水静力学参考资料

第2章水静力学2.1知识要点静止液体作用在受压面每单位面积上的压力称为静水压强。静水压强的特性：(1)静水压强垂直于作用面，并指向作用面的内部；(2)静止液体中任一点处各个方向的静水压强大小相等。静止液体中压强相等的点所组成的面称为等压面。在等压面上，dp=0,等压面的方程为TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark7"\o"CurrentDocument"Xdx+Ydy+Zdz=0(2.1)式中，X、Y、Z是作用于液体单位质量的质量力在x、V、Z轴方向上的分量。等压面的两个重要性质：(1)等压面也是等势面；(2)等压面与质量力的方向正交。水静力学基本方程为?=?0+玉(2.2)或Z十p/丫=C(2.3)式中，p0为液面压强；h为所测点在自由液面以下的深度；为液体重度；z为液体内任一点距基准面的距离；c为常数。绝对压强、相对压强和真空压强以设想没有气体存在的绝对真空为零来计算的压强，称为绝对压强，以pabs 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示；以当地大气压强为零来计算的压强称为相对压强，以p表示。相对压强与绝对压强的关系为TOC\o"1-5"\h\zP=Pabs-Pa(2.4)式中，pa为大气压强。在式(2.2)中，当p0=pa时，则静止液体中某点的相对压强变为HYPERLINK\l"bookmark513"\o"CurrentDocument"p=：h(2.5)当液体中某点的绝对压强小于大气压强时，水力学中认为该点存在着真空。其真空压强pV的大小以 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 大气压强和绝对压强之差来量度，即pv=Da-pabs(2.6)相对压强的正值称为正压，负值称为负压，也称为真空。若用液柱高度来表示真空压强的大小，即真空度hv为HYPERLINK\l"bookmark15"\o"CurrentDocument"hv=pv/丫=(pa—pabs)/?(2.7)工程上常用pa=1kgf/cm2作为大气压的计量单位，一个工程大气压相当于10m水柱高，736mm水银柱高。液体相对静止状态的典型情况有两种，一为等加速作直线运动的容器内的静止液体，如图2.1所示；二为以等角速度绕铅垂轴旋转的容器内的静止液体，如图2.2所示。1等加速直线运动图2.1所示为一水箱，沿着与水平面成a角的斜面以等加速度a作直线运动，设作用于液面的压强为p0,其方程为TOC\o"1-5"\h\z图2.1图2.2HYPERLINK\l"bookmark18"\o"CurrentDocument"p=p0-(了/g)[acosax+(asin^+g)z](2.8)g(p°-p)/-axcos:z=(2.9)asin上,■g令p=常数，上式给出了等压面方程。这是一簇平行的平面，它们对水平面倾斜了一个角度tan：=z/x=—acos：/(asin壬：：＞g)(2.10)令p=P0,可得自由液面方程2.等角速旋转运动z--acos：x/(asinc-g)(2.11)图2.2所示为盛有液体的开口圆桶,上，原点取在旋转轴与自由面的交点上,P如p为某一常数，则等压面方程为以相对压强表示，则对于自由液面，p=0,故自由液面方程为设圆桶以等转速绕其铅垂轴旋转，将坐标系取在运动着的容器Z轴垂直向上。则液体中某点的压强为22-p=P0：(，r/2-gz)="(‘2r2/2一gz)=[2r2/(2g)一z]p/"=.K2r2/(2g)_zz=?2r2/(2g)(2.12)(2.13)(2.14)(2.15)式中，。为角速度；r为欲测压强点到旋转轴的距离；负；切2r2/(2g)-z表示任一点在自由液面以下的深度,当P0=Pa时，相对压强为1作用于任意平面上的静水总压力z为任一点的垂直坐标，z轴向上为正，向下为h表示，则式(2.12)可以写成=h图2.3所示为一任意形状平面EF倾斜置放于水中，与水平面的夹角为a,平面面积为A,平面形心点为c。静水压力为等于该平面形心点的压强pc与平面面积的乘积。静水总压力的方向垂直指向受压面。静水总压力的作用点(压力中心)图2.3P=pcA=：hcA(2.16)上式说明，作用于任意形状平面上的静水压力PLd=L"(LcA)(2.17)(2.18)压力中心距形心的距离为e=Ld-Lc=L/(LcA)Ld为压式中，Lc^平面EF形心点c距ob轴的距离；儿为平面EF形心点c在液面下的淹没深度；力中心距ob轴的距离；e为偏心距；[为平面EF对通过其形心c并与ob轴平行的轴的面积惯性矩,对于矩形断面Ic=bL3/12，对于圆形断面，Ic=JiR4/4。2.作用于曲面上的静水总压力求曲面上的静水总压力P,可将总压力分为水平分力Px和垂直分力Pz,然后求其合力P。1)静水总压力的水平分力作用在曲面上的静水总压力的水平分力Px,等于作用在该曲面的铅垂投影面Ax上的静水总压力。R=PcAx=YhcAx(2.19)水平分力Px的作用线应通过Ax平面的压力中心。2)压力体压力体由下列周界所围成：1.受压曲面本身；2.液面或液面的延长面；3.通过曲面的四个边缘向液面或液面的延长面所作的铅垂平面。当液体和压力体位于曲面同侧时，垂直分力Pz的方向向下，此时的压力体称为实压力体；当液体及压力体各在曲线一侧时，贝UPz的方向向上，这个想象的压力体称为虚压力体，如图2.4所示。图2.4静水总压力的垂直分力静水总压力的垂直分力Pz的大小等于压力体的水重，即Pz=W(2.20)式中，V为压力体的体积。垂直分力Pz的作用线，应通过压力体的体积形心。令压力体的底面积为Q,即V=bQ(2.21)曲面上的静水总压力的大小、方向及其作用点由力的合成原理，曲面上的静水总压力的大小为P=胛；+Pz2(2.22)静水总压力与水平面之间的夹角为tana=Pz/Px(2.23)浮力浸在水中或浮于水面上的静止物体都受到水的上举力，这就是浮力。浮力的大小等于该物体所排开的同体积的水重，作用线铅垂向上并通过所排开液体的中心，也称浮心，所以R=W(2.24)式中V为浮体淹没在液体中的体积。对于均质物体，当整个物体都淹没在液体中时，重心就是浮心，两者重合。对于非均质物体，根据重力G和浮力Pz的大小，有三种可能性：当G>Pz时，称为沉体；当G=Pz时，称为潜体；当GVPz时，称为浮体。潜体的平衡及其稳定性当物体潜没在液体中维持平衡时，必须具备两个条件：(1)重力G与浮力Pz相等，即G=Pz；(2)重心与浮心要在一条垂直线上。根据重心C和浮心D的相对位置，可以分成三种情况：重心C位于浮心D之下，如图2.5(a)所示，这种情况下的平衡称为稳定平衡；重心C位于浮心D之上，如图2.5(b)所示，这种平衡称为不稳定平衡；重心C与浮心D重合，如图2.5(c)所示，这种平衡称为随遇平衡。(b)(c)图2.53浮体的平衡及其稳定性浮体的平衡条件与潜体相同。浮体的稳定性取决于重心C与浮心D的相对位置，有三种情况：1重心C在浮心D之下如果重心C低于浮心D,当物体发生倾斜后，浮力Pz和重力G形成使物体扶正的力矩，如图2.6所示，这时物体可得到稳定平衡。(a)(b)图2.62重心C高于浮心D如果重心C高于浮心D,浮体的稳定取决于重心C和定倾中心M的相对位置，如图2.7所示。按照C点和M点的相对位置不同可能有三种情况：当r>e时，称稳定平衡；rve时，称不稳定平衡；r=e时，称随遇平衡。(a)(b)(c)图2.73重心C与浮心D重合如果重心C与浮心D重合，当浮体遇有外力发生倾斜后，浮力Pz和重力G形成使物体扶正的力矩，当外界干扰取消后，该力矩能使倾斜的浮体扶正，并自动恢复到原来的平衡位置，如图2.8(b)所示,这种浮体的平衡亦称为稳定平衡。(a)(b)图4.定倾半径的计算设浮体受到外力作用而倾斜某一角度a,浮心位置由D移至D'之间的距离为L,定倾中心M距浮心D的距离为r,如图2.9所示。r=J/(Vco^t)(2.25)当a<15o时，cosa1,贝U式中，hm=r-e，称为定倾高度；r为定倾半径；2.8r=*/V(2.26)式中，0为浮面对其纵轴的惯性矩。使浮体恢复原状的力矩可表示为WCMsina=：Vhmsina(2.27)图2.9e为偏心距，即浮心与重心之间的距离。解：1.求A、B、C、D各点的相对压强习题2.1图2.2习题解析2.1在装满水的锥台形的容器盖上加一力P=4kN，容器的尺寸如图所示。D=2m,d=1m,h=2m，试求A、B、C、D对点的相对压强和容器底面上的总压力(相对压力)。2.求容器底面上的总压力2.2有一圆形容器，内装三种液体。上层为比重Si=0.8的油，中层为比重S2=1的水，下层为比重S3=13.6的水银。已知各层高度均为h=0.5m，容器直径d=1m，试求：A、B点的相对压强(用kN/m2表示)。A、B点的绝对压强(用米水柱高度表示)容器底面上的总压力(相对压力)。习题2.2图解：求A、B点的相对压强A点的相对压强为B点的相对压强为求A、B点的绝对压强3A点的绝对压强为Pa+Pa=98+6.3725=104.372k5N/m用水柱高度表示为hA=(Papa)/2=104.3725/9.8=10.65mB点的绝对压强为Pa+Pb=98+75.4625173162k5N/m用水柱高度表示为hB=(PaPb)/2=173.4625/9.8=17.7m容器底面上的总压力h2=2m。习题2.3图2.3如图所示为一封闭水箱，其自由面上的压强2Po=25kN/m，试I可水箱中A、B两点的绝对压强、相对压强和真空度为多少？已知h〔=5m,解：A、B两点的绝对压强A、B两点的相对压强A、B两点的真空度由以上计算可以看出，A点的静水压强比B点的大。由图中可以看出，1-1面是等压面，所以从右边来看习题2.4图2.4在习题2.4图所示的微压计中，管和杯的直径比为d/D,液体的重度％和匕已知，试根据读数求出罐中的气体压强p。解：TOC\o"1-5"\h\zP1=Pa+L(x+h)(1)从左边来看p1=p十匕(Ah十x)十了2h(2)由以上两式解出p=pa-(？2—^Dh—LAh(3)式中Ah为未知数。现利用液体体积变化的关系求出的初始液面是水平的，由于液体的体积不变，则△h。设想两边都作用大气压强时，显然左右两边TOC\o"1-5"\h\z2・、・23D/4)油=(和/4)h(4)由上式得Ah=(d/D)2h(5)将式(5)代入式(3)得p=Pa-[(匕-？i)+L(d/D)2]h(6)由于L<&，所以P<0.75=99.96kN/m2由图得p=丫汞h2=1332甲0.8=106624kN/m2以上两式相等h1=(106624-pa)/=(108624-99.96)/9.78=0.681m解：由图可得习题2.23图2.23圆柱液体澄清池上部为油，下部为水，如图所小。测得▽3=0.5m,▽2=1.4m,▽1=1.6m,澄清池直径D=0.4m,求油的重度和池内油的重量。由上式解出油的重度为丫油="*3)/((巴*3))=9.8x(1.4_0.5)/(1.6_0.5)=8.02kN/m2已知圆柱澄清池的直径D=0.4m,则澄清池中油的重量为2.24为了测量锅炉中的蒸汽压强，采用量程较大的复式水银测压计如图所示。已知各液面的高程如下：▽1=2.3m,▽2=1.2m,▽3=2.5m,▽4=1.4m,▽5=3.0m,求容器中的p0是多少？将数据代入得由此得容器液面的绝对压强和相对压强为2.25如图所示，已知h〔=0.1m,h2=0.2m,h3=0.3m,解：由图中可得习题2.24图h=0.5m,U形测压管中为水银和气体，试计算水管中A点的压强。解:设A点的压强为Pa,由图可得习题2.25图2.26如图所示，已知两压力容器中A、B两点的高差为AZ=2m,pA=21.4kpa,?汞=133.28kN/m3,Ah=0.5m。试求：(1)若容器中为空气时，求B点的压强pB；(2)若解：容器中为水时，求A、B两点的压强差△P=Pb-Pa。习题2.26图容器中为空气时，求B点的压强pB由图得Pb一丁汞Ah=PA容器中为水时，求A、B两点的压强差Ap=pB-pA由上式解出pB—pA=丫汞Ah—y(AZ+Ah)=13328x0.5—9.8x(2+0.5)=4214kN/m2.27如图所示，已知水箱真空表读数为0.98kN/m2,水箱与油箱的液面高差H=1.5m,水银柱高差h2=0.2m，油的重度丫油=7.85kN/m3,求h〔是多少?由上式解出2.28同学们采用如图所示的装置测量水管断面内B点的压强，测出U形水银测压管上Ah的读数为0.4m,它们误认为水银U形管左边的几支U形管内都是被水充满，并从而计算B点的压强。之后，经教师检查发现由于操作上的疏忽，空气未排净，其所占位置如图中所示，问同学们原来求误将空气当作水求得的压强误差为2.29如图所示，用水银比压计量测水管中A、B两点的压强差，已测得U形管中水银柱高差△h=0.36m,A、B两点的高差&=1m，试求A、B两点的压强差。解：已知真空表读数PV=0.98kN/m2,此时作用于液面上的相对压强为p=-0.98kN/m2,由图可得习题2.27图计算结果的误差为多少？解：先求B点的实际压强习题2.28图解：由图可得习题2.29图2.30杯式微测压计由杯子及连接两个杯子的U形管组成，如图所示。杯子及U形管的面积分别为Ai和A?,内装液体的重度相近，各为七和匕，未测量时两杯内液面齐平，且U形管内两边液体分界面齐平。问当h已知时，压差Pm-pn是多少?解：1-1面为等压面，有习题2.30图Pm+?1(H+h)=pN+丫1(2舶+*+小(1)Pm-Pn=2%Ah-%h+：‘2h(2)已知杯子的断面面积为A〔，U形管的断面面积为A2。则根据一端下降、另一端上升，体积不变的原理A：h=A(h/2)由上式得2ih=A2h/A,,代入式(2)得2.31为测定汽油库内液面的高度，在图示装置中将压缩空气充满AB管段，已知油的重度2油=6.87kN/m，当h=0.8m时，相应油库中汽pm-pn="/A-1)2h油的深度H是多少?解:习题2.31(4)2.32今采用三组串连的U形水银测压计测量高压今从最末一组测压计右支测得水银面在0-0平面水管中的压强。测压计顶端盛水，当A点压强等于大气压强时，各支水银面均位于0-0水平面上,以上的读数为h,试求A点的压强。习题2.32图解:由于当A点压强等于大气压强时，各支水银面均位于0-0水平面上，所以当A点压强变化时，测压管中水银面下降和上升的高度是相等的，均为hoA点的绝对压强为所以A点的相对压强为2.33图示水压机大活塞直径D=0.5m,小活塞直pa=pa+6Y汞h—5：hpa=6?汞h-5h及总压力增加多少?径d=0.2m,a=0.25m,b=1.0m,h=0.4m,求:解:(1)当外加压力F=200N时，A块受力为多大?习题2.33图(2)在小活塞上压强增加△p,大活塞上的压强设小活塞上的压力为Pd,压强为Pd,大活塞上的受力为P0(1)当外加压力F=200N时，求A块所受得力对o点取力矩Ra=F(ab)设A块所受得力为P。，则(2)小活塞上压强增加△p,求大活塞上的压强及总压力增加多少若小活塞上压强增加△p,则大活塞上的压强变为大活塞上的压力为二D2R=(pd印h)—42.34图所示的水压机，已知加重活塞与举重活塞直径之比为1：4，操纵杆长度AO与BO之比为1:3,问：(1)如图2.34(a),在B点加力F时,水压机可举重多少？(2)如果在举重活塞上加以G=10kN的力，已知AO=0.25m,BO=0.75m,解：(1)在B点加力F时，求水压机的举重力d=0.08m,F=200N时，求在平衡条件下大活塞的直径D(不计活塞的高差和重量)(a)(b)习题2.34图Pa,则因为AO:BO=1:3,设加重活塞上作用的压力为作用在加重活塞上的压强为作用在举重活塞上的压强，根据巴斯卡定律，作用在举重活塞上的压强与加重活塞上的压强相等,则作用在举重活塞上的力为(2)已知AO=0.25m,BO=0.75m,d=0.08m,F=200N,G=10kN时，求在平衡条件下大活塞的直AO0.251「……___、因为——=——=-,所以可以直接应用上面的结论，即作用在加重活塞上的压强为PD=G=10kN=10003,则BO0.7532.35水压机的构造如习题2.35图所示。已知大活塞面积为10m2,小活塞面积为0.1m2,油的比重为0.8。如需要产生一个力F=90kN，问加重W应为若干？解：Pf=F/10,V油=9.8x0.8=7.84kN/m3*,依题意2.36用水银测压计量测容器中水的压强，测得水银柱高度为h，如图所示。若将测压管下移到虚线位置，左侧水银面下降△Z,如果容器内压强不变，问水银柱高度h是否变化？若容器内是气体，结设小活塞上作用的压强为pW,则Pw=W/0.1。大活塞上作用的压强为Pf,贝U习题2.35图果又如何？解：设A点的压强为p,可得习题2.36图（1）由上式的100004D0.327m,1193662二处于平衡状态时，作用在举重活塞上的力若左侧水银面下降AZ,则设h变为h。，有(2)(3)(4)p+：z+yaz=?汞h°&=V汞(h°-h)9.8rZ-h=Z-Z=丫汞13328136△Z时，水银柱高度差改变了Aho丫气=12.68x10京kN/m以上两式相减得,则有1051104(5)依题意有习题2.37图解：潜艇中的绝对压强为习题2.38图12.6810；Z=133282.37如图所示为一钟形潜水箱。从已知的比压计读数R及水头H求潜水箱内的水深ho解：2.38如图所示为一潜水艇的断面图，气压计测出潜艇的绝对压强为p1/：'汞=0.84m（水银柱），求潜艇的潜没深度h,设水面大气压强为标准的大气压强，海水的重度为10.06kN/m3。由图得Pa+Y海(h+0.35=p绝+Y汞(0.35+0.35=111.9552+>1332牛0.7=2052512cN/2n2.39有一盛水的密闭水箱，顶部装有气门，底部用软管与调压筒相连，如习题2.39图所示。问：（1）当气门打开时，水箱水面作用的是什么压强，测压管1、测压管2和连通管的水面如何变化；（2）当气门关闭时，将调压筒上升或下降，容器中的水面压强Po是否变化？如有变化，分析其变化情况，并说明连通管和测压管中的水面是如何变化的。(3)已知H=0.1m,h=0.05m，气门关闭。试求：(a)当调压筒中的水面高于水箱水面0.1m时，求水箱水面、测点1和测点2的绝对压强和相对压强；(b)当调压筒中的水面低于水箱水面0.1m时，求水箱水面、测点1和测点2的绝对压强和相对压强，如有真空，求其真空压强。解：当容器顶部的气门打开时，水箱内的水面作用的是大气压强，这时测压管1、测压管2和联通管中的水面均作用的是大气压强，如果不考虑表面张力的影响，水箱和三根管中的水面同高。当容器顶部的气门关闭时，将调压筒上升或下降，将改变容器中水面的压强。当调压筒上升时，水面压强Po增大，这时测压管1和测压管2中的水面上升，其上升后的水面与调压筒中的水面同高,调压筒中的水面高于水箱的水面；当调压筒下降时，水箱水面压强p0减小，如果调压筒中的水面低于容器的水在时，说明在容器中存在着真空，但不管怎样，这时测压管1和测压管2中下降后的水面仍与调压筒中的水面同高；连通管由于其顶部的压强等于水箱的水面压强，所以连通管的水面始终与水箱中的水面同高。求水箱水面、测点1和测点2的压强习题2.39图(a)当调压筒高于水箱水面0.1m时，求水箱水面、测点1和测点2的绝对压强和相对压强绝对压强水箱水面：P0=Pa0.1=989.80.1=98.98kN/m2测点1:P1=p°H=98.989.80.1=99.96kN/m2测点2:P2=P0(Hh)=98989.8(0.10.05)=10Q45kN/m2相对压强水箱水面：2P0相=P0-Pa=9898-98=0.98kN/m测点1:2Pi相=Pi一Pa=99.96-98=1.96kN/m测点2:2?2相=p2一pa=10045-98=2.45kN/m(b)当调压筒低于水箱水面0.1m时，求水箱水面、测点1和测点2的绝对压强和相对压强绝对压强水箱水面：p0=pa-0.1=98-9.80.1=97.02kN/m2测点1:P1=p0H=97.029.80.1=98kN/m2测点2:P2=P0(Hh)=97.029.8(0.10.0R=98.49kN/m2相对压强水箱水面：2P0相=P0一Pa=97.02—98=—0.98kN/m测点1:Pl相=Pi-Pa=98-98=0测点2:2?2相=p2—pa=98.49—98=0.49kN/m由计算可知，在水面处的相对压强小于大气压强，存在真空，其真空压强为真空度为h°v=P0v/''=0.98/9.8=0.1m敞口管与容器内的水面高差H;(3)以真空压强习题2.40图解；习题2.41图2.40有一盛水的密闭容器，其两侧各接一根玻璃管，如图所示。一管顶端封闭，其水面压强po=88.29kN/m2,一管顶端敞开，水面与大气接触，已知h=2m，求：(1)容器内的水面压强pc；(2)表小p0。解：求容器内的水面压强pc求敞口管与容器内的水面高差H以真空压强表示p02.41密闭容器如图所示。已知hi=3m、h2=2.5m、h3=2m,要求以绝对压强和相对压强计算po、pa、pb,并求ho2.42两液箱具有不同的液面高程，液体的重度为用两个测压计将液箱相连，测压计中液体的重度分别为%和&,如习题2.42图所示。试证丫「=。仇+?2h2)/(h1+h1)。习题2.42图解：上部倒U形测压计(1)(2)(3)(h3-W=h1-巾下部U形测压计(h3-h4)=2h2-h2„hhe由式(1)和(2)解出,二一共h1h22.43如图所示，已知真空表读数为508mm水银柱，Ah,由等压面得计算当阀门打开时，比压计中水银面高差Ah,设习题2.43图其水箱的水面不变。解：当阀门关闭时，U形管中的水银面同高。当闸门打开时，右边水面作用的是大气压强，左边水箱水面上的压强小于大气压强，水银面上升由上式解出.n^V丫汞-7又因为pV=0.508?汞=0.508<13328=67.71kN/m2改正后解法如下：图形不变2.43如图所示，已知真空表读数为508mm水银柱，计算比压计中水银面高差Ah,设其水箱的水面不变。解:由等压面得由上式解出-Pv67.71：h===0.548mY汞—Y13328—9.8习题2.43图2.44有一连通器两边的截面积相等，如图所示。当阀门A关闭时，两个液面在同一高度，hi=h2=0.2m,h3=0.08m,水平段的直径d=0.06m,试求：(1)两边容器底部所受的压强各为多少？(2)阀门两边各受多少压力？(3)阀门打开时，液体如何流动？到液体停止运动后，两个液面的高度差为多少？(设油的比重为0.8)习题2.44图解：左边容器:=h1=9.80.2=1.96kN/m2右边容器:=了油h2=9.8x0.8x0.2=1.568kN/m2(2)求阀门两边所受的压力闸阀左边：%=pA^：d222d二d20.06二0.062='奂成行=9.8（0.08—）=0.00305;N=3.05N闸阀右边:二d22d二d0.06丫油（h3写）"=9.8尺0.软（0.08+亏）二0.062=0.00244cN=2.44N4(2)阀门打开时，液体如何流动？到液体停止运动后，两个液面的高度差为多少？当阀门打开时，由于连通器左边是水，其重度大于油的重度，作用于闸门A处左边的压强大于右边的压强，所以液体向右边的连通器中流动。直到两边的压强相等后停止流动。这时左边连通器中的液面下降了Ah,下降的体积为AAh,右边连通器中的液面上升了Ah',上升的体积为AAh'。按照体积不变规律，有AAh=AAh'。由于两个连通器的截面面积相等，所以Ah=Ah'。由此得由上式得两液面的高差为2Ah=2x0.0122=0.0244m。2.45漏斗状容器如图(a)所示。当漏斗状容器解：是空的，且水面在AU形测压计读数当漏斗状容器是空的，这时水面在A点，则有Ah=0.15m。计算当水头充满漏斗时，水银压差习题2.45图计读数为多少？当容器中充满水时，^h增加，设增加为h。，这时U形管中的水银面亦上升h。，如习题2.45图(b)所示，由图可得土匚企/曰,*3+h+Ah)—丫汞Ah9.8乂(3+1.89十0.15-133.2^^0.15伞“—由上式得h0===0.1145m2汞-丫2勺3328-9.8水银压差计读数为:h2h0=0.1520.1145=0.379m2.46有一倾斜压力计如图所示。左边大容器的截A1,而A1/A=0.01,当大容器内的压强增大时，测面积为A,右边与其相通的倾斜细管的截面积为得细管中的液面变化距离为L,设液体的比重为(1)求两边容器底部所受的压强0.79，细管的倾角为a,求压强p0的表达式。习题2.46图解：设原液面上作用的是大气压强Pa,当压强P0>Pa时，大容器中的液面下降Ah,斜细管中的液面上升Lsina,贝U又知道容器中液面下降的体积与斜细管中液面上升的体积相同，即由此得绝对压强为p0绝=pa+:L(sina+A/A)相对压强为p0相=pa+：L(sinw+A/A)—pa=:L(sinu+A/A)3由题启、Ai/A=0.01,/=0.79x9.8=7.742kN/m,由此得相对压强的表达式为2.47一圆锥形开口容器，下接一弯管，当容器空着时读数如图(a)所示。问圆锥内充满水后弯管上水银柱长度读数为多少？(a)(b)习题2.47图解：当容器空着时当容器中充满水后，左边的水银面下降Ah,右边的水银面上升Ah,如习题图2.47(b)所示。以新的等压面为准，得弯管上水银柱长度为0.62.：h/sin30=0.620.114/5).5=1.0581(1)因为液面处的真空压强为2pv=0.22X133.28=29.322kN/m习题2.48图2.48一容器如图所示，当A处的真空表读数为22cm汞柱高，Y油=7.84kN/m2时，求两测管中的液柱高h〔、h2,并求液柱左侧U形管中的h值。解：所以容器中液面的相对压强为p=-29.322kN/m2,求h〔和h?。(2)求U形管中的水银柱高度h2.49图示为两种液体盛在容器中，且密度L=Rg,E=P2g，因为^>^1，所以P2A吐1,试证明测压管2的液面必低于测压管1飞2。对于1点，压强为P1=丫1加，贝U的液面。习题2.49图证：对于2点，由等压面的关系有七仇+几)+：麟3=Y2h4由图中可以看出，第一根测压管的液面距第二根测压管测点的距离为h,且又因为3"所以因而第二根测压管的液面低于第一根测压管的液面。2.50图示一圆柱形油桶，内装轻油和重油，轻油的重度为Z=6.5kN/3m,重油的重度为2=8.7kN/m当两种油重量相等时，求：解：(1)h〔及h2为多少？(2)两测压管内油面将上升什么高度？习题2.50图两种油的深度求两种油的深度n及h1依题意，当两种油重量相等时，由mi=m2得式中，Vi、V2分别为轻油和重油的体积，A、与分别为轻油和重油的面积，对于圆筒，A=A，所以有Vi/V2=hi/h>,贝U由图得h•h2=5解得。=2.862mh2=2.138m(2)求两测压管内油面上升的高度对于第一根测压管，油面上升的高度与油桶液面齐平。即液面距油箱底部的距离为5m。对于第二根测压管，油面上升的高度为式中，h为第二根测压管液面距油箱底部的距离。即第二根测压管液面距油箱底部的距离为4.276mo2.51一容器中有三种不同的液体，％，如图所示。试求：(1)中根测压管中的液面是否与容器中的液面齐平，如不齐平，试比较各测压管中液面的高度？(2)匕=7.62kN/m2、E=8.561kN/m2、%=9.8kN/m2,%=2.5m、a2=1.5m、a3=1m时，求h|、h2和h3。(3)图中1-1、2-2、3-3三个水平面是否都是等压面？解：(1)已知若c：%，由习题2.49的推证可知，三根测压管中的液面不齐平。由于第一根测压管中的液体与油箱中的液体为同一种液体，且(2)求h、h2和h对于第三根测压管，有上面只有一种液体，所以第一根测压管中的液面与水箱中的液面同高。其余测压管中的液面均低于水箱的液面，且第三根测压管中的液面低于第二根测压管中的液面。习题2.51图€2a2h3=3--33a37.622.58.561//八1.51=4.254m9.89.8(1)对于第二根测压管,对于第一根测压管，求等压面由图中可以看出，只有3-3面为等压面。2.52如图所示为一密闭的正三角形细玻璃管，其中内装密度为R、P2、P3三种互不相混合的液体，使该管铅垂竖立，假设管得粗细一样，正三有1a17.62底=a2a3=2.51.51=4.725m28.561有hi=a〔a2a3=2.51.51=5m⑵(3)角形的每边长为L,求图中的x。解：习题2.52图h2=J3x/2,如图所示，正三角形的边长为L,高h〔=/3L/2,设所求的x对应的竖向高度为h3=7'3(L—x)/2,则由图可得整理上式得：2x•«L-x)=n2(L-x)•"x由上式解出Ef)L2.53如图所示为一密闭容器，当U形管测压计中的读数为0.12m时，试确定压强表的读数。解：压力表的读数为p表=p+Y乂1一pa压力表的读数为负值，说明该处存在着真空，真空度为2.54矩形木箱长3m,静止时液面离箱底1.5m,现以a=3m/s2的加速度水平运动，试计算此时液面与水平面的夹角以及作用在箱底的最大压强与最小压强。解：已知加速度的方向与x的方向一致，则惯性液体的平衡方程得液面的绝对压强为习题2.53图=829.81一98=-6.2kN/m2pv"=6.2/9.8=0.633m力的方向与加速度的方向相反。在x、y、z方向的单位质量力分别为X=-a、Y=0、Z=-g。由静止习题2.54图p=-/g(axgz)Cx=z=0,p=pa，代入上式得C=pa。由此得:=arctan=arctart).306=17.02对上式积分得下面确定积分常数C,在坐标原点,在自由表面，p=pa,由上式可得则下面求箱底的最大压强和最小压强。由图中可以看出，在A点压强最大，x=-1.5、z=-1.5;B点压强最小。x=1.5、z=-1.5。如果不考虑大气压强，则2.55如图所示为一装在水平等加速运动上的U形管加速度测定仪，已测得两管中的液面高差△h=5cm,两管相距L=30cm,求该物体的加速度。解：惯性力的方向与加速度的方向相反，由此得X=a、U形管与物体一起做水平等加速度运动，此Y=0、Z=-g。由静止液体的平衡方程得时自由液面是与水平面夹角为a的斜面。设坐标习题2.55图如图所示，单位质量力除重力外，还有惯性力a,对上式积分得p=/g(ax-gz)C在坐标原点，x=z=0,p=pa，代入上式得C=pa,因此有在自由表面，p=pa,由上式得由图中可以看出tan・=z/x=a/g=5/L2.56容箱宽1.2m,长1.5m,液体的密度为X=0、Y=0、Z=-(a+g),贝U930kgf/m3,液体高度为0.9m,若容器以a=4.8m/s习题2.56图的加速度垂直向上运动，计算此容器底部所受的力。解：因为加速度的方向是垂直向上的，自由液面仍保持水平。单位质量力在三个方向的投影为对上式积分得p=-『(ag)zC当z=0,p=pa，代入上式得C=pa,因此有容器底部的相对压强为容器底部的相对压力为2.57一矩形底面积为6X6m的密闭水箱，高为2.0m，液体充满半高处。加速度ax=g/2,az=g/4,求沿箱底的压强变化。解法1如图所小，已知ax=g/2,az=g/4，贝Ux方向的单位质量力为X=-g/2、Y=0、Z=-（g/4+g）=-5g/4习题2.57图（1）对上式积分得在液面上，当x=z=0,p=p0，代入上式得C=p0,因此有卜面求p=p0的坐标。由图中可以看出，在B点，当z=—1时，p=p°,代入上式得x=2.5m。现求A点的压强。在A点，x=-3,z=-1,代入上式得解法2取坐标系如下图所示。由上面的计算已知当x=3m,z=1m时，p=p°,代入上式得习题2.57图（2）p=p026.95一(-x5z)在A点，x=0,z=0,由上式得在B点，p=p°,z=0由上式解出x=5.5m。2.58一盛油车，长10m,上尚余1m。为了使油不致流出，少？如油车被封顶，全充满原油，当时，求前后顶部的压强差。宽3m,深2.5m。油面最大加速度为多2a=3.5m/s取图示坐标系，单位质量力在三个方向的投影为为X=-a、Y=0、Z=-g,则习题2.58图解:对上式积分得p=-（axgz）/gCp=pa=°，当x=0,z=0时，p=-；'（axgz）/g为了使油不流出，左边的油面最大上升1m,这时，x=-5,z=1，代入上式得2由上式解出最大加速度为a=1.96m/s。设油面上的压强为大气压强,C=0,由此得如果油车封闭，全充满原油时，这时在静止状态下油深为3.5m。当a=3.5m/s2时,(1)求前后顶部的压强差。由式（1）得当x=—5,z=0时,当x=5,z=0时，2.59如图所示为一宽为b的容器,将容器内的液体分为前后两段，长为知前后段水深h〔和h2,试求隔板加速度为多少？p1=「(3.5(-5)C=17.5Cp2=-3.55C=-17.5C内有隔板CD,2L和L,已CD不受力时的设坐标系如图所示，对坐标系1和2均有,单位质量力在三个坐标轴上的投影为X=-a、丫=0、Z=-g。因此解:习题2.59图在坐标原点，当x=0,z=0时,对坐标系1,当x=L/2,z=—z〔,代入上式得对坐标系2,当x=—L,z=—z2p=-"(aL/2—gz1),代入式(1)得p=pa,考虑相对压强，C=0,则(1)p---'(axgz)(3)p=-"(-aL-gz2)由题意，式(2)与式(3)相等，即(4)-：'(aL/2_gzi)--\-aL-gz2)由上式得由图得求得3aL/2=g(%Mz〔—z2=(h〔—h2)/2a=旦(h〔-h2)3L(5)(6)(7)2.60有一装水的水车，以等加速度体中静水压强的表达式。当车长为为多少时水将溢出水箱。a沿水平方向作直线运动，如图所示。设液体的重度为了，求箱内液L=2m，车厢内静水面比箱顶低Ah=0.4m时，水箱运动的加速度解:平方向作直线运动时，三个方向的单位质量力为(1)求箱内液体中静水压强的表达式设坐标系如图所示。当水车以加速度a沿水习题2.60图对上式积分得dp=：?(XdxYdyZdz)--"(adxgdz)p--：?(axgz)C(1)在自由面上，当x=0,z=0时，p=pa,则C=pa,由此得压强的表达式为p=pa-Taxgz)=pa-(axgz)/g(3)当考虑相对压强时，上式变为p=-「(axgz)=¥‘(axgz)/g(2)求水箱运动的加速度为多少时，水将溢出水箱已知车长L=2m,车厢内静水面比箱顶低Ah=0.4m,如果要使水箱的水溢出，所需的临界加速度只要使得水箱左上角的水刚刚达到水箱顶部即可。由此利用上面推出的式(4),当x=-1,z=0时，得由上式解出临界加速度a=3.92m/s2。即当a>3.92m/s2时，水将溢出水箱。2.61贮液容器在(a)、(b)、(c)三种情况下以加速度a作直线运动，求其等压面形状和压强分布规律。(a)(b)(c)习题2.61图(4)解:液体平衡的基本方程为dp=对于图(a),已知加速度的方向向左,(XdxYdyZdz)则三个方向的单位质量力为(1)X=a、Y=0、Z=-g,代入上式得dp=「(adx-gdZ)对上式积分得(3)p=建(ax-gz)C当x=0,z=0时，p=p°，则C=p°,由此得压强的表达式为TOC\o"1-5"\h\zp=p°+P(ax—gz)(4)设所考虑的液体内部任一点A的坐标为(xo,zo),在其液面以下的深度为h,由相对静止原理可知，相对静止的液体在铅垂线上的压强分布同样也是按静水压强的规律分布的，即P(ax-gz)表示的是液面下任一点的压强：h,因此有p=po+：上(5)求等压面方程，在等压面上，各点压强相等，dp=0，由式(2)得dp=P(adx-gdz)=0(6)ta般=dz/dx=a/g(7)可知等压面为一倾斜面。对于图(b),已知加速度的方向相上，贝U三个方向的单位质量力X=0、Y=0、Z=-a-g,代入式(1)得dp=-P(a+g)dz(8)对上式积分得p=—P(a+g)z+C(9)当z=0时，p=p°，则C=p°,代入上式得p=p。—P(a+g)