高等数学下 复旦大学出版 习题七

高等数学下 复旦大学出版 习题七 习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置: A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解:点A在第?卦限;点B在第?卦限;点C在第?卦限; 点D在xOy面上;点E在yOz面上;点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点,yOz面上的呢,zOx面上的呢, 答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点,y轴上的点呢,z轴上的点呢, 答:x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离: (1) (0，0，0)，(2，3，4); (2) (0，0，0)， (2，-3，-4); (3) (-2，3，-4)，(1，0，3); (4) (4，-2，3)， (-2，1，3). 222解:(1) s,，，,23429 222s,，,，,,2(3)(4)29(2) 222s,，，,，，,(12)(03)(34)67(3) 222s,,,，，，,,(24)(12)(33)35(4) . 3，5)到坐标原点和各坐标轴间的距离. 5. 求点(4，- 解:点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为(4，0，0)，(0，-3，0)，(0，0，5). 222s,，,，,4(3)552故 0 222s,,，,,，,,(44)(30)(50)34 x 222 s,，,，，,4(33)541y 222s,，,，,,4(3)(55)5. z 6. 在z轴上，求与两点A(-4，1，7)和B(3，5，-2)等距离的点. 解:设此点为M(0，0，z)，则 222222 (4)1(7)35(2),，，,,，，,,zz 14解得 z,9 14即所求点为M(0，0，). 9 153 7. 试证:以三点A(4，1，9)，B(10，-1，6)，C(2，4，3)为顶点的三角形是等腰直角 三角形. 证明:因为|AB|=|AC|=7.且有 222|AC|+|AB|=49+49=98=|BC|. 故?ABC为等腰直角三角形. ()()abcabc，，,，，8. 验证:. 证明:利用三角形法则得证.见图7-1 图7-1 uv,,，,,，,abcabc2, 3.9. 设试用a, b, c 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 23.uv,解: 232(2)3(3)uv,,,，,,，,abcabc ,,，，,，224393abcabc ,,，5117abc 10. 把?ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D，D，D，D，再把各分点与A连接，1234 DA试以，表示向量,DA,DA和DA. AB,cBC,a1234 1解: DABABD,,,,,ca115 2 DABABD,,,,,ca225 3 DABABD,,,,,ca335 4 DABABD,,,,,ca.445 11. 设向量的模是4，它与投影轴的夹角是60?，求这向量在该轴上的投影. OM ,M解:设M的投影为，则 1 OMOM,:,，,Prjcos6042.u2 12. 一向量的终点为点B(2，-1，7)，它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量 的起点A的坐标. 解:设此向量的起点A的坐标A(x, y, z)，则 ABxyz,,,,,,,{4,4,7}{2,1,7} 解得x=-2, y=3, z=0 故A的坐标为A(-2, 3, 0). 154 13. 一向量的起点是P(4，0，5)，终点是P(7，1，3)，试求: 12(1) 在各坐标轴上的投影; (2) 的模; PPPP1212(3) 的方向余弦; (4) 方向的单位向量. PPPP1212解:(1) aPP,,Prj3,xx12 aPP,,Prj1, yy12 aPP,,,Prj2. zz12 222(2) PP,,，,，,,(74)(10)(35)1412 a3x,,,(3) cos 14PP12 a1y,,,cos 14PP12 a,2z,cos,, . 14PP12 PP312312,12(4) . eijk,,,，,{,,}0141414141414PP12 14. 三个力F=(1,2,3), F=(-2,3,-4), F=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R的大小和方向余123弦. 解:R=(1-2+3，2+3-4，3-4+5)=(2，1，4) 222||21421R,，，, 214,,,,,,cos, cos, cos. 212121 15. 求出向量a= i +j+k, b=2i-3j+5k和c =-2i-j+2k的模，并分别用单位向量来表达eee,,abc 向量a, b, c. 222||1113a,，，,解: 222||2(3)538b,，,，, 222||(2)(1)23c,,，,，, aebece,,,3, 38, 3. abc 155 16. 设m=3i+5j+8k, n=2i-4j-7k, p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的 分向量. 解:a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k 在x轴上的投影a=13,在y轴上分向量为7j. x 17. 向量r与三坐标轴交成相等的锐角，求这向量的单位向量e. r 332,,,,,3cos1 ,,,,,,,cos , cos解:因,故,(舍去) 33 3333eijk,,,，，,,,{cos,cos,cos}{,,}()则. r3333 18. 已知两点M(2，5，-3)，M(3，-2，5)，点M在线段MM上，且MMMM,3，121212求向径的坐标. OM 解:设向径={x, y, z} OM MMxyz,,,，{2,5,3}1 MMxyz,,,,,{3,2,5}2 MMMM,3因为， 12 11,x,,4xx,,,23(3),,1,,所以， yyy,,,,,,,53(2) ,,4,,zz，,,33(5),z,3, ,, 111故={}. ,,3,OM44 23619. 已知点P到点A(0，0，12)的距离是7，的方向余弦是，求点P的坐标. ,,OP777 2222解:设P的坐标为(x, y, z), ||(12)49PAxyz,，，,, 222得 xyzz，，,,，9524 z6570 ,,,,,,cos 6, zz12222749，，xyz x2190又 ,,,,,,cos 2, xx12222749，，xyz 156 y3285 ,,,,,,cos 3, yy12222749，，xyz 190285570故点P的坐标为P(2，3，6)或P(). ,,494949 2π20. 已知a, b的夹角，且ab,,3,4，计算: ,,3 (1) a?b; (2) (3a-2b)?(a + 2b). 2π1解:(1)a?b = ,,,,，，,,，，,,abcos||||cos3434632 (32)(2)3624ababaaabbabb,,，,,，,,,,,(2) 22,，,,3||44||aabb 2 ,，，，,,，334(6)416 ,,61. 21. 已知a =(4,-2, 4), b=(6,-3, 2),计算: 2(1)a?b; (2) (2a-3b)?(a + b); (3) ||ab, ab,,，，,，,，，,46(2)(3)4238解:(1) (23)()2233ababaaababbb,,，,,，,,,,,(2) 22,,,,2||3||aabb 222222 ,，，,，,,，,，2[4(2)4]383[6(3)2] ,，,,，,,23638349113 222(3) ||()()2||2||abababaaabbbaabb,,,,,,,,,，,,,,， ,,，，,36238499 AB22. 已知四点A(1，-2，3)，B(4，-4，-3)，C(2，4，3)，D(8，6，6)，求向量在 向量上的投影. CD AB解:={3，-2，-6}，={6，2，3} CD 36(2)2(6)34，，,，，,，ABCD,,,,. PrjAB,CD2227CD623，， 23. 设重量为100kg的物体从点M(3, 1, 8)沿直线移动到点M(1，4，2)，计算重力所作的12功(长度单位为m). 解:取重力方向为z轴负方向， 依题意有 f ={0,0, -100×9.8} 157 s = ={-2, 3,-6} MM12 故W = f?s={0, 0,-980}?{-2, 3,-6}=5880 (J) 24. 若向量a+3b垂直于向量7a-5b,向量a-4b垂直于向量7a-2b,求a和b的夹角. 22解: (a+3b)?(7a-5b) = ? 7||1615||0aabb，,,, 22(a-4b)?(7a-2b) = ? 7||308||0aabb,,，, 2ababab,,,1()1,,,,由?及?可得: 2222||||2||||4abab ab,112,cos,,又，所以, abb,,,||0||||2ab2 1π故. ,,,arccos23 25. 一动点与M(1,1,1)连成的向量与向量n=(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程. 0 解:设动点为M(x, y, z) MMxyz,,,,{1,1,1} 0 MMn,MMn,,0因,故. 00 即2(x-1)+3(y-1)-4(z-1)=0 整理得:2x+3y-4z-1=0即为动点M的轨迹方程. 26. 设a=(-2,7,6),b=(4, -3, -8),证明:以a与b为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直. 证明:以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a+b,a,b,且 a+b={2,4, -2} a-b={-6,10,14} 又(a+b)?(a-b)= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0 ,故(a+b)(a-b). 27. 已知a =3i+2j-k, b =i-j+2k,求: (1) a×b; (2) 2a×7b; (3) 7b×2a; (4) a×a. 211332,,解:(1) abijkijk，,，，,,,375,,122111 2714()429870ababijk，,，,,,(2) 7214()14()429870babaabijk，,，,,，,,，，(3) aa，,0(4) . ||3, ||4ab,,28. 已知向量a和b互相垂直，且.计算: (1) |(a，b)×(a,b)|; 158 (2) |(3a，b)×(a,2b)|. |()()|||2()|ababaaabbabbab，，,,，,，，，,，,,，(1) π ,,,,2||||sin24ab2 |(3)(2)||362||7()|ababaaabbabbba，，,,，,，，，,，,，(2) π ,，，，,734sin842 29. 求垂直于向量3i-4j-k和2i-j +k的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦. ,,,,411334解: abijkijk，,，，,,,，555,,111221 ab，3与平行的单位向量 ab，eijk,,,,,，()||3ab， ||53513ab，. ,sin,,,||||26ab，266, 30. 一平行四边形以向量a =(2,1,,1)和b=(1,,2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦. 解:两对角线向量为 ， labij,，,,3labijk,,,，,3212 |||2610|140llijk，,，，,因为, 12 ||10, ||14ll,, 12 ||ll，14012所以 . ,sin1,,,||||ll1014,12 即为所求对角线间夹角的正弦. 31. 已知三点A(2,-1,5), B(0,3,-2), C(-2,3,1)，点M，N，P分别是AB，BC，CA的中点，证 1明:. MNMPACBC，,，()4 证明:中点M，N，P的坐标分别为 31 MNP(1,1,), (1,3,), (0,1,3),,22 MN,,,{2,2,2} 3 MP,,{1,0,}2 AC,,,{4,4,4} BC,,{2,0,3} 159 2222,,,,22 MNMP，,，，,，，ijkijk35233,1001,22 444444,,, ACBC，,，，,，，ijkijk12208033220,, 1故 . MNMPACBC，,，()4 32. 求同时垂直于向量a=(2,3,4)和横轴的单位向量. 解:设横轴向量为b=(x,0,0) 则同时垂直于a，b的向量为 344223=4xj,3xk abijk，,，，0000xx 故同时垂直于a，b的单位向量为 ab，1ejk,,,,,(43). ||5ab， 33. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积. 解:设四顶点依次取为A, B, C, D. ABAD,,,{0,1,2}, {2,2,1} 则由A，B，D三点所确定三角形的面积为 1135SABAD,，,，,,|||542|ijk. 1222 1同理可求其他三个三角形的面积依次为. ,2,32 135S,，，，23故四面体的表面积. 22 34. 已知三点A(2,4,1), B(3,7,5), C(4,10,9)，证:此三点共线. 证明:, AB,{1,3,4}AC,{2,6,8} 显然 ACAB,2 则ABACABABABAB，,，,，,22()0 故A，B，C三点共线. 35. 求过点(4,1,-2)且与平面3x-2y+6z=11平行的平面方程. 解:所求平面与平面3x-2y+6z=11平行 故n={3,-2,6}，又过点(4,1,-2) 故所求平面方程为:3(x-4)-2(y-1)+6(z+2)=0 160 即3x-2y+6z+2=0. 36. 求过点M(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M的线段OM垂直的平面方程. 000解:所求平面的法向量可取为 n,,,OM{1,7,3}0 故平面方程为:x-1+7(y-7)-3(z +3)=0 即x+7y-3z-59=0 37. 设平面过点(1,2,-1)，而在x轴和z轴上的截距都等于在y轴上的截距的两倍，求此平面 方程. 解:设平面在y轴上的截距为b xyz则平面方程可定为 ，，,122bbb 又(1,2,-1)在平面上，则有 121, ，，,122bbb 得b=2. xyz故所求平面方程为 ，，,1424 38. 求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和(1，-1，2)三点的平面方程. 解:由平面的三点式方程知 xxyyzz,,,111 xxyyzz,,,,0212121 xxyyzz,,,313131 xyz,,，111 代入三已知点，有 ,,,,，,2121210 111121,,,， 化简得x-3y-2z=0即为所求平面方程. 39. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形: (1) y =0; (2) 3x-1=0; (3) 2x-3y-6=0; (4) x – y =0; (5) 2x-3y+4z=0. 解:(1) y =0表示xOz坐标面(如图7-2) (2) 3x-1=0表示垂直于x轴的平面.(如图7-3) 图7-2 图7-3 (3) 2x-3y-6=0表示平行于z轴且在x轴及y轴上的截距分别为x=3和y =-2的平面.(如图7-4) (4) x –y=0表示过z轴的平面(如图7-5) 161 (5) 2x-3y+4z=0表示过原点的平面(如图7-6). 图7-4 图7-5 图7-6 40. 通过两点(1，1，1，)和(2，2，2)作垂直于平面x+y-z=0的平面. 解:设平面方程为Ax+By+Cz+D=0 则其法向量为n={A,B,C} 已知平面法向量为n={1,1,-1} 1 过已知两点的向量l={1,1,1} 由题知n?n=0, n?l=0 1 ABC，,,0,即 0, .,,,,CAB,ABC，，,0, 所求平面方程变为Ax-Ay+D=0 又点(1，1，1)在平面上，所以有D=0 故平面方程为x-y=0. 41. 决定 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 k的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件: π(1)经过点(5，-4，6); (2) 与平面2x-3y+z=0成的角. 4解:(1) 因平面过点(5，-4，6) 故有 5-4k-2×6=9 得k=-4. (2) 两平面的法向量分别为 n={1,k,-2} n={2,-3,1} 12 nn,,3kπ212且 ,coscos,,,,2||||42nn514，,k12 70k,,解得 2 42. 确定下列方程中的l和m: (1) 平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行; (2) 平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直. 解:(1)n={2,l,3}, n={m,-6,-1} 12 232l nn,,,,,,,ml,1812m,,613 (2) n={3, -5, l }, n={1,3,2} 12 nn,,，,，，，,,,3153206.ll12 162 43. 通过点(1，-1，1)作垂直于两平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面. 解:设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0 其法向量n={A,B,C} n={1,-1,1}, n={2,1,1} 12 2,AC,,,nn,,,，,ABC0,31 ,,nn,,，，,20ABCC2,B,,3, 又(1，,1，1)在所求平面上，故A,B+C+D=0，得D=0 故所求平面方程为 2C ,，，,CxyCz033 即2x-y-3z=0 44. 求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的单位向量. 解:n={3,-1,7}, n={1,-1,2}. 12 nnnn,,,12 ,,177331故 nnnijkijk,，,，，,，,5212,,122111 1eijk,,，,(52).则 n30 45. 求通过下列两已知点的直线方程: (1) (1，-2，1)， (3，1，-1); (2) (3，-1，0)，(1，0，-3). 解:(1)两点所确立的一个向量为 s={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2} 故直线的标准方程为: xyz,，,121xyz,,，311 或 ,,,,232,232,(2)直线方向向量可取为 s={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3} 故直线的标准方程为: xyz,，31xyz,，13 或 ,,,,,,213,,213 2340xyz，,,,,46. 求直线的标准式方程和参数方程. ,35210xyz,，，,, 解:所给直线的方向向量为 311223,, snnijkijk,，,，，,,,71912,,522335 另取x=0代入直线一般方程可解得y=7,z=17 000 163 于是直线过点(0，7，17)，因此直线的标准方程为: xyz,,717 ,,1719,, 且直线的参数方程为: xt,, , yt,,77, ,zt,,1719, 47. 求下列直线与平面的交点: xyz,，11(1) , 2x+3y+z-1=0; ,,126, xyz，,,213(2) , x+2y-2z+6=0. ,,232 xt,，1, ,解:(1)直线参数方程为 yt,,,12, ,zt,6, 代入平面方程得t=1 故交点为(2，-3，6). xt,,，22, ,(2) 直线参数方程为 yt,，13, ,zt,，32, 代入平面方程解得t=0. 故交点为(-2，1，3). 48. 求下列直线的夹角: 53390xyz,，,,22230xyz，,，,,,(1) 和 ; ,,3210xyz,，,,38180xyz，，,,,, yz,,38,,xyz,,,231,(2) 和 ,,,,12,4123,,x,1,解:(1)两直线的方向向量分别为: ijks={5, -3,3}×{3, -2,1}=={3,4, -1} 533,1 321, ijk s={2,2, -1}×{3,8,1}=={10, -5,10} 221,2 381 由s?s=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s?s 1212 164 π从而两直线垂直，夹角为. 2 yz,,38,,xyz,,,231,(2) 直线的方向向量为s={4, -12,3},直线的方程可变,,1,,12,4123,,x,1, 220yz,，,,为,可求得其方向向量s={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是 2,x,,10, ss,612,cos0.2064,,, ss,13512 ,,:785, 49. 求满足下列各组条件的直线方程: (1)经过点(2，-3，4)，且与平面3x-y+2z-4=0垂直; (2)过点(0，2，4)，且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行; xyz,,31(3)过点(-1，2，1)，且与直线平行. ,,213, 解:(1)可取直线的方向向量为 s={3，-1，2} 故过点(2，-3，4)的直线方程为 xyz,，,234 ,,312, (2)所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n与n不平行，故所求直线平行于两12平面的交线，于是直线方向向量 ijk snn,，,,,102{2,3,1}12 013, 故过点(0，2，4)的直线方程为 xyz,,24 ,,,231 (3)所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为 s={2，-1，3} 故过点(-1，2，1)的直线方程为 xyz，,,121. ,,213, 50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系: xyz，，34(1)和4x-2y-2z=3; ,,,,273 xyz,,(2)和3x-2y+7z=8; 327, xyz,，,223(3)和x+y+z=3. ,,314, 165 解:平行而不包含. 因为直线的方向向量为s={-2，-7，3} 平面的法向量n={4，-2，-2}，所以 sn,,,，，,，,，，,,(2)4(7)(2)3(2)0 于是直线与平面平行. 4(3)2(4)2043，,,，,,，,,,又因为直线上的点M(-3，-4，0)代入平面方程有.故0 直线不在平面上. (2) 因直线方向向量s等于平面的法向量，故直线垂直于平面. 3111(4)10，，，，,，,(3) 直线在平面上，因为,而直线上的点(2，-2，3)在平面上. 51. 求过点(1，-2，1)，且垂直于直线 xyz,，,,230, ,xyz，,，,30, 的平面方程. ijk 解:直线的方向向量为, 12123,,，，ijk 111, 取平面法向量为{1，2，3}， 1(1)2(2)3(1)0，,，，，,,xyz故所求平面方程为 即x+2y+3z=0. 52. 求过点(1，-2，3)和两平面2x-3y+z=3, x+3y+2z+1=0的交线的平面方程. 233(321)0xyzxyz,，,，，，，,,解:设过两平面的交线的平面束方程为 其中λ为待定常数，又因为所求平面过点(1，-2，3) 213(2)33(13(2)231)0，,，,，,，，，,，，，,,故 解得λ=-4. 故所求平面方程为 2x+15y+7z+7=0 53. 求点(-1，2，0)在平面x+2y-z+1=0上的投影. 解:过点(-1，2，0)作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向 量，即 s=n={1，2，-1} xt,,，1, ,所以垂线的参数方程为 yt,，22, ,zt,,, 将其代入平面方程可得(-1+t)+2(2+2t)-(-t)+1=0 2得 t,,3 166 522于是所求点(-1，2，0)到平面的投影就是此平面与垂线的交点 (,,),33354. 求点(1，2，1)到平面x+2y+2z-10=0距离. 解:过点(1，2，1)作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s=n={1，2，2} xt,，1, ,所以垂线的参数方程为 yt,，22, ,zt,，12, 1将其代入平面方程得. t,3 122485222d,，，,()()()1故垂足为，且与点(1，2，1)的距离为 (,,)333333 即为点到平面的距离. xyz，,，,10,55. 求点(3，-1，2)到直线的距离. ,240xyz,，,,, 解:过点(3，-1，2)作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量 ijk 即 nsjk,,,,,,11133 211, 故过已知点的平面方程为y+z=1. xyz，,，,10, ,联立方程组 240xyz,，,,, ,yz，,1, 13解得 xyz,,,,1,,.22 13即为平面与直线的垂足 (1,,),22 1332222d,,，,，，,,(13)(1)(2).于是点到直线的距离为 222 56. 建立以点(1，3，-2)为中心，且通过坐标原点的球面方程. 222R,，，,,13(2)14.解:球的半径为 222设(x,y,z)为球面上任一点，则(x-1)+(y-3)+(z+2)=14 222即x+y+z-2x-6y+4z=0为所求球面方程. 57. 一动点离点(2，0，-3)的距离与离点(4，-6，6)的距离之比为3，求此动点的轨迹 方程. 222(2)(0)(3)xyz,，,，，解:设该动点为M(x,y,z)，由题意知 ,3.222(4)(6)(6)xyz,，，，, 167 222化简得:8x+8y+8z-68x+108y-114z+779=0 即为动点的轨迹方程. 58. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形: 22xyaa22,，,1(1); (2); ()()xy,，,4922 22xz2(3)，,1; (4); yz,,094 2222(5); (6). xy,,0xy，,0解:(1)母线平行于z轴的抛物柱面，如图7-7. (2)母线平行于z轴的双曲柱面,如图7-8. 图7-7 图7-8 (3)母线平行于y轴的椭圆柱面，如图7-9. (4)母线平行于x轴的抛物柱面，如图7-10. 图7-9 图7-10 (5)母线平行于z轴的两平面，如图7-11. (6)z轴，如图7-12. 图7-11 图7-12 59. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形: 22yz222x，，,1(1); (2); 369436xyz，,,49 168 2222yzyz22x,,,1x，,,11(3); (4); 4949 2z22222(5); (6)xy，,,0. xyz,，,209 解:(1)半轴分别为1，2，3的椭球面，如图7-13. (2) 顶点在(0，0，-9)的椭圆抛物面，如图7-14. 图7-13 图7-14 (3) 以x轴为中心轴的双叶双曲面，如图7-15. (4) 单叶双曲面，如图7-16. 图7-15 图7-16 (5) 顶点在坐标原点的椭圆锥面，其中心轴是y轴，如图7-17. (6) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z轴，如图7-18. 图7-17 图7-18 60. 作出下列曲面所围成的立体的图形: a2222+y+z=a与z=0,z= (a>0); (2) x+y+z=4,x=0,x=1,y=0,y=2及z=0; (1) x2222(3) z=4-x, x=0, y=0, z=0及2x+y=4; (4) z=6-(x+y),x=0, y=0, z=0及x+y=1. 解:(1)(2)(3)(4)分别如图7-19，7-20，7-21，7-22所示. 169 图7-19 图7-20 图7-21 图7-22 61. 求下列曲面和直线的交点: 222xyzxyz,,，342，，,1(1) 与; ,,81369364, 222xyzxyz，2，,,1(2) 与. ,,1694434, 解:(1)直线的参数方程为 xt,，33, , yt,,46, ,zt,,，24, 代入曲面方程解得t=0,t=1. 得交点坐标为(3，4，-2)，(6，-2，2). (2) 直线的参数方程为 xt,4, , yt,,3, ,zt,,，24, 代入曲面方程可解得t=1, 得交点坐标为(4，-3，2). 62. 设有一圆，它的中心在z轴上，半径为3，且位于距离xOy平面5个单位的平面上，试 建立这个圆的方程. 解:设(x，y，z)为圆上任一点，依题意有 170 22,xy，,9 ,z,,5, 即为所求圆的方程. 2263. 建立曲线x+y=z, z=x+1在xOy平面上的投影方程. 解:以曲线为准线，母线平行于z轴的柱面方程为 152222x+y=x+1即. ()xy,，,24 15,22()xy,，,, 故曲线在xOy平面上的投影方程为24, ,z,0, 222222264. 求曲线x+y+z=a, x+y=z在xOy面上的投影曲线. 解:以曲线为准线，母线平行于z轴的柱面方程为 2a22xy，, 2 2,a22xy，,,故曲线在xOy面上的投影曲线方程为 2, ,z,0, 222xyz,，,165. 试考察曲面在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程. 9254 (1) 平面x=2; (2) 平面y=0; (3) 平面y=5; (4) 平面z=2. 22,yz,，,1,,552522解:(1)截线方程为 ()(),33, ,x,2, 其形状为x=2平面上的双曲线. 22,xz，,1,(2)截线方程为 94, ,y,0, 为xOz面上的一个椭圆. 22,xz，,1,22(3) 截线方程为 (32)(22), ,y,5, 为平面y=5上的一个椭圆. 171 22,xy,,0,(4) 截线方程为 925, ,z,2, 为平面z=2上的两条直线. 222xyz，,,166. 求单叶双曲面与平面x-2z+3=0的交线在xOy平面，yOz平面及xOz1645平面上的投影曲线. x，3解:以代入曲面方程得 z,222x+20y-24x-116=0. 故交线在xOy平面上的投影为 22,xyx，,,,20241160 ,z,0, 以x=2z-3代入曲面方程，得 2220y+4z-60z-35=0. 故交线在yOz平面上的投影为 22,20460350yzz，,,, ,x,0, xz,，,230,,交线在xOz平面上的投影为,y,0., 172