人教版初一数学知识点总结

人教版初一数学知识点总结 七年级数学,上～知识点 人教版七年级数学 上册 三年级上册必备古诗语文八年级上册教案下载人教社三年级上册数学 pdf四年级上册口算下载三年级数学教材上册pdf 主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章 有理数 一( 知识框架 二(知识概念 1.有理数: q(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正(p,q为整数且p,0)p 分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意:0即不是正数，也不是负数;-a不一定是负数，+a也不一定是正数;,不是有理数; ,,正整数,正整数,正有理数,,,,整数零正分数,,,,,负整数(2)有理数的分类: ? 有理数零 ? 有理数 ,,,,,负整数,正分数,负有理数分数,,,,负分数负分数,,,, 2(数轴:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3(相反数: (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0; (2)相反数的和为0 , a+b=0 , a、b互为相反数. 4.绝对值:数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值 AB -5-4-3-2-131240 - 1 - (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数;注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离: a(a,0),a(a,0),,或 ;绝对值的问题经常分类讨论; (2) 绝对值可表示为:a,a,0(a,0),,,a(a,0),,,a(a,0), 5.有理数比大小:(1)正数的绝对值越大，这个数越大;(2)正数永远比0大，负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小，绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数 , 0，小数-大数 , 0. 16.互为倒数:乘积为1的两个数互为倒数;注意:0没有倒数;若 a?0，那么的倒数是;aa若ab=1, a、b互为倒数;若ab=-1, a、b互为负倒数. 7. 有理数加法法则: (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加; 2)异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值; ( (3)一个数与0相加，仍得这个数。互为相反数的两数相加得零。 8(有理数加法的运算律: (1)加法的交换律:a+b=b+a ;(2)加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 9(有理数减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b). 10 有理数乘法法则: (1)两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘; (2)任何数同零相乘都得零; (3)几个数相乘，有一个因式为零，积为零。 (4)几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为 负数 ，当负因数有偶数个时，积为 正数 ; 11 有理数乘法的运算律: (1)乘法的交换律:ab=ba;(2)乘法的结合律:(ab)c=a(bc); (3)乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac . 12(有理数除法法则: a(1)除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意:零不能做除数，。 即无意义0 (2)两数相除，同号得 正 ，异号得 负 ，并把绝对值相 乘 。0除以任何一个不等于0的数都得 0 。 13(有理数乘方的法则: (1)正数的任何次幂都是正数; nn(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;注意:当n为正奇数时: (-a)=-a或(a nnnn nn-b)=-(b-a) , 当n为正偶数时: (-a) =a或 (a-b)=(b-a) . 14(乘方的定义: 4(1)求相同因式积的运算，叫做乘方;乘方的幂意义: 表示n个a相乘，如3表示4个 - 2 - 4=3×3×3×3 3相乘，即3 (2)乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂; n15(科学记数法:把一个大于10的数记成a×10的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法。(1)把一个绝对值大于10的数表示成a×10的形式(a是整数 8数位只有一位的数，n是比原整数数位小1的正整数)，如236000000=2.36×10; 6-2450000=-2.45×10 (2)将用科学计数法表示的数还原，如:1.52×104=15200 16.近似数的精确位:一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 17.有效数字:一个数字从左边第一个非0的数字起到末位止，叫做这个数的有效数字。 如:0.003020有四个有效数字，分别是3、0、2、0。 18.混合运算法则:先乘方，后乘除，最后加减;同级运算，从左到右进行;如有括号，先算括号，从小到大。 本章内容要求学生正确认识有理数的概念,在实际生活和学习数轴的基础上,理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。重点利用有理数的运算法则解决实际问题. 第二章 整式的加减 一(知识框架 二.知识概念 1(单项式:在代数式中，若只含有乘法(包括乘方)运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式. 2(单项式的系数与次数:单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数;系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数. ?当一个单项式 22的系数是1或,1时，“1”通常省略不写，如x，,ab等; 36?单项式次数只与字母指数有关。如2a的次数为6 ※注意?圆周率π是常数; 3(多项式:几个单项式的和叫多项式。 一个多项式含有几项，就叫几项式。 4(多项式的项数与次数:多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项;多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数。 ※注意:?多项式的次数不是所有项的次数之和，而是这个多项式里的单项式的最高次数; ?多项式的每一项都包括它前面的符号; 5、多项式排列: - 3 - ?把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母的降幂排列( ?把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个 字母的升幂排列( 6、单项式与多项式统称整式。(分母含有字母的代数式不是整式) 7、同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项。合并同类项法则:合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变。 注意:?.若两个同类项的系数互为相反数,则两项的和等于零, 如:-3ab2+3ab2=(-3+3)ab2=0×ab2=0。 ?.多项式中只有同类项才能合并,不是同类项不能合并。 8、整式的加减就是合并同类项的过程。 9、整式去括号变化规律: (1).如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同; (2).如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 10、整式加减的运算法则: 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 第三章 一元一次方程 一( 知识框架 二(知识概念 1(一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程. 2(一元一次方程的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形式: ax=b(x是未知数，a、b是已知数，且a?0). 注意 意a?0这个重要条件,它也是判断方程是否是一元一次方程的重要依据. 3、等式的基本性质(1)等式两边加上(或减去)同一个数或同一个代数式,所得的结果仍是等式. - 4 - 即若a=b，则a?m=b?m. (2) 等式两边乘以(或除以)同一个不为0的数或代数式, 所得的结果仍是等式. 此外等式还有其它性质: 若a=b，则b=a.若a=b，b=c,则a=c. 说明:?等式两边不可能同时除以为零的数或式，这一点务必要引起同学们的高度重视. ?等式的性质是解方程的重要依据. 4、方程的解与解方程:使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解, 求方程解的过程叫解方程. 5、关于移项:?移项实质是等式的基本性质1的运用. ?移项时,一定记住要改变所移项的符号. 6、一元一次方程解法的一般步骤: 整理方程 „„ 去分母 „„ 去括号 „„ 移项 „„ 合并同类项 „„ 系数化为1 „„ (检验方程的解)。具体解题时，有些步骤可能用不上，有些步骤可以颠倒顺序，有些步骤可以合写，以简化运算，要根据方程的特点灵活运用. 注意:去分母时，方程左右两边的所有项都要乘以分母的最小公倍数，包括常数项。 7方程的检验:检验某数是否为原方程的解，应将该数分别代入原方程左边和右边，看两边的值是否相等。 注意:应代入原方程的左、右两边分别计算，不能代入变形后的方程的左边和右边. 4(列一元一次方程解应用题: (1)读题分析法:„„„„ 多用于“和，差，倍，分”问题 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如:“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程. (2)画图分析法: „„„„ 多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 11(列方程解应用题的常用公式: 距离距离 ; (1)行程问题: 距离=速度×时间 速度,时间,时间速度 工作量工作量工效,(2)工程问题: 工作量=工效×工时 工时,; 工时工效 部分部分(3)比率问题: 部分=全体×比率 ; 比率,全体,全体比率 (4)顺逆流问题: 顺流速度=静水速度，水流速度，逆流速度=静水速度,水流速度; 1(5)商品价格问题: 售价=定价×折× ，利润=售价,成本， 10 售价,成本; 利润率,，100%成本 - 5 - 2=2πR，S=πR，C=2(a+b)，S=ab， C=4a， (6)周长、面积、体积问题:C圆圆长方形长方形正方形 1222322S=a，S=π(R-r),V=abc ，V=a，V=πRh ，V=πRh. 正方形环形长方体正方体圆柱圆锥3 本章内容是代数学的核心，也是所有代数方程的基础。丰富多彩的问题情境和解决问题的快乐很容易激起学生对数学的乐趣，所以要注意引导学生从身边的问题研究起，进行有效的数学活动和合作交流，让学生在主动学习、探究学习的过程中获得知识，提升能力，体会数学思想方法。 第四章 图形的认识初步 一、知识框架 二、知识概念 1、几何图形:点、线、面、体这些可帮助人们有效的刻画错综复杂的世界， 它们都称为几何图形。从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。有些 几何图形的各部分不在同一平面内，叫做立体图形。有些几何图形的各部 分都在同一平面内，叫做平面图形。虽然立体图形与平面图形是两类不同 的几何图形，但它们是互相联系的 2、直线:是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹。 3、射线:直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线。 4、线段:直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。 线段有如下性质:两点之间线段最短。 5、两点间的距离:连接两点间线段的长度叫做这两点间的距离。 6、直线、射线、线段区别:直线没有距离。射线也没有距离。因为直线没有端点，射线只 - 6 - 有一个端点，可以无限延长。 7、角:?具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角。 这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。(角的静态定义 ) ?一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。 所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。(角的动态定义 ) 8、对顶角:两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。 两条直线相交，构成两对对顶角。互为对顶角的两个角相等。 七年级数学,下～知识点 人教版七年级数学下册主要包括相交线与平行线、平面直角坐标系、三角形、二元一次方程组、不等式与不等式组和数据的收集、整理与表述六章内容。 第五章 相交线与平行线 一、知识框架 二、知识概念 1、如果两个角的和为90?(或直角)，那么这两个角互为余角; 如果两个角的和为180?(或平角)，那么这两个角互为补角; 注意:这两个概念都是对于两个角而言的，而且两个概念强调的是两个角的数量关系， 与两个角的相互位置没有关系。 它们的主要性质:同角或等角的余角相等;同角或等角的补角相等。 - 7 - 1、邻补角:两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补 角。 2、对顶角:一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶 角。 3、垂线:两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。 4、平行线:在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 5、同位角、内错角、同旁内角: 同位角:?1与?5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。 内错角:?2与?6像这样的一对角叫做内错角。 同旁内角:?2与?5像这样的一对角叫做同旁内角。 6、命题:判断一件事情的语句叫命题。 7、平移:在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。 8、对应点:平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样 的两个点叫做对应点。 9、定理与性质 对顶角的性质:对顶角相等。 10、垂线的性质: 性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 11、平行公理:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 12、平行线的性质: 性质1:两直线平行，同位角相等。 性质2:两直线平行，内错角相等。 性质3:两直线平行，同旁内角互补。 13、平行线的判定: 判定1:同位角相等，两直线平行。 判定2:内错角相等，两直线平行。 判定3:同旁内角相等，两直线平行。 三、尺规作图: 尺规作图的定义:尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图, 通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 五种基本作图: 1、作一条线段等于已知线段; 2、作一个角等于已知角; 3、作已知线段的垂直平分线; - 8 - 4、作已知角的角平分线; 5、过一点作已知直线的垂线; 1、作一条线段等于已知线段。 已知:如图，线段a . 求作:线段AB，使AB = a . 作法: (1) 作射线AP; (2) 在射线AP上截取AB=a . 则线段AB就是所求作的图形。 2、作已知线段的中点。 已知:如图，线段MN. 求作:点O，使MO=NO(即O是MN的中点). 作法: (,)分别以M、N为圆心，大于 的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P，Q; (,)连接PQ交MN于O( 则点O就是所求作的,,的中点。 (试问:PQ与,,有何关系,) 3、作已知角的角平分线。 已知:如图，?AOB， 求作:射线OP, 使?AOP,?BOP(即OP平分?AOB)。 作法: (1)以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N; (2)分别以M、,为圆心，大于 的相同线段为半径画弧，两弧交?AOB 内于,; (3) 作射线OP。 则射线OP就是?AOB的角平分线。 4、作一个角等于已知角。(见 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf P55) - 9 - 第六章 平面直角坐标系 一(知识框架 二(知识概念 1.有序数对:有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做(a,b) 2.平面直角坐标系:在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。 3.横轴、纵轴、原点:水平的数轴称为x轴或横轴;竖直的数轴称为y轴或纵轴;两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 4.坐标:对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。 5.象限:两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内。 第七章 三角形 一(知识框架 - 10 - 二(知识概念 1、三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2、三边关系:三角形任意两边的和大于第三边～任意两边的差小于第三边。 3、三角形的内角的关系: (1)三角形三个内角和等于180?。 (2)直角三角形的两个锐角互余。 4、高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 5、中线:在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 性质:三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。 6、角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 性质:三角形的三条角平分线交于一点。交点在三角形的内部。 7、三角形的稳定性:三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。 8、多边形:在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 9、多边形的内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 10、多边形的外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 11、多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 12、正多边形:在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 13、平面镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。 12.公式与性质 三角形的内角和:三角形的内角和为180? 三角形外角的性质: 性质1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 性质2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 多边形内角和公式:n边形的内角和等于(n-2)×180? 多边形对角线的条数:(1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线，把多边形分词(n-2)个三角形。 n(n-3)条对角线。 (2)n边形共有2 三角形是初中数学中几何部分的基础图形，在学习过程中，教师应该多鼓励学生动脑动手，发现和探索其中的知识奥秘。注重培养学生正确的数学情操和几何思维能力。 三、图形的全等 1、定义:能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 2、性质:全等图形的形状和大小都相同。 - 11 - 四、探索三角形全等的条件 1、全等三角形及有关概念: 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 2、全等三角形的表示: 全等用符号“?”表示，读作“全等于”。如?ABC??DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。 注:记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等，对应角相等。 4、三角形全等的判定: (1)边边边:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。 (2)角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”) (3)角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS”) (4)边角边:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”) 直角三角形全等的判定: 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理(斜边、直角边定理):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”) - 12 - 三角形全等的4个种判定公理: 1(判定和性质 一般三角形 直角三角形 边角边(SAS)、角边角(ASA) 具备一般三角形的判定方法 判定 角角边(AAS)、边边边(SSS) 斜边和一条直角边对应相等(HL) 性质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 【注意】 判定方法 条件 注意 三边对应相等 三边对应相等 ?边边边公理，SSS， 两边和它们的夹角对应相等 必须是两边夹一角， ?边角边公理(SAS) ,“两边夹一角”， 不能是两边对一角 两角和它们的夹边对应相等 ?角边角公理(ASA) ,“两角夹一边”， 不能理解为两角及任意一边 两角和其中一角的对边对应相等 ?角角边公理(AAS) ,找夹角(SAS), ,,注:? 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等; ? 全等三角形面积相等( 已知两边找直角(HL),,2(证题的思路: ,,找第三边(SSS)性质 1、全等三角形的对,,应角相等、对应边相等。 ,若边为角的对边，则找任意角(AAS), 2、全等三角形的对应,,找已知角的另一边(SAS),,,边上的高对应相等。 已知一边一角,,, 3、全等三角形的对应边为角的邻边找已知边的对角(AAS),,,角平分线相等。 ,,,找夹已知边的另一角(ASA),, 4、全等三角形的对应, ,中线相等。 , 5、全等三角形面积相找两角的夹边(ASA),,等。 已知两角,,找任意一边(AAS), 6、全等三角形周长相, 等。 (以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 7、三边对应相等的两个三角形全等。(SSS) 8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS) 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形 - 13 - 全等。(ASA) 10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS) 11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL) 五、用尺规做三角形: 1、已知三边作三角形。 已知:如图，线段a，b，c. 求作:?ABC，使AB = c，AC = b，BC = a. 作法: (1) 作线段AB = c; (2) 以A为圆心b为半径作弧， 以B为圆心a为半径作弧与 前弧相交于C; (3) 连接AC，BC。 ABC就是所求作的三角形。 则? 2、已知两边及夹角作三角形。 已知:如图，线段m，n, ?. , 求作:?ABC，使?A=?，AB=m，AC=n. , : 作法 (1) 作?A=?; , 2) 在AB上截取AB=m ,AC=n; ( (3) 连接BC。 则?ABC就是所求作的三角形。 3、已知两角及夹边作三角形。 ,已知:如图，?，?，线段m . , ,求作:?ABC，使?A=?，?B=?,AB=m. , 作法: (1) 作线段AB=m; (2) 在AB的同旁 ,作?A=?，作?B=?， , ?A与?B的另一边相交于C。 则?ABC就是所求作的图形(三角形)。 - 14 - 五、利用三角形全等测距离 A B ?ABC和?DEC中， 在 因为AC=DC，?ACB=?DCE，BC=EC， C 所以?ABC??DEC， 所以AB=DE E D 第八章 二元一次方程组 一(知识结构图 二、知识概念 1.二元一次方程:含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次。方程，一般形式是 ax+by=c(a?0,b?0)。 2.二元一次方程组:把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 3.二元一次方程的解:一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。 4.二元一次方程组的解:一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。 5.消元:将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。 6.代入消元:将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 7.加减消元法:当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 - 15 - 第九章 不等式与不等式组 一(知识框架 二、知识概念 1.用符号“,”“,”“? ”“?”表示大小关系的式子叫做不等式。 2.不等式的解:使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 4.一元一次不等式:不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。 5.一元一次不等式组:一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成6.了一个一元一次不等式组。 7.定理与性质 不等式的性质: 不等式的基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。 不等式的基本性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的基本性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 本章内容要求学生经历建立一元一次不等式(组)这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会不等式(组)的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。 第十章 数据的收集、整理与描述 一(知识框架 全面调查 收整描分得- 16 - 集理述析出 数数数数结 据 据 据 据 论 抽样调查 二(知识概念 1.全面调查:考察全体对象的调查方式叫做全面调查。 2.抽样调查:调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。 3.总体:要考察的全体对象称为总体。 4.个体:组成总体的每一个考察对象称为个体。 5.样本:被抽取的所有个体组成一个样本。 6.样本容量:样本中个体的数目称为样本容量。 7.频数:一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。 8.频率:频数与数据总数的比为频率。 9.组数和组距:在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。 本章要求通过实际参与收集、整理、描述和分析数据的活动，经历统计的一般过程，感受统计在生活和生产中的作用，增强学习统计的兴趣，初步建立统计的观念，培养重视调查研究的良好习惯和科学态度。 北师大版独有 第一章 整式的乘除 整式相关知识回顾 一、单项式、单项式的次数: 只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 二、多项式 1、多项式、多项式的次数、项 几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 三、整式:单项式和多项式统称为整式。 四、整式的加减法: 整式加减法的一般步骤:(1)去括号;(2)合并同类项。 第一章 整式的乘除 一、幂的运算性质: mnm+n (1)同底数幂的乘法: a)a=a(同底，幂乘，指加) m+nmn 逆用: a =a)a(指加，幂乘，同底) mnm-n(2)同底数幂的除法: a?a=a(a?0)。 (同底，幂除，指减) m-nmn逆用: a = a?a(a?0) (指减，幂除，同底) - 17 - mnmn (3)幂的乘方: (a) =a(底数不变，指数相乘) mnmn逆用: a =(a) nnn(4)积的乘方: (ab)=ab 推广: nnn 逆用， ab =(ab)(当ab=1或-1时常逆用) 0(5)零指数幂: a=1 (注意考底数范围a?0)。 1,pp1aa,,,()(0)p(6)负指数幂: (底倒，指反) aa 二、整式的乘除法: 1、单项式乘以单项式: 法则:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。 2、单项式乘以多项式:m(a+b+c)=ma+mb+mc。 法则:单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 3、多项式乘以多项式:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 4、单项式除以单项式: 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 ().abcmambmcm，，,,,，,，,5、多项式除以单项式: 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 三、整式乘法公式: 221、平方差公式: 平方差，平方差，两数和，乘，两数(a，b)(a,b),a,b 差。 22公式特点:(有一项完全相同，另一项只有符号不同，结果= ()相同)(不同, 222 2、完全平方公式: 首平方，尾平方，2倍首尾放中央。 (a，b),a，2ab，b 222 (a,b),a,2ab，b - 18 - 222222aabbabaabbab，，,，,，,,2(),2(). 逆用: 完全平方公式变形(知二求一): 222222 ababab，,，,()2ababab，,,，()2 22221ababab，,，，,[()()]2 2222221ababababababab，,，,,,，,，，,()2()2[()()]2 22221ababab,，,,[()()]()()4ababab，,,， 4 221nn2n2n+1，((xyxy,,)=(y-x), )=-(y-x)3.常用变形: 第四章 变量之间的关系 一、用表格表示的变量间关系 采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。 二、用关系式表示的变量间关系 关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。 三、用图象表示的变量间关系 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象(这个图象就叫做平面直角坐标系)。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。表示的步骤是:?列表:列表给出自变量与因变量的一些特殊的对应值。一般给出的数越多，画出的图象越精确。?描点:在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴(横轴或x轴)上的点来表示自变量，用竖直方向的数轴(纵轴或y轴)上的点来表示因变量。?连线:按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线把所描的各点连结起来。 - 19 - - 20 - 优缺点比较。 优 点 缺 点 备 注 对于表中自变量的每一个值可以不通过只能列出部分自变量与因变量的对应值,通常自变量表示在表格的上列表法 计算,直接把因变量的值找到,查询时很难以反映变量间的变化全貌,而且从表中方，因变量表示在表格的下方 方便 看不出变量间的对应规律 有些变量之间的关系很难或不能用关系通常自变量表示在式子的右关系式法 简明扼要,规范准确 式表示,求对应值也需要逐个计算,比较边，因变量表示在式子的左边 麻烦 形象直观,可以很形象地反映事物变化通常自变量用水平方向的数 的全过程,变化的趋势和某些性质(因变图象是近似的,局部的,观察或由图象确轴(横轴)上的点来表示，因图象法 量的增减性,点的对称,最大值或最小定的因变量的值往往是不准确的 变量用竖直方向的数轴(纵 值)等 轴)上的点来表示 相关知识点: 一、变量、自变量、因变量 1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。 2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。 注:变量:在某一过程中发生变化的量，其中包括自变量与因变量。自变量是最初变动的 量，它在研究对象反应形式、特征、目的上是独立的;因变量是由于自变量变动而引 起变动的量，它“依赖于” 自变量的改变。 常量:一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量. 二、图像注意:a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象; b.从横轴和 纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义(坐标)，特别是图像的起点、拐点、 - 21 - 交点 三、事物变化趋势的描述 对事物变化趋势的描述一般有两种: 1.随着自变量x的逐渐增加(大)，因变量y逐渐增加(大)(或者用函数语言描述也可: 因变量y随着自变量x的增加(大)而增加(大)); 2. 随着自变量x的逐渐增加(大)，因变量y逐渐减小(或者用函数语言描述也可:因变 量y随着自变量x的增加(大)而减小). 注意:如果在整个过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述.例如在什么范围内随 着自变量x的逐渐增加(大)，因变量y逐渐增加(大)等等. 四、估计(或者估算) 对事物的估计(或者估算)有三种: 1.利用事物的变化规律进行估计(或者估算).例如:自变量x每增加一定量，因变量y的变化情况;平均每次(年)的变化情况(平均每次的变化量=(尾数,首数)/次数或相差年数)等等; 2.利用图象:首先根据若干个对应组值，作出相应的图象，再在图象上找到对应的点对应的因变量y的值; 3.利用关系式:首先求出关系式，然后直接代入求值即可. 第五章 生活中的轴对称 一、轴对称现象 1、轴对称图形: 如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 2、轴对称: 对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。 二、探索轴对称性质: 1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点(对称点)，能够重合的线 段称为对应线段，能够重合的角称为对应角。 2、关于某条直线对称的两个图形是全等图形。 3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。 4、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。 三、简单的轴对称图形 1、角: 1)、角平分线所在的直线是该角的对称轴。 - 22 - 2)、性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 2、线段:1)垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，是这条线段对 称轴。 2)性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 3、等腰三角形 1)、等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2)、等腰三角形的性质: (1)等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角” (2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合 一”)， (3)等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边 上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。 3)、等腰三角形的判定: (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形。 (2)如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等 4、等边三角形: 1)、等边三角形:三边都相等的三角形叫做等边三角形。 2)、等边三角形的性质: (1)具有等腰三角形的所有性质。(2)等边三角形的各个角都相等，并且每个角 都等于60?。 3)、等边三角形的判定 (1)三边都相等的三角形是等边三角形。(2):三个角都相等的三角形是等边三角 形 (3):有一个角是60?的等腰三角形是等边三角形。 5、镜面对称 1).当物体正对镜面摆放时，镜面会改变它的左右方向; 2).当垂直于镜面摆放时，镜面会改变它的上下方向; 3).如果是轴对称图形，当对称轴与镜面平行时，其镜子中影像与原图一样; 学生通过讨论，可能会找出以下解决物体与像之间相互转化问题的办法: (1)利用镜子照(注意镜子的位置摆放); (2)利用轴对称性质; (3)可以把数字左右颠倒，或做简单的轴对称图形; (4)可以看像的背面; (5)根据前面的结论在头脑中想象。 四、利用轴对称进行 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 - 23 - 第六章 概率初步 一、感受可能性; 必然事件:生活中，有些事情我们事先能肯定它一定会 发生，这些事情 称为必然事件。P(A)= 1。 确定事件 不可能事件:我们事先能肯定它一定不会发生的事件，P(A)= 0。 事件 不确定事件(随机事件):我们事先无法肯定它会不会发生的事件。 其发生的概率是 0 , P(A), 1。 二、频率的稳定性 定义:n次实验中，不确定事件A发生了m次，则比值m/n 称为事件A发生的频率。 实验次数很大时事件A发生的频率都会在一个常数附近摆动，即频率的稳定性(游戏的公平性) 用这个常数表示事件A发生的可能性的大小，即事件A发生的概率，记为P(A)。 注:.频率不等同于概率 三、等可能事件的概率: 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事 m件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为P(A)= n - 24 -