专题07 圆锥曲线技巧提升篇07——椭圆和抛物线的双切问题（解析版）-2022年高考数学圆锥曲线压轴题专项突破

圆锥曲线技巧提升篇07——椭圆和抛物线的双切问题（一）椭圆的切线方程（1）椭圆上一点处的切线方程是．（2）椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是．例1．求证：过椭圆上一点的切线方程为．解析【证明】证法一（解析法）设所求的切线方程为代入椭圆方程得，即=1\*GB3\*MERGEFORMAT①因为直线与椭圆相切，所以方法=1\*GB3\*MERGEFORMAT①有相等的两个实数根因此化简得=2\*GB3\*MERGEFORMAT②因为点在椭圆上，所以方程=2\*GB3\*MERGEFORMAT②的判别式，故方程=2\*GB3\*MERGEFORMAT②有相等的两个实数根，且其根为：．则切线方程为，即．证法二（导数法）对方程两边取导数，．则切线方程为，即．例2．已知椭圆和圆，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为．（1）=1\*GB3\*MERGEFORMAT①若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率；=2\*GB3\*MERGEFORMAT②若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心率的取值范围．（2）设直线与轴，轴分别交于点，求证：为定值．解析（1）【解析】=1\*GB3\*MERGEFORMAT①因为圆过椭圆的焦点，圆，所以所以即．=2\*GB3\*MERGEFORMAT②由及圆的性质知，所以，所以，因此，即．（2）【证明】设，则，整理得因为，所以的方程为，的方程为所以所以，直线的方程为，即令得；令得所以，即为定值，定值为．（二）蒙日圆及其应用椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是蒙日圆：．【证明】若两条互相垂直的切线中有一条斜率不存在时，可得点的坐标是，或满足要求．当两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，设点的坐标为（，且），因此设过点的切线方程为（）由得．因为直线与椭圆相切，所以其判别式的值为0，得．因为是这个关于的一元二次方程的两个根，所以，因此．进而可得．例1．已知椭圆的一个焦点为，离心率为．（1）求椭圆的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程．解析【解析】（1）（2）设切点为，．直线的方程：．直线的方程：由垂直得=1\*GB3\*MERGEFORMAT①直线的方程：椭圆方程，联立得到于是=2\*GB3\*MERGEFORMAT②，=3\*GB3\*MERGEFORMAT③.=1\*GB3\*MERGEFORMAT①再代入=2\*GB3\*MERGEFORMAT②，=3\*GB3\*MERGEFORMAT③，得到．即点的轨迹方程为．例2．给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为．（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点．=1\*GB3\*MERGEFORMAT①证明：当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，；=2\*GB3\*MERGEFORMAT②求证：线段的长为定值．解析【解析】（1）根据题意，，所以所以椭圆的方程为，“准圆”方程为．（2）【证明】=1\*GB3\*MERGEFORMAT①因为“准圆”与轴正半轴的交点为，因此设过点且与椭圆相切的直线．所以得．因为直线与椭圆相切，所以，解得．所以的方程分别为．因为，所以．=2\*GB3\*MERGEFORMAT②当直线中有一条斜率不存在时，设直线斜率不存在，则．当时，与“准圆”交于点，此时，显然直线垂直；同理当时，直线垂直．当斜率存在时，设点，其中．设经过点与椭圆相切的直线为所以由得．由化简整理得．因为，所以．设的斜率分别为因为与椭圆相切，所以满足，所以，即垂直．结合=1\*GB3\*MERGEFORMAT①，因为经过点，又分别交其“准圆”于点，且垂直．所以线段为“准圆”的直径，为定值．（三）抛物线中的双切线问题（1）抛物线上一点处的切线方程是；（2）抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是．【2021届江西省重点中学盟校第二次联考20题】已知抛物线EQx\S\UP6(2)＝2py上一点EQM\b\bc\((\l(x\S\DO(0),1))到其焦点F的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）如图，过直线1：y＝－2上一点A作抛物线的两条切线AP，AQ，切点分别为P，Q，且直线PQ与y轴交于点N．设直线AP，AQ与x轴的交点分别为B，C，求四边形ABNC面积的最小值．解析解：(1)由|MF|＝EQ1＋\F(p,2)＝2，得p＝2，所以抛物线的方程为EQx\S\UP6(2)＝4y．(2)设EQP\b\bc\((\l(x\S\DO(1),y\S\DO(1))),Q\b\bc\((\l(x\S\DO(2),y\S\DO(2))),由y′＝EQ\F(1,2)x可得在P处的切线方程为EQy－\F(x\S\DO(12),4)＝EQ\F(x\S\DO(1),2)\b\bc\((\l(x－x\S\DO(1))),整理可得EQx\S\DO(1)x＝EQ2\b\bc\((\l(y＋y\S\DO(1))),同理在Q处的切线方程为EQx\S\DO(2)x＝EQ2\b\bc\((\l(y＋y\S\DO(2))),又因为两切线都过A(t，－2)，∴EQ\B\lc\{(\a\al(tx\S\DO(1)＝2\b\bc\((\l(y\S\DO(1)－2)),tx\S\DO(2)＝2\b\bc\((\l(y\S\DO(2)－2))))，即可得直线PQ的方程为tx＝2(y－2)，所以直线过点(0，2)，即N(0，2)，又EQB\b\bc\((\l(\F(x\S\DO(1),2),0)),C\b\bc\((\l(\F(x\S\DO(2),2),0)),∴四边形ABNC的面积S＝EQS\S\DO(△ABC)＋S\S\DO(△NBC)＝2|BC|＝EQ|x\S\DO(1)－x\S\DO(2)|,联立EQ\B\lc\{(\a\al(tx＝2\b\bc\((\l(y＋y\S\DO(1))),x2＝4y))，可得EQx\S\UP6(2)－2tx－8＝0，∴EQx\S\DO(1)＋x\S\DO(2)＝EQ2t,x\S\DO(1)x\S\DO(2)＝－8所以S＝EQ|x\S\DO(1)－x\S\DO(2)|＝EQ\R(,\b\bc\((\l(x\S\DO(1)＋x\S\DO(2)))2－4x\S\DO(1)x\S\DO(2))＝EQ\R(,4t2＋32)≥4\R(,2)．(当t＝0时取等号），∴四边形ABNC面积的最小值为EQ4\R(,2)．【2021年全国高考乙卷·理科21题】已知抛物线C：EQx\S\UP6(2)＝2py(p＞0)的焦点为F，且F与圆M：EQx\S\UP6(2)＋(y＋4)\S\UP6(2)＝1上点的距离的最小值为4．（1）求p；（2）若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．解析解：（1）点EQF\b\bc\((\l(0,\F(p,2)))到圆M上的点的距离的最小值为|FM|－1＝EQ\F(p,2)＋4－1＝4，解得p＝2；（2）由（1）知，抛物线的方程为EQx\S\UP6(2)＝4y，即y＝EQ\F(1,4)x2,则y′＝EQ\F(1,2)x,设切点EQA\b\bc\((\l(x\S\DO(1),y\S\DO(1))),B\b\bc\((\l(x\S\DO(2),y\S\DO(2))),则易得EQl\S\DO(PA)：y＝EQ\F(x\S\DO(1),2)x－\F(x\S\DO(1)2,4),l\S\DO(PB)：y＝EQ\F(x\S\DO(2),2)x－\F(x\S\DO(2)2,4),从而得到EQP\b\bc\((\l(\F(x\S\DO(1)＋x\S\DO(2),2),\F(x\S\DO(1)x\S\DO(2),4))),设EQl\S\DO(AB)：y＝kx＋b，联立抛物线方程，消去y并整理可得EQx\S\UP6(2)－4kx－4b＝0，∴△＝EQ16k\S\UP6(2)＋16b＞0,即EQk\S\UP6(2)＋b＞0,且EQx\S\DO(1)＋x\S\DO(2)＝EQ4k,x\S\DO(1)x\S\DO(2)＝－4b，∴P(2k，－b)，∵|AB|＝EQ\R(,1＋k2)﹒\R(,\b\bc\((\l(x\S\DO(1)＋x\S\DO(2)))2－4x\S\DO(1)x\S\DO(2))＝EQ\R(,1＋k2)﹒\R(,16k2＋16b),d\S\DO(p→AB)＝EQ\F(|2k2＋2b|,\R(,k2＋1)),∴EQS\S\DO(△PAB)＝EQ\F(1,2)|AB|d＝EQ4(k2＋b)\F(3,2)①，又点P(2k，－b)在圆M：EQx\S\UP6(2)＋(y＋4)\S\UP6(2)＝1上，故k2＝EQ\F(1－(b－4)2,4),代入①得EQ,S\S\DO(△PAB)＝EQ4\b\bc\((\l(\F(－b2＋12b－15,4)))\F(3,2),而EQy\S\DO(p)＝－b∈[－5，－3]，∴当b＝5时EQ,\b\bc\((\l(S\S\DO(△PAB)))\S\DO(max)＝EQ20\R(,5)．【巩固练习1】已知抛物线C：EQy\S\UP6(2)＝4x，点P为抛物线C的准线上的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则点M(0，1)到直线AB的距离的最大值为________．解析【解答】解：设EQP(－1,m),A\b\bc\((\l(x\S\DO(1),y\S\DO(1))),B\b\bc\((\l(x\S\DO(2),y\S\DO(2)))．由题意知在点A处切线的斜率存在且不为0，设在点A处切线的斜率为k，则切线方程为EQy－y\S\DO(1)＝EQk\b\bc\((\l(x－x\S\DO(1))),所以EQ\B\lc\{(\a\al(y－y\S\DO(1)＝k\b\bc\((\l(x－x\S\DO(1))),y2＝4x))，整理得EQy2－\F(4,k)y＋\F(4y\S\DO(1),k)－4x\S\DO(1)＝0，由△＝0，解得k＝EQ\F(2,y\S\DO(1)),所以在点A处的切线方程为EQ2x－y\S\DO(1)y＋2x\S\DO(1)＝0．同理可得在点B处的切线方程为EQ2x－y\S\DO(2)y＋2x\S\DO(2)＝0．又都过点P，所以EQ－2－my\S\DO(1)＋2x\S\DO(1)＝EQ0,－2－my\S\DO(2)＋2x\S\DO(2)＝0，所以直线AB的方程为－2－my＋2x＝0，即2x－my－2＝0，直线AB恒过定点(1，0)，所以点M(0，1)直线AB的距离的最大值为：点M(0，1)到定点(1，0)的距离，即为EQ\R(,2)．故 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 为：EQ\R(,2)．【巩固练习2】已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)关于直线l：x－y－2＝0的对称点为M，且|FM|＝EQ3\R(,2)．若点P为C的准线上的任意一点，过点P作C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）求证：直线AB恒过定点，并求△PAB面积的最小值．解析解：（1）由题意可知，焦点F(0，c)到直线l：x－y－2＝0的距离d＝EQ\F(3\R(,2),2),∴EQ\F(|－c－2|,\R(,2))＝EQ\F(3\R(,2),2),解得c＝1（负根舍去），∴抛物线C的方程为：EQx\S\UP6(2)＝4y；（2）设点EQA\b\bc\((\l(x\S\DO(1),y\S\DO(1))),B\b\bc\((\l(x\S\DO(2),y\S\DO(2))),P(t,－1),由EQx\S\UP6(2)＝4y得y＝EQ\F(1,4)x2,∴y′＝EQ\F(1,2)x,∴抛物线C在点A处的切线PA的方程为EQy－y\S\DO(1)＝EQ\F(x\S\DO(1),2)\b\bc\((\l(x－x\S\DO(1))),即y＝EQ\F(x\S\DO(1),2)x＋y\S\DO(1)－\F(1,2)x\S\DO(1)2,∵EQy\S\DO(1)＝EQ\F(1,4)x\S\DO(1)2,∴y＝EQ\F(x\S\DO(1),2)x－y\S\DO(1),∵点P(t，－1)在切线PA上，∴EQ\F(x\S\DO(1),2)t－y\S\DO(1)＝－1①，同理可得：EQ\F(x\S\DO(2),2)t－y\S\DO(2)＝－1②，综合①、②得，点EQA\b\bc\((\l(x\S\DO(1),y\S\DO(1))),B\b\bc\((\l(x\S\DO(2),y\S\DO(2)))的坐标都满足方程EQ\F(x,2)t－y＝－1，即直线AB的方程为：y＝EQ\F(t,2)x＋1,显然直线AB恒过抛物线焦点F(0，1)，①当t＝0时，此时P(0，－1)，可知：PF⊥AB，②当t≠0，此时直线PF的斜率为EQk\S\DO(PF)＝EQ－\F(2,t),得PF⊥AB，∴EQS\S\DO(△PAB)＝EQ\F(1,2)×|PF|﹒|AB|,而|PF|＝EQ\R(,(t－0)2＋(－1－1)2)＝EQ\R(,t2＋4),把直线y＝EQ\F(t,2)x＋1代入EQx\S\UP6(2)＝4y中消去x得：EQy\S\UP6(2)－\b\bc\((\l(2＋t\S\UP6(2)))y＋1＝0，∴|AB|＝EQ|y\S\DO(1)＋y\S\DO(2)＋2|＝EQ4＋t\S\UP6(2),即S＝EQ\F(1,2)(4＋t2)\R(,4＋t2)＝EQ\F(1,2)(4＋t2)\F(3,2),当t＝0时EQ,S\S\DO(△PAB)最小，且最小值为4．（四）阿基米德三角形圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．【性质1】当点Q在准线上时阿基米德三角形底边AB过焦点，AB上的中线平行于抛物线对称轴，AQ⊥QB，且QF⊥AB，的最小值为.【证明】如图，在阿基米德三角形中，①设，则，易知其过焦点，②设，，为弦的中点，则过点的切线方程为，过点的切线方程为，联立方程，解得两切线交点，进而可知轴．③设抛物线方程为，AB的方程为，设点，，联立，消得，，则，由切线结论可知，，同理，联立直线，可求得交点，故点P在准线上．又，则，故，而，则.④而，易知当m=0时，有最小值.上述结论在小题中可以直接使用，但也无需刻意去记，掌握推导方式，处理策略才是关键【性质2】若阿基米德三角形的底边AB过抛物线内一定点，则三角形另一顶点的轨迹为一条直线．【证明】如图，在阿基米德三角形中，设，，抛物线内一定点，，由性质1知，，所以．由，，三点共线知，即．将，代入得，即为点的轨迹方程．【性质3】若直线与抛物线没有公共点，则以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．【证明】设方程为，在阿基米德三角形中，，，弦过点，由性质2知点的轨迹方程为，该方程与 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示同一条直线，对照可得，，即弦过定点．【性质4】在阿基米德三角形中，．【证明】如图，作准线，准线，连接，，，，，则．显然，所以，又因为，由三角形全等可得，所以，．同理，．所以．例1．如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．求证：，，三点的横坐标成等差数列．解析【证明】根据条件设，，显然，．由得，因此，所以，．所以直线的方程为．直线的方程为．所以①，②．由①②得，因此即，所以，，三点的横坐标成等差数列．例2．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上异于坐标原点的不同两点，抛物线在点，处的切线分别为，，且，与交于点．（1）求点的纵坐标；（2）求证；，，三点共线．解析(1)设点，的坐标分别为，因为，分别是抛物线在点，处的切线，所以直线的斜率，直线的斜率．因为，所以，因此．因此，，是抛物线上的点，所以，．所以直线的方程为，直线的方程为．由解得．所以点的纵坐标为．(2)证法一因为为抛物线的焦点，所以，直线的斜率直线的斜率，因为所以．因此，，三点共线．证法二因为为抛物线的焦点，所以．所以，．因为，所以，即，，三点共线．证法三如图设线段的中点为，则的坐标为．抛物线的准线为，作，，垂足分别为．由（1）知点D的坐标为，所以．因此是直角梯形的中位线，即．根据抛物线的定义知，所以，因为，为线段的中点，所以．因此，即．所以，，三点共线．例3．已知抛物线的方程为，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过点，作抛物线的两条切线和，和，交于点．(1)求证：直线和，的斜率之积为定值；(2)求点的轨迹方程．解析（1）【证明】根据条件，直线的斜率存在，设直线的方程为，将其代入，消去整理得．设，得坐标分别为，，则．将抛物线的方程改写为，求导得．所以过点的切线的斜率为，过点的切线的斜率为，所以，所以直线和，的斜率之积为定值．(2)【解析】设，因为直线的方程为，即，同理，直线的方程为，联立这两个方程组，消去得，整理得，注意到，所以，此时．由（1）可知，所以，因此点的轨迹方程是