p是素数。由p?2知G中必存在非单位元。任取a?G,a?e,则是G的子群。根据拉格朗日定理,的阶是p的因子,即的阶是p或1.显然的阶不是1，这就推出G=. 2(拉格朗日定理的应用实例 先证明一个命题:如果群G只含1阶和2阶元,则G是Abel群。 -1-1-1-1 证 设a为G中任意元素,有a=a. 任取x,y?G,则 xy=(xy)=yx= yx, 因此G是Abel群。 例11.14 证明6阶群中必含有3阶元。 证 设G是6阶群,由拉格朗日定理的推论1可知G中的元素只能是1阶,2阶,3阶或6阶元。 2 若G中含有6阶元,设这个6阶元是a,则a是3阶元。 若G中不含6阶元,下面证明G中必含有3阶元。如若不然,G中只含1阶和2阶元, 2即,a?G,有a=e,由命题可知G是阿贝尔群。取G中两个不同的2阶元a和b,令 H={e,a,b,ab} 易证H是G的子群,但|H|=4,|G|=6,与拉格朗日定理矛盾。 例11.15 证明阶小于6的群都是阿贝尔群。 证 1阶群是平凡的,显然是阿贝尔群。2,3和5都是素数。由拉格朗日定理的推论2可知2阶,3阶和5阶群都是由一个元素生成的群。它们都是阿贝尔群。 设G是4阶群。若G中含有4阶元,比如说a,则G=,由刚才的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 可知G是阿贝尔群。若G中不含4阶元,根据拉格朗日定理,G中只含1阶和2阶元。由命题可知G也是阿贝尔群。 主要内容 1( 陪集的定义及实例。 2. 陪集及其代表元素之间的关系。 3. 陪集的四条性质。 4. 有限群G的拉格朗日定理(|G|=|H|[G:H])及两个推论。 学习要求 1. 在群G中会求已知子群H的右(或左)陪集。 2. 了解陪集的性质，特别是两个陪集相等的充要条件。 3. 了解群G的陪集分解是怎样与G上的等价关系相对应的。 4. 掌握拉格朗日定理及其推论的简单应用。 典型习题 1. 求下列子群的陪集。 2. 设H,H分别是群G的r,s 阶子群，若(r,s)=1，证明H?H={e}。 1212 11.5 正规子群与商解 一、正规子群的定义及实例 1(正规子群的定义 定义11.10 设H是群G的子群。如果a?G都有Ha=aH,则称H是G的正规 子群,记作HG。 任何群G都有正规子群,因为G的两个平凡子群,即G和{e},都是G的正规子群。如 果G是阿贝尔群,G的所有子群都是正规子群。 2(正规子群的实例 例11.16 设A={1,2,3},f,f,…,f是A上的双射函数。其中 126 f={<1,1>,<2,2>,<3,3>}, f={<1,2>,<2,1>,<3,3>} 12 f={<1,3>,<2,2>,<3,1>}, f={<1,1>,<2,3>,<3,2>} 34 f={<1,2>,<2,3>,<3,1>}, f={<1,3>,<2,1>,<3,2>} 56 令G={f,f,…,f},则G关于函数的复合运算构成群。G的全体子群是: 126 H={f}, H={f,f}, H={f,f} 11212313 H={f,f}, H={f,f,f}, H=G 41451566 不难验证,H,H和H是G的正规子群,而H,H和H不是正规子群。 156234二(正规子群的判别 1(正规子群的判定定理 定理11.13 设N是群G的子群,N是群G的正规子群当且仅当g?G,n?N有 -1gng?N. 证 必要性。 -1-1 任取g?G,n?N,由gN=Ng可知存在n?N使得gn=ng,从而有 gng=ngg=n?N. 1111 充分性,即证明g?G有gN=Ng. -1-1 任取gn?gN,由gng?N可知存在n?N使得gng=n,从而得gn=ng?Ng。这就111 -1-1-1-1-1推出 gNNg. 反之,任取ng?Ng,由于g?G必有(g)n(g)?N, 即gng?N。所以存 -1在n?N使得gng=n,从而有ng=gn?gN。这就推出NggN. 111 综合上述,g?G有gN=Ng. -1定理11.14 设N是群G的子群,N是G的正规子群当且仅当g?G,有 gNg=N 证 任取g?G有 -1-1 gNg=N(gNg)g=NggN=Ng 由正规子群定义,定理得证。 2(正规子群的判别实例 例11.17 设G是全体n阶实可逆矩阵的集合关于乘法构成的群,其中n?2。令 H={x|x?G?det x=1} 其中detx表示矩阵x的行列式,则H是G的正规子群。 证 设E表示n阶单位矩阵,则E?H,H非空。任取M,M?H,则 12 -1-1 det(MM)=detMdetM=1， 121 2 -1所以MM?H。由子群判别定理可知,H?G. 12 下面证明H是正规的。任取X?G,M?H,则 -1-1-1-1 det(XMX)=detX?detM?detX=detX?detX =det(XX)=det E=1. -1所以XMX?H。由判定定理,H是G的正规子群。 例11.18 设N是群G的子群,若G的其他子群都不与N等势,则N是G的正规子群。 -1-1 证 任取g?G,易证gNg是G的子群,下面证N?gNg。 -1-1-1-1 n?N，令f(n)=gng,则f是N到gNg的映射。假若f(n)=f(n),则有gng=gng,1212 -1-1-1 从而推出 n=n，即f是单射。任取gng?gNg,则有n?N且 f(n)=gng，这就证明f12 -1是满射。从而N?gNg. -1 根据已知条件,必有gNg=N。所以NG. 例11.19 设N是群G的子群,若[G:N]=2,则N是G的正规子群。 证 由[G:N]=2可知存在两个不交的右陪集N与Ng,即 G=N?Ng,gN 同理可知也存在两个不交的左陪集N与gN,即 G=N?gN,gN 任取g?G,若g?N,则有gN=N=Ng。若gN,则有gN=G-N=Ng。从而证明了N是G的正规子群。 例11.18和例11.19也可以作为判别正规子群的充分条件来使用。考虑例11.16中的 群G。H、H和H都是G的唯一的1阶、3阶和6阶子群。所以它们都是正规的。对156 于H,由于[G:H]=2,根据例11.19的结论也可以判别的它的正规性。 55 三(商群及其实例 由群G和G的正规子群N可以构造一个新的群,就是G的商群G/N. 设G是群,N是G的正规子群,令G/N是N在G中的全体右陪集(或左陪集)构成的集合,即 G/N={Ng|g?G} 在G/N上定义二元运算如下:对于任意的 Na,Nb?G/N, NaNb=Nab 可以证明G/N关于运算构成一个群。 首先,我们必须验证运算是良定义的。因为运算是涉及到类的运算,必须证明该运算与类的代表元素的选择无关。换句话说,若 Na=Nx,Nb=Ny, 则有 NaNb=NxNy. 任取a,b,x,y?G,则有 Na=Nx?Nb=Nynn(a=nx?b=ny) 1212 Nab=Nnxny=Nnn?xy(由于N是正规的) 1212 Nab=Nxy NaNb=NxNy 易见G/N关于运算是封闭的。再证明运算是可结合的。任取a,b,c?G, (NaNb)Nc=NabNc=N(ab)c=Nabc Na(NbNc)=NaNbc=Na(bc)=Nabc 所以有(NaNb) Nc=Na(NbNc). -1 Ne=N是G/N中关于运算的单位元(Na?G/N,Na是Na的逆元。综上所述,G/N 关于运算构成群。称为G的商群。 例11.20 设是整数加群,令 3Z={3z|z?Z} 则3Z是Z的正规子群。Z关于3Z的商群 Z/3Z={,,} 其中 =[i]={3z+i|z?Z} i=0,1,2 且Z/3Z中的运算如表11.2所示. 表11.2 主要内容 1( 正规子群的定义及实例。 2. 正规子群的两个判别定理以及相应的四种判别方法。 3. 商群的定义及其实例。 学习要求 1. 掌握正规子群的判别方法。 2. 给定群G和它的正规子群H，会求商群G/H。 典型习题 1. 2设i为虚数单位，即i=-1, 令,则G关于矩阵 乘法构成群。求G的所有子群并证明它们都是正规子群。 2. 设为模18加群，求商群Z/<4>, <3>/<9>。 1818 11.6 群的同态与同构 一、同态映射的定义 和半群的同态类似,也可以定义群的同态。 定义11.11 设G,G是群,:G?G,若a,b?G都有 12121 (ab)= (a)(b) 则称 是群G到G的同态映射,简称同态。 12 二(特殊同态的分类:满同态、单同态、同构 定义11.12 设:G?G是群G到G的同态。 1212 (1) 若 :G?G是满射,则称为满同态,这时也称G是G的同态像,记作1221 . (2) 若 :G?G是单射的,则称为单同态。 12 :G?G是双射的,则称为同构,记作。 (3) 若12 (4) 若G=G,则称是群G的自同态。 12 类似的可以定义满自同态,单自同态和自同构。 三(典型同态映射的实例 例11.21 (1) G=是整数加群,G=是模n的整数加群。令 12n :Z?Z,(x)=(x)mod n n 则是G到G的同态。因为x,y?Z有 12 (x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y) * (2) 设G=是实数加群,G=是非零实数关于普通乘法构成的群。令 12 *x :R?R,(x)= e 则是G到G的同态,因为x,y?R有 12 x+y xy (x+y)= e= e?e= (x)?(y) (3) 设G,G是群,e是G的单位元。令 1222 :G?G,(a) = e,a?G 1221则是G到G的同态,称为零同态。因为a,b?G有 121 (ab)= e= ee= (a)(b) 2 22 例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。 ++(2)中的同态是单同态。由于ran=R,同态像是。这两个同态都不是同构。 例11.22 设G=是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即 n :Z?Z, (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1 nn 例11.23 设G为群,a?G。令 -1 :G?G, (x)=axa,x?G 则是G的自同构,称为G的内自同构。 证 x,y?G有 -1-1-1 (xy)=a(xy)a=(axa)(aya)=(x)(y) 所以是G的自同态。 -1 任取y?G,则aya?G,且满足 -1-1-1 (aya)=a(aya)a=y 所以是满射的。 -1-1 假若(x)=(y),即axa=aya,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。 综合上述,是G的自同构。 如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有 -1-1 (x)=axa=aax=x 这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。 考虑模3整数加群,根据例11.22,Z有3个自同态,即=(px)mod3,p=0,1,2. 33p p=0, ={<0,0>, <1,0>, <2,0>} 0 p=1, ={<0,0>, <1,1>, <2,2>} 1 p=2, ={<0,0>, <1,2>, <2,1>} 2 在这三个自同态中,和是 Z的自同构,其中是内自同构。是零同态。 12 310四(同态映射的性质 1(同态映射保持元素的对应性 定理11.5 设是群G到G的同态映射,e和e分别为G和G的单位元,则 121212 (1) (e)=e 12 -1-1 (2) (a)=(a),a?G 1 证 (1) (e)(e)=(ee)=(e)=(e)e. 由G的消去律得 (e)=e 。1111112212 (2) 任取a?G,由 1 -1-1 (a)(a)=(aa)=(e)=e 12 -1-1 (a)(a)=(aa)=(e)=e 12 -1-1-1可知(a)是(a)的逆元。根据逆元的唯一性得 (a)=(a) *例11.24 设G=是有理数加群,G=是非零有理数乘法群。证明不存在12 G到G的同构。 21 证 假设是G到G的同构,那么有 21 :G?G,(1)=0 21 于是有 (-1)+(-1)=((-1)(-1))=(1)=0 从而得(-1)=0,这与的单射性矛盾。 例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六 个: :e e, a a, b b, c c 1 :e e, a a, b c, c b 2 :e e, a b, b c, c a 3 :e e, a b, b a, c c 4 :e e, a c, b b, c a 5 :e e, a c, b a, c b 6 根据同态定义,不难验证x,y?G都有 (xy)=(x)(y),i=1,2,…,6 iii 成立。所以上述的,,…,是G上的全体自同构。 126 2(同态映射保持子群的对应性 定理11.16 设是群G到G的同态,H是G的子群,则 121 (1) (H)是G的子群。 2 (2) 若H是G的正规子群,且是满同态,则(H)是G的正规子群。 12 证 (1) 由e=(e)?(H)可知(H)非空。 21 任取x,y?(H),则存在a,b?H,使得(a)=x,(b)=y。由于是同态,所以 -1-1-1-1 xy=(a)(b)=(a)(b)=(ab) -1-1又由于H是G的子群,ab?H,因此xy?(H),从而证明了(H)是G的子群。 12 (2) 只需证明(H)是正规的。任取x?(H),y?G,则存在a?H,使得(a)=x。又由2于的满射性,必存在g?G使得(g)=y。所以 1 -1-1-1 yxy=(g)(a)(g) =(gag) (由于同态) -1-1因为H是G的正规子群,gag?H。这就推出yxy?(H)。从而证明了(H)G。 12 3(有关同态核的性质 定义11.13 设是群G到G的同态,令 12 ker={x|x?G?(x)=e} 12其中e为G的单位元。称ker为同态的核。 22 考虑例11.21的几个同态。 (1)中的:Z?Z,(x)=(x) mod n, n ker={z|z?Z?n整除z}=nZ *x (2)中的 :R?R,(x)=e,, ker={0} (3)中的:G?G,(a)=e, a?G，是零同态, 1221 ker=G 1 关于同态的核有以下定理。 定理11.17 设是群G到G的同态,则 12 (1) kerG 1 (2)是单同态当且仅当ker={e},其中e为G的单位元。 111 证 (1)令e,e分别为G和G的单位元。e?ker,ker非空。任取a,b?ker,12121则 -1-1-1 -1 (ab)=(a)(b)=(a)(b)= ee=e 222 -1因此ab?ker,从而证明了ker?G. 1 任取a?ker,x?G,则 1 -1-1-1-1 (xax) = (x)(a)(x)=(x)e(x)=(xx)=(e)=e 212 -1所以xax?ker。这就证明了kerG. 1 (2)必要性。假设存在a?ker且a?e, 则 1 (a)= e=(e) 2 1 与是单射相矛盾。 充分性。任取a,b?G,则 1 -1 -1 (a)=(b)(a)(b)= e(ab) = e 2 2 -1由于ker={e},那么ab=e,从而推出a=b。这就证明了的单射性。所以是单同态。 11 例11.26 设G是群,N是G的正规子群。令 g:G?G/N, g(a)=Na,a?G 则g是G到G/N的同态。因为a,b?G有 g(ab)= Nab = Na Nb = g(a)g(b) 称g为自然同态。 易见自然同态都是满同态。下面求kerg。任取x?G,由 x?kerg Nx=N x?N 可知kerg=N。 考虑两个平凡的正规子群。设g:G?G/N是自然同态。当N=G时,有 G/N = G/G ={G}, 且 a?G有g(a)= G, g是零同态。当N={e}时,kerg={e}。根据定理11.17,g是单同态,也是同构。这时 G/N={{a}|a?G}, 且 a?G有g(a)={a}. 4(同态基本定理 定理11.18 (同态基本定理) 设G是群,N是G的正规子群,则G/N是G的同态像,反之,若G,是G在下的同态像,则G/kerG,. 证 由自然同态g可以证明G/N是G的同态像。反之,设是G到G,的满同态,ker=K。对任意Ka?G/ker,令 f(Ka)=(a), 那么f是G/ker到G,的同构。 定理11.9和K=ker的定义知 首先,由 -1-1-1 Ka=Kbab?K(ab)=e,(a)(b)=e, (a)=(b)f(Ka)=f(Kb). 这证明了f是G/ker到G,的单射。 任取c?G,,由于是满射,存在a?G使得(a)=c。于是 f(Ka)=(a)=c, 即f是满射。 对于任意的 Ka,Kb?G/ker,都有 f(Ka)=f(Kab)=(ab)=(a)(b)=f(Ka)f(Kb) 所以f是G/ker到G,的同态。综合上述有G/kerG,。 例11.27 设G=和G=分别为m,n阶群,则G~G的充要条件是m为n的倍1212数。 证 必要性。若G~G,由同态基本定理知G同构于G的某个商群G/ker,于是 12211 n=|G|=|G/ker|=[G:ker]=|G|/|ker|=m/|ker| 2111 即m是n的倍数。 iii 充分性。由G=,G=。a?G,令(a)=b,则 121 ijj-i a=aa=em|(j-i) j-iij由于m是n的倍数,有n|(j-i)即 b=e,,于是b=b。这就证明了是G到G的映射。易12 ij见是满射。下面证明是同态。a,a?G有 1 iji+ji+jijij (aa)=(a)=b=bb=(a)(a) 综合上述,G~G. 12 主要内容 1( 群同态映射的定义与典型同态映射的实例。 2. 特殊同态的分类(单同态、满同态、同构、自同态)。 3. 同态核与同态像 4. 同态映射的性质:同态映射保持元素及子群的对应性，同态核的性质，同态基本定 理。 学习要求 1. 给定群G，G和映射，能够判别或证明是否为G到G的同态映射。 12122. 能够判别特殊同态的类型:满同态、单同态、同构。 3. 掌握一些典型的群同态。 4. 了解群同态映射的性质。 5. *会应用群同态的性质证明群中的有关命题。 典型习题 1. 给定群G和G，函数f，判断f是否为G到G的同态,为什么,如果是，判别它1212 们是否为单同态、满同态、同构并求出同态的核kerf。 2. -1定义群G上的函数f,f(x)=x,x?G,证明f为自同构当且仅当G为交换群。 3. *设H是G的子群，N是G的正规子群，如果|H|与[G:N]互素，证明H是N的子群。 4. *G为群，H和K是G的正规子群且HK，证明G/K(G/H)/(K/H)。 11.7 循环群与置换群 一、循环群的定义及分类 1( 循环群的定义 定义11.14 设G是群,若存在a?G使得 k G={a|k?Z} 则称G是循环群,记作G=,称a为G的生成元。 回顾本章前面的内容可知,对于任何群G,由G中元素a生成的子群是循环群。同时也知道,任何素数阶的群都是循环群。 2( 循环群的分类 循环群G=根据生成元a的阶可以分成两类:n阶循环群和无限循环群。 设G=是循环群,若a是n阶元,则 012n-1 G={a=e,a,a,…,a} 那么|G|=n,称G为n阶循环群。若a是无限阶元,则 ?0?1?2 G={a=e,a,a,…} 这时称G为无限循环群。 例如整数加群是无限循环群,它的生成元是1和-1。而模6整数加群6是6阶循环群,它的生成元是1和5. 二(循环群的生成元 对于循环群G=,它的生成元可能有多个,怎样求出所有的生成元呢,请看下面的定理。 定理11.19 设G=是循环群。 -1 (1) 若G是无限循环群,则G只有两个生成元,即a和a。 (2) 若G是n阶循环群,则G含有(n)个生成元。对于任何小于等于n且于n互质 r的正整数r, a是G的生成元。 (n)是欧拉函数。对于任何正整数n，(n)是小于等于n且与n互质的正整数个数。例如n=12，小于或等于12且与12互质的数有4个:1，5，7，11，所以(12)=4。 -1-1kk-1 证 (1)显然G。为证明 G,只需证明对任何a?G,a都可以表成a的幂。由元素幂运算规则有 k-1-k a=(a) -1-1从而得到G=,a是G的生成元。 -1 再证明G只有a和a这两个生成元。假设b也是G的生成元,则G=。由a?G tm可知存在整数t使得a=b。又有b?G=知存在整数m使得b=a。从而得到 tmtmt a=b=(a)=a mt-1由G中的消去律得 a=e，因为G是无限群,必有mt-1=0。从而证明了m=t=1或m=t=-1, -1即b=a或b=a。 r (2) 只须证明:对任何正整数r(r?n),a是G的生成元当且仅当n与r互质。 充分性。设r与n互质,且r?n,那么存在整数u和v使得 ur+vn=1 由元素幂运算规则和拉格朗日定理的推论1有 ur+vnrunvru a=a=(a)(a)=(a) kkrukrrrr这就推出a?G,a=(a)?,即G。另一方面,显然有G。从而G=。 rr 必要性。设a是G的生成元,则|a|=n。令r与n的最大公约数为d,则存在正整数t使得r=dt。因此有 rdtnt (a)=(a)=(a)=e r根据定理11.4知|a|是的因子,即n整除。从而证明了d=1. 11例11.29 (1)设G={e,a,…,a}是12阶循环群,则(12)=4。小于或等于12且与12 5711互质的数是1,5,7,11,由定理11.19可知a,a,a和a是G的生成元。 (2)设G=是模9的整数加群,则(9)=6。小于或等于9且与9互质的数是9 1,2,4,5,7,8.根据定理11.19,G的生成元是1,2,4,5,7和8。 (3)设G=3Z={3z|z?Z},G上的运算是普通加法。那么G只有两个生成元:3和-3. 三(循环群的子群 定理11.20 设G=是循环群。 (1) 设G=是循环群,则G的子群仍是循环群。 (2) 若G=是无限循环群,则G的子群除{e}以外都是无限循环群。 (3) 若G=是n阶循环群,则对n的每个正因子d,G恰好含有一个d阶子群。 证 (1)设H是G=的子群,若H={e},显然H是循环群,否则取H中的最小正方 mm幂元a,下面证明a是H的生成元。 mmm 易见H,为证明H,只需证明H中的任何元素都可以表成a的整数次 l幂。任取a?H,由除法可知存在整数q和r,使得 l=qm+r, 其中 0?r?m-1 因此有 rl-qmlm-q a=a=a(a) lmrm由a,a?H且H是G的子群可知a?H,因为a是H中最小正方幂元,必有r=0。这就推 出 lmqm a=(a)? m (2) 设G=是无限循环群,H是G的子群。若H?{e},根据上面的证明可知H=, mmmt其中a为H中最小正方幂元。假若|H|=t,则|a|=t,从而得到a=e。这与a为无限阶元矛盾。 (3) 设G=是n阶循环群,则 01n-1 G={a=e,a,…,a} 根据拉格朗日定理,G的每个子群的阶都是n的因子。下面证明对于n的每个正因子d m都存在一个d阶子群。易见H=是G的d阶子群。假设H=也是G的d阶子1 m群,其中a为H中的最小正方 1 md幂元。则由 (a)=e 可知n整除md,即整除m。令m=?l,l是整数,则有 m l a= (a)?H 这就推出HH。又由于|H|=|H|=d,得H=H. 111 根据这个定理的证明不难得到求循环群的所有子群的方法,如果G=是无限循环 mm群,那么是G的子群,其中m是自然数,并且容易证明对于不同的自然数m和t, t和是不同的子群。如果G=是n阶循环群,先求出n的所有的正因子。对于每个正因子d,H=是G的唯一的d阶子群。 例如G=是无限循环群,其生成元为1和-1。对于自然数m?N，1的m次幂是m，m生成的子群是mZ,m?N。即 <0>={0}=0Z ={mz|z?Z}=mZ, m>0 又如G=Z是12阶循环群。12的正因子是1,2,3,4,6和12,因此G的子群是: 12 1阶子群 <12>=<0>={0} 2阶子群 <6>={0,6} 3阶子群 <4>={0,4,8} 4阶子群 <3>={0,3,6,9} 6阶子群 <2>={0,2,4,6,8,10} 12阶子群 <1>=Z 12 2?2?4例11.3 (1)设G=={e,a,a,…}是无限循环群,则G的子群是: 11 2m?2m?4m {e}, ={e,a,a,…},m是正整数。 2 (2)设G=是9阶循环群,则 2 2416 G={e,a,a,…,a} 2 那么G的子群是: 2 1阶子群 {e} 23612 3阶子群 <(a)>={a,a,e} 2 9阶子群 =G 2 四(n元置换及其表示 1(n元置换的定义 定义11.15 设S={1,2,…,n}，S上的任何双射函数σ:S?S称为S上的n元置换。 一般将n元置换σ记为 例如S={1,2,3,4,5}，则 ， 都是5元置换。 2. n元置换的乘法 定义11.16 设σ,τ是n元置换，则σ和τ的复合στ也是n元置换，称为σ与τ 的乘积，记作。 例如上面的5元置换σ和τ有 ， 3(n元置换的分解式 (1) k阶轮换与轮换分解方法 定义11.17 设σ是S={1,2,…,n}上的n元置换。若 σ(i)=i,σ(i)=i,…,σ(i)=i,σ(i)=i 1223k-1kk1 且保持S中的其他元素不变,则称σ为S上的k阶轮换,记作(ii…i).若k=2,这是也称12kσ为S上的对换。 例如5元置换 , 分别是4阶和2阶轮换σ=(1 2 3 4),τ=(1 3)，其中τ也叫做对换。 设 S={1,2,…,n},对于任何S上的n元置换σ一定存在着一个有限序列i,i,…,i,k?1,12k使得 σ(i)=i,σ(i)=i,…,σ(i)=i,σ(i)=i 1223k-1kk1 令σ=(ii…i)。它是从σ中分解出来的第一个轮换。根据函数的复合定义可将σ写112k 作σσ,,其中σ,作用于S-{i,i,…,i}上的元素。继续对σ,进行类似的分解。由于S112k 中只有n个元素,经过有限步以后,必得到σ的轮换分解式 σ=σσ…σ 12t 例11.31 设S={1,2,…,8}, 是8元置换。先考虑σ的分解式。观察到 σ(1)=5,σ(5)=2,σ(2)=3,σ(3)=6,σ(6)=1 所以从σ中分解出来的第一个轮换式(1 5 2 3 6),S中剩下的元素是4,7,8.由σ(4)=4得到1阶轮换(4),它是从σ中分解出来的第二个轮换。对于剩下的元素7和8有σ(7)=8,σ(8)=7. 这样就得到第三个轮换。到此为止,S中的元素都被分解完毕。因此可以写出σ的轮换表示式 σ=(1 5 2 3 6)(4)(7 8) 用同样的方法可以得到τ的分解式 τ=(1 8 3 4 2)(5 6 7) 为了使得轮换表达式更为简洁,通常省略其中的1阶轮换,例如σ可以写作(1 5 2 3 6)(7 8),如果n元置换的轮换表示全部是1阶轮换。例如8元恒等置换(1)(2)…(8),那么只能省略其中的7个1阶轮换,可将它简记为(1)。 (2) 轮换分解式的特征:轮换的不交性、分解的唯一性 不难看出,在上述分解式中任何两个轮换都作用于不同的元素上,我们称它们是不交的。因此,可以说任何n元置换都可以表示成不交的轮换之积。进一步可以证明将n元置换分解为不交的轮换之积时,它的表示式是唯一的。这里的唯一性是说:若 σ=σσ…σ 和 σ=ττ…τ 12t12s 是σ的两个轮换表示式,则有 {σ,σ,…,σ}={τ,τ,…,τ} 12t12s 换句话说,由于分解式中的任意两个轮换都作用于S的不同元素上,根据函数复合的性质可以证明,交换轮换的次序以后得到的仍是相等的n元置换。因此在不考虑表示式中轮换的次序的情况下,该表示式是唯一的。 (3) 对换与对换分解方法 设S={1,2,…,n},σ=(ii…i)是S上的k阶轮换,那么σ可以进一步表成对换之积,即 12k (ii…i)=(ii)(ii)…(ii) 12k12131k 回顾关于n元置换的轮换表示,任何n元置换都可以唯一地表示成不相交的轮换之积,而任何轮换又可以进一步表示成对换之积,所以任何n元置换都可以表成对换之积。例如8元置换 ， 的对换表示式分别为 σ=(1 5 2 3 6)(7 8)=(1 5)(1 2)(1 3)(1 6)(7 8) τ=(1 8 3 4 2)(5 6 7)=(1 8)(1 3)(1 4)(1 2)(5 6)(5 7) (4) 对换分解式的特征: 在对换分解式中对换之间可以有交,分解式也不唯一。例如4元置换 可以有下面不同的对换表示: σ=(1 2)(1 3)， σ =(1 4)(2 4)(3 4)(1 4) 尽管n元置换的对换表示式是不唯一的,但可以证明表示式中所含对换个数的奇偶性是不变的。例如上面的4元置换σ只能表示成偶数个对换之积,而4元置换τ=(1 2 3 4)只能表示成奇数个对换之积。如果n元置换σ可以表示成奇数个对换之积,则称σ为奇置换,否则称为偶置换,不难证明奇置换和偶置换各有个。 五(n元置换群及其实例 考虑所有的n元置换构成的集合S.任何两个n元置换之积仍旧是n元置换,S关于nn置换的乘法是封闭的。置换的乘法满足结合律。恒等置换(1)是S中的单位元。对于任n -1何n元置换σ?S,逆置换σ是σ 的逆元。这就证明了S关于置换的乘法构成一个群,nn 称为n元对称群。 例11.32 设S={1,2,3},则3元对称群 S={(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)} 3 其运算表如表11.3所示。 表11.3 在讨论陪集的时候我们曾经给出了一个6元群的例子(见例11.15),其中G={f,f,…,f}是{1,2,3}上的6个双射函数的集合。双射函数就是置换。根据3元置换的126 轮换表示,可以把f,f,…,f表为 126 f=(1), f=(1 2), f=(1 3), 123 f=(2 3), f=(1 2 3), f=(1 3 2) 456 实际上G就是S。S是最小的非交换群。 33 下面考虑S的子群。设A是所有的n元偶置换的集合。可以证明A是S的子群,nnnn称为n元交错群。 首先,恒等置换(1)是偶置换,所以A非空。任取σ,τ?A,σ,τ都可以表成偶数个对nn换之积,那么στ 也可以表成偶数个对换之积,所以στ?A。任取σ?A,若σ可以表成nnσσ…σ,其中σ,σ,…,σ是对换,t是偶数。那么 12t12t -1-1-1-1-1 σ=σσ…σσ=σσ…σσ tt-121tt-121 也是偶置换。根据子群判定定理一,A是S的子群。 nn 例如 S={(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)},其中的偶置换是(1),(1 2 3)和(1 3 2)。因3 此3元交错群A={(1),(1 2 3),(1 3 2)}。 3 对于S来说,它的所有子群都叫做n元置换群,n元对称群S,n元交错群A都是nnnn 元置换群的特例。以S为例,除了S和A以外,它的其他子群是: 333 2阶子群: {(1),(1 2)}，{(1),(1 3)}，{(1),(2 3)} 1阶子群: {(1)} 这三个2阶子群都不是正规子群。两个平凡子群和A是正规子群。 3 主要内容 1. 循环群的定义及分类(无限循环群与有限循环群) -12. 无限循环群G=只有两个生成元a和a;n阶循环群有(n)个生成元。 m3. 无限循环群G=有无数个子群，对于任何自然数m， 都是G的子群;n阶循 环群恰有d个子群，其中d是n的正因子个数。 4. n元置换的不同表法之间的转换，置换乘法及求逆。 5. n元对称群及其子群--n元交错群 学习要求 1. 判断群G是否为循环群。如果是，是有限还是无限循环群。 2. 求给定循环群的所有生成元。 3. 求给定循环群的所有子群。 4. 用三种方法表示n元置换:置换表示、轮换表示、对换表示。 5. 会求n元置换的乘积和逆。 6. 了解n元置换群的概念。 典型习题 1. 给定群G，判断G是否为循环群。 2. 求出循环群的所有生成元和子群。 3. 证明循环群是交换群。 -14. 设σ,τ是7元置换，求τσ，στσ,τ，将στσ表成不交的轮换之积和对换之积。 习题 A1.设A={0,1},试给出半群的运算表,其中为函数的复合运算。答案 22.设G={a+bi|a,b?Z},i为虚数单位,即i=-1.验证G关于复数加法构成群。答案 3.设Z为整数集合,在Z上定义二元运算如下: x,y?Z,xy=x+y-2 问Z关于运算能否构成群,为什么,答案 4.设A={x|x?R?x?0,1}.在A上定义六个函数如下: -1 f(x)=x, f(x)=x, f(x)=1-x, 123 -1-1-1 f(x)=(1-x), f(x)=(x-1)x, f(x)=x(x-1) 456 令F为这六个函数构成的集合,运算为函数的复合运算。 (1) 给出运算的运算表。 (2) 验证是一个群。答案 k5.设G为群,且存在a?G,使得 G={a|k?Z}, 证明G是交换群。答案 答案 6.证明群中运算满足消去律. 27.设G为群,若x?G有x=e,证明G为交换群。答案 8.设G为群,证明e为G中唯一的幂等元。答案 9.证明4阶群必含2阶元。答案 10.设G是非阿贝尔群,证明G中存在元素a和b,a?b,且ab=ba.答案 11.设H是群G的子群,x?G,令 -1-1 xHx={xhx|h?H}, -1 证明xHx是G的子群,称为H的共轭子群。答案 12.设 (1) G上的二元运算为矩阵乘法,给出G的运算表 (2) 试找出G的所有子群 (3) 证明G的所有子群都是正规子群。答案 13.设G是有限群，K是G的子群，H是K的子群,证明[G:H]=[G:K][K:H]. 答案 14.令G={Z,+}是整数加群。求商群Z/4Z,Z/12Z和4Z/12Z.答案 15.对以下各小题给定的群G和G以及f:G?G,说明f是否为群G到G的同态。如果121212是,说明G是否为单同态,满同态和同构,并求同态像f(G)和同态核kerf. 1 ** (1) G=,G=,其中R为非零实数的集合,+和?分别表示数的加法和乘法。 12 * f:Z?R,f(x)= (2) G=,G=,其中+和?分别表示数的加法和乘法 12 A={x|x?C?|x|=1},其中C为复数集合。 f:Z?A,f(x)=cosx+i sinx (3) G=,G=,+和?以及A的定义同(2). 12 f:R?A,f(x)=cosx+i sinx 答案 -116.设f是群G到G的同构,证明f是G到G的同构。答案 1221 17.设G为循环群,f是群G到G的同态,证明f(G)也是循环群。答案 1121 18.设G=是15阶循环群。 (1) 求出G的所有的生成元。 (2) 求出G的所有子群。答案 19.设σ,τ是5元置换,且 -1-1-1 (1) 计算στ,τσ,σ,τ,στσ -1-1 (2) 将στ,τ,στσ表成不交的轮换之积。 (3) 将(2)中的置换表示成对换之积,并说明哪些为奇置换,哪些为偶置换。答案
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