和差公式及倍角公式的运用

和差公式及倍角公式的运用一、和差公式二、倍角公式三、应用类型（ 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 型一）-----给角求值例1、求sin1000sin(1600)cos2000cos(2800)的值．1【解析】原式=(cos100sin200cos200sin100)sin300．21或原式=(sin800sin200cos200cos800)cos600.2例2、计算12sin222.50的结果等于（）．1233A．B．C．D．22322【解析】12sin222.50cos450．2答案：B2例3、已知sinα，则cos(π2α)的值为（）．35115A．B．C．D．399341【解析】cos(π2α)cos2α(12sin2α)2sin2α121．99答案：B3例4、已知α为第三象限角，cosα，则tan2α．53【解析】∵α为第三象限角，cosα，534∴sinα1cos2α1()2，55sinα4于是tanα，cosα31422tanα24∴tan2α3．1tan2α471()23例5、求sin100sin300sin500sin700的值．【解析】法一：利用二倍角公式的变形公式sin2α解：∵sin2α2sinαcosα，∴sinα，2cosαsin2001sin1000sin1400∴原式=2cos10022cos5002cos700sin2001sin800sin4001==．2sin80022sin4002sin20016法二：先将正弦变成为余弦，再逆用二倍角公式11解：原式=cos800cos400cos200=cos200cos400cos8002212sin200cos200cos400cos800sin400cos400cos800==22sin2004sin200=sin800cos800=sin1600=1．8sin20016sin2001611或原式=cos800cos400cos200=cos200cos400cos800221sin4001sin800cos8001sin16001=cos400cos800．22sin2008sin20016sin20016sin2αsin400提示：∵sin2α2sinαcosα，∴cosα，因此cos200.2sinα2sin200法三：构造对偶式，列方程求解则xysin100cos100sin500cos500sin700cos700111=sin200sin1000sin140022211=sin200sin800sin400=sin800sin400sin2008811=cos100cos500cos700=y8811∵y0，∴x，从而有sin100sin300sin500sin700=．8162例6、求下列各式的值π11π（1）sin2；（2）tan82π12tan121π1π1π2【解析】（1）原式=（2sin21）(12sin2)cos；2828244ππ1tan21tan21（2）原式=12212223．πππtan2tantan12126【题后感悟】对二倍角公式的理解应注意以下几点：α（1）对“二倍角”应该有广义的理解，如：4α是2α的二倍角，α是的二倍角，3α2是3α的二倍角等；21（2）公式逆用：主要形式有2sinαcosαsin2α，sinαcosαsin2α,2【变式训练】同步练习、求下列各式的值πtanππππ8⑴cos200cos400cos600cos800；⑵(cossin)(cossin)；⑶8888π1tan28（题型二）------给值求值π1πcos2x例1、已知sin(x),x(0,),求的值.454πcos(x)4【点拨】πππ【解析】∵x(0,),∴x(0,),444π1ππ26依题意，sin(x)，∴cos(x)1sin2(x),45445πππ12646又cos2xsin(2x)2sin(x)cos(x)2,244552534646∴原式=25.155【题后感悟】（1）从角的关系寻找突破口．这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．π（2）当遇到x这样的角时，可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟4πππ通．cos2xsin(2x)2sin(x)cos(x).244类似这样的变换还有：π2πsin2x例2、已知sin(x),x(0,),求的值．434πsin(x)4ππ21【解析】sin2xcos(2x)12sin2(x)12()2,2439πππ又∵x(0,),∴x(0,),444π2ππ5依题意，sin(x)，∴cos(x)1sin2(x),43443ππππ5而sin(x)sin[(x)]cos(x),42443（题型三）------化简例、化简下列各式：cos100(13tan100)2cos2θ1⑴;⑵.ππcos7001cos4002tan(θ)sin2(θ)44【点拨】切化弦，并逆用二倍角公式43sin100cos100(1)cos1003sin100【解析】（1）原式=cos100sin2002cos200sin40022提示：1、1cos4002cos2200；132、还可以将变为cos600,将变为sin600,因此，分子变为cos500.22cos2θcos2θcos2θ【解析】（2）原式=1.ππcos2θ2sin(θ)sin(2θ)4π2cos2(θ)π4cos(θ)4【题后感悟】被化简的式子中有切函数与弦函数时，常首先“切化弦”，然后 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 角的内部关系，看是否有互余或互补的，若有，应用诱导公式转化；若没有，再分析角间是否存在线性关系，并利用两角和与差的三角函数展开（或重新组合），经过这样的处理后，一般都会化简完毕．【变式训练】3tan12031sinαcosα1sinαcosα化简：⑴；⑵．sin120(4cos21202)1sinαcosα1sinαcosα3sin12033sin1203cos120【解析】⑴原式=cos1202sin120(2cos21201)2sin120cos120cos240αααααα2sincos2sin22sincos2cos2⑵法一：原式=222222αααααα2sincos2cos22sincos2sin2222222(1sinαcosα)2(1sinαcosα)22(1sinα)22cos2α法二：原式=（1sinαcosα）(1sinαcosα)(1sinα)2cos2α四、万能公式（正、余弦的二倍角与正切的单角的关系）2sinαcosα2tanα2tanα1．sin2α2sinαcosα,即sin2α;sin2αcos2α1tan2α1tan2α5cos2αsin2α1tan2α1tan2α2．cos2αcos2αsin2α,即cos2α.sin2αcos2α1tan2α1tan2α说明：这两个公式叫做“万能公式”，在是否记忆上不做硬性要求，但记住了S、C与T之间的关系，就会使解题过程更简捷．2α2α2α五、活用公式由于公式之间存在着紧密的联系，所以，就要求我们在思考问题的时候必须因势利导、融会贯通，要有目的地活用公式．主要形式有：⑴、1sin2αsin2αcos2α2sinαcosα(sinαcosα)2,sin2αsinα,⑵、sin2α2sinαcosα2cosαsin2αcosα.2sinαcos2α2cos2α1,cos2α12sin2α,⑶、1cos2αcos2αcos2αsin2αcos2α,21cos2αsin2α.2六、错例分析例、解不等式sinxcosx10.【错解】∵sinxcosx1,两边平方，得(sinxcosx)21,∴12sinxcosx1,∴sin2x0,π∴2kπ2x2kππ(kZ),因此，kπxkπ(kZ).2π即原不等式的解集为(kπ,kπ),其中kZ.2【正解】∵sinxcosx1,两边平方，得sinxcosx0,∴必有sinx0且cosx0，又∵sinx1,cosx1，∴x必为第一象限角，6π∴2kπx2kπ(kZ).2π即原不等式的解集为(2kπ,2kπ),其中kZ.2【错因】错因1：忽略了x为第一象限角（因为sinx1,cosx1，又∵sinxcosx1,所以必须sinx0且cosx0）；错因2：上述方法引进了sinxcosx1的增解，如果改用恒等变形，得ππ22sin(x)1,即sin(x)，可避免增解，也无需寻找隐含条件．4427