高考数学一轮复习人教A版正弦定理与余弦定理名师公开课省级获奖课件

第三章·第七节第三章三角函数、解三角形第三章·第七节第七节　正弦定理与余弦定理第三章·第七节考纲导学掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形问题.第三章·第七节第三章·第七节1．已知△ABC中，a＝eq\r(2)，b＝eq\r(3)，B＝60°，那么角A等于(　　)A．135°　　　　B．90°C．45°D．30°第三章·第七节解析：根据正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得：eq\f(\r(2),sinA)＝eq\f(\r(3),sin60°)⇒sinA＝eq\f(\r(2),2)，又a＜b，∴A＜B，A＝45°，故选C.答案：C第三章·第七节2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB等于(　　)A．－eq\f(2\r(2),3)B.eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(\r(6),3)D.eq\f(\r(6),3)解析：因为eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以eq\f(15,sin60°)＝eq\f(10,sinB)，所以sinB＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3).又因为a＞b，A＝60°，所以B＜60°，所以cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(\r(6),3).答案：D第三章·第七节3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，则角B的值为(　　)A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)解析：∵eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝cosB，结合已知等式得cosB·tanB＝eq\f(\r(3),2)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2)，故选D.答案：D第三章·第七节4．已知△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝eq\f(\r(5),2)b，A＝2B，则cosB＝__________.解析：由正弦定理eq\f(sinA,a)＝eq\f(sinB,b)，又∵a＝eq\f(\r(5),2)b，A＝2B，∴eq\f(sin2B,\f(\r(5),2)b)＝eq\f(sinB,b)，b≠0，sinB≠0，∴eq\f(2cosB,\f(\r(5),2))＝1，∴cosB＝eq\f(\r(5),4).答案：eq\f(\r(5),4)第三章·第七节5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝eq\r(3)sinC，B＝30°，b＝2，则边c＝__________.解析：依题意得，sinA＝eq\r(3)sinC，即a＝eq\r(3)c，根据余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB，即4＝3c2＋c2－2eq\r(3)c2×eq\f(\r(3),2)，解得c＝2.答案：2第三章·第七节1．正弦定理①____________________，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝②________________；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，③____________；(3)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝④__________等形式，以解决不同的三角形问题．第三章·第七节2．余弦定理a2＝⑤______________，b2＝⑥______________，c2＝⑦____________.余弦定理可以变形为：cosA＝⑧________，cosB＝⑨______________，cosC＝⑩__________.3．S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.第三章·第七节答案：①eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R　②sinA∶sinB∶sinC　③c＝2RsinC　④eq\f(c,2R)　⑤b2＋c2－2bccosA　⑥a2＋c2－2accosB　⑦a2＋b2－2abcosC⑧eq\f(b2＋c2－a2,2bc)　⑨eq\f(a2＋c2－b2,2ac)　⑩eq\f(a2＋b2－c2,2ab)第三章·第七节第三章·第七节1．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题．第三章·第七节2．解三角形的类型在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解第三章·第七节考点一应用正弦、余弦定理解三角形例1(1)(2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝eq\r(3)b，则角A等于(　　)A.eq\f(π,3)　　　B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,12)(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a＝1，c＝4eq\r(2)，B＝45°，则sinC＝__________.第三章·第七节解析：(1)在△ABC中，由正弦定理及已知得2sinA·sinB＝eq\r(3)sinB，∵B为△ABC的内角，∴sinB≠0.∴sinA＝eq\f(\r(3),2).又∵△ABC为锐角三角形，∴A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴A＝eq\f(π,3).第三章·第七节(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－8eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝25，即b＝5.所以sinC＝eq\f(c·sinB,b)＝eq\f(4\r(2)×\f(\r(2),2),5)＝eq\f(4,5).答案：(1)A　(2)eq\f(4,5)第三章·第七节【师说点拨】已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．第三章·第七节变式探究1　(1)在△ABC中，a＝2eq\r(3)，c＝2eq\r(2)，A＝60°，则C＝(　　)A．30°B．45°C．45°或135°D．60°(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝eq\r(3)bc，sinC＝2eq\r(3)sinB，则A＝(　　)A．30°B．60°C．120°D．150°第三章·第七节解析：(1)由正弦定理，得eq\f(2\r(3),sin60°)＝eq\f(2\r(2),sinC)，解得：sinC＝eq\f(\r(2),2)，又c＜a，所以C＜60°，所以C＝45°.(2)∵sinC＝2eq\r(3)sinB，由正弦定理，得c＝2eq\r(3)b，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(－\r(3)bc＋c2,2bc)＝eq\f(－\r(3)bc＋2\r(3)bc,2bc)＝eq\f(\r(3),2)，又A为三角形的内角，∴A＝30°.答案：(1)B　(2)A第三章·第七节考点二判断三角形的形状例2(2015·临沂月考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝eq\r(3)，试判断△ABC的形状．第三章·第七节解析：(1)由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，∴A＝60°.(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°.由sinB＋sinC＝eq\r(3)，得sinB＋sin(120°－B)＝eq\r(3)，∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝eq\r(3).∴eq\f(3,2)sinB＋eq\f(\r(3),2)cosB＝eq\r(3)，即sin(B＋30°)＝1.第三章·第七节∵0°＜B＜120°，∴30°＜B＋30°＜150°.∴B＋30°＝90°，B＝60°.∴A＝B＝C＝60°，△ABC为等边三角形．第三章·第七节【师说点拨】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．第三章·第七节变式探究2　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是(　　)A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形(2)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，则△ABC的形状是(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形第三章·第七节解析：(1)由2c2＝2a2＋2b2＋ab，得a2＋b2－c2＝－eq\f(1,2)ab，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(－\f(1,2)ab,2ab)＝－eq\f(1,4)＜0，所以90°＜C＜180°，即△ABC为钝角三角形．(2)由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，得b2[sin(A－B)＋sinC]＝a2[sinC－sin(A－B)]，第三章·第七节即b2sinAcosB＝a2cosAsinB，即sin2BsinAcosB＝sin2AcosAsinB，所以sin2B＝sin2A，由于A，B是三角形的内角，故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，故只可能2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).故△ABC为等腰三角形或直角三角形．答案：(1)A　(2)D第三章·第七节考点三与三角形面积有关的问题例3(2013·浙江卷)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝eq\r(3)b.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．第三章·第七节解析：(1)由2asinB＝eq\r(3)b，得2a＝eq\f(\r(3)b,sinB)，又由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(2a,\r(3))，所以sinA＝eq\f(\r(3),2)，因为A为锐角，所以A＝eq\f(π,3).(2)由(1)及a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝36，又b＋c＝8，所以bc＝eq\f(28,3)，由S＝eq\f(1,2)bcsinA，得△ABC的面积为eq\f(7\r(3),3).第三章·第七节【师说点拨】在解决三角形问题中，面积公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．第三章·第七节变式探究3　(2013·湖北卷)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝5eq\r(3)，b＝5，求sinBsinC的值．解析：(1)由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得第三章·第七节cosA＝eq\f(1,2)或cosA＝－2(舍去)．因为0＜A＜π，所以A＝eq\f(π,3).(2)由S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)bc·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)bc＝5eq\r(3)，得bc＝20.又b＝5，所以c＝4.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝eq\r(21).又由正弦定理，得sinBsinC＝eq\f(b,a)sinA·eq\f(c,a)sinA＝eq\f(bc,a2)sin2A＝eq\f(20,21)×eq\f(3,4)＝eq\f(5,7).第三章·第七节•方法与技巧1．正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的重点，利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题．第三章·第七节2．应熟练掌握和运用内角和定理：A＋B＋C＝π，eq\f(A,2)＋eq\f(B,2)＋eq\f(C,2)＝eq\f(π,2)中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．3．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinB·sinC·cosA，可以进行化简或证明．第三章·第七节4．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．•失误与防范　在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论.第三章·第七节1．(2015·青岛调研)已知锐角三角形的边长分别为1,3，a，则a的取值范围是(　　)A．8＜a＜10　　　　B．2eq\r(2)＜a＜eq\r(10)C．2eq\r(2)＜a＜10D.eq\r(10)＜a＜8第三章·第七节解析：若a是最大边，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3＞a,12＋32＞a2，,a＞3，))所以3＜a＜eq\r(10)；若3是最大边，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋a＞3,12＋a2＞32，,1＜a＜3))所以2eq\r(2)＜a＜3；当a＝3时符合题意，综上2eq\r(2)＜a＜eq\r(10)，故选B.答案：B第三章·第七节2．(2015·潍坊月考)在△ABC中，cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形第三章·第七节解析：因为cos2eq\f(B,2)＝eq\f(a＋c,2c)，所以2cos2eq\f(B,2)－1＝eq\f(a＋c,c)－1，所以cosB＝eq\f(a,c)，所以eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a,c)，所以c2＝a2＋b2.所以△ABC为直角三角形．答案：B第三章·第七节3．(2015·武汉调研)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C,3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为(　　)A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶4第三章·第七节解析：由题意知：a＝b＋1，c＝b－1，所以3b＝20acosA＝20(b＋1)eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝20(b＋1)·eq\f(b2＋b－12－b＋12,2bb－1)，整理得：7b2－27b－40＝0，解得b＝5或b＝－eq\f(8,7)(舍去)，可知：a＝6，c＝4.结合正弦定理可知答案．答案：D第三章·第七节4．(2015·厦门模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB＋bcosA＝csinC，b2＋c2－a2＝eq\r(3)bc，则角B＝__________.第三章·第七节解析：由b2＋c2－a2＝eq\r(3)bc，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(3)bc,2bc)＝eq\f(\r(3),2)，所以A＝30°.由正弦定理得sinAcosB＋sinBcosA＝sinCsinC，即sin(A＋B)＝sinCsinC＝sinC，解得sinC＝1(sinC＝0舍去)，所以C＝90°，所以B＝60°.答案：60°第三章·第七节5．(2015·岳阳模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2eq\r(3)，点D在BC边上，∠ADC＝75°，则AD的长为__________．INCLUDEPICTURE"2016王数121.EPS"第三章·第七节解析：过点A作AE⊥BC，垂足为E，则在Rt△ABE中，cosB＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\f(1,2)BC,AB)＝eq\f(\r(3),2)，故B＝30°.在△ABD中，∠ADB＝180°－∠ADC＝180°－75°＝105°.由正弦定理得AD＝eq\f(AB·sinB,sin∠ADB)＝eq\f(2×sin30°,sin105°)＝eq\f(1,\f(\r(6),4)＋\f(\r(2),4))＝eq\r(6)－eq\r(2).答案：eq\r(6)－eq\r(2)第三章·第七节