等边三角形专题[含详细讲解析]

《等边三角形》专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 2.(2017第9题)如图，将ABC绕点B顺时针旋转600得DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD.下列结论一定正确的是（）A．ABDEB．CBECC.AD//BCD．ADBC3.(2017第11题)如图，在ABC中，ABAC，AD,CE是ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BPEP最小值的是（）A．BCB．CEC.ADD．AC17.（2017第12题）已知等边于点E，过E作EFBC于点ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DEF，过F作FGAB于点G.当G与D重合时，ACAD的长是（）A．3B．4C.8D．910.（2008·中考）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于一点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的有________（把你认为正确的序号都填上）．16、（2009·义乌中考）如图，在边长为4的正三角形ABC中，ADBC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE。1）求△ABC的面积S；2）判断AC、DE的位置关系，并给出 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 。《等边三角形》练习题1．（2012?）如图，已知：∠MON=30°，点A、A、A在射线ON上，点B、B、B123123在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）A．6B．12C．32D．642．（2012?凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）A．180°B．220°C．240°D．300°3．（2012?）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（）A．2B．2C．D．34．（2011?）边长为4的正三角形的高为（）A．2B．4C．D．25．（2010?随州）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．B．C．D．不能确定6．（2009?）如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（）A．60°B．45°C．40°D．30°7．（2007?）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，BE、CE分别交AD于G、H，设△CDH、△GHE的面积分别为S1、S2，则（）A．3S12121212=2SB．2S=3SC．2S=SD．S=2S8．（2007?）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（）A．4cm2B．2cm2C．3cm2D．3cm29．（2006?）如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN中，正确结论的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个AE、．其10．（2006?）如图是一个等边三角形木框，甲虫甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形A．d＞hB．d＜hP在边框AC上爬行（A，C端点除外），设ABC的高为h，则d与h的大小关系是（）C．d=hD．无法确定11．（2007?）一艘轮船由海平面上由B地向北偏西20°的方向行驶A．30海里B．40海里A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达40海里到达C地，则A、C两地相距（）C．50海里D．60海里B地，再12．（2006?）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°13．（2011?）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=_________度．14．（2008?日照）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有_________．（把你认为正确的序号都填上）15．（2005?）如图，将边长为4的等边△ABC，沿x轴向左平移2个单位后，得到△A′B′C′，则点A′的坐标为_________．16．（2004?）如图，正三角形A1B1C1的边长为1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，△A2B2C2的三条中线又组成△A3B3C3，，如此类推，得到△AnBnCn．则：1）△A3B3C3的边长a3=_________；2）△AnBnCn的边长an=_________（其中n为正整数）．17．（2006?嘉峪关）△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且AE=CD=BF，则△DEF为_________三角形．18．（1999?）如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出_________个．19．如图所示，P是等边三角形ABC一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB=3，则PP′=_________．20．（2009?）如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE．（1）求△ABC的面积S；（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明．21．（2009?）如图，△ABC边作正三角形CDE，连接为正三角形，AE，判断AED为边BA延长线上一点，连接与BC的位置关系，并说明理由．CD，以CD为一22．（2008?）附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．1）请你完成这道思考题；2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①_________；②_________；③_________．并对②，③的判断，选择一个给出证明．23．（2007?）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．24．（2004?）已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．（1）求证：DP=PE；（2）若D为AC的中点，求BP的长．25．（2002?）已知等边△h2、h3，△ABC的高为ABC和点P，设点P到△ABCh．“若点P在一边BC上（如图三边AB、AC、BC的距离分别为h1、1），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h”请直接应用上述信息解决下列问题：（1）当点P在△ABC（如图2），（2）点P在△ABC外（如图是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与的猜想，不需证明．3）这两种情况时，上述结论h之间的关系如何？请写出你26．（2000?）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB；2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．27．（2010?）如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．（1）求证：AE=BD；（2）求证：MN∥AB．28．（2005?）如图，已知AD和BC交于点O，且△OAB和△OCD均为等边三角形，以OD和OB为边作平行四边形ODEB，连接AC、AE和CE，CE和AD相交于点F．求证：△ACE为等边三角形．29．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．1）求证：AD=BE；（2）求∠DOE的度数；3）求证：△MNC是等边三角形．30．如图，等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点，CQ：BC=1：2，过P作PE⊥AC于E，连PQ交AC边于D，求DE的长？《全等三角形》练习参考答案与试题解析1．C2．C3．C4．．∠E=15度．14．①②③⑤．15．3nnnn1﹣n）.16．a=；△ABC的边长a=（或217．等边三角形．18．2个．19PP′=3．20．解：（1）在正△ABC中，AD=4×，（2分）S=BC×AD=×4×2=4．（3分）（2）AC、DE的位置关系：AC⊥DE．（1分）在△CDF中，∵∠CDE=90°﹣∠ADE=30°，（2分）∴∠CFD=180°﹣∠C﹣∠CDE=180°﹣60°﹣30°=90°．AC⊥DE．（3分）（注：其它方法酌情给分）．21．解：AE∥BC．理由如下：∵△ABC与△CDE为正三角形，BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，∴△BCD≌△ACE，∴∠B=∠EAC，∵∠B=∠ACB，∴∠EAC=∠ACB，AE∥BC．22．请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①是；②是；③否．并对②，③的判断，选择一个给出证明．1）证明：在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．2）①是；②是；③否．②的证明：如图，在△ACM和△BAN中，，∴△ACM≌△BAN，∴∠AMC=∠BNA，∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°﹣60°=120°，∴∠BQM=60°．③的证明：如图，在Rt△ABM和Rt△BCN中，，∴Rt△ABM≌Rt△BCN，∴∠AMB=∠BNC．又∠NBM+∠BNC=90°，∴∠QBM+∠QMB=90°，∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．23解：（1）BF=CG；证明：在△ABF和△ACG中∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC∴△ABF≌△ACG（AAS）BF=CG；2）DE+DF=CG；证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图2）DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG∴四边形EDHG为矩形DE=HG，DH∥BG∴∠GBC=∠HDCAB=AC∴∠FCD=∠GBC=∠HDC又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC∴△FDC≌△HCD（AAS）DF=CHGH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；（3）仍然成立．证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图3）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG∴四边形EDHG为矩形，DE=HG，DH∥BG，∴∠GBC=∠HDC，∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，∴△FDC≌△HCD（AAS）DF=CH，GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．24．（1）证明：过点D作DF∥AB，交BC于F．∵△ABC为正三角形，∴∠CDF=∠A=60°．∴△CDF为正三角形．DF=CD．又BE=CD，BE=DF．又DF∥AB，∴∠PEB=∠PDF．∵在△DFP和△EBP中，∵，∴△DFP≌△EBP（AAS）．DP=PE．2）解：由（1）得△DFP≌△EBP，可得FP=BP．∵D为AC中点，DF∥AB，∴BF=BC=a．∴BP=BF=a．25．解：（1）当点P在△ABC时，结论h1+h2+h3=h仍然成立．理由如下：过点P作BC的平行线，交AB于G，交AC于H，交AM于N，则可得结论h1+h2=AN．∵四边形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN．∴h123=AN+MN=AM=h，+h+h即h1+h2+h3=h．（2）当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2﹣h=h．3理由如下：过点P作BC的平行线，与AB、AC、AM分别相交于G、H、N，则可得结论h1+h2=AN．∵四边形MNPF是矩形，∴PF=MN，即h3=MN．∴h1+h2﹣h3=AN﹣MN=AM=h，即h1+h2﹣h3=h．226．解：（1）当CD=AC?DB时，△ACP∽△PDB，∴∠PCD=∠PDC=60°，∴∠ACP=∠PDB=120°，2若CD=AC?DB，由PC=PD=CD可得：PC?PD=AC?DB，即=，则根据相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB2）当△ACP∽△PDB时，∠APC=∠PBD∵∠PDB=120°∴∠DPB+∠DBP=60°∴∠APC+∠BPD=60°∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°即可得∠APB的度数为120°．27．证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，∵∠DCA=∠ECB=60°，∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，在△ACE与△DCB中，∵，∴△ACE≌△DCB，AE=BD；2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，∴∠CAM=∠CDN，∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三点共线，∴∠DCN=60°，在△ACM与△DCN中，∵，∴△ACM≌△DCN，∴MC=NC，∵∠MCN=60°，∴△MCN为等边三角形，∴∠NMC=∠DCN=60°，∴∠NMC=∠DCA，MN∥AB．28．证明：∵△OAB和△OCD为等边三角形，CD=OD，OB=AB，∠ADC=∠ABO=60°．∵四边形ODEB是平行四边形，OD=BE，OB=DE，∠CBE=∠EDO．CD=BE，AB=DE，∠ABE=∠CDE．∴△ABE≌△EDC．AE=CE，∠AEB=∠ECD．∵BE∥AD，∴∠AEB=∠EAD．∴∠EAD=∠ECD．在△AFE和△CFD中又∵∠AFE=∠CFD，∴∠AEC=∠ADC=60°．∴△ACE为等边三角形．29．解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE，AD=BE．2）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵等边三角形DCE，∴∠CED=∠CDE=60°，∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED，=∠ADC+60°+∠BED，=∠CED+60°，=60°+60°，=120°，∴∠DOE=180°﹣（∠ADE+∠BED）=60°，答：∠DOE的度数是60°．（3）证明：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，AM=AD，BN=BE，AM=BN，在△ACM和△BCN中，∴△ACM≌△BCN，CM=CN，ACM=∠BCN，又∠ACB=60°，∴∠ACM+∠MCB=60°，∴∠BCN+∠MCB=60°，∴∠MCN=60°，∴△MNC是等边三角形．30．解：过P点作PF∥BC交AC于F点，∵等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，CQ：BC=1：2，AB=BC，∠B=∠ACB=∠A=60°，AP=CQ，PF∥AB，∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∴∠A=∠APF=∠AFP=60°，∴△APF是等边三角形，PE⊥AC，∴EF=AF，∵△APF是等边三角形，AP=CQ，∴PF=CQPF∥AB，∴∠Q=∠FPD，在△PDF和△QDC中∵，∴△PDF≌△QDC，DF=CD，∴DF=CF，DE=EF+DF=AF+CF=AC，ED=5．双基训练如图14-45，在等边ABC中，O是三个角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三角形的个数是。如图14-46，ABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EFAB，AE=1，则AD=，EFC的周长=。3.如图14-47，在等边ABC中，AE=CD，BG⊥AD，求证：BP=2PG。纵向应用如图14-48，已知等边ABC的ABC、ACB的平分线交于O点，若BC上的点E、F分别在OB、OC垂直平分线上，试说明EF与AB的关系，并加以证明。如图14-49，C是线段AB上的一点，ACD和BCE是两个等边三角形，点D、E在AB同旁，AE交CD于点G，BD交CE于点H，求证：GH∥AB。如图14-50，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D使得CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：CMN是等边三角形。如图14-51，C是线段AB上一点，分别以BC、AC为边作等边ACD和CBE，M为AE的中点，N为DB的中点，求证：CMN为等边三角形。5.如图14-52，在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，以CD为边向形外作等边CDE，连结AE，求证：ABE为等边三角形。如图14-53，已知ABC是等边三角形，D为AC上一点，∠1=∠2，BD=CE，求证：ADE是等边三角形。7.如图14-54，设在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，M、N、P分别是AC、BD、CD的中点。求证：MNP是等边三角形。8.如图14-55，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD,AD=BC,对角线AC、BD交于点0EFM是等O，∠AOB=60，且E、F分别是OD、OA的中点，M是BC的中点，求证：边三角形。9.如图14-56，在YABCD中，ABE和BCF都是等边三角形，求证：DEF是等边三角形。10.如图14-57，已知D为等边ABC一点，DA=DC，P点在ABC外，且CP=CA，CD平分∠PCB，求∠P。横向拓展1.如图14-58，已知P是等边三角形ABC一点，APB:CPA=5:6:7,求以PA、PB、PC为边长的三角形的三角之比。2.如图14-59，点O为等边00ABC一点，∠AOB=110，∠BOC=135，试问：1）以OA、OB、OC为边，能否构成三角形？若能，请求出该三角形各角的度数；若不能，请说明理由；2）如果∠AOB大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形？3.如图14-60，已知ABC是边长为1的等边三角形，BDC是顶角∠BDC为1200的0等腰三角形，以点D为顶点作一个60角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，形成一个三角形。4.如图14-61，在ABC中，∠A=600，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE、CF交于点M。（1）如果AB=AC，求证：DEF是等边三角形；（2）如果AB≠AC，试猜想DEF是不是等边三角形？如果DEF是等边三角形，请加以证明；如果DEF不是等边三角形，请说明理由；（3）如果CM=4cm，FM=5cm，求BE的长度。如图14-62，已知AO=10，P是射线ON上一动点（即P点可在射线ON上运动），0∠AON=60。（1）OP为多少时，AOP为等边三角形？（2）OP为多少时，AOP为直角三角形？（3）OP为多少时，AOP为锐角三角形？（4）OP满足什么条件时，AOP为钝角三角形？6.（1）如图14-63，下列每个图形都是由若干个边长为1的等边三角形组成的等边三角形，它们的边长分别为1,2,3,，设边长为n的等边三角形由s个小等边三角形组成，按此规律推断s与n有怎样的关系；2）现有一个等角六边形ABCDEF（六个角都相等的六边形，如图14-64），它的四条边长分别是2、5、3、1，求这个等角六边形的周长；3）（2）中的等角六边形能否用（1）中最小的等边三角形无空隙拼合而成？如果能，请求出需要这种小等边三角形的个数。参考答案；等边三角形；双基训练1.7个2.293.0提示：证ABD≌ΔBCE，证∠BPG=60纵向应用；1.EF=12.提示：证GCH为等边三角形3.提示：ECB≌ΔDCA，3ECN≌ΔDCM4.略5.提示：证ADE≌ΔBCE6.提示：证ABD≌ΔACE7.略8.略9.提示：证ADE≌ΔEBF10.300。提示：连结BD，易证ABD≌ΔCBD，再证CDP≌ΔADB横向拓展1.2:3:4.提示：将APC绕顶点C逆时针方向转600，点P转到点P′的位置，连结PP′2.(1)能，500，550，750（2）1500或10003.提示：延长AC至点E，使CE=BM，连结DE。证MDB≌ΔEDC，MDN≌ΔEDN4.(1)略(2)提示：05.(1)10(2)5或20(3)5206.(1)s=n2(2)19.提示：延长FA、CB交于点P，延长AF、DE交于点Q，延长ED、BC交于点R，可证PAB、QEF、RCD、PQR为等边三角形(3)能，s=102-22-32-62=51(个)