答案：D平面直扭总复习题一、选择题•两个非零向量的模相等是两个向量相等的什么条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要答案：B.当|a|=|b忆。且a、b不共线时，a+b与a—b的关系是A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.相等解析：・「(a+b)・(a—b)=a2—b2=|a|2—|b|2=0,「・(a+b)±(a—b).答案：B.下面有五个命题，其中正确的命题序号为①单位向量都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a,b满足同〉间且a与b同向，贝Ua〉b；④由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量a,b,必有|a+b|<|a汁|b|A.①②③B.⑤C.0®D.①⑤解析：①单位向量方向不确定，故不一定相等，所以命题①错误；②方向相反的向量一定是共线向量，故命题②错误；③两向量不能比较大小，故命题③错误；④0与任意向量平行，故命题④错误；⑤命题⑤正确.答案：B.下列四式中不能.化简为PQ的是()AB(PABQ)(ABPC)(BA-QC)QC-QPCQPAAB-BQ解析：A选项中，ABBQ二AQ,AQPA二PAAQ二PQB选项中，ABBA二AB-AB=0，PC・QC二PCCQ二PQ，PQ+0二PQC选项中，QC■CQ=QC-QC=o»一QP+o=PQ+o=PQ.D选项中，PAAB二PB,PB-BQ=PQ，(vPBBQ=PQ).已知正方形ABCD的边长为1,AB=a,BC二b,AC=c,则a+b+c的模等于（）A.OB.2+2C...2D.2、2解析：ABBC=ACa+b=c,「.a+b+c=2c,「.|2c|=22.答案：D6•如图所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中不正确的是A.FDDA二FAB.FD■DE■EF=0C.DEDA二ECD.DADE二FD答案：D.已知a,b为非零向量，a+b|=|a-b成立的充要条件是A.a//bB.a,b有共同的起点C.a与b的长度相等D.a±b解析：|a+b|=|a—b|：<：|a+b|2=|a—b|2：<:(a+b)2=(a—b)<:a2+2a•b+:a2—2a・b+b2：二a・b=0：=a±b答案：D.下面有五个命题，其中正确命题的序号是22abb222222①|a/二a2;(2)—；3(a•b)2=a2•b2;@(a——b)2=a2—2a•b+b?；⑤若abIalibIcos：解析：②Jalalaaa•0,贝U0或b=0A.①®0)C.②④®(a•b)2=(|a||b|cosa)a2•b2IbIcos-：〉lalaB.①④D.②⑤2=|a|2|b|2cos2a,a2•b2=|a|2•|bf,r.(a•b)2A⑤若a•b=0,贝Ua=0或b=0或a_Lb且a*0,b*0.答案：B9若点P分有向线段RP2成定比为3:1,则点Pi分有向线段F2P所成的比为R尸巴j.j.j.A.B.—D.-解析：由题意设P(x,0),Q(0,y),由中点坐标公式可得x=1,上=222解得x二—2,y二4,•••|PQ|=.(―2)24=、20=2.5.答案：B15.下列命题中，正确的是A.|a-b|=|a|•|b|B.若a±(b-c),贝Ua-b二a・cD.a(b•c)二(a・b)c解析：A.a・b=|a||b|cosa,|a•b|二|a||b||cosa|工|aB.若a=0^Ua・b=a•c,若b一c二。，即b=c,a・b=a・c；若a羊0,且b—CMO，由a_L(b—c),得a•(b—c)=0.•a・b—a•c=0,r.a•b=a・c,故B正确.2c.若|a|二0或1，则a二|a|.D.向量的数量积不满足结合律..函数丫二4sin2x的图象可以由V=4sin(2x—)的图象经过平移变换而得到，则这3个平移变换是A.向左平移一个单位B.向右平气2个单位TOC\o"1-5"\h\z66C.向左平移一个单位D.向右平移一?单位解析:T用x一替换掉函数y=4sin2x中的x可得y=4sin2(x)=4sin(2x),663故可将原函数图象向左平移个单位得到6答案：A.已知m,n是夹角为600的两个单位向量，则a=2m+n和b=一3m+2n的夹角是A.30B.60°C.12O0D.150解析：m•n=|m||n|cos60•iai=2(mn/=7,lbi二、(-3m2n产二7・a•b=(2m+n)(—3m+2n)=—6m2+2n2+m•n=一6+2+22aba=120...cosa|a||b|答案：Cy=22-1,则a等于().将函数户22的图象按a平移后，函数解析式为A.(-2,1)B.(2,-1)C.(1,-1)D.(-1,1)lxAl(x_2)解析：y=22-1,即y+1=22-••用x—2,y+1分别替换了原函数解析式中的x,nnV-2=x寸一X=2口"h=2即即Jy+1=yy-y=-1l.|k-a=(2,-1)答案：B.在直角三角形中，A、B为锐角，贝UsinA-sinB1A.有最大值一和最小值021B.有最大值一，但无最小值2C.既无最大值，也无最小值D.有最大值1,但无最小值解析：△ABC为直角三角形，-B二一A2•sinA-sinB二sinA・sin(—=sinA.cosA=;sin2AA)/2当A二B二时，有最大值一,但无最小值42答案：B20.a、3是锐角三角形的三个内角，则cosa>sin3且cos3>sinacosavsin3且cos3
sin3且cos3sina解析：Ia、3是锐角三角形两内角，TOC\o"1-5"\h\zhjiT1..a+3>—•—>a>3>0,222••JI•sina>sin(3)2gpsina>cos3，同理sin3>cosa答案：B21.®AABC中，sinA1，贝ABC为A.锐角三角形C.钝角三角形解析：TtanA••••tan(A+B)=B.直角三角形D.不能确定tanB>1>0，又TA、B不可能同时为钝角，二tanA>0,tanB>0,tanAtanB门v0,1-tanAtanB90°vA+Bv180°/0°vCv90°,△ABC为锐角三角形.答案：A23.在AABC中，A、B、C相应对边分别为a、b、c,贝UacosB+bcosA等于A.2cosCB.2sinCabC.2D.c解析：由正弦定理得：二2RsinAsinB得a=2RsinA,b=2RsinBacosB+bcosA=2RsinAcosB+2RcosAsinB=2Rsin(A+B)=2RsinC=c答案：D24.在△ABC5中，已知C0SA二1316A.—PR56B.一653sinB二一，贝UcosC等于516十56C.或16D.-解析：由sinB二-，得LcosB=±./-sin2B=±4但当cosB=,cosA+cosBv0,5cosC=cos[180—(A+B)二(cosAcosB—sinAsinB)12二sinAsinB—cosBcosA=C无解cos(A+B)5161365答案：A25.在不等边^ABC中，a为最大边，如果A.90°vAv180°B.45C.60°vAv90°D.O°解析：・・・a2vb2+c2,r,b2+c2—a2>0,a2vb2+c2,则A的取值范围是(vAv90°vAv90°•cosA=J.22bc-a>0,•Av900,2bc又Ta边最大，-A角最大A+B+C=180°,r.3A>180•••A>60\r.60°vAv900答案：C26.已知点A分BC的比为2,下列结论错误的是AB分Ac的比为一2B.C分BA的比为一3C.A分CB的比为2D.C分AB的比为一-3解析：数形结合可得C选项错误.答案：c.在AABC中，若B=30;AB二23,AC=2,则ZaABC的面积为A.2—3B..3C.2,3或3D.2.3或4.3解析：sinC二及亡<32C=60°或120\r,A=90°或30°Q-aabc=—AB•AC•sinA=2.3或-3.2答案：CA.在AABC中，若sinB-sinC=cos2?，贝【］△ABC是A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形1+COSACOsA解析：・•・sinB-sinC=又cosA=cos［180—(B+C)］二一cos(B+C)二一(cosBcosC—sinBsinC)2sinBsinC=1—cosBcosC+sinBsinC,cosBcosC+sinBsinC=1cos(B—C)=1,•B=C,△ABC是等腰三角形.答案：A二、解答题1.设ei,02是两个不共线的向量，已知AB=2ei+ke2,CB=ei+3e2,CD=2&—e2,若A、B、D三点共线，求k的值.分析：由于A、B、D三点共线，因此存在实数入，使AB二人BD，而BD=CD—CB二e।—4e2，将AB、BD的①、e2
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达式代入上式,再由向量相等的条件得到关于方程组,便可求得k的值.解：BD二CD—CB=（2ei—e?）—（en-3e?）-A、B'D三点共线，.・・存在实数入，使AB二人BD,—2ei+ke2二人(e1—4e2)于是可得2二，角军得k=-8.k=-4，L.评述：此题解答关键是应用两个向量共线的充要条件，的要注意两个向量共线和三点共线区别和联系•2•已知a、b是两个非零向量，当a+1b(t€R)的模取最小值时，(1)求t的值；(2)求证b±(a+tb).分析：利用忸+1邸=(a+1b)2进行转换,可讨论有关|a+tb|的最小值问题，若能算得b-(a+1b)=0,则证明了b±(a+tb).(1)解：设a与b的夹角为0则|a+tb|2=(a+1b)2222=a+2a・tb+1b=|a|2+2t|a||b|cos0+12|b|2=|b|2t2+(2|a||b|cos0)t+|a|2二”2(t+启皿2+12朋「.当匕擀一忙ab2时，|a+tb|有最小值.|b|2abab(2)证明：b•(a+tb)=b•(a—•b)=a・b—•b•b=a•b—a•b二0|b|2|b|2b±(a+1b).评述：对|a+tb|变形，可以从两个角度进行思考，一是通过|a+1bF=(a+1b)2的数量枳运算；二是通设坐标化思想，进行向量的坐标运算，从而达到求解求证目的一—13•如图所示，OADB是以向量OA=a,OB=b为边的平行四边形，又BM二・BC,CN31,CD，试用a,b表示OM,ON,MN.3Q解：BA=OA-OB二a—b--111(a-b)6•••BMBCBA36OM=OBBM=b+1(a—b)=—a+—b666又由OD=a+b,得1111222ONODODOD2632MN=ON-OM=(一a+b)3a+bTOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark53"\o"CurrentDocument"33215一(一a+b)=—a-b3662评述：由于a,b不共线，因此a,b构成平行四边形OADB所在平面的一组基底，用它们可以表示出这个平面内的任何向量，将所要用a，b表示的向量连同a，b设法放在一个三角形或平行四边形内，是解决此类问题的常见方法4•已知0ABC所在平面内一点，且满足|0A|2|BC|2=|OB|2|CA|2=|OC|2|AB|2.求证：。点是△ABC的垂心证明：设OA二a,OB二b,OC二c,贝VBC=c-b,CA=a-c,AB=b-a.•/|OA|2+|BC.|OB|2+|CA|2=|OC|2+|AB|2•••a2+(c—b)2=b2+(a—c)2=c2+(b—a)2即c・b二a・c=b-a,故AB・OC=(b—a)・c二b-c—a•c=0BC・OA=(c—b)・a=c•a—b•a=0AB±OC,BC±OA,••点。是乙'ABC的垂心.5•如图所示，圆O内两弦AB、CD垂直相交于P点，求证：PAPBPCPA2PO.证明：设M、N分别为圆O的两弦AB、CD的中点，连OM、ON，贝UOM_LAB,ON±CD.••PAPB=2PM,PCPD=2PN而AB_LCD，-四边形MPNO为矩形PMPN二PO,PAPBPCPD=2PO6.已知△ABC中，A(2,—1),B(3,2),C(—3,—1),BC边上的高为AD，求点D和向量AD的坐标.2解：设点D坐标(x,y),由AD是BC边上的高可得AD_LBC，且B、D、C共线,ADBC=0CD//DB；(x—2,y+1)(-6,—3)=0©+3)(2—y)—(3-x)(y+1)=0卜6(x-2)・3(y+1)=0Jx+3)(2—y)—(3—x)(y+1)=02x+y_3=0x_2y+1=0x=1解得J-・•点D坐标为(1,1),AD=(-1,2)7•已知a、b、c分别为△ABC三内角A、B、C所对的边，且2(sinA-sinB),sinA-sinC,2(sinB-sinC)成等比数列.求证：2b=a+c.证明：要证2b=a+c,由正弦定理只要证：sinB—sinA=sinC—sinB即可：由已知可得：＜sinA—sinC)2—4(sinA—sinB)(sinB—sinC)=0,且sinAAsinB,构造方程:(sinA—sinB)x2—(sinA—sinC)x+(sinB-sinC)=0，且x=1是方程的根△=(sinA-sinC)2-4(sinA-sinB)•(sinB-sinC)=0,.方程有两相等实根由韦达定理OlliCfOlliXif可知：=1sinA—sinB•sinB—sinC=sinA—sinB,故结论得证.8.设i,j是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的两个单位向量，且AB=4i+2j,AC=3i+4j，证明△ABC是直角三角形，并求它的面积.解：BC二AC・AB=(3i+4j)—(4i+2j)=—i+2j/AB•BC=(4i+2j)(—i+2j)=—4i2+6i・j+4j2=0,•AB_LBC△ABC是直角三角形，•S=■—AB|•|BC|=—x2.5x5=5，求cos□的值.cosB229.已知△ABC中三内角满足A+C=2B,cosAcosC解：由A+C=2B,可得B=60°,A+C=12004设二a，贝VA—C=2a,2•IA=60°+a,C=60°—a,1111cosAcosCcos(60'U)cos(60-：)11..cos:cccossin:22cos：cosB将B=600代入得cos：2cos:…2、2cos2a+cosa=02(2cosa一2)(2、.2cosa+3)=0…22cosa+3>0...cosa即cos〜Ca2-b2sin(A-B)c2—sin10.在ZaABC中，角a、B、C的对边分别为a、b、c,求证：csjn证明：Ta2=b2+c2—2bccosA,一二一B,C=n—(A+B)csinC22a-b2b2sinBcosA21cosA=1-ccsinCsinC-2sinBcosAsin(AB)・2sinBcosAsinCsinCsinCsin力cosB「sinBcos/sin(AB)sinC故原等式成立.11.在4ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,且c为最大边，若accosA+bccosBv4S,其中S为八ABC的面积.求证：△ABC为锐角三角形.证明：由余弦定理及三角形面积公式accosA+bccosBv4S即b2+c2_a2_Lb22a2+c2bv2absinCv2ac即ac•+be•2bc2ac•••a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)v4a2b2gp(a2+b2)c2va4+2a2・b2+b4=(a2+b2)2•c2va2+b2,2*b?_2cosC=a>0,・C为锐角2ab又c为最大边，故C为最大角，•△ABC为锐角三角形.12.在AABC中，sinA二一，判断这个三角形的形状cosB+cosC解：由正弦定理、余弦定理可得：b+ca=~222222ca・bab・c2ca2ab2.22222ca-bab-c一=b+c2c2b-b(a?—b?)+c(a?—c?)=be(b+c)233•(b+c)a=(b+c)+be(b+c)，a2=b2+c2»•••△ABC是直角三角形.
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