第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年福建省莆田重点中学高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知A={−1,0,1,3,5}，B={x|2x−3<0}，则A∩∁RB=( )A.{0,1}B.{−1,1,3}C.{−1,0,1}D.{3,5}2.函数f(x)=6x−log2x的零点所在区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(3,4)D.(4,+∞)3.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是( )A.f(x)=1|x−1|B.f(x)=1||x|−1|C.f(x)=1x2−1D.f(x)=1x2+14.已知a=0.32，b=20.3，c=log25，则( )A.b
0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程mx+ny=4(m>0,n>0)，则2m+3n的最小值为( )A.4B.6C.12D.247.已知函数f(x)=−lg(3−ax)(a≠1)在区间(0,4]上是增函数，则实数a的取值范围为( )A.(0,34)B.(0,34]C.(0,1)D.(1,+∞)8.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，当00)，则下列各式的值一定为负的是( )A.sinα+cosαB.sinα−cosαC.sinαcosαD.sinαtanα10.已知命题p：∀x∈R，x2+ax+4>0，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的( )A.a∈[−1,1]B.a∈(−4,4)C.a∈[−4,4]D.a∈{0}11.已知定义域为D的函数f(x)，若对任意x∈D，存在正数M，都有|f(x)|≤M成立，则称函数f(x)是定义域为D上的“有界函数”.则下列函数中，其中“有界函数”是( )A.f(x)=−2022xB.f(x)=2022−x2C.f(x)=2022x2+2D.f(x)=2022x3−112.关于函数f(x)=|xlog2(1−x2)||x−1|−1的性质的描述，正确的是( )A.f(x)的定义域为(−1,0)∪(0,1)B.f(x)有一个零点C.f(x)的图像关于原点对称D.f(x)的值域为(−∞,0)三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知偶函数f(x)在区间(0,+∞)单调递增，则满足f(2x−1)0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象完全相同，若x∈[0,π2]，则f(x)的取值范围是 ．15.已知函数f(x)=ex,x≤0lnx,x>0，g(x)=f(x)+x+a，若g(x)存在2个零点，则实数a取值范围是______．16.已知函数f(x)=x2+4x,x≥22|x−a|,x<2，若对任意的x1∈[2,+∞)，都存在唯一的x2∈(−∞,2)，满足f(x2)=f(x1)，则实数a的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)化简求值：(1)0.2552×0.5−4−(338)−23−(3−π)0+0.064−13+4(−2)4；(2)log39+12lg25+lg2−log49×log38+2log23−1+lne．18.(本小题12.0分)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点P(1,−m−1)，且cosα=55．(1)求实数m的值；(2)若m>0，求sin(3π+α)tan(π2−α)cos(α−π)cos(π2+α)的值．19.(本小题12.0分)设函数f(x)=sin(2x+φ)(−π<φ<0)，y=f(x)图象的一个对称中心是(π8,0)．(1)求φ的值；(2)求f(x)的单调递增区间．20.(本小题12.0分)每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v=12log3x100−lgx0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.(结果保留到整数位.参考数据：lg5≈0.70，31.4≈4.66)(1)若x0=5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位．(2)若雄鸟的飞行速度为1.3km/min，雌鸟的飞行速度为0.8km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍．21.(本小题12.0分)已知函数f(x)=ex+e−x．(1)当x∈[0,+∞)时，试判断f(x)单调性并加以证明；(2)若存在x∈[−ln2,ln3]，使得f(2x)−mf(x)+3≥0成立，求实数m的取值范围.(提示：a2x+a−2x=(ax+a−x)2−2(其中a>0且a≠1))22.(本小题12.0分)已知函数f(x)=x+log9(9x+1)．(1)若f(x)−(2x+a)>0对于任意x恒成立，求a的取值范围；(2)若函数g(x)=9f(x)−x+2m⋅3x+1，x∈[0,log98]，是否存在实数m，使得g(x)的最小值为0？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
答案
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和解析1.【答案】D 【解析】解：∵B={x|2x−3<0}={x|x<32}，∴∁RB={x|x≥32}，∵A={−1,0,1,3,5}，∴A∩∁RB={3,5}，故选：D．先求出集合B，再根据集合的基本运算即可求解．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】C 【解析】【
分析
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】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．根据连续函数f(x)=6x−log2x，可得f(3)，f(4)的函数值的符号，由此得到函数f(x)=6x−log2x的零点所在的区间．【解答】解：∵连续减函数f(x)=6x−log2x，∴f(3)=2−log23>0，f(4)=64−log24<0，∴函数f(x)=6x−log2x的零点所在的区间是(3,4)，故选C． 3.【答案】B 【解析】【分析】本题考查函数图象的识别，可从函数的性质或特殊点(范围)的函数取值进行思考，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．先由函数的定义域可排除选项A和D，再由x∈(0,1)时，f(x)与0的大小关系，可得解．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠±1}，排除选项A和D，当x∈(0,1)时，f(x)>0，但在选项C中，由于x2<1，所以f(x)<0，可排除选项C，故选：B． 4.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查指对数函数的单调性，对数，指数幂的运算法则，属于基础题．利用指对数函数的单调性和对数，指数幂的运算法则即可求解．【解答】解：∵a=0.32=0.09<1，20log24=2，∴a0恒成立，所以3>03−4a>0⇒a<34，设t=3−ax，因为函数y=−lgt是减函数，所以要使f(x)在(0,4]上是增函数，则需函数t=3−ax是减函数，可得a>0，所以00恒成立，可得3>03−4a>0⇒a<34，设t=3−ax，只需函数t=3−ax是减函数即可得结果．本题主要考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．8.【答案】B 【解析】解：因为210=1024<2022<211=2048，所以11<1+log22022<12，且0<11−log22022<1，由题意可得f(x)=f(2−x)=−f(x−2)，所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，故函数f(x)为周期函数，且周期为4，所以f(1+log22022)=f(log22022−11)=−f(11−log22022)=−211−log22022=−2112022=−10241011．故选：B．推导出函数f(x)是周期函数，且周期为4，利用对数的运算性质结合函数的周期性可求得f(1+log22022)的值．本题主要考查了函数的奇偶性及周期性在函数求值中的应用，属于基础题．9.【答案】CD 【解析】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(−1,m)(m>0)，∴sinα=mm2=1>0，cosα=−1m2+1<0，tanα=−m<0，∵m>0，∴sinα−cosα>0，sinαcosα<0，sinαtanα<0，sinα+cosα的符号不确定，∴一定为负值的是CD．故选：CD．由已知角终边上的点可得sinα=mm2+1，cosα=−1m2+1，tanα=−m，结合诱导公式判断各项的正负，由此能求出结果．本题考查三角函烤的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】AD 【解析】【分析】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．命题p：∀x∈R，x2+ax+4>0⇔△<0，解得a范围，进而得出结论．【解答】解：命题p：∀x∈R，x2+ax+4>0，∴△=a2−16<0，解得：−40，解得−10，∴由(1)可得m=1，则cosα=55,sinα=−255，∴sin(3π+α)tan(3π2−α)cos(α−π)cos(π2+α)=−sinα−cosα−sinα−cosα(−sinα)=−1sinα=52． 【解析】(1)由已知借助于余弦函数的定义列式求解m值；(2)由(1)可得sinα，cosα的值，结合三角函数的诱导公式可得sin(3π+α)tan(π2−α)cos(α−π)cos(π2+α)的值．本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式的应用，是基础题．19.【答案】解：(1)∵y=f(x)图象的一个对称中心是(π8,0)．∴sin(2×π8+φ)=0，∴2×π8+φ=kπ，k∈Z，∴φ=kπ−π4，k∈Z，又∵−π<φ<0，∴φ=−π4；(2)由(1)得函数f(x)=sin(2x−π4)，由2x−π4∈[−π2+2kπ,π2+2kπ]，k∈Z得：x∈[−π8+kπ,3π8+kπ]，k∈Z即f(x)的单调递增区间为[−π8+kπ,3π8+kπ]，k∈Z． 【解析】(1)将(π8,0)代入可得φ=kπ−π4，k∈Z，结合−π<φ<0，可得φ的值；(2)由2x−π4∈[−π2+2kπ,π2+2kπ]，k∈Z，可得f(x)的单调递增区间．本题考查的
知识点
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是正弦型函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的图象和性质，是解答的关键．20.【答案】解：(1)将x0=5，v=0代入函数v=12log3x100−lgx0，得12log3x100−lg5=0，因为lg5≈0.70，所以log3x100=21g5≈1.40，所以x100≈4.66，所以x=466．故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为466个单位．(2)设雄鸟每分钟的耗氧量为x1，雌鸟每分钟耗氧量为x2，由题意可得：1.3=12log3x1100−lgx00.8=12log3x2100−lgx0，两式相减可得：12=12log3x1x2，所以x1x2=3，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍． 【解析】(1)将x0=5，v=0代入函数解析式，求出x的值即可答案；(2)设出雄鸟每分钟的耗氧量和雌鸟每分钟耗氧量，得到方程组，两式相减后得到x1x2=3，得到答案．本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)函数f(x)=ex+e−x在[0,+∞)上单调递增，证明如下：任取x1，x2∈[0,+∞)，且x10，ex2+x1−1>0，即f(x2)>f(x1).即函数f(x)=ex+e−x在[0,+∞)上单调递增．(2)f(−x)=e−x+e−(−x)=ex+e−x=f(x)，即f(x)为偶函数．由(1)可知，函数f(x)在[−ln2,0]上单调递减，在[0,ln3]上单调递增．又f(−ln2)=520对于任意x恒成立，代入可得log9(9x+1)−x−a>0，所以a1，所以由对数函数的图像与性质，可得log9(1+19x)>0，所以a≤0，所以a的取值范围为(−∞,0]．(2)g(x)=9f(x)−x+2m⋅3x+1，x∈[0,log98]，且f(x)=x+log9(9x+1)代入化简，可得g(x)=9x+2m⋅3x+2，令t=3x，因为x∈[0,log98]，所以t∈[1,22]，则p(t)=t2+2mt+2=(t+m)2+2−m2，t∈[1,22]，①当−m≤1，即m≥−1时，p(t)在[1,22]上为增函数，所以p(t)min=p(1)=2m+3=0，解得m=−32，不合题意，舍去②当1<−m<22，即−220对于任意x恒成立，可得a
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